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Münchner Volkshochschule • • • • • • • • • • Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 128 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Geometrie („Geo“: gr. Erde; „metron“: gr. messen) Die Geometrie der ungekrümmten Ebene geht auf Euklid zurück Die sog. Euklidische Geometrie untersucht damit die Zusammenhänge zwischen Punktmengen in der Ebene Neben der Untersuchung der bekannten Formen, wie Dreiecke, Quadrate usw. basiert die so erfolgreiche Formalisierung der Geometrie im Wesentlichen auf zwei Konzepten: 1) Die Welt ist aus Punkten (kleinste geometrische Einheit ohne Ausdehnung) aufgebaut, welche beliebig dicht liegen. 2) Zahlenmengen können als Anordnungen von Punkten dargestellt werden. (z.B. β als Zahlenstrahl) (Rene Descartes (1596-1650), franz. Mathematiker führte das später nach Ihm benannte kartesische Koordinatensystem ein.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 129 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie •Das Produkt von Mengen: Das Produkt π΄ × π΅ von zwei nichtleeren Mengen π΄ und π΅ ist definiert durch die folgende Menge von Paaren: π΄ × π΅ β (π; π) π ∈ π΄ π’ππ π ∈ π΅ •⇒ Der βπ β β × β = (π₯; π¦) π₯, π¦ ∈ β Jedem Punkt in der Ebene werden eindeutig zwei Koordinaten (π₯ π’ππ π¦) zugeordnet, welche die Lage des Punktes zum Ursprung beschreiben. •⇒ Der βπ β β × β × β = (π₯; π¦; π§) π₯, π¦, π§ ∈ β Jedem Punkt in der Raum werden eindeutig drei Koordinaten (π₯, π¦ π’ππ π§) zugeordnet, welche die Lage des Punktes zum Ursprung beschreiben. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 130 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Objekte der Geometrie: Punkt: Punkte sind die Grundbausteine der Geometrie. Sie ο A werden als kleine Kreuze (ο΄) oder „Knödel“ (ο·) gezeichnet und werden mit lateinischen Großbuchstaben beschriftet. Strecke: Eine Strecke ist die Menge aller Punkte, welche auf οABο dem Weg der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten A und B liegen: Länge: Die Länge einer Strecke ist ein Maß für den Abstand AB zwischen den zwei Punkten A und B , welche sie verbindet. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 131 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Gerade: Eine Gerade ist die Menge aller Punkte einer Ebene, g welche zu zwei festen Punkten A und B derselben Ebene den gleichen Abstand haben. g ο· A ο· ο· Prof.Dr. Nils Mahnke P B Mathematischer Vorkurs AP ο½ BP Folie: 132 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Kreis: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, welche zu einem festen Punkt M derselben Ebene den K gleichen Abstand r haben. K ο· M M: Mittelpunkt r: Radius r ο·P MP ο½ r Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 133 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Ellipse: Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte einer Ebene, welche in der Summe zu zwei festen Punkt A und B E derselben Ebene den gleichen Abstand haben. ο· P E b ο· A ο· M ο· B a Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs M: Mittelpunkt a,b: Halbachsen AP ο« BP ο½ 2a Folie: 134 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Hyperbel: Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte einer Ebene, welche in der Differenz zu zwei festen Punkt A und B H derselben Ebene betraglich den gleichen Abstand haben. ο·P M: Mittelpunkt a: reelle Halbachse b: Imaginäre Halbachse H b ο· A ο· M B ο· a AP ο BP ο½ 2a Asymptoten Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 135 Münchner Volkshochschule Elementare Geometrie Figuren der ebenen Geometrie: Dreieck: Drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, lassen sich immer durch Strecken zu einem Dreieck verbinden. Dreiecktypen: Bem.: ο‘+ο’+ο§=180° Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 136 Münchner Volkshochschule Übung: Elementare Geometrie Bestimmen Sie die Größe des Winkels πΈ. Die gegebene Skizze ist nicht maßstabsgetreu.