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Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
Reihe 4
S1
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl
Lösungen
π
V/A
Stefanie Ginaidi, Frankfurt
© akg-images / VISIOARS
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Papyrus Rhind
Klasse:
9
Dauer:
2–3 Stunden
Inhalt:
Betrachtung der Kreiszahl π unter historischen Aspekten; Methoden der alten
Ägypter und der Griechen; biblische
Darstellung; Neuzeit; Kurioses
Plus:
Material zur Differenzierung, Material zur
Selbstkontrolle, Tippkarten
Die Zahl π wird im Unterricht der 9. Klasse für Berechnungen am Kreis eingeführt. Viele
interessante historische Aspekte dieser mathematischen Konstanten inden jedoch
kaum Beachtung. In diesem Gruppenpuzzle werden diese Aspekte aufgegriffen und
angewandt.
79 RAAbits Mathematik Juni 2014
Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
Reihe 4
S2
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Didaktisch-methodische Hinweise
V/A
Mithilfe modernster Rechenanlagen werden heutzutage immer mehr Nachkommastellen
der Kreiszahl ermittelt (vgl. RAAbits Mathematik, I/C Reihe 38). Umso erstaunlicher ist
es daher, dass bereits die alten Ägypter ein Verfahren kannten, um die Zahl π zu approximieren.
Im vorliegenden Gruppenpuzzle (à vgl. Grundwerk RAAbits Mathematik, II/A Reihe 10,
Folie M 1) lernen die Jugendlichen Meilensteine kennen, die für die Erforschung der
Zahl π wichtig waren. In Expertengruppen erarbeiten sich Ihre Schüler Wissen zu einem
historischen Schwerpunkt, das sie anschließend an ihre Stammgruppe weitergeben. Der
Beitrag vermittelt Methoden, die über die im Unterricht in der Regel üblichen Methoden
hinausgehen. Die Expertengruppen bilden Sie z. B. je nach Interesse an den einzelnen
Epochen, ggf. auch nach Leistungsfähigkeit, da die Materialien M 4 und M 7 eher leichter
sind, die anderen Materialien eher anspruchsvoller.
Ziele
T
H
C
Ihre Schüler sollen …
– erkennen, dass die Zahl π bereits seit der Antike erforscht wird,
– sich in mindestens eine Methode zur Bestimmung von π einarbeiten (auch die Experten des Materials M 6 „Neuzeit 1“),
I
S
N
– erkennen, dass es grundsätzlich verschiedene Verfahren zur Annäherung an π gibt,
– selbstständig und in Gruppen arbeiten,
A
R
O
– ihr Wissen ihren Mitschülern vermitteln.
Zum Gruppenpuzzle
Ihre Schüler wiederholen anhand des Materials M 1 Grundlagen zum Thema „Kreis“
und das Rechnen mit Wurzeln. Dann entscheiden sie sich für eines der fünf Materialien M 3–M 7. Alle Lernenden, die dasselbe Material gewählt haben, treffen sich in der
Expertengruppe. In dieser Gruppe bearbeiten Ihre Schüler die Materialien gemeinsam.
V
Dann setzen sie sich so in Stammgruppen zusammen, dass für jedes Material ein Experte
vertreten ist. Reihum stellt jeder Experte sein Fachgebiet vor. Je nach Größe der Klasse
kann es auch vorkommen, dass es in einer Gruppe zwei Experten zu einem Material
gibt. Dann tragen diese gemeinsam vor. Sollte eine Expertengruppe früher fertig sein,
so kann sie das Zusatzmaterial (M 8) lesen und den anderen davon berichten.
Das Material M 2 ist als Übersichtsblatt gedacht. Es dient Ihren Schülern auch für Notizen. So haben Ihre Schüler am Ende eine Zusammenfassung.
Sie können anstelle des Treffens in Gruppen nach der Expertenrunde auch so vorgehen, dass je ein Experte (oder auch alle Experten gemeinsam) vor der gesamten Klasse
über sein (ihr) Thema vortragen. Dies bietet sich an, falls Ihre Klasse mit der Methode
„Gruppenpuzzle“ nicht vertraut ist oder falls Ihre Klasse eher leistungsschwach ist und
der Vortrag der Experten deshalb vor der Klasse erfolgen soll, sodass Sie die Vorträge
mitbekommen.
Als weitere Materialien legen Sie die Tippkarten (M 9) als Hilfe für leistungsschwache
und das Zusatzmaterial M 8 für schnelle Schüler bereit. Das Übersichtsblatt (M 2) kopieren Sie für jeden Schüler. Mit dem Kompetenzraster (M 10) schätzen sich die Lernenden
rückblickend ein. Sammeln Sie diese Bögen ein.
79 RAAbits Mathematik Juni 2014
Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
Reihe 4
S4
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Auf einen Blick
V/A
Einstieg mit Wiederholungsblatt und Gruppenpuzzle
Material
Thema
M1
Der Kreis und die Wurzel – frische dein Wissen auf!
(WH)
Definition von Mittelpunkt, Radius und Durchmesser beim Kreis; Definition der Quadratwurzel
M2
Gruppenpuzzle zur Kreiszahl – behalte den Überblick!
Übersichtsblatt
M3
Die alten Ägypter – Approximation über ein Achteck
Ihre Schüler lernen den Weg der alten Ägypter kennen, den Kreis durch
ein Achteck zu ersetzen. Die Kreiszahl wird durch einen Bruch angenähert, der sich geometrisch aus dem Ersetzen des Kreises durch ein
Achteck ergibt.
M4
T
H
C
Ein biblischer Text lässt auf π schließen!
Ihre Schüler erkennen, dass bereits in der Bibel indirekt Hinweise auf
die Kreiszahl gegeben werden. Sie lernen, dass praktische Anwendungen der Geometrie wie z. B. in der Architektur oft der Anlass waren,
π zu erforschen. Dieses Material eignet sich für eher leistungsschwächere Schüler.
I
S
N
A
R
O
Da hier eine Bibel verwendet wird, müssen sich Ihre Schüler freiwillig
dafür entscheiden dürfen, ob sie hier Experte sein wollen.
M5
V
Die Approximation von π nach Archimedes
Ihre Schüler approximieren π geometrisch. Es werden Strecken erzeugt,
deren Gesamtlänge in etwa gleich der Kreiszahl ist. Gegebenenfalls kann
im Unterricht (z. B. auch in Informatik) das Verfahren nach Archimedes
in einen Algorithmus umgesetzt werden.
M6
Die Neuzeit 1 – die Transzendenz von π erkennen
Ihre Schüler lernen den Begriff der Transzendenz kennen. Dieses Thema
eignet sich besonders für Lernende mit einem breiten Interesse an der
Mathematik („Experten“).
M7
Die Neuzeit 2 – π mit der Monte-Carlo-Methode bestimmen
Handlungsorientiert wenden Ihre Schüler ein probabilistisches Verfahren
an, um die Kreiszahl anzunähern. Ihre Schüler müssen das Verfahren
mehrfach anwenden, um einen guten Wert zu erhalten.
M8
Kurioses – Zusatzmaterial
Sollte eine Expertengruppe früher fertig sein, so kann sie das Zusatzblatt lesen und bearbeiten. Hier wird Kurioses, Lustiges, Hilfreiches und
Interessantes rund um die Kreiszahl vermittelt.
M9
Tippkarten zum Gruppenpuzzle
M 10
Sich selbst rückblickend einschätzen – mein Kompetenzraster
(KR)
Zur Kontrolle rückblickend notieren, was man gelernt hat
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Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
Reihe 4
Verlauf
M1
Material
S1
LEK
Glossar
Lösungen
Der Kreis und die Wurzel –
frische dein Wissen auf!
V/A

