alle 3. Schulaufgaben Klasse 10 II+III

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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
1.0
Die Raute ABCD mit den Diagonalen AC = e und BD = f ist die Grundfläche
einer schiefen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D
der Grundfläche. Es gilt: e = 14 cm; f = 10 cm; DS = h = 9 cm.
Verlängert man die Diagonale [AC] über A und C hinaus jeweils um x cm und
verkürzt [DS] von S aus um x cm, so erhält man neue Pyramiden A'BC'DS’.
1.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit AC als Schrägbildachse, ϖ = 45°; q = 0,5.
Zeichne ferner eine der neu entstehenden Pyramiden A'BC'DS' in das Schrägbild ein.
1.2
Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden A'BC'DS' in Abhängigkeit von x dar.
(Ergebnis: V(x) =
∋
(
1
,10x2 ∗ 20x ∗ 630 )
3
1.3
Ermittle den Extremwert für das Volumen und gib an, um welche Art von Extremwert
es sich handelt.
1.4
Für welche Werte von x wird der Flächeninhalt des Schnittdreiecks DBS' der
Pyramiden kleiner als 14 cm2 ? .
2.0
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit AB = 5 cm und der Höhe
hc = 10 cm.
2.1
Dem Dreieck werden Rechtecke DEFG einbeschrieben mit D, E ⊆ [AB]; F ⊆ [BC]
und G ⊆ [AC]. Es gilt: DE = y cm; EF = x cm.
Zeichne das Dreieck ABC und das einbeschriebene Rechteck für y = 2.
2.2
Stelle die Länge der Strecke [DE] in Abhängigkeit von der Maßzahl x dar.
(Ergebnis:
y= 5,
x
)
2
2.3
Bestimme rechnerisch die Größe von x so, dass das einbeschriebene Rechteck
ein Quadrat wird.
2.4
Das Dreieck und die einbeschriebenen Rechtecke rotieren um die Achse [MC],
wobei M der Mittelpunkt der Seite [AB] ist.
Bestimme die Mantelfläche der entstehenden Zylinder in Abhängigkeit von x.
(Ergebnis: M(x) =
2.5
∋
(
ο
10x , x2 )
2
Gibt es unter den entstehenden Zylindern solche, die die Mantelfläche M =
5
ο
2
besitzen? (Rechnerische Bestimmung)
2.6
Der Mantel des entstehenden Drehkegels aus 2.4 wird abgewickelt.
Bestimme rechnerisch das Maß des Mittelpunktwinkels ι der Abwicklung.
RM_A0159 **** Lösungen 2 Seiten (RM_L0159)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
Achtung ! Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden.
1.0
Gegeben ist die Parabel p: y = - x2 + 8x - 8.
1.1
Zeichne die Parabel in ein kartesisches Koordinatensystem
Für die Zeichnung:
-1 ′ x ′ 8;
-1 ′ y ′ 10;
1LE = 1cm
1.2
Eine Dreieckschar ABCn ist wie folgt festgelegt: A ( 0 / 0 ); B ( 6 / 0 ); Cn ⊆ p.
1.3
Zeichne das gleichschenklige Dreieck ABC1 mit der Basis [AB], ermittle die
Koordinaten von C1 und berechne die Innenwinkel des Dreiecks ABC1.
1.4
Gib für alle xcn den Definitionsbereich an.
1.5
Das Dreieck ABC2 hat den Flächeninhalt 6 FE. Bestimme durch Rechnung die
Koordinaten von C2.
Hinweis: xC1 < xC2
1.6
Zeichne das Dreieck ABC2 ein.
1.7
Zeichne das rechtwinklige Dreieck ABC3, das [AC3] als Hypothenuse hat und
berechne das Maß des Winkels AC3B.
2.1
Zeichne zum Dreieck ABC1 mit A (- 6 / 2 ); B ( 3 / - 1 ); C1 ( 2 / 7 ) den
Umkreis k.
Für die Zeichnung:
- 7 ′ x ′ 6;
- 5 ′ y ′ 8;
1 LE = 1 cm
2.2
Berechne den Radius des Umkreises.
2.3
Überprüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC1 gleichschenklig ist und berechne
das Maß des Winkels AC1B.