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 137 Münchner Volkshochschule Kongruenz und Ähnlichkeit Def.: Abbildungen (in) einer Ebene Eine Abbildung π einer Ebene ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Punkt π der Ebene genau einen Punkt π π , den Bildpunkt, derselben Ebene zuordnet. z.B.: a) Drehung (Rotation) um einen Punkt π (das Drehzentrum) um den Winkel πΌ (den Drehwinkel) b) Spiegelung (Reflexion) eines Punktes π an einer Geraden π c) Verschiebung (Translation) eines Punktes π um die Distanz π΄π΅ in die Richtung π΄π΅ (Verschiebevektor) d) Streckung (Elongation) Veränderung der Distanz ππ des Punktes π vom Punkt π (Streckzentrum) um das Vielfache π > 0 (Streckfaktor) in Richtung von ππ. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 138 Münchner Volkshochschule Kongruenz und Ähnlichkeit Def.: Kongruenzabbildung Eine Abbildung der Ebene in sich heißt Kongruenzabbildung oder Bewegung, wenn Sie Abstände einhält. ( a), b), c) sind Kongruenzabbildungen) Für jede Bewegung gilt 1. Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade. 2. Winkel zwischen Geraden bleiben erhalten. Def.: Kongruent Zwei Figuren der Ebene heißen kongruent (deckungsgleich), wenn es eine Bewegung gibt, die sie aufeinander Abbildet. z.B.: Spiegelung eines Dreiecks Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 139 Münchner Volkshochschule Kongruenz und Ähnlichkeit Satz: Sei πΉ die Menge aller Punkte einer Figur in. Gilt nun für eine Abbildung π in der Ebene π π; π = π π π ; π π ∀ π, π ∈ πΉ, wobei π: πΉ × πΉ → β den Abstand zweier Punkte aus πΉ bezeichne, so ist π eine Kongruenzabbildung Kongruenzsätze für Dreiecke: Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie (a) in drei Seiten übereinstimmen (b) in zwei Winkeln und einer Seite übereinstimmen (c) in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (d) in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 140 Münchner Volkshochschule Kongruenz und Ähnlichkeit Def.: Ähnlichkeit Eine Abbildung π der Ebene heißt Ähnlichkeit oder Ähnlichkeitsabbildung, wenn es eine Konstante π > 0 gibt, so dass für je zwei Punkte π und π der Ebene gilt: π π π ;π π = π ⋅ π π; π Unter Ähnlichkeiten bleiben Geraden und Winkel unverändert. Abstände können sich dagegen ändern. Satz: Jede Ähnlichkeit ist als Kombination einer Bewegung und einer Streckung darstellbar. Def: Figuren nennt man ähnlich, wenn es eine Ähnlichkeitsabbildung zwischen ihnen gibt. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs z.B.: Drehung und Streckung eines Dreiecks Folie: 141 Münchner Volkshochschule Geometrische Sätze Der Strahlensatz: Es liegt eine Streckung vor, mit dem Streckzentrum π π΅′ ⇒ Δπ΄π΅π ist ähnlich zu Δπ΄′ π΅′ π π΅ ⇒ ∃ π > 0, s.d. π ⋅ π π; π΄ = π(π; π΄′ ) π π΄ π΄′ π ⋅ π π; π΅ = π(π; π΅′ ) π ⋅ π π΄; π΅ = π(π΄′; π΅′ ) π π; π΄′ π π; π΅′ π π΄′; π΅′ π= = = π π; π΄ π π; π΅ π π΄; π΅ Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 142 Münchner Volkshochschule Geometrische Sätze Der Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypothenuse. π2 ⇔ π2 + π 2 = π 2 Seitenbezeichnungen: π, π: Katheten; π: Hypotenuse Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 143 Münchner Volkshochschule Geometrische Sätze Der Satz des Thales: Gegeben sei die Strecke [π΄π΅] mit dem Mittelpunkt π. Zeichne man um π einen Kreis mit dem Radius π = ππ΄ (den Thaleskreis) und ist π ein beliebiger Punkt auf dem Kreisbogen, so ist der Winkel zwischen [ππ΄] und [ππ΅] ein rechter. π2 ο· π1 ο· π΄ ο·π Thaleskreis ο· ο· π ο· π΅ Satz von Thales (Kurzfassung): Der Peripheriewinkel über de Durchmesser eines Kreises ist ein rechter. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 144 Münchner Volkshochschule Winkelfunktionen Das rechtwinklige Dreieck Seitenbeziehung: Satz des Pythagoras: π2 + π2 = π2 Seitenbezeichnungen: π, π: Katheten; π: Hypotenuse Seitenverhältnisse (trigonometrische Funktionen/Winkelfunktionen): a b a b c c ο½ sec(ο‘ ) ο½ csc(ο‘ ) ο½ sin( ο‘ ) ο½ cos(ο‘ ) ο½ tan(ο‘ ) ο½ cot(ο‘ ) b a c c b a Die Bezeichnungen sin, cos, tan, cot, sec und csc, stehen als Abkürzungen für sogenannte transzendente Funktionen, deren Terme nicht durch endliche Verknüpfungen von Polynomen darstellbar sind. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 145 Münchner Volkshochschule Winkelfunktionen Trigonometrische Funktionen Für die analytische Geometrie sind die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen und deren Eigenschaften fundamental. Direkte Beziehungen: sin( ο‘ ) ο½ tan(ο‘ ) cos(ο‘ ) 1 ο½ cos 2 (ο‘ ) ο« sin 2 (ο‘ ) Symmetrieeigenschaften: cos(οο‘ ) ο½ cos(ο‘ ); Prof.Dr. Nils Mahnke sin( οο‘ ) ο½ ο sin( ο‘ ) Mathematischer Vorkurs Folie: 146 Münchner Volkshochschule Winkelmaße Das Argument der Winkelfunktionen (Die Werte des Arguments der Winkelfunktionen sind einheitenfrei!) • Im Winkelmaß entspricht ein voller Umlauf einem Winkel von 360°. (Festlegung wegen der Teilbarkeit von 360°) • Im Bogenmaß entspricht ein voller Umlauf der Länge des Umfang des Einheitskreises (Kreis mit Radius 1), nämlich dem Wert 2π. ( r ο½ 1 ,U Kreis ο½ 2 ο ο° ο r ο U Einheitskreis ο½ 2 ο ο° ) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 147 Münchner Volkshochschule Winkelmaße Zusammenhang Winkel- und Bogenmaß Die Umrechnung vom Winkelmaß ins Bogenmaß (u.u.) erfolgt über das direkt proportionale Verhältnis beider Winkelmaße zueinander. 2 ο ο° ο 360ο° 2 οο° s ο ο½ s οο‘ 360ο° ο‘ (s: Bogenlänge) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 148 Münchner Volkshochschule Winkelmaße Umrechnungen Winkel- und Bogenmaß • Winkelmaß ins Bogenmaß: (α : gegeben) • Bogenmaß ins Winkelmaß: (s : gegeben) Prof.Dr. Nils Mahnke 2 οο° sο½ οο‘ 360ο° 360ο° ο‘ο½ οs 2 οο° Mathematischer Vorkurs Folie: 149 Münchner Volkshochschule Geometrische Sätze Der Sinussatz: π π π = = sin πΌ sin π½ sin πΎ Der Kosinussatz: (eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras) π2 = π 2 + π 2 − 2ππ ⋅ cos πΌ π 2 = π 2 + π2 − 2ππ ⋅ cos π½ π 2 = π2 + π 2 − 2ππ ⋅ cos πΎ Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 150 Münchner Volkshochschule Geometrische Sätze Die Additionstheoreme und Produktsätze der Winkelfunktionen sin( ο‘ ο± ο’ ) ο½ sin( ο‘ ) cos( ο’ ) ο± cos(ο‘ ) sin( ο’ ) cos(ο‘ ο± ο’ ) ο½ cos(ο‘ ) cos( ο’ ) ο sin(ο‘ ) sin( ο’ ) 1 sin( ο‘ ) cos( ο’ ) ο½ ο¨sin( ο‘ ο« ο’ ) ο« sin( ο‘ ο ο’ ) ο© 2 1 cos(ο‘ ) cos( ο’ ) ο½ ο¨cos(ο‘ ο ο’ ) ο« cos(ο‘ ο« ο’ ) ο© 2 1 sin( ο‘ ) sin( ο’ ) ο½ ο¨cos(ο‘ ο ο’ ) ο cos(ο‘ ο« ο’ ) ο© 2 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 151
