Analysis

T1 Tangenten und Normalengleichungen
Wentetangente und Wendenormale
A1 Gegeben ist die Funktion f(x) =
X3
2,00
a)
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente
b)
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendenormale
A2 Gegeben ist die Funktion f(x) =
a)
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente
b)
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendenormale
a)
Zeigen Sie, dass f''(x) =
X
3,0
X2
4,00
X2
8,00
die
X3 +
1,0
A3 Gegeben ist die Funktion f(x) =
-0,50
-1,00
X4 +
-12,00
X
+
zweite Ableitung von X ist !
b)
Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte
c)
Bestimmen Sie die Gleichung der beiden Wendetangenten
d)
Bestimmen Sie die Gleichung der beiden Wendenormalen
A4 Gegeben ist f(x) =
a)
X4
1,00
X2 +
-6,00
Zeigen Sie, dass f''(x) =
12,00
2
8,00
-12,00
X
die zweite Ableitung von X ist !
b)
Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte
c)
Bestimmen Sie die Gleichung der beiden Wendetangenten
d)
Bestimmen Sie die Gleichung der beiden Wendenormalen
A5 Gegeben ist f(x) =
a)
-0,50
X4
-6,00
Man zeige, f''(x) =
+
X2
2,00
+
X3
12,00
+
X
9,00
+
X2
18,00
die zweite Ableitung von X ist !
b)
Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte
c)
Bestimmen Sie die Gleichung der beiden Wendetangenten
d)
Bestimmen Sie die Gleichung der beiden Wendenormalen
A6 Gegeben ist f(x) =
2,00
X3
-9,00
X2
+
13,00
a)
Bestimmen Sie die Koordinate des Wendepunktes von f(x) !
b)
Zeigen Sie, dass an der Stelle X1 =
Y (TAN X1) = 13,00
X
-33,00
X
-6,00
3,0 die TAN und NOR lauten:
Y (NOR X1) = -0,08
c)
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente
d)
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendenormale
X
+
6,23
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
-0,50
f ' (Xw) =
;
f (Xw) =
0,00
Y(WTAN) =
-0,50
X
+
0,00
Y(WNOR) =
2,0
X
+
0,00
A2 Lösung:
WP
-1,00
Y(WTAN) =
-3,00
X
Y(WNOR) =
0,33
X
A3 Lösung:
WP1
;
+
4,35
f ' (Xw2) =
-4,35
Y(WTAN1) =
4,35
X
Y(WNOR2) =
-0,23
X
2,00
f ' (Xw) =
;
2,22
.-1 / f ' (Xw) =
0,333
WP2
-0,816
;
+
0,230
-1,33
;
Y(WTAN2) =
-4,35
X
2,41
;
Y(WNOR2) =
0,23
X
-1,000
;
3,00
;
2,22
-0,230
.-1 / f ' (Xw2) =
1,000
-3,00
2,33
.-1 / f ' (Xw1) =
WP1
0,00
;
-1,00
0,816
f ' (Xw1) =
A4 Lösung:
0,00
WP
2,00
.-1 / f ' (Xw) =
WP2
-1,33
2,41
+
3,00
f ' (Xw1) =
-8,00
.-1 / f ' (Xw1) =
0,125
f ' (Xw2) =
8,00
.-1 / f ' (Xw2) =
-0,125
Y(WTAN1) =
-8,00
X
+
11,00
;
Y(WTAN2) =
8,00
X
+
11,00
Y(WNOR2) =
0,125
X
+
2,88
;
Y(WNOR2) =
-0,125
X
+
2,88
WP2
3,000
;
A5 Lösung:
WP1
-1,000
6,50
;
f ' (Xw1) =
-10,00
.-1 / f ' (Xw1) =
0,100
f ' (Xw2) =
54,00
.-1 / f ' (Xw2) =
-0,019
Y(WTAN1) =
-10,00
X
Y(WNOR2) =
0,100
X
A6 Lösung:
WP1
1,500
+
-3,50
;
Y(WTAN2) =
54,00
X
6,60
;
Y(WNOR2) =
-0,019
X
-0,077
;
13,00
f ' (X1 ) =
;
.-1/f ' (X1 ) =
0,00
;
f ' (Xw) =
-0,50
Y(WTAN) =
-0,50
X
Y(WNOR) =
2,000
X
.-1 / f ' (Xw) =
+
0,75
-3,00
2,000
94,50
-67,50
+
f (X1 ) =
94,56
6,00
T2
A1
A2
A3
Schnittwinkel der Wendetangenten
und Wendenormalen mit Koordinatenachsen
Gegeben ist die Funktion f(x) =
A6
X
Welchen Winkel bildet die Wendetangente mit Koordinatenachsen ?
b)
Welchen Winkel bildet die Wendenormale mit Koordinatenachsen ?
X3
2,0
Gegeben ist die Funktion f(x) =
X2
-3,0
a)
Welchen Winkel bildet die Wendetangente mit Koordinatenachsen ?
b)
Welchen Winkel bildet die Wendenormale mit Koordinatenachsen ?
