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Mathematik 2 für Ökonomen
Übungsheft
Thomas Zehrt
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
Universität Basel
Frühjahrssemester 2009
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Thema
Vorlesung
Übung
Vektoren und Matrizen 1
Vektoren und Matrizen 2
Vektorräume und Rang einer Matrix
Lineare Gleichungssysteme
Eigenwerte und Eigenvektoren
Regressionsrechnung
Differenzengleichungen
Quadratische Formen und Definitheit
Extremwertprobleme
Kombinatorik und Grundlagen der Stochastik
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Standardverteilungen
18.
25.
11.
18.
25.
01.
08.
15.
22.
29.
06.
13.
20.
24.
10.
17.
24.
31.
07.
14.
21.
28.
05.
12.
19.
26.
02.
02.
03.
03.
03.
04.
04.
04.
04.
04.
05.
05.
05.
2009
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02.
03.
03.
03.
03.
04.
04.
04.
04.
05.
05.
05.
05.
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2
Vektoren und Matrizen 1
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 2, 15. Auflage, Sankt
Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 29-46.



1
2
 −1 
 2 



1. Es seien die beiden Vektoren x = 
 1  und y =  3  gegeben. Berechnen Sie x • y,
0
5
||x||, ||y|| und ||x + y||.


 
4
1
2. Es seien die beiden Vektoren x =  3  und y =  −1  gegeben.
2
−5

(a) Berechnen Sie die Längen der beiden Vektoren.
(b) Bestimmen Sie einen Einheitsvektor n, der senkrecht auf beiden Vektoren x und y steht.

 

−1
1



3. Es seien die beiden Vektoren x =
3
und y =
0  gegeben. Bestimmen Sie einen
−2
2
√
zu x und y senkrechten Vektor der Länge 4 5.
4. Bestimmen Sie die Schnittmenge von jeweils zwei der drei folgenden Geraden.




1
2
 −2  + r  −3 
g1 :
1
1




3
−2
 −3  + s  5 
g2 :
4
1
 


4
2
 0  + t  −10  .
g3 :
1
−2
5. Wir wissen bereits, dass sich Ebenen auch in der so genannten Koordinatendarstellung
schreiben lassen, d.h. in der Form z = ax + by + c mit bestimmten reellen Zahlen a, b und c.
(a) Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung der Ebene






2
4
−1
 5 + r 0  +s 1 
E:
−1
−3
1
(b) Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Ebene E : 2x − 3z = 4.
3
Vektoren und Matrizen 2
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 2, 15. Auflage, Sankt
Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 1-28.
1. Gegeben sind die folgenden Matrizen:
A=
1 4
2 5
B=
1 3
−2 1
I=
1 0
0 1
C=
3 −1 2
4 0 −2
Berechnen Sie A − B, I − A, AB, BA, B 2 , CD, C T C, CC T .


0 1
D= 1 0 
2 −1

1 0 1
2. Gegeben ist die Matrix D =  0 1 0 . Bestimmen Sie D 2 , D 3 und D 4 .
1 0 1

3. Gegeben sind die Matrix A =
(I − 2A)−1 und Ab.
3 −4
−1 2
und der Vektor b =
5
7
. Berechnen Sie

0
1
2 −1 3 6
 1
0 

4. Berechnen Sie für die Matrizen A =  0 2 −3 4 , B = 
 2 −1  und den Vektor
1 4 −2 3
−1 1
10
c=
den Vektor x = ABc.
10



2 0
1 0 1
. Gesucht ist eine Matrix
und B =
5. Gegeben sind die Matrizen A =
1 1
0 −1 1
X, so dass AX = B gilt. Ist die Lösung eindeutig?
6. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen


1
1
3
3
1 0 5
 1 2
2
2
1 0
1
2 


A=
B=
C=
2 3 0  D=
 1 −2 1 −2 
−1 −1
−1 r
1 2 t
0 1 −2 −1


4
Zusatzaufgaben
1 0
1 2 3
überprüfe man, ob die Operationen
1. Für A =
und B =
2 1
1 1 0
ABAT , BAAT , B T AB und BB T A möglich sind. Falls ja, suchen Sie das Ergebnis.

1
2. Gegeben seien die Matrizen A =  0
0
soweit möglich, AC, CA, A − C, C T A,



1 1
1 1
1 1 , C =  0 1 . Berechnen Sie,
0 1
2 0
CAT und C T AT .


