_ c1 _ c1

200
4 Analytische Geometrie
Vektorprodukt
EinführungBewegen sich in einem Magnetfeld elektrisch geladene Teilchen quer zu den Feldlinien des Magnetfeldes,
so werden sie abgelenkt. Das Magnetfeld übt also auf frei bewegliche elektrische Ladungen eine Kraft FL
aus, die nach dem niederländischen Forscher Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928) Lorentz-Kraft genannt wird.
Sie ist orthogonal zu den Feldlinien und orthogonal zur Bewegungsrichtung der Elektronen. Ihre Richtung
kann man mit der sogenannten Linke-Hand-Regel bestimmen.
Zur Bestimmung der Lorentz-Kraft sucht man also einen Vektor, der zu zwei gegebenen Vektoren orthogonal ist. Dieses Problem taucht in vielen weiteren Anwendungen aus Physik und Technik sowie auch in
der Geometrie häufig auf.
1
Aufgabe _  +
_  +

 2
 1
$   
a)
Bestimmen Sie zu den Vektoren a #$  =   – 3 
      und #b = 
  2     einen
– 1
1
c1
 

Vektor #c  $  =   c 
2   , der zu beiden Vektoren orthogonal ist.
_ c +
3
_ c +
c 1

b)
Geben Sie alle möglichen Lösungen für #c  $  =   c 2   an.
3
Wie unterscheiden sich die verschiedenen Lösungsvektoren?

$  = c1 + 2 c2 – c3 = 0.
$  muss gelten: #$a ·  #c  
$  = 2 c1 – 3 c2 + c3 = 0 und #b$ ·#c  
Lösung
a) Für den gesuchten Vektor #c  
| 
|
2 c1 – 3 c2 + c3 = 0
Seine Koordinaten müssen somit das lineare Gleichungssystem        
    erfüllen.
c1 + 2 c2 – c3 = 0
Durch Äquivalenzumformungen kann man das lineare Gleichungssystem auf folgende Form bringen:
| 
| 
1
|
c1    = } 
  c
7 c1        – c3 = 0
7 3 
  ; also      
   
  

        
3
7 c2 – 3 c3 = 0
c  = }   c
|
2
7 3

$  = o
#$ 
c3 ≠ 0, da sonst #c 

Setzt man z. B. c3 = 7, so ergibt sich c1 = 1 und c2 = 3.
_ 7 +

$  =  3 
  als auch zu #b$  orthogonal.
Der Vektor #c  
     ist sowohl zu #$a

 
#$   als auch #b
b)
Alle möglichen Vektoren, die sowohl zu a
$  orthogonal sind, haben die Form
_  + _  +
1  c
} 
7 3
 
3} 
  c
7 3    = c3· 
c3
1  
} 
 7
3      =  t· 
  } 
 7
1
_ 3  7  + mit t = } 7 . 
 1
c3

#$ 
c3 ≠ 0 und t ≠ 0
Diese Vektoren sind also Vielfache voneinander, sie unterscheiden sich nur durch ihre Länge, aber nicht
durch ihre Richtung.
201
4.1 Winkel im Raum
Information
(1) Vektorprodukt zweier Vektoren
_  +
_ a +
b1
a 1

$  b 2   durch, so ergibt sich das
#$  a 
Führt man die Rechnung für die allgemeinen Vektoren a = 
2   und #b = 
 
b3
3
lineare Gleichungssystem
| 
|
a1·c1 + a2·c2 + a3·c3 = 0
  .
    
         
b1·c1 + b2·c2 + b3·c3 = 0
Durch Äquivalenzumformungen kommt man auf die Form
| 
|
(a b  – a b )·c                          + (a b  – a b )·c  = 0
       |.
  |                 
                        (a b  – a b )·c  + (a b  – a b )·c  = 0
a1·c1             + a2·c2                 + a3·c3 = 0
  und anschließend auf
     
               
       (a2 b1 – a1 b2)·c2 + (a3 b1 – a1 b3)·c3 = 0
2 1
Falls a1 b2 – a2 b1 = 0
und a3 b1 – a1 b3 = 0,

#$  und b#$  
so sind a
Vielfache voneinander.
1 2
1
2 1
| 
2
2 3
3 2
3
3 1
1 3
3
Falls a1 b2 – a2 b1 = 0
und a3 b1 – a1 b3 ≠ 0,
a2 b3 – a3 b2
c1 = } 
· 
c
so ist c3 = 0 und
a1 b2 – a2 b1 3
Man erhält:        
  