-1,00
Gegeben ist die Funktion f(x) =
X4 +
X2
2,00
Unter welchem Winkel schneiden sich die Tangenten der beiden äußeren Nullstellen?
Gegeben ist f(x) =
a)
A5
-16,00
a)
a)
A4
X3
4,00
-2,00
X4 +
2,00
X2 +
4,00
Unter welchem Winkel schneidet der Graph von f die Gerade у = f (0)?
Gegeben ist f(x) =
-1,00
X4
+
1,00
X3
+
2,00
X2
a)
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente g der rechten Nullstelle.
b)
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der rechten Wendenormalen q mit der Tangente g
c)
Bestimmen Sie den Schnittwinkel von q und g.
Gegeben ist f(x) =
a)
2,00
X3
-9,00
Zeigen Sie, dass an der Stelle X1 =
Y (TAN X1) =
1,00
X
Y (NOR X1) =
-1,00
X
X2
+
13,00
1,0 die TAN und NOR lauten:
-1,00
+
X
1,00
b)
Welchen Winkel bildet die Tangente mit Koordinatenachsen ?
c)
Welchen Winkel bildet die Normale mit Koordinatenachsen ?
-6,00
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
0,00
WP
f ' (Xw) =
-16,00
0,00
;
.-1 / f ' (Xw) = 0,06
;
Alfa (tan X) =
93,58
Alfa (nor X) =
3,58
Alfa (tan Y) =
3,58
Alfa (nor Y) =
86,42
A2 Lösung:
WP
0,50
f ' (Xw) =
;
-1,50
-0,50
.-1 / f ' (Xw) =
0,667
Alfa (tan X) =
123,69
Alfa (nor X) =
33,69
Alfa (tan Y) =
33,69
Alfa (nor Y) =
56,31
A3 Lösung:
NS1
0,577
f ' (NS1) =
Alfa (NS1 / X) =
A4 Lösung:
;
NS2
-5,66
100,02
-0,577
;
f ' (NS2) =
Alfa (NS2 / X) =
X(sp) =
79,98
1,00
f ' (Xsp) =
2,00
f ' (NS1) =
(XNS) =
5,657
Alfa (SW) =
-12,00
-12,00
X
+
24,00
Alfa (NS1 / X) =
94,76
Y(WNOR2) =
-0,321
X
+
1,91
SP
;
162,21
Alfa D =
1,89
67,45
A6 Lösung:
f ' (X1 ) =
20,05
-4,000
Y(WTAN1) =
Alfa (NOR) =
0,56
104,04
Alfa (Xsp / X) =
A5 Lösung:
0,56
1,00
.-1 / f ' (X1 ) =
-1,000
Alfa (tan X) =
45,00
Alfa (nor X) =
135,00
Alfa (tan Y) =
45,00
Alfa (nor Y) =
45,00
1,30
T3
A1
Fläche des Dreieckes, gebildet mit Tangenten,
Normalen, Koordinatenachsen etc.
Gegeben ist die Funktion f(x) =
a)
-0,250
X
0,00
+
4 und der X-Achse
-3,00
X
+
1,00
Zeigen Sie, dass die Gleichung der Wendenormale lautet:
Y(WNOR) =
c)
X2
-3,0
Zeigen Sie, dass die Gleichung der Wendetangente lautet:
Y(WTAN) =
b)
X3
1,0
Gegeben ist die Funktion f(x) =
a)
X
4,00
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes, gebildet mit Ynor,
der Geraden x =
A2
X3 +
Zeigen Sie, dass die Gleichung der Wendenormale lautet:
Y(WNOR) =
b)
-1,00
0,33
X
-2,33
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes gebildet durch
Wtan, Wnor und der X-Achse
d)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes gebildet durch
Wtan, Wnor und der Y-Achse
A3
-1,00
Gegeben ist die Funktion f(x) =
X4 +
X2
6,00
a)
Wie lauten die Gleichungen der beiden Wendetangenten?
b)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes, gebildet mit
beiden Wendepunkten, beiden Wendetangenten. In der Höhe
des Dreieckes liegt der Schnittpunkt der Tangenten auf der
Y-Achse.
A4
Gegeben ist f(x) =
1,00
X4
-3,00
X2 +
2,00
a)
Wie lauten die Gleichungen der beiden Wendenormalen?
b)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes, gebildet mit
beiden Wendenormalen mit der X-Achse. In der Höhe
des Dreieckes liegt der Schnittpunkt der Normalen auf der
Y-Achse.