Zur Erinnerung
Ein Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der
Ebene, die von einem festen Punkt M die gleiche
Entfernung r haben.
Dabei heißt:
M  Mittelpunkt,
r  Radius (r > 0),
2 • r = d  Durchmesser (d > 0).
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Regeln
Es gilt: Der Durchmesser d ist doppelt so groß wie der Radius r, also d = 2 • r.
Für den Flächeninhalt des Kreises gilt: AKreis = π • r2.

Für den Umfang des Kreises gilt: UKreis = 2 • π • r = π • d.
Wiederholung „Wurzel“
Die Quadratwurzel
einer Zahl a ≥ 0 ist diejenige Zahl x ≥ 0, für die gilt:
x2 = a (a, x ∈ r).
Also:
a = x, genau dann, wenn gilt: x 2 = a
Allgemein: Ist a ≥ 0 und p ∈ n, p > 1, so besitzt die Gleichung xp = a genau eine
Lösung ≥ 0. Diese wird mit p a bezeichnet und die p-te Wurzel aus a
genannt.
Beispiel:
Denn:
x2 = 9
⇔
x=±
9=±3
2
32 = ( −3) = ( −3) ⋅ ( −3) = 9
Das Quadrat der Zahlen 3 und –3 ist gleich der Zahl 9: 32 = 9 und (–3)2 = 9.

