Umfangsgleiche und inhaltsgleiche Rechtecke

Umfangsgleiche und inhaltsgleiche Rechtecke
Geometrieunterricht an Realschulen
Allgemein:
Durch den Geometrieunterricht sollen die Schüler dazu befähigt werden Lagebeziehungen,
Größenverhältnisse und figürliche Anordnungen in der Ebene und im Raum zu begreifen,
bestimmte Figuren in komplexen Zusammenhängen wieder zu erkennen und entsprechende
Untersuchungen durchzuführen. Dabei soll auch das ästhetische Empfinden der Schüler
weiterentwickelt werden. Aufbau und Betrachtungsweise der ebenen Geometrie orientieren
sich vorwiegend an abbildungsgeometrischen Grundsätzen und Vorgehensweisen.
Algebraische Probleme lassen sich häufig geometrisch veranschaulichen, interpretieren und
damit leichter lösen. Umgekehrt können viele geometrische Zusammenhänge mit den aus der
Algebra bekannten Methoden untersucht werden, was eine vielschichtige und vertiefende
Betrachtung im Sinne eines vernetzten und kumulativen Lernens ermöglicht. Die für den
Mathematikunterricht an der Realschule charakteristische Verflechtung von Algebra und
Geometrie erfährt je nach Wahlpflichtfächergruppe in den verschiednen Themenbereichen
ihre besondere Ausprägung.
5. Klasse:
Geometrische Grundformen und geometrische Grundbegriffe
Die Schüler wiederholen, erweitern und vertiefen die in der Grundschule erworbenen
Kenntnisse und Fähigkeiten aus dem Bereich der ebenen und räumlichen Figuren. Bei der
zeichnerischen Darstellung geometrischer Grundfiguren und beim Entwerfen von Mustern
üben sie die Zeichengerät sicher und sorgfältig zu handhaben. Die Schüler bauen und
zeichnen einfache räumliche Modelle und entwickeln dabei ihr räumliches
Vorstellungsvermögen weiter. Hier bietet sich auch der Computereinsatz an.
Themen:
-
Strecke, Halbgerade, Gerade, Kreislinie, Punkt
Quadrat, Rechteck, Dreieck, Vieleck, Kreisfläche
Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kugel
Netze von Würfeln und Quadern
Länge einer Strecke; Umfang von Rechteck und Quadrat
Symmetrische Figuren
Senkrechte und parallele Geraden
Figuren im Gitternetz zeichnen
Flächenmessung:
Die Schüler vergleichen, schätzen und messen Flächen mithilfe konkret-anschaulicher
Verfahren. Die gewonnenen Erkenntnisse wenden sie bei der Lösung von Sachproblemen an.
Themen:
-
Vergleich von Flächen mit ungenormten und genormten Einheiten
Messen von Flächen; Umrechnen von Flächeneinheiten
Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat
Oberfläche von Quader und Würfel
Sachaufgaben
Raummessung:
Aufbauend auf den Überlegungen zur Flächenmessung befassen sich die Schüler mit Fragen
der Raummessung und bestimmen die Rauminhalte einfacher geometrischer Körper.
Themen:
-
Vergleich von Rauminhalten mit ungenormten und genormten Einheiten.
Messen von Rauminhalten; Umrechnung von Raumeinheiten (mm3 bis m3, ml, cl, l,
hl)
Volumen von Würfel und Quader
Sachaufgaben
6. Klasse
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Durch die Bildung der Schnittmenge bzw. der Vereinigungsmenge von Ebenen, Halbebenen,
Geraden und Kreisen erzeugen die Schüler neue geometrische Punktmengen. Die kreative
Arbeit mit dem Computer bietet hier breite Variationsmöglichkeiten.
Themen:
-
Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade, zwischen Geraden sowie zwischen
Kreis und Geraden; Abstand
Halbebene; Schnittmengen und Vereinigungsmengen zweier Halbebenen
Winkel und Winkelmessung; Nebenwinkel und Scheitelwinkel
Punktmengen am Kreis; Sehne, Bogen, Sektor, Segment
Achsenspiegelung:
Die Schüler untersuchen die Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren aus de Umwelt und
gelangen über eigene Übung zu grundlegenden Einsichten in die Gesetze der
Achsenspiegelung.