(Zwischenergebnis: Winkel AC1B = 65,12°)
2.4
Das Dreieck ABC1 gehört zu einer Dreieckschar ABCn mit Cn ⊆ k.
Zeichne das Dreieck ABC2 mit [AC2] = 5 cm und berechne das Maß des
Winkels BAC2.
2.5
Das Dreieck ABC3 ist gleichschenklig mit der Basis [AB].
Zeichne das Dreieck ABC3 und berechne seinen Flächeninhalt.
2.6
Berechne den Flächeninhalt des kleineren Kreissegments, das von der
Sehne [AB] und dem Umkreis k eingeschlossen wird.
weiter siehe Blatt 2
RM_A0160 **** Lösungen 7 Seiten (RM_L0160)
1 (2)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
Achtung ! Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden.
3.0
Gegeben sind die Geraden g1 und g2 mit
g1 :
g2 :
y < 1x∗3
2
y < , 1 x ∗1
3
3.1
Zeichne die Geraden g1 und g2 in ein kartesisches Koordinatensystem und
berechne ihren Schnittpunkt.
3.2
Berechne die Neigungswinkel von g1 und g2 und den spitzen Winkel, den die
beiden Geraden einschließen.
RM_A0160 **** Lösungen 7 Seiten (RM_L0160)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
1.0
Ein gerader Kreiskegel hat den Grundkreisradius r = 5 cm und die Höhe h = 12 cm.
Diesem Kegel werden Zylinder einbeschrieben. Die einbeschriebenen Zylinder
stehen auf der Grundfläche des Kegels und berühren den Kegelmantel. Die Höhe
der einbeschriebenen Zylinder ist x cm, der Radius des Grundkreises beträgt y cm.
1.1
Der Kegel mit dem einbeschriebenen Zylinder wird längs der Kegelachse
geschnitten. Zeichne die Schnittfigur.
1.2
Stelle die Mantelfläche der einbeschriebenen Zylinder in Abhängigkeit von x dar
(Ergebnis: M(x) = 5 ο ∋ , x2 ∗ 12x ( )
6
1.3
Es gibt einbeschriebene Zylinder mit der Mantelfläche 45 ο cm2.
2
Ermittle rechnerisch die zugehörige Belegung für x.
1.4
Der Mantel des Kegels aus 1.0 wird abgewickelt. Bestimme das Maß des Mittelpunktwinkels ι der Abwicklung.
2.0
Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 9 cm ist die Grundfläche einer 10 cm
hohen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M.
Verlängert man die Seiten [AB] und [DC] über die Endpunkte hinaus um jeweils
x cm und verkürzt gleichzeitig die Höhe um x cm ( 0 < x < 10 ), so enstehen neue
vierseitige Pyramiden A'B'C'D'S' mit dem Rechteck A'B'C'D' als Grundfläche.
2.1
Zeichne ein Schrägbild der ursprünglichen Pyramide
(CD = Schrägbildachse; ϖ = 45°; q = 0,5) und zeichne eine Pyramide A'B'C'D'S'
farbig ein.
2.2
Berechne das Volumen V(x) der Pyramiden A'B'C'D'S' in Abhängigkeit von x.
2.3
Für welche Belegung von x erhält man die Pyramide mit dem größten Volumen?
2.4
Für welche Belegung von x besitzt die Seitenfläche B'C'S' der Pyramide einen
extremen Flächeninhalt
(Ergebnis: V(x) = - 6x2 + 33x + 270)
(Teilergebnis: A(x) = 4,5 2x 2 , 11x ∗ 120,25 )
2.5
Für welchen Bereich von x ist der Flächeninhalt der Seitenfläche B'C'S' größer
als 54 cm2 ?
RM_A0161 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0161)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
RM_A0162 **** Lösungen 2 Seiten (RM_L0162)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
RM_A0163 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L0163)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
RM_A0164 **** Lösungen 2 Seiten (RM_L0164)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
1.0
Eine Gleichung der Form y = ax2 + bx + c mit G = € ≥ € , a, b, c ⊆ € und a ÷ 0
gehört zur Parabel p1. Sie verläuft durch den Punkt R ( 4 / 5 ) und hat den Scheitel-punkt
S(2/9).
