Vortrag

10. Internationale Tagung über
Schulmathematik
Mathematik - die Schlüsseltechnologie
in Industrie und Wirtschaft
Sonntag, 26. Februar 2006 – Mittwoch, 1. März 2006
Technische Universität Wien
Freihaus
A-1040 Wien, Wiedner Hauptstraße 8-10
Vortrag: Fächerübergreifender Unterricht, 1. März 2005
Mag. Angela Poltschak, Mag. Hans-Stefan Siller
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis....................................................................................................................... 2
Abstract ...................................................................................................................................... 3
1
Einleitung .......................................................................................................................... 4
1.1
Was ist fächerübergreifender Unterricht? .................................................................. 4
1.2
Voraussetzungen für einen fächerübergreifenden Unterricht .................................... 5
2
Mögliche Unterrichtsbeispiele......................................................................................... 6
3
Zwei Dokumentierte Unterrichtsbeispiele ................................................................... 11
3.1
Stochastische Musik................................................................................................. 11
3.1.1
Vorschläge für den Mathematikunterricht ....................................................... 12
3.1.2
Vorschläge für den Musikunterricht: ............................................................... 15
3.2
Das Weber-Fechner-Gesetz: .................................................................................... 16
4
Erfahrungen im Unterricht ........................................................................................... 19
5
Zur Person ...................................................................................................................... 20
6
Literatur.......................................................................................................................... 21
2
Abstract
Fächerübergreifender Unterricht in Mathematik und Musik
Verbindungen zwischen den Fächern Mathematik und Musik sind schon aus der griechischen
Antike bekannt. Heutzutage beschäftigt sich nur eine geringe Anzahl von Spezialisten mit
diesem Thema. Dabei ist es relativ einfach anschauliche Beispiele für SchülerInnen im
Unterricht aufzuzeigen. Die im Rahmen des Vortrags ausgewählten Beispiele sollen
aufzeigen, welche Zusammenhänge der beiden Unterrichtsgegenstände, Mathematik
und
Musik im Schulunterricht möglich sind. Die getroffene Auswahl stammt aus verschiedenen
Teilgebieten
der
Mathematik,
ist
praxiserprobt
und
ermöglicht
eine
vielseitige
gebietsübergreifende Argumentation, wobei jedes der vorgestellten Themen auch unabhängig
voneinander behandelt werden kann.
Interdisciplinary education between mathematics and music
There have been relationships between music and mathematics since the ancient world. Only
few specialists, though, take an interest in this topic. At the same time it is easy to produce
descriptive examples for pupils and educational purposes. In our speech we will pick
examples that will show the coherence between music and mathematics. The examples are
taken from different branches of mathematics, the selection is well proven and enables a
multi-sided interdisciplinary argumentation. Each of the introduced topics can be discussed
independently.
3
1 Einleitung
Was haben Musik und Mathematik gemeinsam? Oder: Gibt es überhaupt Gemeinsamkeiten?
Wenn ja, worin liegen sie? Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich nur eine geringe Anzahl
von Spezialisten. Ist es dadurch sinnvoll, Schülerinnen und Schüler mit dieser Frage zu
konfrontieren?
Unserer Überzeugung nach, kann diese Frage nur mit ja beantwortet werden. Schließlich gibt
es vielfältige Beziehungen, die im schulischen Kontext bearbeitet und für Schülerinnen und
Schüler lernwirksam werden können. So verschieden sich diese beiden Disziplinen auch
präsentieren, Mathematik und Musik sind keine Gegensätze, sondern eher zwei Aspekte ein
und derselben Sache.
Smith meint sogar: „Es gibt auf der ganzen Welt kein Phänomen, bei dem Mathematik keine
Rolle spielt, also ist auch die Musik nicht ohne Mathematik zu denken“ 1
Für einen offenen und modernen Mathematikunterricht des 21. Jahrhunderts, der einer stark
technik- und computerorientierten Schülergeneration entsprechen sollte (vgl. österreichischer
Lehrplan), empfiehlt es sich, die Beziehungen der beiden Disziplinen in Form von
interdisziplinären Arbeitsmöglichkeiten für den Unterricht auszunützen, zumal auch genug
gemeinsame Beziehungen aufzuzeigen sind, wie in den folgenden Unterrichtsbausteinen
ersichtlich wird.
Die getroffene Auswahl stammt aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, wobei jedes
der vorgestellten Themen auch unabhängig von einander behandelt werden kann.
1.1 Was ist fächerübergreifender Unterricht?
„Fächerübergreifender/verbindender Unterricht bedeutet die (unterrichtliche) Beschäftigung
mit einem (fachbezogenen oder außerfachlichen) Gebiet, indem die fachlichen Grenzen
überschritten werden und andere Fächer einbezogen werden.“2
Die Beschäftigung geschieht in Kooperation, bei der Berührungen mit anderen Fächern, also
mit fremden Aspekten stattfinden, die genutzt, integriert oder vermischt mit einem Fach
auftreten können.
1
Götze, Wille 1985, S. 4
2
Beckmann 2003, S. 23
4
Das Hauptinteresse fächerübergreifenden Unterrichts liegt in der Bereicherung und
Vernetzung der Fächer und ihren gemeinsamen thematischen Inhalten.