λ1 0 0
3. Gegeben sei die Matrix A =  0 λ2 0 . Bestimmen Sie A3 und A−1 . Ist
0 0 λ3
A−1 immer definiert?
4. Berechnen Sie

1 2

A=
2 1
3 0
die Determinanten der


1 2
4


B=
2 −1
3
7
3 1
folgenden Matrizen

3
4 −2
4 −2

1
C=
D=
−2 1
2 1
1
5. Es seien zwei verschiedene positive Zahlen a
Inverse der Matrix C existiert.

a 0
C= 0 a
b 0
und b gegeben. Zeigen Sie, dass die

b
0 
a
6. Lösen Sie die folgenden Matrizengleichungen unter Anwendung der Rechenregeln
für Matrizen nach X auf. Wir nehmen dabei an, dass alle (während der Rechnung)
vorkommenden Matrizen quadratische und invertierbare (n × n)-Matrizen sind.
a) 2CX + 2X − B = 3A
b) (XA + In X)T = AT + In
7. Berechnen Sie mit den (2, 3)-Matrizen
3 2 5
1 8 −2
A=
, B=
,
−1 2 3
3 0
1
C=
5
8 10
0 −2 8
die folgenden Ausdrücke:
(i) 3 AT − 4 (B + 2 C)T , und
T
(ii) 2 (A + B) − 3 AT − B T + 5 (C − 2 A).
8. Berechnen Sie die Matrix X aus der Gleichung
wenn A =
2 1
0 1
2(B + X) + XA = X(B − A) + 3X
4 3
und B =
.
3 2
,
5
Testfragen zur Vorlesung
1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Begründen Sie Ihre
Behauptungen, bzw. geben Sie ein Gegenbeispiel.
(a) Ein Vektor mit nur positiven Komponenten ist stets länger als einer mit nur
negativen Einträgen.
(b) Die Summe von zwei Vektoren ist stets länger als jeder der beiden Vektoren.
(c) Ein reelles Vielfaches eines Vektors ist stets länger als der Vektor selbst.
2. Beweisen Sie für Vektoren u, v ∈ R2 die Ungleichung u • v ≤ ||u|| ||v||.
3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Skalarprodukt von zwei Vektoren
einerseits und den Längen beider Vektoren andererseits?
4. Ist die vektorielle Darstellung einer Geraden im dreidimensionalen Raum eindeutig?
Begründen Sie Ihre Aussage.
5. Ist die vektorielle Darstellung einer Ebene im dreidimensionalen Raum eindeutig?
Begründen Sie Ihre Aussage.
6. Für beliebige Matrizen A und B kann das Produkt AB definiert sein, das Produkt
BA aber nicht. Geben Sie dafür ein Beispiel. Das heisst, dass die Multiplikation
von Matrizen weit entfernt davon ist, kommutativ zu sein.
7. Zeigen Sie, dass für invertierbare Matrizen A aus AA−1 = I auch A−1 A = I folgt.
8. Zeigen Sie, dass für invertierbare Matrizen A und B die Gleichung (AB)−1 =
B −1 A−1 gilt.
9. Ist die Matrizenmultiplikation für quadratische Matrizen kommutativ? Finden Sie
zwei (2 × 2)-Matrizen, die mit allen (2 × 2)-Matrizen kommutieren.
10. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen.
(a) Für invertierbare (n × n)-Matrizen A und B gilt:
(AT B)T · (BA)−1 · (AB T )T
= (AB)T .
(b) Für jede Matrix M ist M T M symmetrisch.
11. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Begründen Sie Ihre
Behauptungen, bzw. finden Sie ein Gegenbeispiel.
(a)
(b)
(c)
(d)
Jede
Jede
Jede
Jede
Matrix besitzt eine Inverse.
quadratische Matrix besitzt eine Inverse.
Matrix besitzt eine Transponierte.
quadratische Matrix besitzt eine Transponierte.
12. Beweisen Sie die Rechenregel
det(A) = a11 a22 − a12 a21
für Determinanten von (2 × 2)-Matrizen mit Hilfe der Entwicklung nach einer Zeile.
13. Beweisen Sie die Jägerzaunregel für Determinanten von (3 × 3)-Matrizen mit Hilfe
der Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.
14. Beweisen Sie den Produktsatz
det(AB) = det(A) det(B)
für reguläre (2 × 2)-Matrizen.
6
15. Zeigen Sie mit Hilfe des Produktsatzes für Determinanten, dass es in der Menge
der invertierbaren Matrizen keine Nullteiler gibt.
16. Welche geometrische Deutung lässt die Determinante einer quadratischen Matrix
zu?
17. In der dritten Zeile einer (17 × 5)-Matrix stehen nur Nullen. Welchen Wert hat die
Determinante?
18. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Begründen Sie Ihre
Behauptungen, bzw. geben Sie ein Gegenbeispiel.
(a) Für jede Matrix ist die Determinante definiert.
(b) Für jede quadratische Matrix ist die Determinante definiert.
(c) Ist die Determinante einer Matrix A definiert, so auch die Determinante der
Inversen von A.
(d) Ist die Determinante einer Matrix A definiert, so auch die Determinante der
Transponierten von A.
(e) Die Determinante einer Matrix (falls definiert), ändert sich nicht, wenn man
zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert.
(f) Die Determinante einer Matrix (falls definiert), ändert sich nicht, wenn man
zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addiert.
(g) Die Determinante einer Matrix (falls definiert), ändert sich nicht, wenn man
zu einer Zeile ein Vielfaches einer Spalte addiert.
(h) Die Determinante einer Matrix (falls definiert), ändert sich nicht, wenn man
zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert und dann das gleiche
Vielfache einer beliebigen Spalte zu einer anderen Spalte addiert.
7
Vektorräume und Rang einer Matrix
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 2, 15. Auflage, Sankt
Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 55-68
1. (a) Sind die folgenden Vektoren linear abhängig?