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Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
Reihe 4
Verlauf
Material
S3
LEK
Glossar
Lösungen
Die alten Ägypter –
Approximation über ein Achteck
Die alten Ägypter haben besonders in der Zeit
um 3000 bis 500 v. Chr. in manchen Gebieten
der Mathematik sehr gute Fähigkeiten entwickelt.
Einmal im Jahr trat der Nil, der durch das Land
fließt, über seine Ufer. Dies hatte zwar zur Folge,
dass fruchtbarer Nilschlamm auf den Feldern
abgelagert wurde. Allerdings wurden auch jedes
Mal die Abgrenzungen der Felder unkenntlich
gemacht, sodass die alten Ägypter diese jährlich neu vermessen mussten. Deshalb waren sie
wahre Meister in der Flächenberechnung.
Gizeh
T
H
C
Sie kannten auch eine Methode, um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen. Sie
wählten statt des Kreises ein passendes Achteck und berechneten den Inhalt dieses
Achtecks.
I
S
N
Aufgabe
a) Wie groß ist der Inhalt des eingezeichneten
Quadrats Qklein in Abhängigkeit vom Radius
des Kreises?
Qgroß
Qklein
A
R
O
Qklein =
b) Wie groß ist das große Quadrat Qgroß in
Abhängigkeit von Qklein?
Qgroß =
V
c) Zählt nach, wie viele kleine Quadrate in das
Achteck passen: ________
d) Begründet, warum für den Flächeninhalt des
Achtecks gilt:
A Achteck =
63
63
7
28 2
⋅ Qgroß =
⋅ 4 ⋅ r2 = ⋅ 4 ⋅ r2 =
⋅r
81
81
9
9
Der Kreis ist etwa ein kleines Rasterquadrat größer als das Achteck, d. h.
A Achteck +
1
64
≈ AKreis, also AKreis =
⋅ 4 ⋅ r2
81
81
Den alten Ägyptern war also bekannt: Der Flächeninhalt eines Kreises berechnet sich
näherungsweise als:
AKreis =
V/A
© Nicolai Steinkamp / pixelio.de
M3
64
64
⋅ 4 ⋅ r 2 , wobei
⋅ 4 ein konstanter Wert ist, den wir heute π nennen.
81
81
e) Berechnet den Näherungswert, den die alten Ägypter für π kannten, mit dem Taschenrechner auf fünf Nachkommastellen:
π≈
79 RAAbits Mathematik Juni 2014
Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
Reihe 4
Verlauf
Material
S5
LEK
Glossar
Lösungen
Die Approximation
von π nach Archimedes
M5
V/A
Archimedes von Syrakus (ungefähr von 287 bis 212 v. Chr.) war einer der größten Wissenschaftler des Altertums. Er machte viele Entdeckungen in verschiedenen Bereichen.
So entdeckte er z. B. das Hebelgesetz. Er erfand Methoden zur Bewässerung der Felder,
die bisweilen heute noch benutzt werden. Er entwickelte als Erster ein systematisches
Verfahren, um die Zahl π anzunähern. Hierzu benutzte er sein Wissen zur Bestimmung
des Umfangs von Vielecken.
Er zeichnete innen in den Kreis und
außen herum ein Dreieck. Man sieht
mit bloßem Auge, dass der Umfang der
Dreiecke noch stark vom Umfang des
Kreises abweicht.
T
H
C
Dann ersetzte er das Dreieck durch
Sechsecke, Zwölfecke und immer so weiter, bis das Vieleck fast dem Kreis glich.
Damit fand er heraus, dass π zwischen den Werten 3,140845 und 3,142857 liegen muss.
Er bestimmte π also sehr genau!
I
S
N
Um das Verfahren von Archimedes nachzuvollziehen, verwendet man eigentlich einen
PC, der die einzelnen Schritte genau berechnet. Man kann es im Kleinen aber auch selbst
ausprobieren.
A
R
O
Aufgabe
a) Zeichnet einen Kreis mit dem Radius r = 3 cm.
Es gilt: U = π • d, wobei d der Durchmesser, also hier gleich 6 cm ist.
V
r = 3 cm
M
b) Konstruiert aus dem Kreis ein Sechseck, indem
ihr den Radius am Kreisumfang abtragt. Welche
Kantenlänge hat das Sechseck? Überlegt zuerst,
messt dann nach.
c) Fällt auf eine Kante des Sechsecks die Mittelsenkrechte.
Verbindet den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit dem
Kreis mit den Eckpunkten der Kante des Sechsecks. Dabei
entstehen die Strecken S1 und S2.
d) Messt die Länge der Strecken S1 und S2. Addiert die
Kantenlängen. Welche Länge erhaltet ihr?
S2
e) Dieser Wert entspricht in grober Näherung π, denn
es gilt: Der Umfang des Kreises entspricht etwa dem
Umfang des Zwölfecks:
UZwölf eck
UKreis ≈ UZwölfeck, also π • d ≈ UZwölfeck, also π ≈
d
(
)
(
S1
)
Da hier gilt: d = 6 cm und UZwölfeck = 6 • | S1 | + | S2 | folgt: π ≈ | S1 | + | S2 | .
Die Idee dieses Verfahrens stammt von Archimedes, er arbeitete jedoch viel, viel
genauer!
79 RAAbits Mathematik Juni 2014
Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
Reihe 4
Verlauf
M9
Material
S9
LEK
Glossar
Lösungen
Tippkarten zum Gruppenpuzzle
V/A