1.2 Voraussetzungen für einen fächerübergreifenden Unterricht
Die hier vorgestellten Unterrichtsbeispiele wurden in dem schulautonomen Unterrichtsfach
Mathematik/Physik in der 11. Schulstufe fächerübergreifend - d.h. einem Fach welches nicht
im normalen Fächerkanon enthalten ist, sondern ein spezielles Angebot der Schule darstellt mit den Schülern in Form eines Stationenbetriebs (in Gruppenarbeit) durchgeführt.
Die Vorkenntnisse für diverse Arbeitsaufgaben und der mathematische Hintergrund wurden
im Mathematikunterricht der 10. und 11. Schulstufe in Form eines Frontalunterrichts bzw.
Lehrer-Schülergesprächs systematisch erarbeitet und ausreichend geübt, sodass für diese
Aufgabenstellungen keine neuen fachlichen Schwierigkeiten aufkommen hätten sollen. Sinn
dieses Gruppenunterrichts ist, dass die Schüler weitere sinnvolle Anwendungen der
Mathematik in Alltagsituationen kennen lernen und ihr im Mathematikunterricht erworbenes
Wissen vernetzt einsetzen, um so die außerschulische Bedeutung von Mathematik besser
begreifen zu können.
5
2 Mögliche Unterrichtsbeispiele
So
selten
man
in
österreichischen
AHS
fächerübergreifenden
Mathematik-
und
Musikunterricht vorfindet, so vielfältig ist andererseits die Anzahl an Themen, die sich für
diese Unterrichtsform anbieten würden. Im Folgenden eine kleine Auswahl:
•
Pythagoras ist nicht nur durch den „Satz des Pythagoras“ bekannt, sondern er prägte
auch durch Versuche mit dem Monochord (Intervalle, diese könnten ab der 9.
Schulstufe mit Hilfe eines Oszilloskops- fächerübergreifend mit dem Physikunterrichtsichtbar gemacht werden) die Musiktheorie entscheidend. Anhand der Bruchrechnung
kann das Thema der Intervalle im Mathematikunterricht Anklang finden. Zur
Einstimmung bietet sich die musikalische Version des pythagoreischen Lehrsatzes in
Form eines Sprechstückes an3.
Geeignet für die 6./7. Schulstufe einer AHS.
•
Zahlen findet man in sehr vielfältiger Art und Weise im Bereich der Musik wieder4,
die Beziehung zu Zahlen wurde schon im Abendland durch Pythagoras und seine
Schule gepflegt. Ein Beispiel aus dem Barockzeitalter wäre Johann Sebastian Bach5.
Er schrieb keine Note unüberlegt oder zuviel und nützte die Zahlenbeziehungen, um
vornehmlich Aussagen religiöser Natur mit seinen Kompositionen zu verbinden. Aber
gerade auch in der Musik des 20.Jahrhunderts findet man öfters Zahlen als
Kompositionsgrundlage. Beispiele dafür wären die „Zählmusik“6 von Tom Johnson,
Conlon Nancarrows „Canon 14/15/16“7, oder Alban Bergs offensichtliche Affinität
zur Zahlenspielerei (Schicksalszahl 23). Andere Komponisten, zum Beispiel Béla
Bartók komponierten mit Proportionen, die aus dem goldenen Schnitt abgeleitet sind.
Die Zahlen der Fibonacci-Reihe8 findet man in Kompositionen von Ligeti,
Stockhausen oder Nono und sie sind Grundlage der musikalischen Themen in
„Symphonia for Ten Players“, ein Werk des australischen Komponisten Sitsky.
3
Maierhofer 1996, S. 57-59
4
Bindel, E. 1985, S. 34
5
Taschner 2004, S. 27-43
6
Musik und Bildung 2004, S. 61
7
Musik und Bildung 2004, S. 16-22
8
Die Fibonacci- Zahlenfolge wird definiert durch: f 0 = 0, f 1 = 1, f n +1 = f n + f n −1 (n = 1,2,3,...) und die
ersten Glieder sind: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…
6
Übrigens kann man auch in Keplers Sphärenmusik, in der pythagoreischen Stimmung,
in den Kirchentonarten und in der chromatischen Tonleiter Fibonacci-Zahlen finden.
•
Der Bereich der musikalischen Stimmungen (pythagoreische-, reine-, diatonische-,
gleichschwebend- temperierte Stimmung,…) bietet eine Fülle von mathematischen
Inhalten, die im Bereich der Anwendung von Logarithmen, Kettenbruchentwicklung
und Exponentialfunktion zu finden sind.
Geeignet für die 10./11. Schulstufe einer AHS.
•
Mit SchülerInnen mit gutem musikalischen Gehör kann man einen Ausflug an den
Rand eines längeren, geradlinigen, ebenen Autobahnstücks machen (natürlich auch
gut möglich mit
einer Videoaufzeichnung eines Formel 1- Rennens). Beim
Vorbeisausen eines Autos hört man deutlich, wie sich der summende Ton des Motors
plötzlich ändert. Das ist eine Folge des sogenannten Doppler-Effekts. Der
österreichische Physiker Christian Doppler (1803-1853) erkannte, dass jede Art von
Wellenbewegung ihre Frequenz ändert, wenn sich Beobachter und Wellenerreger
relativ zueinander bewegen. Mit Hilfe des gehörten Intervalls kann man aus der
entsprechenden Doppler-Formel die Geschwindigkeit des Autos berechnen.