A5
Gegeben ist f(x) =
a)
-1,00
X4
+
2,00
X3
+
2,00
X2
Ermittlen Sie die Gleichung der Gerade g, die durch den Tiefpunkt T und den
rechten Hochpunkt H2 verläuft.
b)
Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreieckes gebildet mit g, mit der Y-Achse
und der Geraden Y =
12,0
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
4,00
f ' (Xw) =
A=
0,00
WP
0,5
1,00
0,00
.-1 / f ' (Xw) = -0,25
;
*
2,0000
A2 Lösung:
;
*
4,00
;
-2,00
=
FE
WP
1,00
f ' (Xw) =
-3,00
.-1 / f ' (Xw) =
0,333
Y(WTAN):
NS=
0,33
Y0=
1,00
Y(WNOR)
NS=
7,00
Y0=
-2,33
c)
A=
6,67
FE
mit der X-Achse
d)
A=
1,67
FE
mit der Y-Achse
A3 Lösung:
WP1
f ' (Xw1) =
8,00
Y(WTAN1) =
8,00
1,000
X
-8,00
A4 Lösung:
*
8,00
WP1
0,707
;
0,75
-2,83
Y(WNOR1) =
0,354
Y(WNOR2) =
-0,354
A=
*
g(x)=
SP:
A=
0,5
3,0
0,5
+
2,83
f ' (Xw2) =
5,00
;
0,75
0,125
8,00
FE
-0,707
0,354
0,50
-0,354
+
0,50
2,83
*
0,50
=
0,71
FE
4,0
X
12,00
=
18,00
FE
12,0
3,00
;
-0,125
WP2
.-1 / f ' (Xw2) =
X
;
*
=
.-1 / f ' (Xw1) =
X
-1,000
-3,00
X
2,00
f ' (Xw1) =
A5 Lösung:
.-1 / f ' (Xw2) =
*
0,5
WP2
-3,00
-8,00
Y(WTAN2) =
5,00
.-1 / f ' (Xw1) =
f ' (Xw2) =
A=
;
*
T4
A1
Rekonstruktion einer Parabel, die
durch die Bezugspunkte verläuft
Gegeben ist die Funktion f(x) =
a)
3,00
X3
-12,00
Wie lautet die Gleichung der Parabel, die die Y-Achse bei
X
5,0
schneidet. Die X-Achse schneidet diese Parabel dort, wo f(x) schneidet.
A2
-1,0
Gegeben ist die Funktion f(x) =
a)
X3
X2
-5,0
Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel p, die sich dadurch
gekennzeichnet, dass sie f(x) im Ursprung berüht. Des Weiteren ist
es bekannt, p schneidet f(x) in ihrem
A3
1,00
Gegeben ist die Funktion f(x) =
a)
Hochpunkt
X4
-2,00
X2
Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel p, von der bekannt ist,
sie geht durch alle Extrema von f(x).
A4
Gegeben ist f(x)=
a)
0,25
X4
-1,50
X2
+
2,00
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p, von der bekannt ist,
sie geht durch alle Extrema von f(x).
A5
Gegeben ist f(x) =
1,00
X4
a)
Zeigen Sie,
b)
Eine Parabel p(x) berüht f(x) in
TP
3,000
-2,00
;
X3
-54,00
HP
TP und verläuft duch
-9,00
X2
0,000
;
0,00
HP
Wie lautet ihre Funktionsgleichung ?
A6
Gegeben ist f(x)=
0,25
X4
-0,50
X2
-2,00
a)
Wo schneidet f(x) die X-Achse ?
b)
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p, von der bekannt ist,
sie liegt mit ihrem Scheitel auf der Y-Achse bei
Nullstellen wie die Funktion f(x)
12 und hat die gleiche
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
p(x) = a X2
NS:
2,00
a=
-1,25
p(x) =
A2 Lösung:
und
-1,25
HP
A3 Lösung:
TP
Extrema:
1,000
A4 Lösung:
TP
1,732
a=
A5 Lösung:
A6 Lösung:
0,000
+
p(x) =
-1,67
0,000
;
-1,000
c=
0
c
TP
-1,732
c=
2,00
-0,75
bX
4,50
2,000
b=
0,00
;
X2
+
c
X2
+
12,00
-3,00
-3,00
-1,00
;
-0,25
+
2,00
2,00
-0,25
a=
;
X2
-1,00
;
+
0,00
TP
p(x) =
p(x) = a
a=
-18,52
p(x) =
p(x) = a X2
NS1
;
c
-0,75
daraus folgt:
5,00
-1,00
;
p(x) = a X2
5
2
-1,00
HP
+
HP
+
c=
X
;
p(x) = a X2
a=
X2
a=
-1,67
p(x) =
c
-2,00
-3,333
p(x) = a X2
+
2
X
p(
3 )=
-54
p'(
3 )=
0
-27,00
NS2
-2,000
wobei c =
12
;
0,00
T5
Lokale und mittlere Steigung
Liegt der Punkt auf den Graphen der Funktion?
A1
f(x) =
2
X3
+
3
X2
-1
+
2
a)
Bestimmen Sie für f(x) die lokale Änderungsrate an der Stelle x =
b)
Bestimmen Sie für f(x) die mittlere Änderungsrate im Interval [
2
c)
Liegen die Punkte A [
-4
1
;
A2
6
] und B
[
-1
;
-1
Bestimmen Sie für f(x) die lokale Änderungsrate an der Stelle x =
b)
Bestimmen Sie für f(x) die mittlere Änderungsrate im Interval [
2
c)
Liegen die Punkte A [
1
;
-2
Gegeben sei Wutzelfunktion
3
X
2
]
und B [
-1
;
Bestimmen Sie für f(x) die lokale Änderungsrate an der Stelle x =
b)
Bestimmen Sie für f(x) die mittlere Änderungsrate im Interval [
1
c)
Liegen die Punkte A [
-3
Gegeben sei f(x) =
4
X
+
]
] auf f(x) ?