Sie erschließen die Abbildungsvorschrift, Eigenschaften und Anwendungsmöglichkeiten einer
geometrischen Abbildung.
Themen:
-
-
Fundamentalsätze (umkehrbar eindeutige Zuordnung, Geradentreue, Längentreue,
Winkeltreue, Kreistreue). Abbildungsvorschrift
Eigenschaften von Ur- und Bildfigur (Kongruenz, Umlaufsinn, Lage von Ur- und
Bildgeraden, Fixelemente, Entfernungsgleichheit jedes Achsenpunktes von einem
Urpunkt und dessen Bildpunkt)
Fundamentalkonstruktionen (Halbieren einer Strecke, Mittelsenkrechte; Halbieren
eines Winkels, Winkelhalbierende)
Achsensymmetrische Figuren; Eigenschaften von achsensymmetrischen Dreiecken
und Vierecken
Einfache geometrische Figuren zeichnen
7.Klasse
Parallelverschiebung
Die Schüler entdecken die Parallelverschiebung als neue Kongruenzabbildung und ermitteln
und begründen jeweils die Abbildungsvorschrift und die Eigenschaften mithilfe ihrer
Kenntnisse über die Achsenspiegelung. Bei der rechnerischen Behandlung der
Parallelverschiebung finden die Schüler einen Zugang zu einer algebraischen Sichweise
geometrischer Probleme und damit zu einer engen Verflechtung von Algebra und Geometrie.
Die Schüler begründen die Innenwinkelsumme im Dreieck und darauf aufbauend die
Winkelsumme in Vielecken. Bei allen Betrachtungen empfiehlt sich der Einsatz eines
dynamischen Geometrieprogramms.
Themen:
-
-
Parallelverschiebung als Doppelachsenspiegelung
Parallelverschiebung (Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften) und Vektor
(Pfeil- und Koordinatendarstellung, Spaltenmatrix), Gegenvektor und
Umkehrabbildung
Verknüpfen von Parallelverschiebungen; Vektoraddition
Zeichnerisches Durchführen von Parallelverschiebungen und Berechnen von Punktund Vektorkoordinaten (u.a. Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke)
Parallelaxiom und Eigenschaften paralleler Geraden; Beziehungen zwischen den
Maßen von Stufen- und Wechselwinkeln
Summe der Innenwinkel im Dreieck, Viereck und Vieleck
Außenwinkelsatz beim Dreieck
Drehung
Die Schüler entdecken die Drehung als neu Kongruenzabbildung. Sie ermitteln und
begründen die Abbildungsvorschrift und die Eigenschaften mithilfe ihrer Kentnisse über die
Achsenspiegelung. Den Schülern wird bewusst, dass mit der Drehung geometrische
Eigenschaften begründet und Figuren geordnet werden können. Der Einsatz eines geeigneten
Geometrieprogramms ermöglicht ein tiefes Durchdringen von Zusammenhängen.
- Drehung als Doppelachsenspiegelung
- Drehung(Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften)
- Sonderfälle der Drehung: γ = +/- 90° und γ = +/- 180°
- Drehung von Vektoren um γ = +/- 90° und γ = +/- 180° ; Berechnen von
Punktkoordinaten mithilfe von Vektoren
- Dreh- und punktsymmetrische Figuren, insbesondere punktsymmetrische Vierecke
Lösung geometrischer Probleme mithilfe von Abbildungen:
Aufgaben mit speziellen geometrischen Problemen regen die Schüler in besonderem Maß zu
kreativer Eigentätigkeit an. Über Probierkonstruktionen, auch unter Verwendung eines
Geometrieprogramms, entwickeln sei eine Lösungsstrategie, die sie dann mit ihrem Wissen
über Abbildungen begründen. Solche geometrischen Probleme werden in den folgenden
Jahrgangsstufen wieder aufgegriffen und zunehmend auch algebraisch gelöst.
Themen:
-
spezielle geometrische Probleme mithilfe von Abbildungen lösen (z.B.