Geeignet für die 10./11. Schulstufe einer AHS.
•
Der Mathematiker Leonard Euler (1707-1783) betrachtete die Musik als einen Teil
der Mathematik. Durch ihn kam es zu einer Weiterentwicklung der Arbeiten
Pythagoras. Ausgehend vom Einklang c:c (1:1) führen Oktaverweiterungen c:c’, c:c’’,
etc. zu den Schwingungsverhältnissen 1:2:4:8:16 usw. Nachdem diese Verhältnisse für
eine anspruchsvolle und interessante Musik nicht ausreichen, lässt Euler der Reihe
nach auch drei und vier als Schwingungszahl zu, indem er die Frage folgendermaßen
formuliert: Wenn c eine Schwingung hat, welcher Ton x schwingt dann in derselben
Zeit dreimal oder viermal? Durch diese Überlegungen kommt er zu weiteren
Intervallen, namentlich der Quinte (2:3) und der Quarte (3:4). Nach Euler ist das
Tongeschlecht die Zusammenfassung aller Tonverhältnisse, die sich aus dem
Ausdruck 2 n 3 p 5 q (n ∈ N , q = 1, p = 3) ergeben9. Im Unterricht würde es sich anbieten,
mit den SchülerInnen selbstständig Musikinstrumente mit nur einer Saite (Bruchteile
der Grundsaite c, vgl. auch Monochord) zu bauen
Geeignet für 10./11. Schulstufe einer AHS.
9
Blackburn, White 1985, S. 499-504
7
•
Johannes Kepler (1571-1630) verband Zahlenverhältnisse mit Musik, speziell im
astronomischen Bereich. 1619 veröffentlichte er in seinem Werk „Harmonices Mundi“
eine Beschreibung der Sphärenmusik nach exakten Gesetzen, sowie musikalischer
Notierung. Kepler ordnete also jedem Planeten eine relative Umlaufgeschwindigkeit
zu und anhand dieser jedem Planeten einen eigenen Ton. Ausschlaggebend für die
Intervallzuteilung sind die Berechnungen Keplers nach den Verhältnissen der
Periphel- (Sonnennähe) und Aphelgeschwindigkeiten (Sonnenferne) der Planeten auf
ihren Ellipsenbahnen. Hans Keyser prüfte im 20. Jahrhundert Keplers musikalische
Behauptungen nach. Die Ergebnisse dieser Nachprüfungen lauten: Johannes Kepler
hatte recht. Wenn man die Planetenbewegungen in Töne übersetzt, so erklingt Musikdie sogenannte Sphärenmusik. Paul Hindemith (1895-1963) komponierte eine
fünfaktige Oper, die er „Harmonie der Sphären“ nannte. Inhaltlich geht es um den
kaiserlichen Mathematiker Johannes Kepler, die Uraufführung der Oper (vom
Komponisten selbst dirigiert) fand 1957 in München statt.
Fächerübergreifend mit Physik würde sich dieses Thema im Musikunterricht durch
eine Analyse der Oper gut aufbereiten lassen.
Geeignet für: 10./11. Schulstufe einer AHS.
•
Iannis Xenakis und die stochastische Musik
Geeignet für: 11./12. Schulstufe einer AHS.
•
Der goldene Schnitt (lat. sectio aurea) bezeichnet ein besonderes Teilungsverhältnis,
welches nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der bildenden Kunst, in der
Architektur, beim Menschen, in der Tier- und Pflanzenwelt und in der Musik
vorkommt. Mathematisch handelt es sich um die Teilung einer Strecke nach dem
folgenden Prinzip: Der kleinere Teil verhält sich zum größeren wie der größere zur
gesamten Strecke. Wird die Strecke auf die Länge 1 normiert und definiert man das
längere Teilstück mit x so ergibt sich folgendes Verhältnis:
quadratische Gleichung so erhält man: Φ =
1− x x
= . Löst man die
x
1
1+ 5
≈ 1,618033989 . Dieses Verhältnis
2
spielt in anwendungsorientierten Aufgaben des Mathematikunterrichts (vgl.
Mathematik- Lehrplan der 10.Schulstufe: Thema Folgen und Reihen) eine bedeutende
Rolle, aber auch im musikalischen Bereich.
8
Im Geigen- und Flötenbau ist der Goldene Schnitt insofern von Bedeutung, da
Frequenzen im Verhältnis der Fibonacci-Zahlen als besonders reizvoll empfunden
werden und daher für klangschöne Instrumente zeugen. So wird auch behauptet, der
berühmte Geigenbauer Stradivari habe den Goldenen Schnitt10 dazu verwendet, um
die klanglich optimale Position der F-Löcher für seine Violinen zu berechnen.
Abbildung 1: Stradivari Vorderansicht
aus: http://www.michael-holzapfel.de (Stand: 20.2.2006)
Abbildung 2: Stradivari von hinten
aus: http://www.michael-holzapfel.de (Stand: 20.2.2006)
In den Werken des ungarischen Komponisten Béla Bartók (1881-1945) kann man
dieses Teilungsverhältnis als beherrschendes Grundprinzip finden. So ist zum Beispiel
seine „Sonate für zwei Klaviere und Schlagzeug“ bis ins kleinste Detail nach den
Grundregeln des goldenen Schnittes strukturiert.