-1
a)
A4
4
X
a)
0
;
2
Gegeben ist die Funktion f(x): f =
A3
X
;
3
]
und B [
-1
;
;
5
]
] auf f(x) ?
4
;
4
]
] auf f(x) ?
X3
3
a)
Bestimmen Sie für f(x) die lokale Änderungsrate an der Stelle x =
b)
Bestimmen Sie für f(x) die mittlere Änderungsrate im Interval [
c)
Liegen die Punkte A [
1
;
4,3 ]
und B [
-1
;
4
1
;
4
]
-4,3 ] auf f(x) ?
ERGEBNISSE
A1
a)
-1,0
b)
73,0
c)
JA
NEIN
A2
a)
-2,0
b)
-0,20
c)
JA
JA
A3
a)
0,75
b)
1,00
c)
Nein Nein
A4
a)
15,75
b)
6,00
c)
Ja
Ja
T5
A1
An welchen Stellen hat die Funktion
die gewünschte Steigung?
An welchen Stellen hat die Funktion
f(x) =
-1
X3
die Steigung
A2
3
-2
+
2
X
+
1
?
An welchen Stellen hat die Funktion
f(x) =
1,0
X3 +
X2
2,0
-0,25
zur Gerade g(x) =
A3
X2
-4
X
Gegeben ist die Funktion f(x) =
a)
die Tangenten senkrecht
-0,50
X3 +
X
0,50
An welchen Stellen hat die Funktion f(x) die Tangenten parallel
zu Wendenormale ?
A4
Gegeben ist die Funktion f(x):
f=
1,20
X5
-10,00
X3 +
X
4,00
An welchen Stellen hat die Funktion f(x) die gleiche Steigung
wie die Gerade g(x) =
A5
-20,0
+
30,0
X3
+
3,00
Gegeben ist die Funktion f(x):
f=
a)
-0,75
X4
+
1,00
b)
X2
-1,0
X
+
10,0
Wiie lauten dies Funktionsgleichungen von diesen Tangenten?
Gegeben ist die Funktion f(x): f =
2
X
+
An welchen Stellen hat die Funktion f(x) die Steigung
A7
Gegeben sei Wutzelfunktion
3
A9
X
0,50
X
0,50
?
1,00
?
-1,50
?
X
An welchen Stellen hat die Funktion f(x) die Steigung
Gegeben ist die Funktion f(x): f =
3
2
Gegeben ist die Funktion f(x): f =
An welchen Stellen hat die Funktion f(x) die Steigung
A8
-1,00
An welchen Stellen hat die Funktion f(x) die gleiche Steigung
wie die Gerade g(x) =
A6
X
3
X
+
4,5
X
An welchen Stellen hat die Funktion f(x) die Steigung
X
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
-3
wir lösen die Gleichung:
2
-4
X
-1,00
X1 =
A2 Lösung:
3
2
X
+
4
X
A4 Lösung:
0,50
-2
X2 =
X2
-30 X2
+
4
X2 =
-2,00
X3 =
1,00
X4 =
-1,00
A5 Lösung:
X2
3
2,00
X3 =
-1,0
X
+
8,00
-1,0
X
+
1,25
+
+
1
=
-2
-20
=
2
;
-
6
auf
auf
X2
-1,0
-1
X
0,00
3
X2 =
0,50
=
0,50
auf
-1,00
;
X
=
-1
=
1,41
Stelle:
-2
A7 Lösung:
Stelle:
-2,00
.-1 / f ' (Xw) =
wir lösen die Gleichung:
+
A6 Lösung:
;
-1,291
2,00
X1 =
auf
wir lösen die Gleichung:
X4
X
auf
-2,00
X1 =
-3
3
4
=
f ' (Xw) =
1,291
3
=
-0,33
X2 =
wir lösen die Gleichung:
6
2
wir lösen die Gleichung:
A3 Lösung:
X1 =
+
X2 =
0,67
X1 =
X
#ZAHL!
X2
A8 Lösung:
Stelle:
3
2,25
=
f' =
2
1,00
x
A9 Lösung:
Stelle:
A10 Lösung:
1,00
a
3,000
T6
A1
Berührungsprobleme
Zeigen Sie, dass sich f(x) =
a)
und g(x) =
X3
3,0
X2
-4,0
+
+
3,0
3,0
auf der y-Achse berühren.
b)
A2
Bei welchem Wert von p berühren sich die Parabeln
a)
b)
A3
Wie lauten die weiteren Schnittstellen von f(x) und g(x) ?
