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Münchner Volkshochschule Lineare Gleichungssysteme XI Lösungsverfahren: Das Gaußverfahren bei mehr als drei Variablen a11 x a12 y a13 z b1 a21 x a22 y a23 z b2 a31 x a32 y a33 z b3 a11 a12 a21 a22 a 31 a32 a13 b1 a23 b2 a33 b3 Der Reihe nach werden die folgenden Koeffizienten eliminiert: a11 a12 a13 b1 a21 2. a22 a23 b2 a a a b 31 1. 32 3. 33 3 Anschließend wird das LGS durch rückwertiges Einsetzen gelöst. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 117 Münchner Volkshochschule Übung 27: Gaußverfahren I Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe des Gaußverfahrens: Das Problem der 100 Vögel Chang Ch‘iu-chien Suan Ching : „Arithmetisches Handbuch des Chang Ch‘iu-chen“ (ca. 475 n.Chr.) Ein Hahn kostet 5 Sapeks, eine Henne kostet 3 Sapeks und 3 Küken 1 Sapek. Wenn wir nun für 100 Sapeks 100 dieser Tiere einkaufen, wie viele sind es dann von jeder Sorte? Achten Sie wie üblich auf die ausführliche Dokumentation Ihrer Rechnung. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 118 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Die drei Säulen der Finanzmathematik Geld / Kapital Zinsen / Zinssatz Zeit / Laufzeit Geld / Kapital: Form von Zahlungen Zeit / Laufzeit: Zeitpunkt der Zahlungen; Zeitraum zwischen Zahlungen Zinsen / Zinssatz: Überlassungsvereinbarung für Geld / Kapital Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 119 Münchner Volkshochschule Prozent: Ein wenig Finanzmathematik 1% : 1 0,01 100 p : i Bezeichnungen: p % : 100 𝑝 = Prozentfuß 𝑖 = Prozentsatz Grundgleichung der Prozentrechnung Z K i 𝐾 : Grundwert, Grundgröße, Basiswert, Basisgröße, Bezugswert 𝑍 : Prozentwert (absoluter Anteil bzgl. des Grundwertes) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 120 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Begriffe: • Kapital (𝐾), gemessen in 𝐺𝐸 (Geldeinheiten) wird über einen Zeitraum 𝑡 (Laufzeit) ausgeliehen, • Zinsen (𝑍) sind die Vergütung des überlassenen Kapitals in einer festgelegten Zeit (Zinsperiode) • Zinszuschlagtermin ist der Zeitpunkt, wenn die Zinsen fällig werden • Zinsperiode ist der Zeitraum zwischen zwei aufeinander folgenden Zinszuschlagsterminen (üblich ist ein Kalenderjahr) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 121 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Begriffe: • Zinsarten: • Guthabenzinsen: Habenzinsen • Darlehenszinsen: Sollzinsen • Zinszahlungsarten: • Nachschüssig: • Vorschüssig: Prof.Dr. Nils Mahnke Fälligkeit am Ende der Zinsperiode (Regelfall) (dekursive) Verzinsung Zinsen werden vereinbart; Fälligkeit zu Beginn der Zinsperiode (antizipative) Verzinsung Mathematischer Vorkurs Folie: 122 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Verzinsungsmodelle: 1. Linearer (einfacher) Zins: die Zinsen werden zeitanteilig berechnet und erst am Ende der Laufzeit dem Kapital zugeschlagen bzw. mit dem Kapital verrechnet. Innerhalb der Laufzeit gibt es keine Zinszuschlagstermine. 2. Exponentielle Zinsen oder Zinseszinsen: Die Zinsen werden nach jeder Zinsperiode dem Kapital zugeschlagen und tragen von da an selbst wieder Zinsen. Innerhalb der Laufzeit liegen ein oder mehrere Zinszuschlagstermine. 