10
http://m.holzapfel.bei.t-online.de/ (Stand: 25.2.2005)
9
Abbildung 3: Sonnenblume mit Hilfe der Fibonaccizahlen dargestellt (links) aus:
http://www.entwurfsforschung.de (Stand: 25.2.2005)
Bártók selbst soll sich die Anregungen dazu aus der Musik des Volkes geholt haben.
Nebenbei erwähnt sei die Sonnenblume seine Lieblingspflanze gewesen und er habe
eine Vorliebe für Tannenzapfen gehabt, beides zwei deutliche Erscheinungsformen
des Goldenen Schnitts in der Natur.
10
3 Zwei Dokumentierte Unterrichtsbeispiele
3.1 Stochastische Musik
Iannis Xenakis und die stochastische Musik: Lange Zeit beschränkten sich die
mathematischen Betrachtungen in der Musik auf Zahl- und Tonsysteme, Bereiche aus der
Akustik, sowie auf musikalische Stimmungen- Gebiete beider Wissenschaften, bei denen der
Zusammenhang deutlich erkennbar ist.
Erst mit Beginn der Neuen Musik, die mit der atonalen Musik und der Zwölftonmusik beginnt
und sich mit Hilfe der Vierteltonmusik, Minimal music und der elektronischen Musik
(Computermusik)
weiterentwickeln
konnte,
wurde
es
möglich,
konkret
definierte
Kompositionsabläufe zu konstruieren.
Xenakis Kompositionstechnik besteht aus stochastischen Methoden, die nicht zufällig etwas
entscheiden, sondern nur dazu dienen, eine Menge akustischer Einzelereignisse so zu
strukturieren, dass ihre Gesamtheit einer kompositorischen Idee gerecht wird. Der Zufall
steuert die Parameter-Mittelwerte sowie die Verteilung der Elemente. In seine Werke ließ er
zudem auch folkloristische Elemente und Ergebnisse der Chaos-Forschung einfließen.
Zitat von Xeankis:
„1954 begründete ich eine Musikrichtung, die auf den Prinzipien der Unbestimmtheit
aufbaut. Zwei Jahre später nannte ich sie „Stochastische Musik“. Die Gesetze der
Wahrscheinlichkeitsrechnung fanden aufgrund musikalischer Notwendigkeit Einzug in die
Komposition … Doch auch andere Wege führten zur selben stochastischen Kreuzung – allen
voran Naturereignisse wie der Aufprall von Hagel oder Regen auf einer harten Oberfläche
oder das Zirpen der Zikaden in einer Sommerwiese. Diese Klangereignisse bestehen aus
tausenden Einzelklängen und bilden in ihrer Gesamtheit ein neues Klangereignis. Diese
Klangmasse wird artikuliert und schafft eine plastische Form der Zeit, die aleatorischen und
stochastischen Gesetzen folgt. Will man eine große Masse von Einzelnoten z. B. für ein
Streicher- Pizzicato formen, muss man diese mathematischen Gesetze beherrschen, die jedoch
immer nur ein exakter Ausdruck einer logischen Folgerungskette sind…Es sind die Gesetze
des stetigen oder abrupten Wechsels von völliger Ordnung zu totaler Unordnung. Es sind die
Gesetze der Stochastik.“11
11
Siehe auch: Xenakis, Formalized Music, 1955,
http://www.aec.at/de/archiv_files/20031/FE_2003_pauldMiller_de.pdf (Stand: 3.1.2005)
11
Iannis Xenakis war einer der ersten Komponisten, der wirklich interdisziplinär arbeitete,
indem er Querverbindungen der verschiedenen Fächer zuließ und damit seiner Ausdruckskraft
freien Lauf ließ. Für ein Verständnis von Xenakis’ Musik ist dies unerlässlich.
Für Xenakis ist die Mathematik ein Zweck, die vielfältigen Erscheinungsformen der Natur
musikalisch auszudrücken. Dabei ist es ihm nicht wichtig, diesen Prozess musikalisch
nachvollziehen zu können. Im Gegenteil: der mathematische Hintergrund sollte für den Hörer
unverständlich bleiben. Vielmehr geht es ihm um die Wirkung, die diese Art von Kunstmusik
auf den Hörer hervorruft.
3.1.1 Vorschläge für den Mathematikunterricht
Ein Ziel des Mathematikunterrichtes sollte es sein, zu zeigen, dass das Kapitel der Stochastik
intellektuell anspruchsvoll, interessant und praktisch wichtig ist.
Schon in der AHS- Unterstufe könnte versucht werden, ein Unterrichtsgespräch über den
Begriff „Zufall“ zu führen, ein Thema das in der 11./12.Schulstufe aufgrund des Lehrplanes
wieder aufgegriffen wird.