Einschreibungsaufgaben und Extremwertaufgaben)
Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche:
Ausgehend von den Kenntnissen über Kreis, Mittelsenkrechte und Wikelhalbierende
entdecken die Schüler, auch mithilfe eines Geometrieprogramms, neue geometrische
Ortslinien und Ortsbereiche. Dabei verbalisieren sie auch deren kennzeichnende geometrische
Eigenschaften.
Die Schüler erweitern ihr Wissen über die Beziehung zwischen Kreis und Gerade und finden
die Zusammenhänge bei Winkeln am Kreis. Bei der Verknüpfung geometrischer Orstlinien
und Ortsbereiche vertiefen sie ihre Kenntnisse und wenden sie in praxisorientierten Aufgaben
an.
Themen:
-
Kreislinie; Kreisinneres, Kreisäußeres; Mengenschreibweise
Mittelsenkrechte, Halbebene; Mengenschreibweise
Winkelhalbierende, Mittelparallele
Parallelenpaar, zugehörige Ortsbereiche
Umkreis und Inkreis beim Dreieck
Winkel am Kreis: Rankwinkel, Mittelpunktswinkel, Zusammenhänge; Thaleskreis als
Spezialfall
Lösung praxisorientierter Aufgaben
Kreis und Gerade: Orthogonalität von Tangente und Zentrale durch den Berührpunkt;
Tangentenkonstruktion und Tangentenabschnitte
Berechnen von Punktkoordinaten mit Hilfe von Vektoren en geeigneten Beispielen
8.Klasse
Dreiecke und Vierecke
Durch di eingehende Beschäftigung mit Dreiecken und Vierecken, vor allem in
Konstruktionsaufgaben, erwerben die Schüler grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten für
den gesamten weiteren Unterricht. Sie lernen den Aufbau geometrischer Beweise kennen.
Anhand exemplarischer, anschaulicher geometrischer Sachverhalte lernen sie kongruenz- und
abbildungsgeometrisch folgerichtig zu begründen. Die Schüler spüren Figureneigenschaften
auf und erarbeiten grundlegende geometrische Sätze. Mithilfe der Symmetrieeigenschaften
nehmen die Schüler in einem gut überschaubaren Teilgebiet der Geometrie einen
systematische Einteilung der Vierecke vor.
Themen:
-
Beziehungen zwischen den Seitenlängen sowie zwischen Seitenlängen und
Winkelmaßen im Dreieck
Konstruierbarkeit von Dreiecken; Kongruenzsätze
Aufbau von kongruenz- und abbildungsgeometrischen Beweisen
Symmetrische und nicht symmetrische Vierecke; Eigenschaften achsensymmetrischer
(diagonal- und lotsymmetrischer) und punktsymmetrischer Vierecke
Umkreis und Inkreis bei Vierecken
Begründung mithilfe von Kongruenzsätzen, Abbildungen und Vektoren
Grundlagen der Raumgeometrie
Mithilfe von Modellen und geeigneten Computerprogrammen erkennen die Schüler
wesentliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen und besondere Winkel im
Raum und schulen dabei ihr räumliches Vorstellungsvermögen.
Sie begreifen, dass Schrägbilder ein erprobtes Mittel sind, um anschauliche Bilder von
Körpern in der Zeichenebene zu erhalten und stellen dabei fest, dass die Maßtreue um
Allgemeinen verloren geht. Sie lernen die wahre Größe von Strecken und Winkeln an
Köropern zu bestimmen.
Themen:
-
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen im Raum; Winkel zwischen Ebene
und Gerade; Winkel zwischen zwei Ebenen
Exemplarisches Darstellen von Körpern im Schrägbild (Verzerrungswinkel und
Verzerrungsfaktor)
-
Konstruktives Ermitteln von Strecken und Winkeln in wahrer Größe bei Prismen und
Pyramiden; Netze
9.Klasse
Flächeninhalt ebener Vielecke
Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise
kongruente Teilfiguren und entdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sin . Sie
erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mit denen sie die Flächeninhalte beliebiger
Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Prallelogrammen und Dreiecken in
der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische
Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen.