 

1
1
1
a =  1  , b =  2  , c =  −1 
3
1
−1

1
(b) Wie muss die Zahl x gewält werden, so dass die Vektoren a, b und d =  5  linear
x
abhängig sind?

2. Von drei Geldanlagen (Festgeld, Aktie I, Aktie II) wird angenommen, dass sie in einem Jahr
folgende Werte haben:
Schlechte Konjunktur
Mittlere Konjunktur
Gute Konjunktur
Festgeld
1′ 050
1′ 050
1′ 050
a
Aktie I
4′ 200
6′ 300
8′ 400
b
Aktie II
0
10′ 500
42′ 000
c
Zeigen Sie, dass durch geeignete Kombination dieser Geldanlagen (Käufe bzw. Leerverkäufe)
folgende Auszahlungsschemata möglich sind:


 ′



0
31 500
0
0 
x =  2′ 100  , y =  31′ 500  , z = 
′
′
′
21 000
10 500
4 200
3. Gegeben

1
 4
a=
 1
4
seien die folgenden Vektoren im R4 :

 

 
0
0
1
 1
 1 

 0 
, b =  , c =  , d = 
 0
 0 

 1 
−1
1
0






4
 4 

(a) Ist der Vektor x = 
 4  eine Linearkombination von
4
i. a und b?
ii. a und c?
iii. a und d?
(b) Finden Sie einen Vektor y ∈ R4 , welcher sich nicht als Linearkombination von a, b, c
und d darstellen lässt.
4. Gegeben sei die Matrix A =
a b
c d
a) rg(A) = 2
. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit
b) rg(A) = 1
c) rg(A) = 0
8
5. Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen:




1
2 3
1 2 4
4 −2
4 −2




B=
2 −1 1
D=
C=
A=
2 1 3
2
1
−2
1
3 0 7
3
1 1




1 1
0
3
1
0
1
−1
 0 1
1
5 
 F = 1 1
0
1 
E=
 1 1
0 −2 
2 3 −1
4
7 4 −3 −4
Zusatzaufgaben
1. Von vier Geldanlagen (Festgeld, Aktie I, Aktie II, Aktie III) wird angenommen,
dass sie in einem Jahr folgende Werte haben:
Festgeld Aktie I Aktie II Aktie III
Schlechte Konjunktur
960
900
600
0
′
Mittlere Konjunktur
960
1 800
660
540
Gute Konjunktur
960
2′ 700
780
1′ 020
a1
a2
a3
a4
Untersuchen Sie, ob die Vektorsysteme {a1 , a2 , a3 } bzw. {a2 , a3 , a4 } eine Basis des
R3 bilden.
9
Testfragen zur Vorlesung
1. Geben Sie die Definitionen der folgenden Begriffe: Linearkombination, lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit, Vektorraum und Basis.
2. Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgenden Familien von Vektoren linear
abhängig oder linear unabhängig sind:
u, v ∈ R100 mit u = πv
u, v ∈ R100 mit u = 3.14v
u, v, w ∈ R3 mit u = 2v = 3w
u, v, w ∈ R3 mit 2u + 3v = 0
 