Ausgehen kann man von der umgangssprachlichen Verwendung des Begriffes „Zufall“ wie
zum Beispiel: ,,So ein Zufall, dass ich heute Morgen meine beste Freundin in der Straßenbahn
getroffen habe, wo ich erst gestern darüber gesprochen hatte, sie anzurufen!“ oder ,,Es ist
Zufall, dass ich heute meinen Regenschirm eingepackt habe, jetzt regnet es, obwohl der
Wetterbericht Sonnenschein vorausgesagt hatte!“. Kann hinter diesen Zufälligkeiten
Mathematik gefunden werden?
Anders verhält es sich, wenn Zufälle oder Unregelmäßigkeiten massenhaft auftreten, so dass
sie statistisch untersucht werden können (zu den Zufällen des Verschlafens oder
Zuspätkommens seiner SchülerInnen zum Unterricht wäre es für den/die LehrerIn möglich
eine Statistik aufzustellen, um anschließend vielleicht sogar die Wahrscheinlichkeit des
Zuspätkommens zu ermitteln?)
Typisch für zufällige Ereignisse ist, dass sie in komplexen Systemen auftreten, in denen ganz
kleine Veränderungen irgendwelcher Systemgrößen große Auswirkungen haben können. Als
Beispiel dafür könnte man das Lottospielen, das Roulette oder Mutationen in der Biologie
hernehmen.
12
Die didaktisch- methodische Vermittlung einer adäquaten Vorstellung vom Zufall ist
sicherlich keine besonders leichte Aufgabe für jede/n LehrerIn. Sie kann aber dadurch
erleichtert werden, indem der/die LehrerIn selbst operative Erfahrungen mit zufälligen
Ereignissen anhand von Zufallsexperimenten macht und diese reflektiert. Auf keinen Fall darf
erwartet werden, dass SchülerInnen schon alleine durch die formale Behandlung der Gesetze
der Stochastik tragfähige stochastische Intuitionen herausbilden.
Im österreichischen Lehrplan fallen die Lineare Verteilung, die Poissonverteilung und die
Exponentialverteilung nicht in den vorgesehenen Lehrstoff. Sie werden aber in einigen
Schulbüchern erwähnt.12
Schön wäre es allerdings, wenn doch Zeit bliebe, die Poissonverteilung als Grenzfall der
Binomialverteilung für großes n und kleines p zu behandeln. Ein vielzitiertes Beispiel ist die
Verteilung der Anzahlen preußischer Soldaten im Heer, die jährlich durch den Hufschlag
eines Pferdes ums Leben gekommen sind.13 Die Anzahl der Versuche entspricht in diesem
Beispiel der Anzahl der Kontakte von Soldaten mit Pferden eines Jahres, also eine ungeheuer
große Zahl, die „Erfolgswahrscheinlichkeit“ ist aber sehr klein, da im vorigen Jahrhundert
viele Soldaten große Erfahrung mit Pferden hatten.
Als Beispiel für den Mathematikunterricht eignet sich eine Statistik über die Anzahl der nach
dem
Klingelzeichen
erscheinenden
SchülerInnen.
Das
Ergebnis
liefert
eine
Poissonverteilung, die jedoch keine gute Approximation ist, aus dem Grund, da SchülerInnen
manchmal ja gruppenweise zu spät kommen. Dieses realitätsnahe Beispiel ist aber vielleicht
gerade deshalb einen Versuch wert, da Abweichungen von den Modellannahmen ja auch in
der Realität häufig vorkommen.
Um den Lehrstoff der Normalverteilung anschaulich zu präsentieren würde sich folgender
Versuch eignen: Der/die LehrerIn gibt den SchülerInnen als Hausübung auf, ihre Körpergröße
und das Gewicht zu notieren. In der folgenden Unterrichtseinheit werden die (anonymen)
Zettel wieder eingesammelt und der/die LehrerIn erstellt aufgrund dieser Daten ein
Histogramm für Größe und Gewichte der SchülerInnen. Als Ergebnis kann er/sie ihnen eine
Kurve zeigen, die eine Ähnlichkeit zur Normalverteilung aufweist.
Als Pionier für die Normalverteilung wird der englische Biologe Sir Francis Galton(1811-
1911) angesehen, der als Erfinder des nach ihm benannten Galton- Brettes gilt, welches eine
sehr eindrucksvolle Veranschaulichung der Binomial- bzw. Normalverteilung ist.
12
Reichel- Müller- Hanisch: 1993, S. 155-157; Szirucsek- Dinauer,- Unfried- Schatzl: 1993, S. 120-124
13
Sachs 1983, S. 84
13
Aus einer Öffnung rollen gleichgroße Kugeln nacheinander auf eine Kaskade von
angeordneten Nägeln. Jede Kugel trifft nun auf einen Nagel, der sie mit der
Wahrscheinlichkeit von 0,5 entweder nach links oder nach rechts ablenkt. Sind nun n
Nagelreihen vorhanden, so wird die Kugel klarerweise n mal abgelenkt. Egal welchen Weg
die Kugel zurücklegt, sie gelangt in einen der n + 1 Fächer, die meist mit 0,1,...n beschriftet
sind. Die Kugel landet schließlich im Behälter Nr. k (k = 0,1,..., n) wenn sie k- mal nach rechts
und (n − k ) mal nach links abgelenkt wird.
