Übungsblatt 9 Geometrische und Technische Optik WS 2012/2013

Übungsblatt 9
Geometrische und Technische Optik WS 2012/2013
Eine rotationssymmetrische asphärische Fläche wird traditionell durch folgende Gleichung
beschrieben, wobei r die laterale Radiuskoordinate ist und z die lokale Pfeilhöhe der Fläche
(am Scheitelpunkt der Fläche mit r=0 ist definitionsgemäß die
r
Pfeilhöhe auch z=0):
2
G
Cr
z r  
  ai r i
2 2
i 1
1  1  K  1C r
Im klassischen Optik-Design sind nur die Koeffizienten ai mit
z= 0
z
geradzahligem Index i=4,6,... ungleich Null.


Der Term Cr 2 / 1  1  K  1C 2 r 2 wird dabei als konischer
Anteil bezeichnet, da er einen Kegelschnitt darstellt.
a) Machen Sie sich die beiden wichtigen Spezialfälle des konischen Anteils mit K=-1 und
K=0 klar. Der erste Fall lässt sich sofort anschaulich deuten. Im zweiten Fall sollten Sie
den konischen Anteil nach dem Wurzel-Term auflösen und dann quadrieren. Durch
geschicktes Umformen können Sie diesen in einen sphärischen Term der Form
z  1 / C 2  r 2  1 / C 2 überführen. Welche anschauliche Bedeutung hat also die Größe C
bzw. ihr Kehrwert. Die Konstante K wird als konische Konstante bezeichnet, wie man
sich danach auch leicht klar machen kann.
b) In modernen Designs von Asphären wird bisweilen ein konischer Anteil mit C0 und ein
zusätzlicher parabolischer Term a2r2 mit a20 verwendet. Wieso sollte man dies im Sinne
einer eindeutigen Beschreibung der Fläche nicht machen ? Entwickeln Sie dazu den
konischen Anteil in eine Taylorreihe bis zum Glied in r2 um den Punkt r=0 herum.
c) Unter Verwendung der ersten Glieder der Taylorreihe von Aufgabe b) können Sie sich
nun klar machen, welche Bedeutung die Konstante C bzw. ihr Kehrwert R auch im Fall
allgemeiner Asphären mit K0 hat. Dazu müssen Sie dies nur mit dem parabolischen
Anteil einer Sphäre vergleichen.
d) Stellen Sie sich nun eine Linse in Luft vor, deren erste Fläche plan ist und deren zweite
Fläche asphärisch ist, wobei nur der konische Anteil vorkommt. Das Material der Linse
sei BK7 und habe bei der Wellenlänge =633 nm die Brechzahl n=1.515, wie Sie auch im
Programm RAYTRACE nachrechnen können. Diese Linse wird nun mit einer ebenen
Welle mit Ausbreitungsrichtung parallel zur optischen Achse mit Durchmesser 20 mm
und Wellenlänge 633 nm beleuchtet, so dass zuerst die plane Fläche getroffen wird.
Berechnen Sie mittels RAYTRACE die Brennpunkte und Aberrationen dieser Linse,
wenn die Rückseite eine konvexe Asphäre mit Krümmungsradius R=-51.5 mm ist, in
Abhängigkeit von der konischen Konstante K. Variieren Sie dabei K in einem Bereich von
ca. -5 bis +5 und bestimmen dann durch Intervallschachtelung den Wert K, bei dem die
Aberrationen minimal sind.
e) Alternativ können Sie anstatt in d) die konische Konstante manuell durchzufahren, diese
auch in der Optimierung als Variable freigeben und die Aberrationen minimieren. Können
Sie einen einfachen Zusammenhang zwischen der Konstanten K mit minimalen
Wellenaberrationen und der Brechzahl n herstellen?