Tippkarte
zu „Methode der alten Ägypter“
a) Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich aus Länge • Breite.
b) Das kleine Quadrat passt viermal in das große.
c) Gemeint sind die ganz kleinen Rasterquadrate.
Es passen 63 ganz kleine Rasterquadrate in das Achteck, wenn man sich zwei
kleine Dreiecke zu einem Quadrat ergänzt vorstellt.

Tippkarte
zu „Die Bibel“
b) Es hat mit dem Meer zu tun. Die Menschen hatten die Vorstellung, dass es rund
sei.
T
H
C
c) Die Zahlen 30 und 10 werden erwähnt.
Beachtet die Überschrift zu Kapitel 7, Vers 13 bis 26:
I
S
N
Es soll ein Tempel erbaut werden.

Tippkarte
zu „Archimedes“
A
R
O
b) Stellt im Zirkel den Radius des Kreises ein. Stecht irgendwo auf dem Kreisumfang ein und tragt den Radius ab. Macht mit dem Zirkel eine Markierung auf
dem Kreisbogen. Wiederholt dies weitere vier Mal: stecht also jeweils bei der
markierten Stelle ein und tragt erneut den Radius ab, und zwar so lange, bis ihr
– zusammen mit dem Anfangspunkt – sechs Markierungen habt.
V
c) Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht durch die Mitte der Seitenkanten (des Sechsecks) verläuft.

Tippkarte
zu „Transzendenz der Zahl π“
1. Die Lösungen ähneln sehr dem Beispiel.
Beachtet, dass gilt: 4
m
n
a =
n
am =
m
( a)
n
3=
3 ⋅ 16 =
48
, n ∈ n, m ∈ z, a ∈ r, a ≥ 0

Tippkarte
zu „Monte-Carlo-Methode“
b) Stellt euch das große Quadrat in vier kleine Quadrate mit der Kantenlänge r
zerlegt vor.
π
Flächeninhalt Kreis
π ⋅ r2
i)
entspricht , r2 „kürzt sich weg“.
=
4
Flächeninhalt Quadrat 2 r ⋅ 2 r
Der Quotient aus der Anzahl der Linsen im Kreis und im ganzen Quadrat muss
also mit 4 multipliziert werden, um π zu erhalten.

79 RAAbits Mathematik Juni 2014
V/A
Sich selbst rückblickend einschätzen – mein Kompetenzraster
Stufe 1
Stufe 2
Stufe 3

 
  