Abbildung 4: Galton- Brett
aus: http://www.learnline.nrw.de (Stand: 25.2.2005)
⎛n⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
Daher erhält man für die Wahrscheinlichkeit: ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝k ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
k
n−k
⎛n⎞ ⎛ 1 ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ . Durch dieses
⎝k ⎠ ⎝ 2 ⎠
n
Experiment kann das Zustandekommen der Gaußsche Glockenkurve anschaulich erklärt
werden.
In der Natur und Technik treten aber auch noch Vorgänge auf, bei denen die zeitliche
Zunahme bzw. Abnahme proportional zum vorhandenen Bestand und die Anzahl der
Ereignisse pro Zeiteinheit poissonverteilt ist. In diesem Fall lässt sich die Wartezeit von
14
einem festen Zeitpunkt bis zum tatsächlichen Auftreten eines Ereignisses durch die
Exponentialverteilung beschreiben. Sie tritt in der Realität bei der Berechnung der
Wahrscheinlichkeit für die Lebensdauer von Geräten oder Organismen auf. Folgendes
Telefonbeispiel eignet sich sehr gut: Die Dauer X eines Telefongespräches ist für das
Telefonamt von Bedeutung: X kann aber nicht normalverteilt sein, da kürzere Gespräche
ungleich häufiger als längere sind, wenn man Fehlverbindungen, Tonbanddienste, etc.
miteinrechnet.
Ist der Zeitpunkt erreicht, dass die wichtigsten Verteilungen vorgestellt und entsprechende
Übungsaufgaben zum weiteren Verständnis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beigetragen
haben, kann die Verbindung zum Musikunterricht und der stochastischen Musik von Iannis
Xenakis hergestellt werden.
3.1.2 Vorschläge für den Musikunterricht:
Durch die Integration mathematischer Methoden im Musikunterricht kann die Erkenntnis
erreicht werden, dass Musik aus der Vergangenheit und Zukunft nicht nur als emotionales
Ausdrucksmittel
dient(e),
sondern
als
mathematische
Disziplin
im
Zentrum
wissenschaftlicher Beobachtung stand und immer noch steht.
Am Beginn dieses fächerübergreifenden Unterrichts sollte ein Einblick in die Kunstmusik des
20. Jahrhunderts stehen.
Nach dieser Einführung würde sich der Würfelwalzer14 von Wolfgang Amadeus Mozart als
aktiver Unterrichtseinstieg sehr gut anbieten: Aus einem System von 16 vorkomponierten
Takten kann mit Hilfe eines Würfels und einer Tabelle eine neue Komposition
zusammengestellt werden. Da Mozart allerdings die vorgeschlagenen 176 Takte
vorkomponiert und entsprechend den Walzerteilen zugeordnet hat, bleiben akustische
Überraschungen aus, wie man sie bei stochastischen Kompositionen erwarten würde.
Die daraus gewonnene Erkenntnis, dass eine nicht präparierte stochastische Musik
ungewöhnlicher klingen muss, kann als Motivation zum Beginn des fächerübergreifenden
Themas „stochastische Musik“ genützt werden.
14
http://netzspannung.org/cat/servlet/CatServlet/$files/273921/widrich_markl.pdf (Stand: 9.1.2005)
15
Durch die Beschäftigung und grundlegende Einsichten anhand des Beispiels „Metastaseis“15
sollten SchülerInnen größere Zusammenhänge in Bezug auf die Kunstmusik des 20.
Jahrhunderts erkennen können. Vor allem in diesem Bereich sollen SchülerInnen Stochastik
als ein Ordnungssystem von Musik erkennen können. Durch die Aufgeschlossenheit für
stochastische Musik lernen sie mathematische Kompositionstechniken kennen und können
durch Analysen und Höreindrücke selbst kritisch Stellung zur Musik der Gegenwart nehmen.
Der nächste didaktische Schritt gliedert sich in eine Arbeitsaufgabe, die SchülerInnen
eingeteilt in Kleingruppen16, zum Thema „stochastische Musik“ ausarbeiten sollen. Dabei
dürfen alle SchülerInnen das Internet zur Informationssuche und Bearbeitung der gestellten
Themen nützen. Nach erfolgreicher Bearbeitung sollte in einer kurzen Präsentation das
jeweilige Thema samt den Ergebnissen der SchülerInnen vor der gesamten Klasse präsentiert
werden.
Abschließend würde es sich anbieten, SchülerInnen eine eigene Komposition mit Hilfe
stochastischer Verteilungen versuchen zu lassen.
3.2 Das Weber-Fechner-Gesetz:
Schallwellen sind Longitudinalwellen, weil die Moleküle in Gasen wie auch in Flüssigkeiten
keine Kräfte senkrecht zu ihrer Auslenkung weitergeben. Die Anregung der Teilchen wird
durch Stoß weitergeleitet, es resultieren Druckschwankungen. Die Lautstärkeempfindung
durch unsere Ohren ist ein Maß für die auf der Fläche des Trommelfells auftreffende Energie
pro Zeiteinheit, die man als Energieflussdichte bezeichnet.
Für die Schallmessung ist wichtig, dass die subjektive Empfindung der Lautstärke etwa
logarithmisch mit der Intensität verläuft. Das ist der Inhalt des Weber-Fechnerschen Gesetzes.
Der Schallpegel wird deshalb in Dezibel [dB] angegeben, errechnet aus dem Logarithmus des
Quotienten aus Intensität der Schallwelle und der Intensität an der Hörschwelle.