Die Parabel p2 hat die Gleichung y = (x - 3)2 - 4 mit G = € ≥ € .
1.1
Ermittle rechnerisch die Gleichung der Parabel p1 in ihrer Normalform.
[Teilergebnis: p1 mit y = - x2 + 4 x + 5]
Zeichne die Parabeln p1 und p2 in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: - 2 ′ x ′ 8;
- 5 ′ y ′ 10;
Längeneinheit 1 cm
1.2
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte A und C der Parabeln p1 und p2.
[Teilergebnis: A(0/5) und C(5/0)]
1.3
Die Schnittpunkte A und C sind Eckpunkte von Vierecken ABnCDn mit Bn ⊆ p2 und
Dn ⊆ p1. Dabei haben die Punkte Bn und Dn dieselbe x-Koordinate.
Zeichne das Viereck AB1CD1 für x = 1,5 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
Bestimme den Flächeninhalt A(x) der Vierecke ABnCDn in Abhängigkeit von der
Abszisse x der Punkte Bn bzw. Dn.
2.0
Gegeben ist das Prisma ABCDEFGH mit der Höhe h = 6 cm und der Raute ABCD
als Grundfläche mit AC = 10 cm und BD = 18 cm.
2.1
Zeichne das Schrägbild des Prismas so, dass die Diagonale [BD] auf der
Schrägbildachse liegt (Blatt quer nehmen).
Für die Zeichnung:
q = 0,5; ϖ = 45°
2.2
Berechne die Oberfläche des Prismas ABCDEFGH auf eine Stelle nach dem Komma
gerundet.
2.3
Es entstehen neue Prismen, in dem man die Diagonale [BD] von B und D aus um
jeweils x cm verkürzt und die Höhe des Prismas um x cm verlängert.
Zeichne das Prisma für x = 3 in das Schrägbild zu 2.1 ein.
2.4
Gib die maximale Grundmenge für x an.
2.5
Berechne das Volumen der neuen Prismen in Abhängigkeit von x.
2.6
Für welche Werte von x erhält man Prismen, deren Volumen größer als 500 cm3 ist?
(Rechnerische Lösung erforderlich.)
[Teilergebnis: V(x) = (-10x2 + 30x + 540) cm3]
Fortsetzung siehe Blatt 2
RM_A0174 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0174)
1 (2)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
3.0
Der Punkt M ist Mittelpunkt der Basis [QR] des gleichschenkligen Dreiecks PQR
mit QR < 8cm und PM < 8cm . Das Dreieck PQR ist Grundfläche einer Pyramide
PQRS. Seine Spitze S liegt senkrecht über M mit MS < 10cm .
3.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide PQRS. [PM] soll auf der Schrägbildachse
liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ϖ = 45°.
Berechne das Maß  des Winkels MPS auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet.
[Ergebnis:  = 51,34°]
3.2
Punkte An auf der Seitenkante [PS] der Pyramide sind Eckpunkte von Dreiecken
QRAn.
Zeichne das Dreieck QRA1 für PA 1 < 5cm in das Schrägbild zu 3.1 ein.
Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks QRA1 auf 2 Stellen nach dem Komma
gerundet.
3.3
Bei dem Dreieck QRA2 ist der Winkel A2MP = 60°.
Berechne das Maß α des Winkels QA2R auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet.
RM_A0174 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0174)
2 (2)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / II
G < € bzw. G < € x €
1.0
1.1
Auf zwei Dezimalstellen runden.
Gegeben sind die Parabel p : y < ,0,5x 2 ∗ bx ∗ c und die Gerade g : y < 2 x , 1 .
3
Der Graph der Parabel p verläuft durch die Punkte A ( 2 / 8 ) und B ( - 3 / - 14,5 ) .
Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel. [Zwischenergebnis: p : y < ,0, 5x 2 ∗ 4x ∗ 2 ]
1.2
Zeichne die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem und berechne die
Koordinaten der Schnittpunkte S1 und S 2 . (Platzbedarf: ,2 ; x ; 9 und ,2 ; y ; 11)
1.3
Welchen Winkel schließt die Gerade g mit der x - Achse ein?