P1=
3,0
X2
P2=
4,0
X2
-1,0
X
+
6,0
3,0
X
+
c
+
und
Wie lautet die gemeinsame Tangente an dieser Stelle ?
a + x2
Wie muss a gewählt werden, damit der Graph von f(x) =
die Gerade g(x) =
X berührt?
-1
Bestimmen Sie dann den Berührungspunkt von f(x) und g(x)
A4
Welche der Funktionenpaare berühren sich?
Bestimmen Sie die Schnitt- bzw. Berührungspunkte
A5
a)
1
X2
+
4
X
b)
-1
X2
+
1
X
c)
2
X2
+
d)
1
X2
+
X
1
und g(x) =
A6
1
und
7
X
-1
-0,25
und
2
X
0
und
-6
X2
und
-1
X2
4,0
Untersuchen Sie, ob f(x) =
sich berühren.
+
+
1
5
X3
+
13
X2
+
3
X2
+
2
X
-4
-6,0
7
-1
X
X
-4
Wie lautet die Gleichung der Berührtangente?
Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Graph von f(x) = ax2 + b
den Graphen von g(x)=
24
X
bei x =
1 berührt ?
Wie lautet der Berührunspunkt und die Gleichung der Berührtangente?
+
1
ERGEBNISSE
-8,0
A1 Lösung:
X1 =
0,00
X2 =
-1,33
A2 Lösung:
X
=
f'(
0
6,0
X=
-2,00
f'(
-2,00
-13,0
c=
X
0
)=
=
8,0
X
f (
-2,00
+
3,0
)=
20,00
-6,0
X
0,25
=
-1,0
dann
also im Punkt
0
10,00
-13,00
2,0
.=> a =
g'(
-1,0
.=>
A3 Lösung:
)=
X
)=
X2
9,0
-0,50
g(
;
.=> x =
-0,5
)=
0,50
und
2,00
-0,50
0,50
A4 Lösung:
a)
Schnittpunkte in
1,00
;
6,00
b)
Berührung in
-0,50
;
-1,00
c)
keine gemeinsame Punkte
d)
Berührung in
;
0,75
A5
X3
5
X1 =
1
+
XBER =
7
X
-4
-1,00
f ' (x) = g ' (x) liefert:
a=
-12,000
)=
f'(
1
Berührung in
-24,00
=
3
f'(
-1
X2
)=
13,00
+
2
X
-4
g'(
-1
)=
-4
-7,0
X
A6 Lösung:
Y tan =
X2
13
0,00
-4,0
f (
+
-0,50
;
24
1,00
X
;
24,00
+
48,0
)=
b=
-24
36,000
T7
A1
Schnittwinkelproblem
Gegeben sind die Funktionen f(x) und g(x)
f=
-1,0
X2
+
1,0
X
+
4,0
g=
3,0
X2
+
2,0
X
+
1,00
a)
und
Zeigen Sie, die Funktionen schneiden sich und bestimmen Sie
die Schnittpunkte sowie die beide Schnittwinkel
A2
Gegeben sind die Funktionen f(x) und g(x)
f=
-4,0
X2
+
1,0
g=
3,0
X
+
2,0
a)
X
+
4,0
und
Zeigen Sie, die Funktionen schneiden sich und bestimmen Sie
die Schnittpunkte sowie die beide Schnittwinkel
A3
Gegeben sind die Funktionen f(x) und g(x)
f=
-4,0
X2
g=
2,0
X2
a)
-1,0
X
+
4,0
2,0
X
+
1,00
+
und
Zeigen Sie, die Funktionen schneiden sich und bestimmen Sie
die Schnittpunkte sowie die beide Schnittwinkel
A4
Zeigen Sie, dass die Funktionen f(x) und g(x)
f=
1,0 X3
+
g=
1,0
X
4,0 X2
+
+
6,0
X
+
2,0
und
2,0
sich auf der Y-Achse schneiden und ermitteln Sie den Schnittwinkel
A5
Gegeben die Parabel p(x) =
3
X2
und die Hyperbel
24
Man zeige, die Funktionen schneiden sich
X
bei x =
g(x)=
2
Man bestimme den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.
A6
Ab welcher Stelle ist die Neigung der Funktion
f (x) =
0,50
X2
zum ersten mal grösser als
A7
Gegeben sei Wutzelfunktion
-5
X
-11
82,87498 Grad ?
X
Berechnen Sie gemeinsamen Schnittpunkt
Berechnen Sie gemeinsamen Schnittwinkel
und
0,125
X2
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
SP1
-1,000
;
2,00
SP2
0,75
;
4,19
alfa 1
147,53
alfa 2
-107,82
A2 Lösung:
SP1
-1,000
;
-1,00
SP2
0,50
;
3,50
alfa 1
36,87
alfa 2
12,09
A3 Lösung:
SP1
-1,000
;
1,00
SP2
0,50
;
2,50
alfa 1
145,30
alfa 2
-154,65
;
2,00
;
12,00
A4 Lösung:
SP1
0,000
alfa 1
35,54
A5 Lösung:
SP
2,000
alfa 1
14,23
A6 Lösung:
1 X
Steigung m =
8
-5
>
8
X
>
13,00
A7 Lösung:
SP
4,000
alfa 1
30,96
;
2,00
T8
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
Ich kann mit Geraden umgehen
Wie lautet die analytische Form der Gerade, die durch zwei Punkte geht?