Themen:
-
Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhe im Dreieck, im Parallelogramm und im
Trapez
Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Trapez, Dreieck und
Drachenviereck
Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen;
Aufgaben unter Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen unt Extremwerte
berechnen
Abbildung durch zentrische Streckung
Die Schüler führen maßstäbliche Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen von Figuren durch
und gelangen so zur Abbildung durch zentrische Streckung, die sie sowohl geometrischkonstruktiv wie auch algebraisch mithilfe von Vektoren erfassen und in vielfältigen
Übungsaufgaben anwenden.
Themen:
-
-
Abbildungen durch zentrische Streckung: Abbildungsvorschrift,
Abbildungseigenschaften
Zeichnerische Ermittlung von Bildpunkten, Urpunkten und Streckungszentrum;
Einschreibungsaufgaben
Vierstreckensatz; Ermitteln von Strecken bzw. Streckenlängen; Schwerpunkt des
Dreiecks
Zentrische Streckung mithilfe von Vektoren; Multiplikation eines Vektors mit einer
Zahl; Darstellung der Abbildungsvorschrift mithilfe von Vektoren
Berechnungen: Koordinaten von Bildpunkten, Urpunkten und Zentrum;
Streckungsfaktor; Gleichungen von Bildgeraden und Bildparabeln
(Parameterverfahren); Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks
Ähnliche Figuren; Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (Herleitung eines Satzes); Nachweis
der Ähnlichkeit von Dreiecken
Praxisorientierte Aufgaben
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
Die Schüler finden und begründen Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck und erschließen
damit die Möglichkeit, Streckenlängen in ebenen Figuren, in Körpern um im
Koordinatensystem zu berechnen. Auch hier entwickeln die Schüler ihre Fertigkeit weiter,
geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu
untersuchen.
Themen:
-
Flächensätze am rechwinkligen Dreieck
Berechnen von Streckenlängen (auch im Koordinatensystem und in Körpern): u.a.
Länge der Diagonalen des Rechtecks und des Quadrats, Höhe des gleichseitigen
Dreiecks, Betrag des Vektors
Berechnungen am Kreis
Die Schüler begründen den bereits bekannten proportionalen Zusammenhang zwischen
Kreisumfang und Kreisdurchmesser bzw. zwischen dem Inhalt der Kreisfläche und dem
Quadrat des Kreisradius, und zwar mithilfe anschaulichdurchgeführter
Grenzwertüberlegungen. Eine näherungsweise Bestimmung der Kreiszahl führen die Schüler
mithilfe des Taschenrechners oder der Computers durch.
Themen:
-
Kreiszahl π und ihre näherungsweise Bestimmung; Umfang und Flächeninhalt des
Kreises
Kreisbogen und Kreissektor
Berechnungen am Kreis und bei Kreisteilen
Raumgeometrie
Die Schüler verwenden den Satz über die Zerlegungsgleichheit von Körpern , um aus dem
bereits bekannten Volumen des Quaders das Volumen eines geraden Prismas herzuleiten. Sie
lernen das Prinzip des Cavalieri kennen und erfahren, wie man mit ihm das Volumen weiterer
Körper ermitteln kann. Sie erarbeiten Volumenformeln mithilfe von Grenzwertüberlegungen
und setzen dabei den Computer ein. Mithilfe geeigneter Modelle erzeugen die Schüler
Rotationskörper und gewinnen Formeln zur Berechnung des Volumens bzw. der Oberfläche
dieser Körper.
Themen:
-
Prisma und Pyramide: Netz, Mantel- und Oberfläche; Prinzip des Cavalieri; Volumen
von Prisma und Pyramide
Gerader Kreiszylinder und gerader Kreiskegel als Rotationskörper: Axialschnitt,
Mantellinie; Abwicklung, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen
Kugel: Oberfläche und Volumen
Anwendungsaufgaben unter besonderer Berücksichtigung funktionaler
Abhängigkeiten und auch unter Einbeziehung zusammengesetzter Körper
Einführung des Themas von umfangs- und inhaltsgleichen
Rechtecken
Im Allgemeinen wird das Thema umfangsgleiche und inhaltsgleiche Rechecke, laut Lehrplan,
in den einzelnen Klassenstufen nicht explizit behandelt. Es ist aber generell möglich den Stoff
so aufzubereiten, dass er in jeder Stufe unterrichtet werden kann, nachdem man den Inhalt des
Gebietes auf das entsprechende Niveau angepasst hat.