1.4
Zwischen S1 und S 2 liegen Punkte Pn auf der Geraden g. Geben Sie die Koordinaten
der Punkte Pn in Abhängigkeit von x an. Die Punkte Qn auf der Parabel p haben eine
doppelt so große Abszisse x wie die Punkte Pn .
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte Qn in Abhängigkeit von x.
2.0
In einer rechteckigen Grünanlage ABCD wird die
Grundfläche einer Raute EFGH einbeschrieben,
die später mit Blumen bzw. Rasen bepflanzt wird.
AB < 20 m; BC < 12 m; BC < 12 m
E ⊆ AB; F ⊆ BC ; G ⊆ CD ; H ⊆ DA
2.1
Zeichnen Sie das Rechteck sowie die einbeschriebene Raute im Maßstab 1 : 200.
Berechnen Sie die Seitenlänge der Raute.
[Teilergebnis: EF < 11, 66 m ]
2.2
Innerhalb der Raute werden zwei kongruente dreieckige Beete P1 EH und P2 EF
abgestreckt, für die gilt P1 ⊆ [HG] und P2 ⊆ [GF] , zudem gilt Ρ P1 EH = Ρ FEP2 < 40↓ .
Zeichnen Sie die beiden Beete P1 HE und P2 EF ein.
Berechnen Sie das Maß des Winkels EHP1 und die Streckenlänge EP1 .
[Teilergebnis: Ρ EHP1 < 61,93↓ und EP1 < 10, 52 m ]
2.3
Berechnen Sie den Flächeninhalt der beiden Blumenbeete P1 HE und P2 EF .
2.4
Auf der drachenförmigen Fläche innerhalb der Raute zwischen den beiden
Blumenbeeten P1 HE und P2 EF wird ein Kreissektor mit Mittelpunkt E und Kreisbogen
≈ abgetrennt, auf dem Rasen angesät wird.
PP
1 2
Zeichnen Sie den Kreissektor ein.
2.5
≈ und den Strecken [P G] und [P G] begrenzt wird,
Die Figur, die vom Kreisbogen PP
1
2
1 2
soll mit Steinplatten belegt werden. Berechnen sie diesen Flächeninhalt A Steine .
[Teilergebnis: A Steine < 4, 40 m ]
2
2.6
Welchen prozentualen Anteil hat die mit Steinplatten belegte Fläche an der gesamten
Rautenfläche?
RM_A0205 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0205)
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Klasse 10 / II
1.
Die Punkte P1 ∋ , 0,5 , 2 ( und Q1 ∋ 3,5 6 ( bestimmen die Lage einer nach oben
geöffneten Normalparabel p: y1 < x 2 , x , 2,75 .
a) Berechnen Sie den Scheitelpunkt der Normalparabel.
b) Die Punkte P2 ∋1 , 1( und Q2 ∋ , 2,5 6 ( liegen auf dem Graph der linearen
Funktion g. Berechnen Sie Ihre Funktionsgleichung.
c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der linearen Funktion mit der Normalparabel.
d) Zeichnen Sie die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem.
2.
Die Normalparabel p 1 hat die Funktionsgleichung y < x 2 ∗ 6x ∗ 7 .
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S1 der Parabel p 1 .
b) Die Punkte P1 ∋ , 3 2 ( und P2 ∋1 , 6 ( liegen auf dem Graphen einer nach unten
geöffneten Normalparabel p2 . Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung
in Normalform.
c) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunktes S 2 der
Parabel p2 .
d) Zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem.
e) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte T1 und T2 der beiden Parabeln
p 1 und p2 .
3.
Geben Sie den Definitionsbereich folgender Bruchgleichung an und bestimmen Sie
die Lösungsmenge
3x , 2 ∗ 5 < 2x ∗ 2 ∗ 6 ;
x,2 x
x
x,2
4.
G<≤
Ein rechteckiger Fußboden wird neu gefliest
(siehe Skizze). Die hell geflieste Fläche ist
genauso groß wie die dunkle Fläche.
Die hellen Flächen sind an jeder Stelle
gleich breit. Berechnen Sie die Breite der
hellen Streifen in m.
RM_A0305 **** Lösungen 6 Seiten (RM_L0305)
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