Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1
1.1 Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 100 cm2 beträgt
die Seitenkante 13 cm.
a) Welche Höhe hat die Pyramide?
b) Wie groß ist der Winkel, den eine Seitenfläche mit der Grundfläche bildet?
1.2 In nebenstehender Figur sind alle mit a bezeichneten Strecken zueinander kongruent. Bestimmen Sie
den Winkel α.
1.3 In der euklidischen Ebene sei ein Dreieck 4(A, B, C) und ein
innerer Punkt D auf der Strecke AB gegeben. E sei der Mittelpunkt von AB. Die Parallele durch E zur Geraden g(CD)
schneide die Strecke BC im Punkt F .
Zeigen Sie: Das Dreieck 4(B, D, F ) und das Viereck (ADF C)
haben gleichen Flächeninhalt.
1.4 Konstruieren Sie ein Dreieck 4(ABC), für das folgende Bedingungen erfüllt sind:
a) Die Seite BC hat die Länge a = 4 cm.
b) Der Winkel ](CBA) hat die Größe β = 60◦ .
c) Die Summe der Längen b von AC und c von
AB beträgt s = b + c = 9 cm.
Begründen Sie die Konstruktion! Untersuchen Sie, ob die Konstruktion auch für
andere Werte von a, s und β möglich ist.
1.5 Einem rechtwinkligen Dreieck ist wie in nebenstehender
Skizze ein Quadrat einbeschrieben. Berechnen Sie die Seitenlänge s des Quadrats aus den
a) Katheten a und b,
b) Hypotenusenabschnitten u und v .
1
1.6 Zwischen zwei Eishockeyspielern S1 und S2 steht ein gegnerischer
Spieler G, so dass S1 den Puck über die Bande zu S2 spielt, wie in
nebenstehender Skizze zu sehen ist. Wie groß ist die Entfernung
der beiden Spieler zueinander, wenn ihr Abstand von der Bande
a1 = 2, 5 m bzw. a2 = 6, 5 m beträgt und der Puck unter einem
Winkel von α = 42◦ an der Bande auftrifft?
1.7 Beweisen Sie: In der euklidischen Ebene schneiden sich
die Außenwinkelhalbierenden zweier Eckpunkte (etwa
A und C) und die Innenwinkelhalbierende des dritten
Eckpunktes (dann B) eines Dreiecks 4(ABC) in einem Punkt M.
M ist Mittelpunkt eines Kreises, der alle drei Seiten des Dreiecks (innen oder außen)
berührt und Ankreis des Dreiecks genannt wird.
1.8 In einer euklidischen Ebene sei ein Kreis k vom Radius
r > 0 gegeben und ein Punkt P außerhalb des Kreises.
Konstruieren Sie die Tangenten des Kreises k, die durch
P gehen.
1.9 Von zwei Kreisen k(A; r1 ) und k(B; r2 ), die sich nicht
überschneiden, sind die gemeinsamen Tangenten zu
konstruieren.
1.10 Ein Kreissektor habe den Flächeninhalt
10 cm2 , der zugehörige Bogen b habe die
Länge 3 cm. Bestimmen Sie den Radius des
Kreises, die Länge der Sehne AB und den Inhalt des Kreissegments.
Sämtliche Konstruktionen und Aussagen sind zu begründen!
2
Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 2
2.1 Untersuchen Sie in Abhängigkeit von a, b, c die Lösungen folgender Gleichungen:
a) (a − x)(x + c) = 2c(a − x) − (b − x)(c − x)
b) a2 (x − a) + ab2 = b2 (x + b) − a2 b
2.2 Die Differenz zweier Zahlen beträgt 6, die ihrer Quadrate 180. Wie heißen die beiden
Zahlen?
2.3 Die Summe zweier Zahlen ist so groß wie die Differenz ihrer Quadrate. Wenn man
4 zur ersten addiert und 4 von der zweiten subtrahiert, ergibt die Differenz ihrer
Quadrate 99. Wie heißen die beiden Zahlen?
2.4 Der Kraftstoffbehälter für einen Zweitaktmotor enthält 40 ` Kraftstoffgemisch. Wie
viel Liter Benzin und wie viel Liter Öl befinden sich in dem Behälter, wenn das
Mischungsverhältnis 1 : 33 beträgt?
2.5 Bei einem Skilanglauf startet der spätere Sieger 1 Minute und 30 Sekunden hinter
dem Meister des vergangenen Jahres. Nach wieviel Kilometern überholt er diesen,
wenn seine Geschwindigkeit 5 m/s und die des zu Überholenden 4, 8 m/s beträgt?
2.6 Bestimmen Sie die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen ohne rechentechnische Hilfsmittel und schreiben die Polynome der linken Seite als Produkt von Linearfaktoren:
√
a) x 2 + 8x + 2 = 0
√
√
b) x 2 + (3 − 3)x − 27 = 0
√
Hinweis: Berechnen Sie in einer Nebenrechnung (3 + 3)2 .
2.7 Ein mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von vm = 18 km/h um 6.00 Uhr in
Leipzig startender Radfahrer fährt nach Dessau und begegnet um 8.00 Uhr einem
anderen Radfahrer, der zur gleichen Zeit wie er in Dessau gestartet ist und auf
gleicher Strecke nach Leipzig fährt. Ersterer kommt 100 Minuten früher in Dessau
an als der andere in Leipzig. Welche Länge hat die Straße zwischen Leipzig und
Dessau? (Lösung: 60 km)
2.8 Lösen Sie folgende Systeme linearer Gleichungen:
a) 2x + y = 1
3x + 4y = 0
b)
2x + y =
1
−4x − 2y = −2
3
c)
2x + y =
1
−4x − 2y = −1
d)
x + y + z = 25
3x
+ z = 15
y + z = 16
e)
x + y + z =
2
3x + 2y + z =
1
x − y − 3z = −8
2.9 Gegeben sind die Matrizen A =
1 4 5
2 3 6
1 4 5
2 3 6
und B =
1 5 4
3 3 1
.
Berechnen Sie A + B.
2.10 Gegeben sind die Matrizen A =


1 3
und B =  5 3 .
4 1
Berechnen Sie A · B und B · A.