a)
1,00
;
7,00
3,00
;
11,00
b)
-3,00
;
0,00
-1,00
;
-2,00
c)
-5,00
;
9,00
-3,00
;
6,00
Prüfe, ob die Punkte P und Q auf der Gerade, bzw. oberhalb oder unterhalb liegen.
a)
P=
1
;
1
Q=
-3
;
-7
g=
2,0
X
b)
P=
-3
;
30
Q=
15
;
-96
g=
-6,0
X
+
3,0
c)
P=
-5
;
30
Q=
25
;
-236
g=
-10,0
X
+
5,0
-1,0
Die Gerade g(x) schneidet die Koordinatenachsen bei X0 und Y0
a)
X0 =
-1,00
;
Y0 =
-3,00
b)
X0 =
3,00
;
Y0 =
-5,00
c)
X0 =
5,00
;
Y0 =
-6,00
Welchen Fukntionswert P hat die Gerade an der Stelle x = a ?
a)
a=
2
g(x) =
0,500
X
-2,000
b)
a=
-4
g(x) =
4,000
X
-0,250
c)
a=
1
g(x) =
-0,500
X
+
2,000
An welcher Stelle hat die Gerade den Funktionswert F ?
a)
g(x) =
-0,333
X
+
0,600
F=
1
b)
g(x) =
0,600
X
+
1,667
F=
-3
c)
g(x) =
-5,000
X
-3,000
F=
-5
Bestimme den Abstand zwischen einer Gerade und einem Punkt!
a)
g(x) =
1,0
X
b)
g(x) =
-4,0
X
c)
g(x) =
3,0
X
+
-1,0
P=
3
;
-4
4,0
P=
1
;
5
-3,0
P=
-7
;
1
Bestimme den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.
a)
g(x) =
1
X
b)
g(x) =
-4
X
c)
g(x) =
3
X
+
-5
und
p(x) =
1
X
7
und
p(x) =
-4
X
+
18
-2
und
p(x) =
3
X
+
6
-4
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
a)
2,0
X
b)
-1,0
X
c)
-1,5
X
+
5,0
-3,0
+
1,5
A2 Lösung:
a)
P
liegt
Q
liegt
b)
P
oberhalb
Q
unterhalb
c)
P
unterhalb
Q
oberhalb
A3 Lösung:
a)
-3,0
X
-3,0
b)
1,667
X
-5,0
c)
1,200
X
-6,0
A4 Lösung:
a)
P=
-1,000
b)
P=
-16,250
c)
P=
1,500
A5 Lösung:
a)
X=
-1,20
b)
X=
-7,778
c)
X=
0,400
A6 Lösung:
a)
d=
4,242641
b)
d=
1,212678
c)
d=
7,905694
A7 Lösung:
a)
d=
0,707107
b)
d=
2,667892
c)
d=
2,529822
T9
A1
Kurvendiskussion
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
X4
f(x) = -2,00
A2
A4
Untersuchen Sie die Funktion auf
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung der linken
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
Nullstelle
0,250
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
X3
2
-2
X
Untersuchen Sie die Funktion auf
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung der linken
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
Nullstelle
1,00
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
X3
+
1,50
X2
-2,25
X
f(x)
-0,25
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung an der Stelle x1 =
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
2,0
1,00
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
- 1/4
(X
+
1,00
)2 × ( X
-2,00
)
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung an der Stelle x1 =
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
-2,0
2,00
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
- 1/4
X4 +
3/4
X2
- 1/2
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung an der Stelle x1 =
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
0,25
1,25
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
f(x)
A7
X3
d)
f(x)
A6
1/2
Symmetrie
f(x)
A5
+
a)
f(x) =
A3
(fertigen Sie eine Skizze von f(x) )
2,00
X4
-7,00
X3 +
3,00
X2
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung an der Stelle x1 =
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
1,0
2,00
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
b)
a)
0,00
keine Symmetrie
0,00
;
0,25
0,00
;
c)
SP
0,00
;
0,00
HP
0,188
;
0,00
d)
WP 1
0,00
;
0,00
WP 2
0,125
;
0,00
e)
Ytan =
A2 Lösung:
b)
0,0
a)
1,00
X
;
0,00
-1,00
HP
-0,577
;
0,77
d)
WP
0,00
;
0,00
e)
Ytan =
b)
1,0
a)
3,00
TP
0,00
;
;
0,00
d)
WP
2,00
;
-0,50
e)
Ytan =
0,75
a)
X
0,00
;
0,00
d)
WP
0,00
;
-0,50