1
3

2 
(e) u, v, w ∈ R mit u + v =
3


1/2
und u + 2w =  1 
3/2


π
(f) u =  e 
e−π
(a)
(b)
(c)
(d)

0
3. Beweisen Sie, dass der Nullvektor u =  0  linear abhängig ist.
0

4. Seien u1 , u2 , . . . , un eine Basis des Vektorraums V . Dann kann jeder Vektor aus V
als Linearkombination dieser Vektoren geschrieben werden. Zeigen Sie, dass diese
Darstellung eindeutig ist.
5. Seien u1 , u2 , . . . , un paarweise orthogonale Vektoren. Zeigen Sie, dass diese Vektorfamilie linear unabhängig ist.
6. Bilden
 Vektoren
 die

 

1
−1
0
√1  1  , √1  1  , √1  0 
2
2
3
0
1
0
3
eine Orthonormalbasis von R ? Begründen Sie Ihre Aussage.
7. Finden Sieeinen
Einheitsvektor

 (Vektor der Länge 1), der orthogonal auf den beiden
1
1
Vektoren  1  und  1  steht.
1
−1
8. Geben Sie die Definitionen der folgenden Begriffe: elementare Zeilenumformung,
Rang einer Matrix, reguläre Matrix und singuläre Matrix.
9. Geben Sie drei äquivalente Kriterien dafür an, dass eine quadratische Matrix regulär
ist.
10. Geben Sie drei äquivalente Kriterien dafür an, dass eine quadratische Matrix singulär ist.
11. Erklären Sie (kurz in Worten), warum eine reguläre (quadratische) Matrix stets
eine Determinante ungleich Null besitzt.
12. Beweisen Sie, dass eine (2 × 2)-Matrix genau dann invertierbar ist, wenn sie den
Rang 2 hat.
10
Lineare Gleichungssysteme
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 2, 15. Auflage, Sankt
Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 69-98
1. Gegeben sei folgendes Gleichungssystem, wobei p eine beliebige reelle Zahl ist:
p·x
x
p·y
y
+
+
z
+
p·z
=
=
=
1
2
−3
(a) Für welche Werte von p hat das Gleichungssystem genau eine Lösung?
(b) Ermitteln Sie für p 6= −1 die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel.
(c) Bestimmen Sie alle Lösungen für p = −1 und interpretieren Sie diese geometrisch.
2. Ermitteln Sie mit Hilfe des Eliminationsverfahrens von Gauß die allgemeinen Lösungen der
Gleichungssysteme.
(a)
(b)
x1
2x1
x1
x1
x1
5x1
2x1
+
+
+
2x2
7x2
3x2
+
+
+
4x3
15x3
7x3
=
=
=
8
12
10
+
+
+
+
2x2
4x2
2x2
2x2
+
+
4x3
6x3
+
2x3
+
+
−
+
7x4
8x4
5x4
x4
=
=
=
=
6
10
2
4
3. Ein Unternehmen stellt drei Typen eines neuen Produktes her. Der erforderliche Input pro
Einheit ist durch die folgende Tabelle gegeben:
Rohmaterial
Arbeit
Erforderlicher Input
Typ A Typ B Typ C
90
60
75
12
16
20
Total verfügbar
4′ 950
1′ 080
Ermitteln Sie die Produktionspläne (x1 , x2 , x3 ), welche die Ressourcen exakt aufbrauchen.
(a) Wie lautet das Gleichungssystem?
(b) Ermitteln Sie die Lösungsgesamtheit des Gleichungssystems.
(c) Welche Lösungen sind ökonomisch sinnvoll?
4. Besitzt das Gleichungssystem
x1
2x1
3x1
für jedes b ∈ R3 eine Lösung?
+
+
+
2x2
2x2
4x2
+
+
+
2x3
3x3
5x3
=
=
=
b1
b2
b3
11
5. Für welche Werte des Parameters s ∈ R hat das inhomogene lineare Gleichungssystem
2x1
x1
2x1
+
+
+
+
x2
18x3
s2 x3
2s2 x3
=
=
=
6
s+3
2s
(a) genau eine Lösung?
(b) unendlich viele Lösungen? Bestimmen Sie die Lösungsmenge.
(c) keine Lösung?
6. Bestimmen Sie mit
(a) dem direkten Ansatz und
(b) dem Gaußschen Algorithmus
die Inverse A−1 der Matrix