Klassenstufe 5
Durch den Einsatz eines Geometrieprogramms, also durch interaktive Arbeitsblätter, versucht
man neben der Unterrichtung der Geometrie außerdem den Umgang mit dem Computer zu
schulen. Die Schüler der 5. Jahrgangsstufe versucht man anfangs spielerisch an das Thema
heranzuführen.
Ein, vom Lehrer vorbereitetes, interaktives Arbeitsblatt dient der ersten Berührung mit dem
Thema. Die Schüler sollen durch einfache Aufgaben, wie hier das Verschieben der Punkte A
und B, zuallererst die Distanz zum Medium Computer verlieren. Man kann durch weitere
leichte Aufgaben das Interesse des Schülers wecken und den Schülern durch diese
spielerische Art nebenbei die wichtigsten Hauptaspekte des Themas „umfangs- und
inhaltsgleiche Rechtecke“ lehren.
Mögliche Arbeitsaufträge:
Stelle durch verschieben der Punkte A und B zwei Rechtecke her, mit:
a) verschiednem Umfang und verschiedenem Inhalt,
b) gleichem Umfang und verschiedenem Inhalt,
c) verschiedenem Umfang und gleichem Inhalt.
d) Kannst du auch zwei verschiednen Rechecke gleichen Umfangs und gleichen
Inhalts herstellen?
Zeichne deine Rechtecke auch auf kariertes Papier!
In einem zweiten interaktiven Arbeitsblatt stellt der Lehrer den Schülern ein präpariertes
Rechteck vor. Bei diesem Arbeitsblatt kann, wie beim vorhergehenden auch, eine Seite des
Rechtecks bewegt werden, mit der Ausnahme, dass das Rechteck hier keinen variablen
Umfang besitzt.
Mögliche Arbeitsaufträge (umfangsgleiche Rechecke):
Verändere die Form des Rechtecks durch Verziehen von Z.
Beobachte dabei den Umfang und seinen Inhalt!
Was fällt auf?
Zeichne die Rechtecke auch in dein Heft!
Dieses interaktive Arbeitsblatt dient dazu die Erkenntnis zu erlangen, dass das quadratische
Recheck größten Flächeninhalt besitzt, im Vergleich zu umfangsgleichen nicht quadratischen
Rechtecken.
Mögliche Arbeitsaufträge(flächengleiche Rechecke):
Setze aus den 16 Zentimeterquadraten Rechecke zusammen, die jeweils den Inhalt 16cm2
besitzen.
Wie groß ist der Umfang solcher Rechecke.
Zeichen deine Rechecke in dein Heft!
Diese Aufgabe dient der Erkenntnisfindung, dass sich die Einheitsquadrate zu flächengleichen
Rechecken verschiedener Form zusammensetzen lassen, die verschieden großen Umfang
besitzen.
Klassenstufe 6
In der sechsten Klasse kann prinzipiell der gleiche Stoff behandelt werden. Zusätzlich können
hier einfache Dezimalzahlen als Maßzahlen verwendet werden. Außerdem ist es möglich auch
etwas abstraktere Arbeitsaufträge zu verteilen.
Mögliche Arbeitsaufträge:
Gegeben ist eine Strecke mit der Länge 16,00 cm.
Falte diese Strecke (Umfang) zu einem Recheck auf (Verziehe dazu A,B, C).
Verändere die Form des Rechtecks ABCD durch Verziehen von D und beobachte dabei den
Flächeninhalt des Rechecks.
Klassenstufe 7/8
Während in den Klassen 5 und 6 im wesentlichen nur die experimentelle Erkenntnisfindung
im Vordergrund steht, könnte man in den Klassenstufen 7 und 8 mit den zur Verfügung
stehenden schulalgebraischen Werkzeugen arbeiten. Dabei geht man von konkreten Größen
zu Variablen für Größen über. Außerdem treten Methoden für die systematische Konstruktion
umfangs- bzw. flächengleicher Rechtecke hinzu.
Im Allgemeinen werden nun in dieser Klassenstufe folgende Fragen behandelt:
1.