3. Gemischte Verzinsung: Kombination aus einfachen Zinsen und Zinseszinsen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 123 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Zinseszinsrechnung 𝐾0 𝑛 𝑝 𝑖 Barwert: Anfangskapital Anzahl der vollständigen Zinsperioden (i.Allg. Jahre) Zinsfuß Zinsrate (in %), Zinssatz, Verzinsung, Rendite 𝑞𝑛 𝐾𝑛 Aufzinsfaktor [für 𝑛 Zinsperioden] Endwert: Kapital am Ende der 𝑛-ten Zinsperiode Leibnizsche Zinseszinsformel: K K 1 p n 0 100 n K 0 (1 i ) n K 0 q n (𝑞 ≔ 1 + 𝑖 :„Aufzinsfaktor“) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 124 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung n p n n K n K 0 1 K ( 1 i ) K q 0 0 100 Zn Kn K0 K0 qn 1 Von 𝑝, 𝑖 (oder 𝑞) und 𝑛, 𝐾0, 𝐾𝑛 (oder 𝑍𝑛) müssen jeweils 3 Werte gegeben sein. 1. Endkapital berechnen 2. Anfangskapital berechnen 3. Zinssatz, Zinsfuß, Zinsrate oder Zinsfaktor berechnen 4. Laufzeit berechnen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 125 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Grundaufgaben zur Zinseszinsrechnung a) Wie hoch ist das Endkapital bei einem Anfangskapital von 250.000 € bei einer jährlichen Verzinsung von 5% in 7 Jahren? b) Wie hoch muss das Anfangskapital sein, damit man bei 5% Verzinsung nach 8 Jahren ein Endkapital von 5.000€ erreicht? c) Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit eine Einlage von 250.000€ in 7 Jahren 300.000€ Endkapital erbringt? d) Wie viele Jahre müssen 250.000€ bei 5% verzinst werden, damit sich der Betrag verdoppelt hat? Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 126 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Einfache Tilgungsrechnung (Ratenkredit) Ein Kreditbetrag 𝑆0 (die Anfangsschuld) wird über einen festen Zeitraum (𝑛 Zinsperioden) zu einem festen Zinssatz 𝑖 verliehen und soll vom Kreditnehmer so zurückgezahlt werden, dass pro Zinsperiode ein fester Anteil des Kreditbetrages, die Tilgungsrate, zurückgezahlt wird. Die Tilgungsrate pro Zinsperiode: 𝑇 = 𝑆0 𝑛 Die anfallenden Zinsen 𝑍𝑘 in der 𝑘-ten Zinsperiode sind zusätzlich zur Tilgungsrate zu zahlen. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs 𝑘 ∈ 1; … ; 𝑛 Folie: 127 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Einfache Tilgungsrechnung (Ratenkredit) Begriffe: 𝑆0 Kreditbetrag, Anfangsschuld 𝑝, 𝑖, 𝑞 vereinbarter [Jahres-]Zinssatz 𝑡 Prozentsatz der 1. Tilgungsrate für Prozentannuitätentilgung 𝑛 vereinbarte Rückzahlungsdauer in Jahren 𝑍𝑘 Zinsen in der der 𝑘-ten Periode 𝑇𝑘 Tilgung in der der 𝑘-ten Periode 𝐴𝑘 Annuität in der der 𝑘-ten Periode 𝑆𝑘 Restschuld am Ende der 𝑘-ten Periode Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs 𝑘 ∈ 1; … ; 𝑛 Folie: 128 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Einfache Tilgungsrechnung (Ratenkredit) Tilgungsplan: k S k 1 1 S0 2 ... n Summe Prof.Dr. Nils Mahnke Z k Tk S0 i S0 Mathematischer Vorkurs Ak Sk Folie: 129 Münchner Volkshochschule Ein wenig Finanzmathematik Ein Ratenkredit über 10.000€ für 5 % Zinsen (fest), soll über 5 Jahre Laufzeit bei gleichbleibender Tilgung zurückbezahlt werden: Jahr k S(k-1) Z(k) 1 10.000 500 2 3 4 5 Summe Prof.Dr. Nils Mahnke T(k) Mathematischer Vorkurs A(k) S(k) 0 Folie: 130 Münchner Volkshochschule • • • • • • • • • • Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 131 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Geometrie („Geo“: gr. Erde; „metron“: gr. messen) Die Geometrie der ungekrümmten Ebene geht auf Euklid zurück Die sog. Euklidische Geometrie untersucht damit die Zusammenhänge zwischen Punktmengen in der Ebene Neben der Untersuchung der bekannten Formen, wie Dreiecke, Quadrate usw. basiert die so erfolgreiche Formalisierung der Geometrie im Wesentlichen auf zwei Konzepten: 1) Die Welt ist aus Punkten (kleinste geometrische Einheit ohne Ausdehnung) aufgebaut, welche beliebig dicht liegen. 2) Zahlenmengen können als Anordnungen von Punkten dargestellt werden. (z.B. ℝ als Zahlenstrahl) (Rene Descartes (1596-1650), franz. Mathematiker führte das später nach Ihm benannte kartesische Koordinatensystem ein.