1 1
1
A =  1 2 −1  .
−1 3
1
Zusatzaufgaben
1. Gegeben ist das Gleichungssystem
x1
2x1
5x1
−
2x2
−
6x2
+
−
+
x3
x3
2x3
=
=
=
a
5
b
Zeigen Sie mit Hilfe das Eliminationsverfahrens von Gauß:
(a) Für b 6= 3a + 5 existiert keine Lösung.
(b) Für b = 3a + 5 gibt es unendlich viele Lösungen.
2. Für welche Werte des Parameters a ∈ R hat das Gleichungssystem
2x1
−2x1
4x1
+
+
+
ax2
(4 − 2a)x2
(3a − 4)x2
+
+
+
(a − 5)x3
(a − 5)x3
2x3
=
=
=
0
0
0
(a) nur die Null-Lösung?
(b) unendlich viele Lösungen?
3. (a) Ermitteln Sie alle Werte der Parameter s ∈ R und t ∈ R, für die das lineare
Gleichungssystem
x1 +
x2 + 4x3 =
s
x1 + 2x2 +
x3 =
0
x1 + 3x2 + 5x3 = −10
x1 + 7x2 + 7x3 =
t
lösbar ist.
(b) Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem für die ermittelten Parameterwerte jeweils eine eindeutige Lösung besitzt.
12
Testfragen zur Vorlesung
1. Geben Sie die Definitionen der folgenden Begriffe: Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems, erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems, homogenes lineares Gleichungssystem, reguläres Gleichungssystem.
2. Wie hängt die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit den Rängen der
Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix zusammen?
3. Wie hängt die eindeutige Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit den
Rängen der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix zusammen?
4. Welche Struktur hat die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Ax = b
mit rg(A) = rg(A, b) = 7, wobei A genau 9 Spalten hat?
5. Welche Struktur hat die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Ax = b
mit rg(A) = rg(A, b) = n − 2, wobei n die Anzahl der Spalten von A ist?
6. Welche geometrische Deutung(en) lässt (lassen) die Lösung(en) eines linearen Gleichungssystemes mit drei Gleichungen und drei Unbekannten zu?
7. Besitzt ein homogenes Gleichungssystem stets eine Lösung? Begründen Sie Ihre
Antwort.
8. Welches Lösungsverhalten kann ein lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannte haben? Begründen Sie Ihre Antwort.
9. Welches Lösungsverhalten kann ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannte haben? Begründen Sie Ihre Antwort.
10. Beweisen Sie, dass ein reguläres lineares Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt.
11. Beweisen Sie die Richtigkeit der Cramerschen Regel für reguläre (2 × 2)-Matrizen.
12. Beschreiben Sie den Gaußschen Algorithmus (kurz in Worten).
13. Was sind zulässige Zeilenumformungen? Ändern sich unter zulässigen Zeilenumformungen die Lösungen eines linearen Gleichungssystems?
14. Beschreiben Sie den Gaußschen Algorithmus (kurz in Worten) zur Bestimmung der
Inversen einer regulären Matrix.
15. Was muss man sich unter der simultanen Lösung von mehreren Gleichungssystemen
vorstellen?
13
Eigenwerte und Eigenvektoren
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 2, 15. Auflage, Sankt
Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 99-110



0
2
v2 =  1  , v3 =  −1 
1
1

1 1
0 2  sind.
2 0
3 −1
Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A =
.
0
1


0 0 −2
Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A =  0 7
0 .
1 0
3


1 0 2
Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A =  0 5 0 .
3 0 2
a11 a12
eine so genannte Markov-Matrix, d.h. A ist eine nicht-negative Matrix,
Sei A =
a21 a22
deren sämtliche Spaltensummen gleich 1 sind:


1
1. Weisen Sie nach, dass die drei Vektoren v1 =  −1  ,
−1

3
paarweise orthogonale Eigenvektoren der Matrix A =  1
1
2.
3.
4.
5.

• aij ≥ 0,
• a11 + a21 = 1 und
• a12 + a22 = 1.
Zeigen Sie, dass λ = 1 ein Eigenwert von A ist.
6. Sei A eine invertierbare Matrix und λ 6= 0 eine reelle Zahl mit der Eigenschaft (A − λI)v = 0
(für einen bestimmten Vektor v). Zeigen Sie, dass (A−1 − λ1 I)v = 0 gilt.
(Kurz: Ist λ ein Eigenwert von A, so ist
1
λ
ein Eigenwert von A−1 .)
Zusatzaufgaben
1. Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A =

−1 3
2 0
.

