Mathematik I für Maschinenbauer

WS 2011/2012
Prof. Dr. Michael Dellnitz
Dipl.-Math. Sebastian Hage-Packhäuser
Dipl.-Math. Christian Horenkamp
Mathematik I für Maschinenbauer
Übungsblatt 1
Hausübungen (Abgabe: Fr, 21.10.2011 bis 14:00 Uhr)
Aufgabe 1.1 (2 + 1 + 2 + 1 Punkte) Wir betrachten einen Hebel H welcher im Nullpunkt 0 = (0, 0) gelagert ist und im Punkt A = (5, 3) endet. Des Weiteren sei eine Kraft
−−→
beschrieben durch den Pfeil AB, wobei B = (3, 4) gilt. Seien v AB und v 0A die Vektoren
−−→
−
→
dargestellt durch die Pfeile AB und 0A, dann ist das Drehmoment im Nullpunkt gegeben
durch M = kv AB k · kv 0A k · sin(α).
y
B
A
α
H
x
(0, 0)
(a) Berechnen Sie die Abstände der Punkte A und B zum Nullpunkt 0.
(b) Ermitteln Sie den Abstand der Punkte A und B.
(c) Bestimmen Sie den Winkel α, wie in der Skizze angegeben, mit Hilfe des Skalarproduktes.
(d) Berechnen Sie das Drehmoment M im Nullpunkt.
Aufgabe 1.2 (2+2+2 Punkte) Es seien die Punkte A und B in Polarkoordinaten gegeben
durch
π
4
A = (rA , ϕA ) = 1,
und B = (rB , ϕB ) = 2, π .
6
3
Weiterhin seien die Punkte
C = (xC , yC ) = (6, 3) und D = (xD , yD ) = (1, −2)
in kartesischen Koordinaten gegeben.
(a) Bestimmen Sie die kartesischen Koordinaten der Punkte A und B exakt ohne Verwendung gerundeter Zwischenergebnisse. Verwenden Sie hierzu die Gleichheit
π 1
4
sin
= = − cos
π .
6
2
3
1
(b) Berechnen Sie die Polarkoordinatendarstellungen (rC , ϕC ) und (rD , ϕD ) der Punkte
C und D mit ϕC , ϕD ∈ [0, 2π) auf zwei Nachkommastellen genau. Bestimmen Sie
anschließend mit Hilfe der Winkel ϕC und ϕD den Winkel α zwischen den durch die
−→
−→
Ortspfeile 0C und 0D dargestellten Vektoren v 0C und v 0D .
(c) Ermitteln Sie nun den Winkel α zwischen den Vektoren v 0C und v 0D exakt unter
Verwendung des Skalarproduktes. Erhalten Sie dasselbe Ergebnis wie in Aufgabenteil
(b)? Falls nicht, diskutieren Sie die Ursachen!
Aufgabe 1.3 (4+2+2 Punkte) Ein Wagen der Masse m = 0.394 kg befindet sich reibungsfrei im Erdschwerefeld auf einer Bahn mit einer Steigung von α = 15◦ . Reibungsfreiheit
bedeutet hier, dass in den Achsen außer der Gewichtskraft keine Kräfte senkrecht zur
Bahnrichtung übertragen werden.
F2
g
30◦
60◦
F1
FG,x
FG,y
15◦
Der Wagen soll von zwei Personen, welche durch die Kräfte F1 und F2 dargestellt sind,
gehalten werden.
(a) Die Gewichtskraft FG ist parallel zum Erdschwerefeld gerichtet und gegeben durch
FG = mg, wobei die Schwerebeschleunigung g den Betrag g = 9.81 sm2 besitzt. Zerlegen
Sie die Gewichtskraft FG des Wagens in ihre Komponenten FG,x in Bahnrichtung und
FG,y senkrecht zur Bahn.
