Übungen zu Struktur der Materie II (Festkörperphysik)

Übungen zu Struktur der Materie II (Festkörperphysik)
Prof. Dr. Dieter Weiss
Dr. Silvia Garelli, Markus Schlapps, Andreas Helzel, Benedikt Scharf
WS 2009/2010
Blatt 12
1. Magnetische Suszeptibilität delokalisierter Elektronen
Unter der Voraussetzung, dass das Elektronengas eines Metall in guter Näherung
einem freien Elektronengas entspricht, liefert dieses einen praktisch temperaturunabhängigen paramagnetischen Beitrag
χel = n
µ0 µ2B
EF (0)
(1)
zur gesamten Suszeptibilität des Festkörpers.
a) Beschreiben Sie qualitativ aus welchen Anteilen sich die magnetische Suszeptibilität eines Elektronengases zusammengesetzt.
b) Die Fermienergie von Kupfer beträgt EF = 7.0eV . Berechnen sie den Beitrag
χel des Elektronengases zur magnetischen Suszeptibilität von Kupfer in der
Näherung freier Elektronen (Gitterkonstante aCu = 0.36 nm).
c) Die magnetische Suszeptibilität eines Metalles enthält neben dem paramagnetischen Anteil des Elektronengases auch noch den diamagnetischen Anteil der
Ionenrümpfe mit ihren abgeschlossenen Elektronenschalen. Schätzen Sie die
gesamte magnetische Suszeptibilität von Kupfer ab mit χRumpf = −2.11·10−5
und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem experimentellen Messwert χ =
−0.97 · 10−5 .
d) Berechnen Sie zum Vergleich die Suszeptibilität von Aluminium (Gitterkonstante aAl = 0.405 nm), dessen Fermienergie bei EF = 11.63eV liegt. Der
magnetische Beitrag der Ionenrümpfe für Aluminium in ionischen Verbindungen ist χRumpf = −0.25 · 10−5 . Im Experiment ergibt sich χ = 2.05 · 10−5 .
Wie gut ist die Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment in diesem
Fall?
2. Klassische Dipol-Dipol-Wechselwirkung
Ein magnetischer Dipol ~µ, der sich im Ursprung des Koordinatensystems bendet
(Abbildung), erzeugt in seiner Umgebung das Magnetfeld
1
2
~ r) = µ0 3(~µ · ~r)~r − r ~µ .
B(~
4π
r5
(2)
Berechnen Sie die Stärke des Magnetfeldes, welches ein Atom mit dem magnetischen Moment µ ≈ 1 · µB am Ort eines Nachbaratoms maximal erzeugen kann.
Ein für die Ferromagnete Eisen, Cobalt und Nickel typischer Abstand nächster
Nachbarn r0 kann aus den folgenden Angaben berechnet werden: Eisen besitzt
bei Raumtemperatur ein bcc-Gitter mit a = 2.866Å, Kobalt ein hcp-Gitter mit
a = 2.507Å und c = 4.069Å, und Nickel ein fcc-Gitter mit a = 3.524Å.
Vergleichen Sie die maximale Energie der magnetischen Dipol-Dipol-Wechsel-wirkung
mit der thermischen Energie kB T , welche die Dipole bei der Curie-Temperatur
TC ≈ 103 K besitzen. Halten Sie es aufgrund dieses Vergleichs für möglich, dass die
Kopplung magnetischer Momente in Ferromagneten durch eine klassische DipolDipol-Wechselwirkung verursacht wird? Wie stark müsste das Feld am Ort eines
Dipols sein, damit die magnetische Energie des Dipols bei 103 K mit der thermischen Energie in Konkurrenz treten könnte?
Abb. 1: Schematische Darstellung eines magnetischen Dipols im Ursprung des Koordinatensystems.
3. Semiklassische Behandlung des Paramagnetismus (Curie Gesetz)
Im Gegensatz zur quantenmechanischen Betrachtungsweise kann ein klassischer
magnetischer Dipol jeden beliebigen Winkel θ zum Magnetfeld (in z-Richtung)
einnehmen.
a) Welche Energie hat ein magnetisches Moment bei einem Winkel θ zum Magnetfeld?
b) Berechnen sie das mittlere magnetische Moment hµz i des paramagnetischen
Materials. Bestimmen sie hierfür zunächst den Anteil der Momente, die in
den Winkelabschnitt von θ bis θ + dθ zeigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass
sie bei einer gegebenen Temperatur T in eine Richtung deuten bestimmt der
2
Boltzmannfaktor.
Hinweis:
R1
−1
R1
xeyx dx
eyx dx
−1
= coth y −
1
≡ L(y),
y
(3)
wobei L(y) die Langevin-Funktion ist.
c) Berechnen sie die Suszeptibilität χ = M/H für kleine Felder. n sei die Anzahl
der magnetischen Momente pro Einheitsvolumen ist. Benutzen sie: coth(y) =
1
+ y3 + O(y 3 ).
y
Wie lautet in diesem Fall die Curie Konstante?
Abb. 2: Kreisscheibe am Einheitskreis mit Fläche 2π sin θdθ.
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