  , falls a1 b2 – a2 b1 ° 0. c3 ist frei wählbar.
c2 ist frei wählbar.
a3 b1 – a1 b3
c2 = } 
· 
c
a1 b2 – a2 b1 3
a2 b3 – a3 b2
   

, der zu zwei g egebenen
Wählt man c3 = a1 b2 – a2 b1, so erhält man den einfachen Vektor #c  $  =   a   
3 b1 – a1 b3  
a1 b2 – a2 b1
b
a

 1
 1

a 2   und #b = 
b 2   orthogonal ist.
Vektoren #$a = 
$   
   
a3
b3
|
_  +
_  +
Definition 2
Statt Vektorprodukt
sagt man auch
Kreuzprodukt.
1 2
_  +
_ a +
_ 
+
_ 
+
a   
b 1
a 1
2 b3 – a3 b2

a 3 b1 – a1 b3  
b 2   kann man den Vektor      
2   und #b = 
$   
berechnen.
Für je zwei Vektoren #$a = 
  a 
3

a1 b2 – a2 b1

##$
$ , gelesen a Kreuz b, bezeichnet.
#$   und b
#$  × #b   und wird mit a Er heißt das Vektorprodukt von a
Beispiel
_ 5 +
_  3 +

 5
  4 
    und #b = 
$  – 2 
      erhält man #$a  × #b $  =  
Für #$a = 
    = _     
_     
+  +.
4·3      –
5·(– 2)
    
  
 
5·5      –
0·3 
0·(– 2) – 4·5
22
 
 
25 
– 20
Das folgende Rechenschema erleichtert die Berechnung des Vektorprodukts:
_ 
+
a    
2 b3 – a3 b2

#$a  × #b$  =   a    
 
  
3 b1 – a1 b3 

a1 b2 – a2 b1 +
a1
a2
a3
a1
a2
a3
–
b1
b2
b3
b1
b2
b3
(2)Rechengesetze
Satz 4: Gesetze für das Vektorprodukt

$  und alle reellen Zahlen r gilt:
$  und #c 
Für alle Vektoren #$a ,  #b

#$  Vielfache voneinander sind, dann ist #$a $  #o$. 
 × #b = 
(1)Wenn #$a  und b

#
$
#
$
  #$a  × b 
(2)b  × #$a = –

#$  #c  $ )= a $  #$a  × #c $ 
#$  × #b + 
(3)#$a  × ( b + 

#
$
(4)#$a  × ( r·b  ) = r·( #$a  × #b $ )
Anmerkung:
Für das Vektorprodukt gilt also nicht das Kommutativgesetz, sondern das unter (2) in Satz 4 angegebene
Rechengesetz.
202
4 Analytische Geometrie
Information(3)
Geometrische Deutung des Vektorprodukts

$  ist zu den Vektoren a
#$   und #b$  orthogonal.
Der Vektor #$a  × #b
Zudem gilt:

$ und #$a  × #b
$  in einem Punkt an,
Trägt man Pfeile der drei Vektoren #$a,  #b
so folgen sie aufeinander wie die x1-, die x2- und die x3-Achse.

$  und #$a  × #b
$  bilden ein RechtsMan sagt dazu: Die drei Vektoren a#$,  #b

#$   und #b
$  kein rechter Winkel sein
system, wobei der Winkel zwischen a
muss.

$  gilt:
Für die Länge des Vektors #$a  × #b

2
  | #$a  × #b $ | = (a2 b3 – a3 b2)2 + (a1 b3 – a3 b1)2 + (a1 b2 – a2 b1)2
= (a2 b3)2 + (a3 b2)2 + (a1 b3)2 + (a3 b1)2 + (a1 b2)2 + (a2 b1)2 – 2·(a2 a3 b2 b3 + a1 a3 b1 b3 + a1 a2 b1 b2)
= ( a21  + a22   + a23   )·( b21  + b22   + b23   )– (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3)2

2
2
=   | a #$  |2 ·  | #b $ | – (  #$a·  #b  $ )
2

=   | a #$  |2·  | #b $ | –   | a #$  |2·  | #b $ | ·cos2 α
Beachte:
sin2 α + cos2 α = 1
2
2

=   | #$a  |2 ·  | #b $ | ·(1 – cos2 α) =   | #$a  |2 ·  | #b $ | ·sin2 α = (    | a #$  |·  | #b $ |·sin α )

2
Wegen 0° < α < 180° ist sin α > 0.

$  erhält man somit:
Für die Länge des Vektors #$a  × #b

#$  × #b $ | =  | #$a  |·  | #b $ |·sin α.
  | a Dies entspricht aber gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms,