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 132 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie •Das Produkt von Mengen: Das Produkt 𝐴 × 𝐵 von zwei nichtleeren Mengen 𝐴 und 𝐵 ist definiert durch die folgende Menge von Paaren: 𝐴 × 𝐵 ≔ (𝑎; 𝑏) 𝑎 ∈ 𝐴 𝑢𝑛𝑑 𝑏 ∈ 𝐵 •⇒ Der ℝ𝟐 ≔ ℝ × ℝ = (𝑥; 𝑦) 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Jedem Punkt in der Ebene werden eindeutig zwei Koordinaten (𝑥 𝑢𝑛𝑑 𝑦) zugeordnet, welche die Lage des Punktes zum Ursprung beschreiben. •⇒ Der ℝ𝟑 ≔ ℝ × ℝ × ℝ = (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ Jedem Punkt in der Raum werden eindeutig drei Koordinaten (𝑥, 𝑦 𝑢𝑛𝑑 𝑧) zugeordnet, welche die Lage des Punktes zum Ursprung beschreiben. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 133 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Objekte der Geometrie: Punkt: Punkte sind die Grundbausteine der Geometrie. Sie A werden als kleine Kreuze () oder „Knödel“ () gezeichnet und werden mit lateinischen Großbuchstaben beschriftet. Strecke: Eine Strecke ist die Menge aller Punkte, welche auf AB dem Weg der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten A und B liegen: Länge: Die Länge einer Strecke ist ein Maß für den Abstand AB zwischen den zwei Punkten A und B , welche sie verbindet. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 134 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Gerade: Eine Gerade ist die Menge aller Punkte einer Ebene, g welche zu zwei festen Punkten A und B derselben Ebene den gleichen Abstand haben. g A Prof.Dr. Nils Mahnke P B Mathematischer Vorkurs AP BP Folie: 135 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Kreis: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, welche zu einem festen Punkt M derselben Ebene den K gleichen Abstand r haben. K M M: Mittelpunkt r: Radius r P MP r Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 137 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Ellipse: Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte einer Ebene, welche in der Summe zu zwei festen Punkt A und B E derselben Ebene den gleichen Abstand haben. P E b A M B a Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs M: Mittelpunkt a,b: Halbachsen AP BP 2a Folie: 139 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Hyperbel: Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte einer Ebene, welche in der Differenz zu zwei festen Punkt A und B H derselben Ebene betraglich den gleichen Abstand haben. P M: Mittelpunkt a: reelle Halbachse b: Imaginäre Halbachse H b A M B a AP BP 2a Asymptoten Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 140 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Dreieck: Drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, lassen sich immer durch Strecken zu einem Dreieck verbinden. Dreiecktypen: Bem.: ++=180° Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 141 Münchner Volkshochschule Übung: Elementare Geometrie Bestimmen Sie die Größe des Winkels 𝜸. Die gegebene Skizze ist nicht maßstabsgetreu.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 142 Münchner Volkshochschule Kongruenz und Ähnlichkeit Def.: Abbildungen (in) einer Ebene Eine Abbildung 𝑓 einer Ebene ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Punkt 𝑃 der Ebene genau einen Punkt 𝑓 𝑃 , den Bildpunkt, derselben Ebene zuordnet. z.B.: a) Drehung (Rotation) um einen Punkt 𝑍 (das Drehzentrum) um den Winkel 𝛼 (den Drehwinkel) b) Spiegelung (Reflexion) eines Punktes 𝑃 an einer Geraden 𝑔 c) Verschiebung (Translation) eines Punktes 𝑃 um die Distanz 𝐴𝐵 in die Richtung 𝐴𝐵 (Verschiebevektor) d) Streckung (Elongation) Veränderung der Distanz 𝑍𝑃 des Punktes 𝑃 vom Punkt 𝑍 (Streckzentrum) um das Vielfache 𝑚 > 0 (Streckfaktor) in Richtung von 𝑍𝑃. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 143 Münchner Volkshochschule Kongruenz und Ähnlichkeit Def.: Kongruenzabbildung Eine Abbildung der Ebene in sich heißt Kongruenzabbildung oder Bewegung, wenn Sie Abstände einhält. ( a), b), c) sind Kongruenzabbildungen) Für jede Bewegung gilt 1. Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade. 2. Winkel zwischen Geraden bleiben erhalten. Def.: Kongruent Zwei Figuren der Ebene heißen kongruent (deckungsgleich), wenn es eine Bewegung gibt, die sie aufeinander Abbildet. z.B.: Spiegelung eines Dreiecks Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 144 Münchner Volkshochschule Kongruenz und Ähnlichkeit Satz: Sei 𝐹 die Menge aller Punkte einer Figur in. Gilt nun für eine Abbildung 𝑓 in der Ebene 𝑑 𝑄; 𝑃 = 𝑑 𝑓 𝑄 ; 𝑓 𝑃 ∀ 𝑄, 𝑃 ∈ 𝐹, wobei 𝑑: 𝐹 × 𝐹 → ℝ den Abstand zweier Punkte aus 𝐹 bezeichne, so ist 𝑓 eine Kongruenzabbildung Kongruenzsätze für Dreiecke: Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie (a) in drei Seiten übereinstimmen (b) in zwei Winkeln und einer Seite übereinstimmen (c) in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (d) in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 145 Münchner Volkshochschule Kongruenz und Ähnlichkeit Def.: Ähnlichkeit Eine Abbildung 𝑓 der Ebene heißt Ähnlichkeit oder Ähnlichkeitsabbildung, wenn es eine Konstante 𝑘 > 0 gibt, so dass für je zwei Punkte 𝑃 und 𝑄 der Ebene gilt: 𝑑 𝑓 𝑄 ;𝑓 𝑃 = 𝑘 ⋅ 𝑑 𝑄; 𝑃 Unter Ähnlichkeiten bleiben Geraden und Winkel unverändert. Abstände können sich dagegen ändern. Satz: Jede Ähnlichkeit ist als Kombination einer Bewegung und einer Streckung darstellbar. Def: Figuren nennt man ähnlich, wenn es eine Ähnlichkeitsabbildung zwischen ihnen gibt. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs z.B.: Drehung und Streckung eines Dreiecks Folie: 146 Münchner Volkshochschule Geometrische Sätze Der Strahlensatz: Es liegt eine Streckung vor, mit dem Streckzentrum 𝑍 𝐵′ ⇒ Δ𝐴𝐵𝑍 ist ähnlich zu Δ𝐴′ 𝐵′ 𝑍 𝐵 ⇒ ∃ 𝑚 > 0, s.d. 𝑚 ⋅ 𝑑 𝑍; 𝐴 = 𝑑(𝑍; 𝐴′ ) 𝑍 𝐴 𝐴′ 𝑚 ⋅ 𝑑 𝑍; 𝐵 = 𝑑(𝑍; 𝐵′ ) 𝑚 ⋅ 𝑑 𝐴; 𝐵 = 𝑑(𝐴′; 𝐵′ ) 𝑑 𝑍; 𝐴′ 𝑑 𝑍; 𝐵′ 𝑑 𝐴′; 𝐵′ 𝑚= = = 𝑑 𝑍; 𝐴 𝑑 𝑍; 𝐵 𝑑 𝐴; 𝐵 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 147 Münchner Volkshochschule Geometrische Sätze Der Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypothenuse. 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐2 ⇔ 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 𝑏 𝑎 𝑏 Seitenbezeichnungen: 𝑎, 𝑏: Katheten; 𝑐: Hypotenuse Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs 𝑎 Folie: 149 Münchner Volkshochschule Geometrische Sätze Der Satz des Thales: Gegeben sei die Strecke [𝐴𝐵] mit dem Mittelpunkt 𝑀. Zeichne man um 𝑀 einen Kreis mit dem Radius 𝑟 = 𝑀𝐴 (den Thaleskreis) und ist 𝑃 ein beliebiger Punkt auf dem Kreisbogen, so ist der Winkel zwischen [𝑃𝐴] und [𝑃𝐵] ein rechter. 𝑃2 𝑃1 𝐴 𝑃 Thaleskreis 𝑀 𝐵 Satz von Thales (Kurzfassung): Der Peripheriewinkel über de Durchmesser eines Kreises ist ein rechter. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 150 Münchner Volkshochschule Winkelfunktionen Das rechtwinklige Dreieck Seitenbeziehung: Satz des Pythagoras: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 Seitenbezeichnungen: 𝑎, 𝑏: Katheten; 𝑐: Hypotenuse Seitenverhältnisse (trigonometrische Funktionen/Winkelfunktionen): a b a b c c sec( ) csc( ) sin( ) cos( ) tan( ) cot( ) b a c c b a Die Bezeichnungen sin, cos, tan, cot, sec und csc, stehen als Abkürzungen für sogenannte transzendente Funktionen, deren Terme nicht durch endliche Verknüpfungen von Polynomen darstellbar sind. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 151 Münchner Volkshochschule Winkelfunktionen Trigonometrische Funktionen Für die analytische Geometrie sind die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen und deren Eigenschaften fundamental. Direkte Beziehungen: sin( ) tan( ) cos( ) 1 cos 2 ( ) sin 2 ( ) Symmetrieeigenschaften: cos( ) cos( ); Prof.Dr. Nils Mahnke sin( ) sin( ) Mathematischer Vorkurs Folie: 152