e)
Ytan =
-2,25
a)
Ex2
X
-1,00
0,00
;
-0,50
d)
WP
0,707
;
-0,19
e)
Ytan =
0,36
a)
X
;
0
-1,00
m=
0,00
;
0,00
-1,00
;
f)
-1,00
m=
-2,25
HP
;
-1,41
1,22
WP
-0,5
;
-0,707
f)
0,06
;
-0,19
m=
-0,08
HP
-1,22
;
0,06
HP
0,33
;
0,10
keine Symmetrie
;
3,00
0,00
c)
TP
0,00
;
0,00
d)
WP 1
1,59
;
-7,81
e)
Ytan =
-7,00
a)
f)
1,41
TP
A7 Lösung:
0
Achsensymmetrisch
;
0,50
0
1,0
0,00
;
-4,5
c)
b)
;
-0,77
m=
;
2,00
1,00
A6 Lösung:
0
keine Symmetrie
;
1,00
f)
-2,0
Ex1
b)
;
1,00
TP
c)
A5 Lösung:
0,00
0,577
3,00
3,00
-1,00
0
keine Symmetrie
HP
b)
m=
;
-1,0
X
c)
A4 Lösung:
f)
Punktsymmetrisch
c)
A3 Lösung:
0,0
+
X
TP
+
keine Symmetrie
2,30
WP 2
5,0
;
0,16
f)
-13,33
;
0,05
m=
-8,00
T9
A1
Kurvendiskussion
Spezielle Anwendungen
Die Funktion gibt den Umsatz der Firma X wieder. X sei die Zeit in
Monaten und f(x) ist die Summe in tsd. Euro
f(x) =
X4
-2,0
+
X3
1,0
a)
Wann ist der Umsatz Null?
b)
Wann ist der Umsatz maximal?
c)
Wo auf der Kurve liegt maximale Streigung vor?
Begründe !
d)
e)
Bestimme die mittlere Änderungsrate des Umsatzes
innerhalb der ersten
2 Monate
Stimmt es, dass im
2 Monat die Veränderung
des Umsatzes
A3
A4
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
3,00
-4,50
X
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung an der Stelle x1 =
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
2,0
1,00
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
- 1/4
(X
+
1,00
)2 × ( X
-2,00
)
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung an der Stelle x1 =
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
-2,0
2,00
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
- 1/4
X4 +
3/4
X2
- 1/2
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung an der Stelle x1 =
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
0,3
1,25
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
f(x)
A7
+
X2
-0,50
f(x)
A6
X3
f(x)
f(x)
A5
-52,00 € / Mo betrug?
2,00
X4
-7,00
X3 +
3,00
X2
a)
Symmetrie
d)
Wendepunkte
b)
Nullstellen
e)
Tangentengleichung an der Stelle x1 =
c)
Extrema
f)
Steigung der f(x) an der Stelle x =
Führen Sie die Kurvenuntersuchung der Funktion f(x) durch:
1,0
2,00
ERGEBNISSE
A1 Lösung:
a)
a)
0,00
0,00
;
0,50
0,00
;
b)
SP
0,00
;
0,00
HP
0,375
;
0,01
c)
WP 1
0,00
;
0,00
WP 2
0,250
;
0,01
d)
-52,00
A3 Lösung:
b)
€ / Mo
a)
3,00
JA
keine Symmetrie
0,00
;
3,00
c)
HP
3,00
;
0,00
d)
WP
2,00
;
-1,00
e)
Ytan =
A4 Lösung:
b)
1,50
a)
-1,00
;
0,00
2,00
1,00
;
0,00
d)
WP
0,00
;
-0,50
e)
Ytan =
-2,25
a)
1,00
Ex2
X
;
-1,00
;
-0,50
d)
WP
0,707
;
-0,19
e)
Ytan =
0,36
a)
X
-1,00
m=
-2,25
HP
;
-1,41
1,22
WP
;
-0,707
f)
0,06
;
-0,19
m=
-0,08
HP
-1,22
;
HP
0,33
;
keine Symmetrie
;
3,00
0,00
TP
0,00
;
0,00
d)
WP 1
1,59
;
-7,81
e)
Ytan =
-7,00
a)
;
f)
-0,5
c)
A7 Lösung:
0,00
-1,00
1,41
0,00
0,50
0,00
Achsensymmetrisch
TP
b)
0
-2,00
m=
;
-4,5
c)
A6 Lösung:
f)
;
keine Symmetrie
Ex1
b)
0
;
-4,0
c)
A5 Lösung:
1,00
TP
X
0,00
;
X
TP
+
keine Symmetrie
2,30
WP 2
5,0
;
0,16
f)
-13,33
;
0,05
m=
-8,00
T10
A1
Komplexe Aufgaben
Gegeben sind die Funktionen f(x) sowie Gerade g(x):
f(x)=
-0,50
X3
g(x)=
1,00
X
+
0,75
X2
+
3,00
X
-1,00
-1,00
a)
Bestimmen Sie Extrema von f(x)
b)
Bestimmen Sie den Wendepunkt von f(x)
c)
Bestimmen Sie die Schnittpunkte von f(x) und g(x)
d)
An welche Stellen hat f(x) dieselbe Steigung wie g(x) ?
e)
Die Tangente und Normale der f(x) durch den Wendepunkt
bilden mit der X-Achse ein Dreieck. Ermitteln Sie seine Fläche.
