2. ¨Ubungsblatt zur ” Mathematik 1 für Maschinenbauer (WING

Prof. Dr. Michael Winkler
Bianca Thiere, Paul Wolf
Wintersemester 2013/2014
25.10.2013
2. Übungsblatt zur
Mathematik 1 für Maschinenbauer (WING)“
”
Hausübungen
Abgabe bis Montag, 04.11.2013, 13:00 Uhr
Aufgabe H 1 (Winkel und Längen, 2 + 1 + 2 + 1 Punkte)
Wir betrachten einen Hebel H, welcher im Nullpunkt O = (0, 0) gelagert ist und im
−−→
Punkt A = (5, 3) endet. Des Weiteren sei eine Kraft beschrieben durch den Pfeil AB,
−−→
wobei B = (3, 4) gilt. Seien *
v AB und *
v OA die Vektoren dargestellt durch die Pfeile AB
−
→
und 0A, dann ist das Drehmoment im Nullpunkt gegeben durch M = |*
v AB |·|*
v 0A |·sin(α).
y
B
α
A
H
x
(0, 0)
(a) Berechnen Sie die Abstände der Punkte A und B zum Nullpunkt O.
(b) Ermitteln Sie den Abstand der Punkte A und B.
(c) Bestimmen Sie den Winkel α in Gradmaß, wie in der Skizze angegeben.
(d) Berechnen Sie das Drehmoment M im Nullpunkt.
Hinweis: Aus Gründen mathematischer Vereinfachung wurden alle Einheiten in der Aufgabe
weggelassen.
Aufgabe H 2 (Vektoren und Skalarprodukt, 1+2+1+2+3 Punkte)
Ein Dreieck ∆ sei durch die Eckpunkte
A = (1, 1),
B = (5, 1)
und C = (5, 4)
gegeben.
(a) Skizzieren Sie das Dreieck in einem geeigneten ebenen Koordinatensystem.
−−→ −−→
−→
(b) Bestimmen Sie die durch die Pfeile AB, BC und CA dargestellten Vektoren *
v AB ,
*
v BC und *
v CA und berechnen Sie den Vektor *
v AB + *
v BC + *
v CA .
(c) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks.
(d) Bestimmen Sie die Innenwinkel des Dreiecks (in Gradmaß) mit Hilfe des Skalarproduktes.
(e) Berechnen Sie die Längen der drei Höhen des Dreiecks.
Aufgabe H 3 (Trigonometrische Funktionen, 3+2+3 Punkte)
(a) Berechnen Sie mit Hilfe der Gleichheit
√
1+ 5
cos(36 ) =
4
◦
die exakten Werte von
(i) sin(36◦ )
(ii) tan(36◦ ).
und
(b) Gegeben sei eine Gerade g durch g = mx + a, wobei m die Steigung der Geraden
ist und a den Schnittpunkt mit der y-Achse beschreibt. Zeigen Sie, dass
m = tan(α)
gilt, wobei α den Winkel wie in der Skizze angibt.
(c) Zeigen Sie, dass für zwei orthogonale Geraden g und h mit den Steigungen m1 bzw.
m2 die Beziehung
m1 = −
1
m2
gilt.
Hinweis: Machen Sie sich den Sachverhalt zunächst an einer Skizze klar.
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Gruppenübungen
Aufgabe G 1 (Skalarprodukt, Flächeninhalt)
Wählen Sie 4 verschiedene und beliebig in der Ebene liegende Punkte A, B, C und D
so, dass diese ein Viereck in der Ebene beschreiben.
(a) Bestimmen Sie zu diesen Punkten jeweils den zugehörigen Ortsvektor im kartesischen Koordinatensystem und berechnen Sie den Betrag dieser Vektoren.
(b) Seien die Vektoren *
v AB , *
v BC , *
v CD und *
v DA durch die 4 gewählten Punkte gegeben.
Bestimmen Sie die Winkel, die von je zwei dieser Vektoren eingeschlossen werden.
Hinweis: Für Ihre Berechnungen in dieser Aufgabe dürfen Sie die Funktion ArcusKosinus arccos als Umkehrfunktion des Kosinus verwenden.
(c) Die von Ihnen gewählten Punkte A, B, C und D beschreiben ein Viereck. Bestimmen Sie von diesem Viereck den Flächeninhalt.
Aufgabe G 2 (Projektion)
Betrachten Sie zwei Vektoren *
u, *
v ∈ R2 mit *
u 6= *0 und *
v 6= *0, die den Winkel ϕ ∈ [0, π]
einschließen. Es bezeichne *
p die Projektion von *
v auf *
u, d.h. diejenige Komponente von
*
*
v, die in die Richtung von u weist.
(a) Folgern Sie mit Hilfe von den Gleichungen *
u·*
v=*
u·*
p und *
u·*
p = ±|*
u||*
p|, dass die
*
Länge von p durch
* *
* = |u · v|
|p|
|*
u|
bestimmt ist.
(b) Berechnen Sie für die Vektoren
4
2
*
u=
!
1
3
und *
v=
!
die entsprechenden Projektionen *
p und *
p⊥ sowie deren Längen |*
p| und |*
p⊥ |.
Aufgabe G 3 (Winkel, Skalarprodukt)
Betrachten Sie im folgenden die beiden Dreiecke, die jeweils beschrieben werden durch
die Vektoren *
a, *b, *c und *e, *
f, *
g (siehe Skizze). Es gelten die beiden Beziehungen *c = *
a − *b
und *
g=*
f + *e.
*b
*f
*
a
*c
*e
*
g
3
(a) Zeichnen Sie den Winkel γ zwischen *
a und *b und den Winkel δ zwischen *
f und *e in
die Skizze ein.
* 2 = |*
(b) Zeigen Sie |c|
a|2 + |*b|2 − 2|*
a||*b| cos(γ).
(c) Zeigen Sie |*
g|2 = |*e|2 + |*
f |2 + 2|*e||*
f | cos(δ).
Bitte fertigen Sie Ihre Abgabe handschriftlich und nicht mit Bleistift an. Keine Gruppenabgaben. Jeder Übungszettel soll getackert
und mit Deckblatt versehen sein, auf dem Name, Matrikelnummer, Übungsgruppe und Punktetabelle vermerkt sind. Auf ungetackerte Übungszettel wird mit Punktabzug reagiert. Alle Lösungswege sind ausreichend zu erläutern.
Abgabe bis Montag, 04.11.2013, 13:00 Uhr in den Kästen im ersten Stock des D-Gebäudes.
• Kasten Nr. 15: Übungsgruppen A, B, C, D, E und F
• Kasten Nr. 16: Übungsgruppen G, H, J, K, L und M
Webseite zur Vorlesung: http://tinyurl.com/M1fM-WING-WS1314
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