… erklären, wo in der Bibel die
Zahl π eine Rolle spielt.
im Buch der Könige
… das Verfahren von Archimedes
beschreiben.
Grundidee
Gedankengang in groben
Schritten
Gedankengang in kleinen
Schritten und mit Zahlenangaben
Geschichte des Tempelbaus mit
eigenen Worten wiedergeben
nennen, wo in den Versen 13–26
die Zahl π eine Rolle spielt
… den Namen „Ferdinand von
Lindemann“ einordnen.
Ferdinand von Lindemann war ein
deutscher Mathematiker.
Ferdinand von Lindemann lebte
Ferdinand von Lindemann bewies
_________ und war Mathematiker. 1882 Folgendes: __________.
… ein Verfahren zur Bestimmung
von π erklären und durchführen.
in groben Zügen
detailgetreu
detailgetreu mit Einordnung in
den historischen Kontext
… π als Zahl ausdrücken (mindestens drei Nachkommastellen).
mit dem Taschenrechner (wissen,
welche Taste zu π gehört)
π mit einem der geschilderten
Verfahren bestimmen
π mit drei Nachkommastellen
auswendig aufsagen
… den Begriff der Transzendenz
erklären.
ein Beispiel nennen
exakte Deinition
exakte Deinition und zwei
Beispiele für transzendente Zahlen
die Deinition für eine irrationale
Zahl kennen
die beiden Zahlengruppen
nennen, in die sich irrationale
Zahlen einteilen lassen
die beiden Zahlengruppen
nennen, in die sich irrationale
Zahlen einteilen lassen, und
Beispiele nennen
… erklären, was eine MonteCarlo-Methode ist.
wissen, dass Monte-CarloMethoden zur Stochastik zählen
wissen, was eine Monte-CarloMethode ist
beschreiben, wie man mit einem
Monte-Carlo-Versuch π bestimmt
… die Formeln für den Kreisumfang und den Flächeninhalt des
Kreises angeben.
einen Kreis zeichnen und zeigen,
was der Kreisumfang und was der
Flächeninhalt des Kreises sind
die Formeln für Kreisumfang und
Flächeninhalt angeben
die Formeln für Kreisumfang und
Flächeninhalt angeben und zwei
Beispielberechnungen anführen
... erklären, in welche beiden
Gruppen sich die irrationalen
Zahlen unterteilen lassen.
Lösungen
fünf Geschichten mit eigenen
Worten und detailgetreu wiedergeben
Glossar
vier Geschichten mit eigenen
Worten und detailgetreu wiedergeben
LEK
drei Geschichten mit eigenen
… mindestens drei kuriose
Geschichten zur Zahl π erzählen. Worten wiedergeben
Material
S 10
Grundidee präzise formuliert mit
Skizzen und Beispielrechnungen
T
ICH
Grundidee mit Skizzen
Verlauf
Grundidee
ANS
… die Methode der alten Ägypter
wiedergeben.
Reihe 4
Ich kann
Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
VOR
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M 10
Ein Gruppenpuzzle zur Kreiszahl π
Reihe 4
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
S1
Lösungskarten für die Schüler

M3
Die alten Ägypter – Approximation über ein Achteck
V/A
a) Qklein = r2
b) Qgroß = 4 • Qklein = 4 • r2
c) Es sind 63 kleine Rasterquadrate im
Achteck enthalten.
d) Das große Quadrat enthält 81 und das
Achteck 63 Rasterquadrate.
D. h., das Achteck bedeckt 63/81 des
großen Quadrats.
63
63
7
28 2
A Achteck =
⋅ Qgroß =
⋅ 4 ⋅ r2 = ⋅ 4 ⋅ r2 =
⋅r
81
81
9
9
Gizeh © Nicolai Steinkamp / pixelio.de
T
H
C
64
81
etwa den Anteil des großen Quadrates wiedergibt, der vom Kreis bedeckt wird.
64
Also gilt: A Achteck =
⋅ Qgroß .
81
Es gilt: Qgroß = 4 • r2.
e) Begründung: Der Kreis ist etwas größer als das Achteck, sodass der Bruch
I
S
N
Damit ergibt sich die gesuchte Beziehung: π ≈ 3,16049
A
R
O

M4
Ein biblischer Text lässt auf π schließen!
b) Vers 23: „Und er machte das Meer, gegossen, von
einem Rand zum andern zehn Ellen weit, rundherum,
und fünf Ellen hoch, und eine Schnur dreißig Ellen
lang war das Maß ringsherum.“
V
c) 10 Ellen Durchmesser, 30 Ellen Umfang
d) π ist hier 30 : 10, also genau 3.
e) Es geht um die Konstruktion eines Tempels. Bei Themen wie Architektur hatten
die Menschen schon in der frühen Geschichte einen Anlass, sich mit der Berechnung von Kreisen zu beschäftigen.

M5
Die Approximation von π nach Archimedes
© akg-images
b) Das Sechseck hat die Kantenlänge 3 cm, weil es aus
sechs gleichseitigen Dreiecken besteht, wobei
r = 3 cm die Seite eines solchen Dreiecks ist.
d) Die Ergebnisse können hier aufgrund von Messungenauigkeiten voneinander abweichen. Ein Beispiel
wäre etwa 3,2.
Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr.–212 v. Chr)

79 RAAbits Mathematik Juni 2014