A2
Gibt es zu der Geraden g(x) =
-1,00
X
-0,50
parallele Geraden, die Tangenten an den Graphen f(x):
f(x)=
-1,00
X3
+
0,50
X2
+
3,00
X
sind ?
Geben Sie die Gleichungen der zu g(x) parallelen Tangenten an
den Graphen von f(x) an.
A3
Gegeben sei die Funktion f(x) mit
f(x)=
0,50
X3
-1,50
X2
+
0,50
X
1,00
;
+
1,50
a)
Zeigen Sie, der Wendepunkt liegt im
b)
Zeigen Sie, die Wendenormale verläuft durch den Ursprung
c)
Bestimmen Sie den Winkel der Wendenormale mit der X-Achse
d)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Winkels zwischen der
Wendenornale, Wendetangente und der X-Achse
1,00
ERGEBNISSE
A1 Lösung
a)
HP
2,00
;
4,00
b)
WP
0,50
;
0,63
c)
S1
0,00
;
-1,00
S3
2,89
;
1,89
d)
X1=
-0,76
e)
Ytan =
X2=
3,38
NS
0,315
A=
0,574
TP
-1,00
;
-2,75
S2
-1,39
;
-2,39
1,76
X
-1,063
Ynor =
-0,2963
NS
2,609
Xo =
2,000
FE
A2 Lösung
X1=
X2=
-1,00
Ytan 1 =
-1,000
X
Ytan 2 =
-1,00
X
1,33
-2,500
+
3,852
A3 Lösung
f '' (x) = 0
a)
+
3,00
X
-3,00
b)
Ynor =
1,0000
c)
alfa =
45,000
d)
Ytan =
-1,0000
X
A=
1,0000
FE
X
=
0
0,000
+
2,000
T11
A1
Tangenten und Normalen
Wendetangenten und Wendenormalen
Wie lautet die Tangentengleichung der Funktion f(x)
f(x) =
-2,0
X3
an der Stelle
A2
1,0
X1=
-2,0
an der Stelle
A6
Gegeben ist f(x) =
X3
X2
-0,5
1,0
X1=
2,00
-2,0
Y (TAN X1) =
1,00
X
Y (NOR X1) =
-1,00
X
+
2,0
X
-2,0
-9,00
X2
+
X
2,00
1,00
X3
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendenormale
X4
-3,00
X
-8,00
b)
0,50
13,00
-1,00
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente
Gegeben ist f(x) =
+
1,0 die TAN und NOR lauten:
a)
X2 +
4,00
Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden Wendenormalen
Gegeben ist f(x) =
a)
A8
X
?
X3
Gegeben ist die Funktion f(x) =
a)
A7
2,0
?
Zeigen Sie, dass an der Stelle X1 =
A4
+
Wie lautet die Tangentengleichung der Funktion f(x)
f(x) =
A3
X2
-0,5
-1,00
X4 +
4,00
X2
-3,00
Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden Wendetangenten
Gegeben ist f(x) = - 1/4
X4
+
1/2
X3
+
3,00
a)
Bestimmen Sie die Gleichung der LINKEN Wendetangente
b)
Bestimmen Sie die Gleichung der LINKEN Wendenormale
X2
-6,00
ERGEBNISSE
1,0
x1 =
A1 Lösung:
f(x1) =
-5,0
f '(x1) =
-5,0
-2,5
-5,0
Ytan =
*X
f(x1) =
2,5
+
1,0
x1 =
A2 Lösung:
-2,5
0,20
Ynor =
A3 Lösung:
1,00
f ' (X1 ) =
A4 Lösung:
-2,70
*X
-1,000
.-1 / f ' (X1 ) =
f (Xw) =
f '(x1) =
-8,00
f ' (Xw) =
0,00
;
WP
0,00
Y(WTAN) =
-8,00
X
+
0,00
Y(WNOR) =
0,1
X
+
0,00
;
1,50
A6 Lösung:
1,000
WP1
f ' (Xw1) =
-4,00
Y(WNOR1) =
0,250
4,00
f ' (Xw2) =
Y(WNOR2) =
A7 Lösung:
+
-0,250
0,816
WP1
WP2
-1,000
;
1,50
;
-0,78
0,250
1,25
.-1 / f ' (Xw2) =
X
0,00
;
.-1 / f ' (Xw1) =
X
0,13
.-1 / f ' (Xw) =
+
1,25
;
-0,78
-0,250
WP2
-0,816
f ' (Xw1) =
4,35
Y(WTAN1) =
4,35
X
-4,33
f ' (Xw2) =
-4,35
Y(WTAN2) =
-4,35
X
-4,33
A8 WPL
-1,000
;
2,250
Y(WTAN1) =
-3,50
X
Y(WNOR2) =
0,286
X
B1 Lösung:
x1 =
-1,25
+
-1,0
2,54
f '(x1) =
-4,0