3
−6
2.11 Welchen Winkel schließen die Vektoren a~ =  −4  und ~b =  8 
12
0
miteinander ein?
2.12 Wie groß sind die Winkel des Dreiecks mit den Eckpunkten
A = (−2, 0, 3),
B = (−6, 4, −1),
C = (4, −1, 2)?
2.13 Wie groß ist die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten
A = (−2, 0, 3),
B = (−6, 4, −1),
C = (4, −1, 2)?
2.14 Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms, das von den Vektoren




−3
5
a~ =  2  und ~b =  −3  aufgespannt wird?
1
2
Sämtliche Konstruktionen und Aussagen sind zu begründen!
4
Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 3

0
3.1 Bestimmen Sie diejenigen Vektoren ~
x ∈ R3 , die senkrecht zu a~ =  1  sind.
1

3.2 Untersuchen Sie, ob die drei Vektoren




4
−2
a~ =  0 , ~b =  −1 ,
2
3

2
c~ =  −2 
13

linear unabhängig sind oder nicht. Geben Sie eine Abhängigkeitsrelation an, falls diese
Vektoren linear abhängig sind.


−2
3.3 Zeigen Sie, dass der Vektor c~ =  −6  das Vektorprodukt der Vektoren
−5




2
−1



~
1  ist.
2
und b =
a~ =
−2
−2
3.4 Bestimmen Sie das Volumen des von den drei Vektoren






−1
2
−2
a~ =  2 , ~b =  1 , c~ =  −6 
−2
−2
−5
aufgespannten Parallelepipeds.
3.5 Bestimmen Sie eine parameterfreie Gleichung der Geraden, die durch den Punkt
P = (−1, −4) geht und mit der x-Achse den Winkel α = 120◦ bildet.
3.6 Bestimmen Sie eine Parametergleichung und eine parameterfreie Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P1 = (1, 4) und P2 = (−3, −4) geht.
3.7 Bestimmen Sie den Vorzeichen behafteten Abstand des Punktes P = (3, 5) von der
Geraden 4x − 3y − 18 = 0.
3.8 Welche Gerade geht durch den Schnittpunkt der Geraden x − y = 4 und 3x + y = 8
und außerdem durch den Punkt P = (0, 5)?
5
3.9 Wie heißt die Gleichung des Lotes vom Punkt P = (2, 0) auf die Gerade y = 2x + 1?
3.10 Geben Sie eine Parametergleichung und eine parameterfreie Gleichung der Ebene
durch die Punkte A = (2, 1, 3), B = (−1, 0, 5) und C = (1, 1, 1) an.
Sämtliche Aussagen sind zu begründen!
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Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 4
4.1 Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung
x 2 − 10x + y 2 + 10y + 41 = 0.
4.2 Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten an den Kreis mit der Gleichung
x 2 − 4x + y 2 − 8y + 16 = 0,
die durch den Punkt P = (2, 0) gehen.
4.3 Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises, der durch die Punkte
A = (−1, 2), B = (5, 0) und C = (1, −2)
geht und geben Sie die Gleichung des Kreises an.
4.4 Welche Lage haben der Kreis k : x 2 + y 2 − 10x = 0 und die folgenden Geraden
zueinander:
a) g : x − y − 1 = 0,
b) g : x + y + 3 = 0,
c) g : 3x − 4y + 10 = 0?
4.5 Wie lauten die Gleichungen der Tangenten
a) im Punkt P = (5, y0 ) an den Kreis x 2 + y 2 = 169,
b) im Punkt P = (x0 , −2) an den Kreis (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25.
Hinweis: Es sind alle Werte von x0 und y0 so zu bestimmen, dass der Punkt P auf
dem Kreis liegt.
4.6 Ermitteln Sie die Gleichung der Ellipse mit dem Mittelpunkt M = (0, 0), der linearen
Exzenztrizität e = 6,√deren Achsen auf den Koordinatenachsen liegen und die durch
den Punkt P = (5, 48) verläuft?
4.7 Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ellipse x 2 + 4y 2 − 20 = 0 mit der Geraden
x + 2y − 6 = 0.
4.8 Wie lautet die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel (a = b), die durch den Punkt
P = (5, 3) hindurchgeht und deren Achsen in den Achsen des Koordinatensystems
liegen, in Polarkoordinaten r = r (θ)?
Geben Sie die Polarkoordinaten für beide Äste der Hyperbel an und bestimmen Sie
für jeden Ast den Geltungsbereich von θ, d.h. für welche Winkel θ ergibt sich ein
Punkt der Hyperbel?
7
4.9 Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes und des Brennpunktes der
Parabeln
a) 5y 2 + 4x = 0,
b) y 2 − 2y − 10x − 9 = 0.
4.10 Eine Parabel hat die Scheitelordinate yS = −3, die Gerade x = 2 als Achse und geht
durch den Punkt P = (7, 4). Wie lautet ihre Gleichung?
4.11 Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Kurven mit folgenden Gleichungen:
x2
y2
1
a)
−
= 1 und y = x
25
9
5
2
2
b) 4x − 9y = 144 und x 2 − 24y = −28
c)
x2
y2
−
=1
16
4
und
x 2 − y 2 = 16
4.12 Geben Sie für die Kurven aus Aufgabe 4.11 a) - c) Skizzen an.
Sämtliche Aussagen sind zu begründen!
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