Ubung zur Mathematik 1 für EIT

S. Döhler
Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften
Sommersemester 2012
Übung zur Mathematik 1 für EIT
Aufgabe 19
Berechnen Sie z1 + z2 , z1 − z2 , , z1 · z2 und z1 /z2 für folgende z1 , z2 ∈ C:
(a)
z1 = 2 + 3i, z2 = 3 − 5i
(b)
z1 = 4, z2 = 1 + 2i
Aufgabe 20
Ermitteln Sie z + z und z · z für z ∈ C.
Aufgabe 21
Ermitteln Sie die kartesische Darstellung für z ∈ C mit
π
(a)
z = 2ei 2
(b)
z = e2+i3π
Aufgabe 22
Ermitteln Sie die exponentielle Darstellung für z ∈ C mit
√
(a) z = 3 + i
√
(b)
z = 3−i
(c)
z = −1 + i
Aufgabe 23
Geben Sie z ∈ C in kartesischer und exponentieller Darstellung an:
(a)
z = (1 + i)2
(b)
z=
√
3+i
√
1− 3i
Aufgabe 24
Für welche Punkte z ∈ C der Gaußschen Zahlenebene gilt
(a) |z| > 2
(b) z · z = 9
(c) |z + 2 − i| ≥ 2
Aufgabe 25
Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
(a) z 2 + (5 − 2i)z + 5(1 − i) = 0
(b) z 2 + (2 + 3i)z + 1 + 3i = 0
Aufgabe 26
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 2 − 4i und z2 = −1 − 3i.
a) Berechnen Sie z1 · z2 und z1 /z2 in kartesischer Form.
b) Wandeln Sie beiden Zahlen zunächst in die trigonometrische Darstellungsform um und führen Sie dann
Multiplikation und Division durch. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen aus a).
Aufgabe 27
Berechnen Sie direkt und über die trigonometrische Darstellung die Zahl (−2 + 3i)5 und vergleichen Sie die
Ergebnisse.
Aufgabe 28
Zeigen Sie mithilfe der Potenzregeln für komplexe Zahlen, dass für ϕ ∈ R gilt:
cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ,
sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ.
Aufgabe 29
Geben Sie die n-ten Wurzeln der folgenden komplexen Zahlen an und stellen Sie diese in der Gaußschen
Zahlenebene dar:
(a) z = −6 (n = 4)
(c) z = −2 + 2i (n = 3)
(b) z = 8i (n = 3)
(d) z = 5 + 8i (n = 5)