Wie gewinnt man aus einem gegebenen Rechteck ein umfangsgleiches, das
einen größeren bzw. kleineren Inhalt hat, und wie lässt sich diese Verwandlung
mit einer geometrischen Konstruktion bewerkstelligen?
2.
Wie gewinnt man aus einem Recheck ein flächengleiches Recheck mit
unterschiedlichem Umfang?
Zu 1.
In der 7. bzw. 8. Klasse bietet es sich an von der bildhaften Darstellung zur
formalsprachlichen Beschreibung überzugehen.
Als Aufgabe würde sich nun anbieten,
die neu erlangte Fläche,
den maximalen Flächengewinn,
und die neu erlangte Fläche in Abhängigkeit der bereits bekannten Größen a (Rechtecklänge)
und b (Rechteckbreite) berechnen zu lassen.
Aufgabe:
Seien a, die Rechtecklänge, und b, die Rechteckbreit, eines Rechtecks gegeben. Zusätzlich ist
vorgegeben, dass der Umfang des Rechtecks konstant ist.
Nun wird die Rechtecklänge a um die Länge c verkürzt.
Berechne allgemein, um wie viel die Rechteckbreite b zunehmen muss, damit der Umfang
konstant bleibt!
Berechne allgemein die Fläche F`, die sich aus den neuen Größen a` und b` ergibt!
Sei nun a = 10cm, b = 3 cm und c = 2cm.
Berechne nun mit den angegebenen Größen die reellen Werte für den Umfang, die
ursprüngliche Fläche F und die neue Fläche F`!
Vergleiche F und F`! Was fällt dir auf?
Berechen den Flächengewinn zuerst allgemein und dann für die angegebenen Werte!
Wie muss c gewählt werden, dass der Flächengewinn maximal wird?
Berechnung von b`:
U = 2 (a + b)
U = 2 (a – c + b`)
Somit gilt:
b`= b + c
Berechnung von F`:
a`= a-c
F = ab
F`= a`b`
F`= (a - c) * (b + c)
F`= ab + ac – bc – c2
F = ab
Berechnung des Flächengewinns:
∆F = F`- F = ab + ac – bc – c2 – ab = ac – bc – c2
= (a – b) c – c2
(Berechnung für welches “c“ der Flächengewinn maximal wird:
Quadratische Ergänzung :
∆F = (a – b) c – c2
= - [c2 – 2c (a – b)/2 + ((a – b)/2)2] + ((a – b)/2)2
= - (c – ((a – b)/2))2 + ((a – b)/2)2
Æ c = (a – b) / 2
)
Zusammenfassung:
Bei der umfangsgleichen und flächenvergrößernden Rechtecksverwandlung muss ein
Ausgleich der Seitenlängen stattfinden, damit der Umfang konstant bleibt. Das variierbare,
umfangsgleiche Rechteck hat maximalen Flächeninhalt, wenn es zu einem Quadrat wird!
Zu 2.
Ein Rechteck, in flächengleiches Rechteck mit unterschiedlichen Umfang umzuwandeln stellt
im Großen und Ganzen keine Schwierigkeit dar. Die Umwandlung erfolgt mittels
ergänzungsgleicher Rechtecke und ist mit einer Lineal – Zirkel – Konstruktion leicht zu
bewerkstelligen.
Das variierbare, inhaltsgleiche Rechteck hat minimalen Umfang, wenn es zu einem Quadrat
wird!
Aufgabe:
Seien a, die Rechtecklänge, und b, die Rechteckbreite, eines Rechtecks gegeben. Zusätzlich
ist vorgegeben, dass der Flächeninhalt des Rechtecks konstant ist.
Außerdem sei bekannt, dass a > b ist, und dass das neue Rechteck
durch a`= a – c1 und b`= b + c2 aufgespannt wird.
Berechne, unter der Voraussetzung, dass c1 bekannt ist, die Länge c2 allgemein, um die man b
vergrößern muss, um wieder ein flächengleiches Rechteck zu erhalten!
Berechne den Umfang U` allgemein, der sich für das neue Rechteck ergibt!
Berechne nun allgemein, um wie viel der Umfang kleiner wird!
Sei nun a = 10cm, b = 3 cm und c1 = 2cm.
Berechne nun alle Werte genau, die du zuvor allgemein bestimmt hast.