15
16
http://www.frisius.de/rudolf/texte/index.htm (Stand: 25.2.2005)
Die Kleingruppeneinteilung kann mittels Spielkarten erfolgen: Jede/r SchülerIn zieht eine Spielkarte.
Anschließend gruppieren sich zum Beispiel alle SchülerInnen die die gleiche Farbe, Zahl, Symbol, etc. gezogen
haben. Dadurch ist es möglich, SchülerInnen nach dem Prinzip des Zufalls gemeinsam miteinander arbeiten zu
lassen. Die soziale Komponente, die SchülerInnen dadurch erlernen können, ist die Tatsache, dass es auch in der
Berufswelt immer wieder Situationen geben muss, in denen man in einer Gruppe unterschiedlichster Menschen
zusammenarbeiten muss.
16
Leiten wir zuerst den oben ausformulierten Zusammenhang her und betrachten wir danach
das Beispiel am Arbeitsblatt. Die Herleitung des Weber-Fechnerschen Gesetzes wird im
Folgenden mit Hilfe einer Differenzengleichung erfolgen, da die Lösung der zugrunde
liegenden Differentialgleichung für die Schule zu schwierig ist. Ähnlich hat es Dieter Plappert
dargestellt [6]:
Bei Untersuchungen der verschiedenen Sinne stellte Ernst Heinrich Weber (1795–1878)
immer wieder fest, dass die relative Reizzunahme konstant
∆p
= k ist. Dabei wird k als
p
„Weber-Konstante“ bezeichnet. Gustav Theodor Fechner (1801–1887) griff diesen
Zusammenhang bei der Herleitung des Weber-Fechnerschen Gesetzes auf und nimmt das von
Weber experimentell gefundene Gesetz als Ausgangspunkt für seine Überlegungen. Es gilt:
∆p p (E n ) − p (E n −1 )
=
= k , wobei
p
p(E n −1 )
p ( E ) die Reizempfindungsfunktion darstellt. Durch
Umformung erhält man:
p(E n ) = p(E n −1 ) + k . p(E n −1 ) = p(E n −1 )(
. 1+ k)
Löst man diese Rekursionsgleichung auf, so ergibt sich:
p (E n ) = p (E 0 )(
. 1 + k ) , wobei n die Werte sind, die die Empfindungsgröße E annehmen kann.
n
. 1 + k ) . p(0) stellt in dieser Gleichung
Durch Ersetzen von n mit E erhält man p (E n ) = p (0 )(
E
die absolute Reizschwelle dar. Da wir jedoch die Frage nach der Empfindungsstärke E bei
einer gegebenen Reizstärke ermitteln wollen, müssen wir die Gleichung noch logarithmieren.
E ( p) =
1
p
p
= c log
log
log(1 + k )
p (0)
p(0)
Da die Empfindung gleichmäßig mit dem Logarithmus des Reizverhältnisses wächst, wurde
die Einheit Bel eingeführt. Das hat den Vorteil, dass mit dem Zunehmen der Bel-Zahl die
Empfindung auch gleichmäßig zunimmt. Bel wurde wie folgt festgelegt: Hat der Logarithmus
des Reizverhältnisses den Wert 1 Bel, so gilt wegen log
ist. Allgemein erhält man somit: Fall log
p1
= 1 , dass p1 10-mal größer als p0
p0
p1
= n gilt ist p1 n-mal größer als p0. Da Bel jedoch
p0
eine sehr große Maßeinheit ist, wird in der Praxis üblicherweise Dezibel angegeben. Man
erhält somit die aus der Physik bekannte Gleichung, die aber auch in der Musik von enormer
Bedeutung ist:
L( I ) = 10 log
I
dB.
I (0)
17
Nach der Herleitung des Weber-Fechnerschen Gesetzes würde sich nun folgendes Beispiel
wie am Arbeitsblatt zur Schallintensität angeführt, anbieten [7].
Der logarithmische Zusammenhang zwischen der Frequenz und der Tonhöhe gilt streng nur
für die sogenannte temperierte Stimmung der Musikinstrumente, die im 18. Jahrhundert
entstand.
18
4 Erfahrungen im Unterricht
Wie oben schon erwähnt, können die Beispiele in Form eines Stationenbetriebes mithilfe von
Arbeitsblättern erarbeitet werden. Auch SchülerInnen, die im normalen Unterricht öfters
fachliche Probleme haben, konnten viele neue Erkenntnisse für sich gewinnen und waren
erstaunt über den Zusammenhang zwischen Musik und Mathematik. Was die Vorbereitung
eines Spezialgebietes für die Matura bzw. das Abitur betrifft, war es für den einen oder
anderen eine sehr hilfreiche Erfahrung, da die Schüler einen ersten Einblick in selbständiges
Arbeiten erhalten haben und gesehen haben, welche Schwierigkeiten beim eigenständigen
Arbeiten auftreten können.