#$  und #b
$  aufgespannt wird.
das von den Vektoren a
Satz 5: Flächeninhalt eines Parallelogramms

$  ein Parallelogramm auf, so gilt für dessen Flächeninhalt:
Spannen zwei Vektoren #$a
  und #b

#$  × #b $ | =  | #$a  |·  | #b $ |·sin α
A =  | a (4) Vektorprodukte mit einem CAS berechnen
Ein CAS-Rechner besitzt auch zur Berechnung des Vektorprodukts

$  einen vordefinierten Befehl crossP .
zweier Vektoren #$a
  und #b

#$ × #b$  .
Dieser Befehl liefert den Vektor a Weiterführende 2 Beweise von Rechengesetzen
Aufgaben Weisen Sie die Gültigkeit der Rechengesetze (1) bis (4) aus Satz 4 von Seite 201 nach.
3
Flächeninhalt eines Dreiecks
Zeigen Sie:
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC gilt:

 × #####$
AB AC  |
A = 1} ·    | #####$
2
203
4.1 Winkel im Raum
4
Ein Spat ist ein Körper
mit sechs Seiten
flächen, wobei gegen
überliegende Seiten
flächen zueinander
kongruente Parallelo
gramme sind.
Volumen eines Spats

$  und #c $  aufgespannt.
Ein Spat wird durch die Vektoren a#$ ,  #b
Zeigen Sie:
Für das Volumen eines Spats gilt:

V =  | ( #$a  × b # $ ) ∙ #c  $ |
5
Volumen einer dreiseitigen Pyramide

$  und #c 
$  wird eine dreiseitige Pyramide
Durch die drei Vektoren a#$,  #b
aufgespannt.

#$  wird auch
( a#$  × b#$  ) ∙ c 
als Spatprodukt
bezeichnet.
Zeigen Sie, dass für das Volumen dieser dreiseitigen Pyramide gilt:

V = 1}  ·   | (  #$a  × #b $ ) ∙ #c  $ |
6

_ – 2 +
 3

_  3 +
 0
Übungsaufgaben
6 Bestimmen Sie drei Vektoren, die sowohl zum Vektor #u$ =    
  5     als auch zum Vektor #$ 
v= – 1 
      ortho 
gonal sind.
7
_  2 +
_ – 3 +

 4
 3 # $
#$a  =     
a)
 =  
  2    
– 1     ; b
8
_  2 +
_ – 4 +

 3
 0 # $
#$a  =    – 5 
b)
     ; b   =     2    
_  1 +
_ 4 +

 1
 2 # $
#$a  =     
c)
  = 0 
– 1     ; b
    
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks PQR.
a) P(– 3 | 1 | 4), Q(2 | – 5 | 8), R(6 | 8 | – 5) 9

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren #$a
  und b#$. 
b) P(– 4 | – 5 | 3), Q(0 | 2 | – 4), R(– 1 | 7 | 12)
Gegeben sind die Punkte A (– 1 | 3 | 5), B (2 | 5 | 5), C (4 | 3 | 2) und D (10 | – 6 | 12).
Zeigen Sie, dass die Punkte A, B, C und D die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind.
Bestimmen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide.
10 Von einem Prisma ABCDEFGH sind die Punkte A (– 1 | 5 | – 3),
B (3 | 8 | – 4), C (2 | 10 | – 2), D (– 2 | 7 | – 1) und F(1 | 10 | 2) gegeben.
a)
Untersuchen Sie, was für ein besonderes Viereck die Grundfläche
ABCD ist.
b)
Ermitteln Sie die Seitenflächen mit dem größten Flächeninhalt.
c)
Berechnen Sie das Volumen des Prismas.
11 Die Ebene E schneidet einen Würfel mit der Kantenlänge 10 cm.
Dabei entsteht das Viereck PQRS.
a)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes R.
b)
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks PQRS.
c)
Bestimmen Sie die Innenwinkel des Vierecks.
12 Für jedes t enthält die Ebene Et die Punkte A (– 1 | 1 | – 1),
Bt (– 1 | 2 | 2 t  +  1) und Ct (5 | 3 t  +  1 | – 1). Die Gerade gt ist für jedes t
orthogonal zu Et und verläuft durch den Punkt P (7 | – 11 | 4).
a)
Für welchen Wert von t verläuft gt parallel zu einer Koordinatenachse?
b)
Berechnen Sie für diesen Wert von t den Flächeninhalt des Dreiecks ABtCt.