Berechnung von c2:
Es gilt:
ab = a`b`
ab = (a – c1) (b + c2)
c2 = c1b / (a – c1)
Berechnung von U`:
U`= 2 (a`+ b`)
= 2 [(a – c1) + (b + c2)]
= 2 (a – c1 + b + c1b / (a – c1))
= 2a – 2c1 + 2ab/ (a - c1)
Berechnung des Umfangsverlustes:
∆U = U`- U = 2a – 2c1 + 2ab/(a – c1) – 2a – 2b =
= c12 – c1 (a – b) / (a – c1)
Zusammenfassung:
Bei der flächengleichen inhaltsverkleinernden Rechteckverwandlung muss ein Ausgleich der
Flächegröße stattfinden, damit der Inhalt invariant bleibt.
Man kann außerdem in der Klassenstufe 7/8, da die benötigte Algebra bereits bekannt ist, dass
Thema auch funktional betrachten. Man untersucht die funktionale Abhängigkeit der
Seitenlängen voneinander bei umfangsgleichen bzw. inhaltsgleichen Rechtecken.
Umfangsgleiche Rechtecke:
Der Lehrer gibt den Schülern ein interaktives Arbeitsblatt vor, indem ein umfangsgleiches
Rechteck abgebildet ist. Die freie Ecke des Rechtecks erzeugt eine Spur mit der
Funktionsgleichung b = (U/2)- a (Gerade).
Inhaltsgleiche Rechtecke:
In einem interaktiven Arbeitsblatt ist ein inhaltsgleiches Rechteck abgebildet. Durch
Verschieben des Gleiters erzeugt die freie Ecke eine Spur. Diese Spur zeichnet den Ast einer
rechtwinkligen Hyperbel im ersten Quadranten mit der Funktionsgleichung b = F/a .
Klassenstufe 9/10
In der 9. Klasse wird die, bereits in der 8. Klasse begonnene funktionale Betrachtungsweise,
fortgesetzt. Auch in diesen Klassenstufen wird wieder die funktionale Abhängigkeit des
Inhalts bzw. des Umfangs von den Seitenlängen umfangsgleicher bzw. inhaltsgleicher
Rechtecke untersucht.
Umfangsgleiche Rechtecke:
Wir betrachten den Flächeninhalt umfangsgleicher Rechtecke in Abhängigkeit von ihrer
Rechtecklänge.
Wie lautet der Funktionsterm?
U = 2 (a + b)
Somit:
F = a [(U/2)-a]
Für welche Seitenlänge des umfangsgleichen Rechtecks erhält man den größt möglichen
Flächeninhalt?
Extremwertbestimmung mittels quadratischer Ergänzung:
F = a [(U/2)-a]
= - (a2 – 2 a U/4 + (U/4)2) + (U/4)2 =
= - (a – U/4)2 + (U/4)2
Maximaler Flächeninhalt für : a = U/4
Somit ergibt sich für b = U/4.
Welche Figur ergibt sich?
Quadrat
Inhaltsgleiche Rechtecke:
Entsprechend ergibt sich bei flächengleichen Rechtecken für den Umfang eine
Funktionsgleichung in Abhängigkeit von der Seitenlänge.
Wie lautet die Funktionsgleichung?
F = ab
Somit:
U = 2 (a + F/a)
Für welche Seitenlänge ergibt sich der minimale Umfang bei einem inhaltsgleichen Rechteck?
Extremwertbestimmung mittels quadratischer Ergänzung:
U/2 = a + 2 (F)1/2 +1 F/a - 2 (F)1/2 = [(a)1/2 + (F/a)1/2]2 - 2 (F)1/2
U wird minimal für (a)1/2 + (F/a)1/2 = 0.
Es ergibt sich a = (F)1/2, für a > 0, und für den minimalen Umfang Umin = a (F)1/2.
Somit ergibt sich für eine Seitenlänge des umfangsgleichen Rechtecks a = (F)1/2.
Welche Figur ergibt sich?
Quadrat
Specials:
- Konstruktion eines flächengleichen Rechteckes mit Hilfe des 2. Strahlensatzes!
- Konstruktion eines flächengleichen Rechteckes mit Hilfe des Höhensatzes!