Bei vielen SchülerInnen hat auch ein Umdenken in Bezug auf die Motivation zur Mathematik
eingesetzt und sie haben erkannt, dass Mathematik nicht nur eine trockene Materie ist. Es ist
aber auf jeden Fall empfehlenswert, zuvor die mathematischen Grundlagen ordentlich zu
erarbeiten und anhand verschiedener klassischer Aufgabenstellungen zu üben, bevor man mit
den Schülern diese Kapitel in Angriff nimmt, da hier einige schwierige mathematische
Sachverhalte versteckt sind. Vor allem der Umgang mit den Differenzengleichungen der
Schallintensität hat den schwächeren Schülern zu schaffen gemacht. Dabei zeigt sich, dass vor
allem das rekursive Denken für Schüler nicht einfach ist. Vermutlich ist es auf das lineare
Denken, dass in den Köpfen der Schüler stark vorherrscht zurückzuführen, dass sie dort so
große Schwierigkeiten hatten, immer wieder auf schon vorhandenes zurückzugreifen.
Hingegen machten die Intervalle den Schülern viel Spaß, da sie das erste Mal einen direkten
und einfachen Zusammenhang zwischen den beiden Fächern in der Praxis erfahren haben.
Dies ist mitunter auch auf den technischen Aufwand und die Anschaulichkeit dieses Kapitels
zurückzuführen. Auch der Dopplereffekt traf bei den Schülern auf großes Erstaunen, vor
allem der Hinweis, dass dieser Effekt in den heutigen modernen Radargeräten verwendet
wird, und mathematisch gar nicht so schwierig zu behandeln ist.
Insgesamt zeigte sich, dass die Schüler die Arbeitsaufträge zuerst als schwierig empfanden,
obwohl sie schon öfter diese Form des Unterrichts genossen hatten. Nach eingehender
Befassung mit den Aufgaben arbeiteten allerdings alle Schüler mit großem Fleiß und viel
Spaß an den Aufgabenstellungen.
Ein fächerübergreifender Unterricht dieser Art empfiehlt sich auf jeden Fall. Die Schüler sind
einerseits sehr motiviert und man kann das Kapitel Akustik praxisnahe und spannend
gestalten.
Mag. Angela Poltschak, Mag. Hans-Stefan Siller, 2006
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5 Zur Person
Mag. Angela Poltschak (geb. 1980) absolviert bis Juli 2006 das Unterrichtspraktikum am PG
St. Ursula in Salzburg. Fächer: Musik und Mathematik.
Kontaktadresse: Robert-Preußlerstr.28/046, A-5020 Salzburg
Mag. Hans-Stefan Siller (geb.1977) unterrichtet Mathematik, Physik und Informatik am
BORG Radstadt.
Kontaktadresse: Gartenweg 175, A-5431 Kuchl
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6 Literatur
Baltensperger, A.: Iannis Xenakis und die stochastische Musik, Komposition im
Spannungsfeld von Architektur und Mathematik, Verlag Paul Haupt, Basel- Stuttgart- Wien,
1996
Beckmann, A.: Fächerübergreifender Mathematikunterricht, Teil 1: Ein Modell, Ziele und
fachspezifische Diskussion, Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin, 2003
Bindel, E.: Die Zahlengrundlagen der Musik im Wandel der Zeiten, Verlag Freies
Geistesleben, Stuttgart, 1985
Blackburn, K.T.; White, D.L.: Measurement, Mathematics and Music, in: School Science and
Mathematics 85, Heft 6, 1985
Götze, H.; Wille, R.: Musik und Mathematik, Salzburger Musikgespräch 1984 unter Vorsitz
von Herbert von Karajan, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 1985
Kaiser, H.; Nöbauer W.: Geschichte der Mathematik, öbv & hpt Verlagsgesellschaft mbH. &
Co. KG, Wien, 1998
Maierhofer, L.: Das Chorbuch, Edition Helbling, Innsbruck, 1996
Musik und Bildung Themenheft: Musik & Zahlen, Schott Verlag, Januar-März, 2004
Poltschak, A: Interdisziplinäre Unterrichtsansätze in Musik und Mathematik: Theoretische
Grundlagen und praktische Modelle (Diplomarbeit), Salzburg, 2005
Reichel, H. Ch.; Müller, R.; Hanisch, G.: Lehrbuch der Mathematik 8, hpt- Verlag, Wien
1993
Sachs, L.: Angewandte Statistik, Berlin, 1983
Szirucsek- Dinauer,- Unfried- Schatzl: Mathematik 8, Verlag öbv&hpt, 1993
Taschner, R.: Der Zahlen gigantischer Schatten, Verlag Vieweg, Wiesbaden, 2004
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Österreichischer AHS- Lehrplan, zu finden unter: http://www.bmbwk.gv.at (Stand.
20.2.2006)
Aus dem Internet:
http://www.michael-holzapfel.de (Stand: 20.2.2006)
http://m.holzapfel.bei.t-online.de/ (Stand: 25.2.2005)
http://www.entwurfsforschung.de (Stand: 25.2.2005)
Iannis Xenakis, Formalized Music, 1955,
http://www.aec.at/de/archiv_files/20031/FE_2003_pauldMiller_de.pdf (Stand: 3.1.2005)
http://www.learnline.nrw.de (Stand: 25.2.2005)
http://netzspannung.org/cat/servlet/CatServlet/$files/273921/widrich_markl.pdf (Stand:
9.1.2005)
http://www.frisius.de/rudolf/texte/index.htm (Stand: 25.2.2005)
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