(b) Der Wagen steht still auf der geneigten Bahn, wenn die in Bahnrichtung weisenden
Komponenten F1,x und F2,x der am Wagen angreifenden Kräfte F1 , F2 sowie die
Hangabtriebskraft FG,x sich in der Summe aufheben. Der Betrag F1 der Kraft F1 sei
0.5 N. Wie groß muss der Betrag F2 der Kraft F2 sein, damit der Wagen still steht?
(c) Die Zugkraft FZ des Wagens ist die Summe der angreifenden Kräfte F1 und F2 . Bestimmen Sie die Komponente FZ,y der Zugkraft FZ , welche senkrecht zur Bahn wirkt!
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Bemerkungen zu diesem Übungsblatt: Bitte fertigen Sie Lösungen zu diesen Aufgaben
handschriftlich an (nicht mit Bleistift, keine Gruppenabgabe). Geben Sie sie getackert und
mit Deckblatt ab. Alle Lösungswege sind ausreichend zu erläutern.
Die Abgabekästen für die Übungsblätter befinden sich im ersten Stock des D-Gebäudes
(Kasten 123 für Übungsgruppen 1-7 und Kasten 128 für Übungsgruppen 8-14). Die Rückgabe erfolgt in den Übungsgruppen.
Webseite zur Vorlesung: http://tinyurl.com/MfM1WS1112
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Gruppenübungen
Aufgabe 1.4 Ein Dreieck ∆ sei durch die Eckpunkte
A = (1, 1),
B = (5, 1) und C = (5, 4)
gegeben.
(a) Skizzieren Sie das Dreieck in einem geeigneten ebenen Koordinatensystem.
−−→ −−→
−→
(b) Bestimmen Sie die durch die Pfeile AB, BC und CA dargestellten Vektoren v AB , v BC
und v CA und berechnen Sie den Vektor v AB + v BC + v CA .
(c) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks.
(d) Bestimmen Sie die Innenwinkel des Dreiecks mit Hilfe des Skalarproduktes, indem Sie
die Beziehung
u • v = kuk · kvk · cos(α)
verwenden, wobei α den Winkel zwischen den beiden Vektoren u und v bezeichnet.
Aufgabe 1.5 Gegeben seien die folgenden Punkte in der Ebene
A = (1, 1),
B = (2, −2),
C = (−4, 0),
D = (0, −1),
E = (0, −3),
F = (−2, 2).
(a) Zeichnen Sie die Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem und lesen Sie ihre Polarkoordinatendarstellungen (r, ϕ) aus der Zeichnung ab. Der Winkel ϕ soll dabei im
Intervall [0, 2π) liegen.
(b) Berechnen Sie nun die Polarkoordinatendarstellung (r, ϕ) der Punkte A, B und C
vermöge der Beziehung
p
r =
x2 + y 2
arccos xr , y ≥ 0
ϕ =
,
2π − arccos xr , y < 0
wobei (x, y) die kartesischen Koordinaten eines Punktes P 6= (0, 0) bezeichnen.
Aufgabe 1.6 An einem Massepunkt greifen zwei Kräfte F1 und F2 entsprechend der
nachfolgenden Skizze an:
y
F1
F2
π
6
x
4
Das Koordinatensystem ist dabei so gewählt, dass sich der Massepunkt im Ursprung 0 =
(0, 0) befindet. Beide Kräfte haben den Betrag 2 N . Die Kraft F1 greift unter einem Winkel
von 30◦ und die Kraft F2 unter einem Winkel von 90◦ bezüglich der x-Achse des gewählten
Koordinatensystems an.
(a) Bestimmen Sie die Vektoren, die die Kräfte F1 und F2 beschreiben.
(b) Bestimmen Sie denjenigen Vektor, der die resultierende Kraft F beschreibt.
(c) Ermitteln Sie schließlich den Winkel relativ zur x-Achse, unter dem die resultierende
Kraft F den Massepunkt angreift, exakt ohne Verwendung weiterer Hilfsmittel wie
Taschenrechner, Mobiltelefon oder Notebook.
√
Hinweis: Es gilt cos π6 = 12 3.
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