0 0 −2
2. Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A =  0 7
0 .
1 0 −3
14
Testfragen zur Vorlesung
1. Geben Sie die Definitionen der folgenden Begriffe: Eigenwert einer quadratischen
Matrix, Eigenvektor zu einem Eigenwert, charakteristisches Polynom einer quadratischen Matrix.
2. Sei x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Zeigen Sie, dass auch jedes Vielfache
ax, a 6= 0 ein Eigenvektor von A zum selben Eigenwert λ ist.
3. Beweisen Sie die folgende Aussage: Ist x(6= 0) ein Eigenvektor von A zum Eigenwert
λ, dann ist die Determinante der Matrix A − λI gleich Null.
4. Wieviele reelle Nullstellen kann ein Polynom vom Grad 2 haben? Geben Sie für
jede Möglichkeit ein Beispiel an.
5. Wieviele verschiedene (reelle) Eigenwerte kann eine (2 × 2)-Matrix haben? Geben
Sie für jede Möglichkeit ein Beispiel an.
6. Sei A eine (2 × 2)-Matrix mit den beiden Eigenwerten λ1 6= λ2 und zugehörigen
Eigenvektoren x1 , x2 . Beweisen Sie, dass x1 und x2 linear unabhängig sind. Zeigen
Sie die Behauptung an einem Beispiel Ihrer Wahl.
7. Sei A eine symmetrische (2 × 2)-Matrix mit den beiden Eigenwerten λ1 6= λ2 und
zugehörigen Eigenvektoren x1 , x2 . Beweisen Sie, dass x1 und x2 orthogonal sind.
Zeigen Sie die Behauptung an einem Beispiel Ihrer Wahl.
15
Regressionsrechnung
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 2, 15. Auflage, Sankt
Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 119-145
1. Bestimmen Sie die Regressionsgeraden zu den folgenden Daten
(a)
(b)
−1
1
xi
yi
xi
yi
−1
1
xi
yi
0
6
0
3.5
0
0.5
1
6.0
2
8.5
3
10
1
−0.5
2
−2
3
−4
3
80
4
140
2. Gegeben sind die Daten
1
12
2
30
Bestimmen Sie die Funktion der Form y = f (x) = aex + b, die diese Daten bestmöglich (im
Sinne der kleinsten Quadrate) approximiert.
3. Bestimmen Sie die Funktion der Form y = f (x) = a + bx + cx2 , die die Datenmenge
−1
3
xi
yi
0
2
1
9
2
21
3
49
bestmöglich approximiert.
√
4. Bestimmen Sie die Funktion der Form y = f (x) = a x + 1 + bx, die die Datenmenge
−1
−1
xi
yi
0
3
3
10
8
27
15
42
bestmöglich approximiert.
5. Ein Autohersteller analysiert die Preisentwicklung (Preis yi in 1′ 000.−) im Gebrauchtwagenhandel für eines seiner Modelle in Abhängigkeit von den gefahrenen Kilometern (xi in 1′ 000
km):
xi
yi
10
40
20
35
50
28
100
15
150
10
200
6
250
4
300
2
(a) Zeichnen Sie das Streudiagramm.
(b) Ermitteln Sie mit dem Ansatz f (x) = aebx die Regressionsfunktion.
(c) Welcher Preis ist für einen PKW mit 120′ 000 km zu erwarten?
16
Zusatzaufgabe
(aus B. Luderer, C. Paape, U. Würker: Arbeits- und Übungsbuch Wirtschaftsmathematik, Teubner, 2. Auflage, Seite 226)
Eine Umweltschutzgruppe hat über einen Zeitraum von mehreren Monaten (Messperioden) die Konzentration (in Promille) eines Schadstoffes in der Umgebung einer Deponie gemessen. Aus chemischen Untersuchungen ist dabei bekannt, dass dieser Stoff eine
maximale Konzentration von 65 Promille theoretisch erreichen kann und Werte ab 60
Promille als gesundheitschädlich eingestuft sind. Anhand der empirisch gewonnen Daten
soll nun untersucht werden, wann die Gefährdungsgrenze voraussichtlich überschritten
wird.
Periode xi
Messwert yi
1
45
2
47
3
50
4
54
5
56
Hinweis: Das Hauptproblem ist hier sicher die Wahl des ,,richtigen,, Modellansatzes für
die Regressionsfunktion. Wir empfehlen eine der beiden folgenden Funktionen. Warum??
b
x
a
.
1 + ce−dx
f1 (x) = a −
f2 (x) =
Testfragen zur Vorlesung
1. Erläutern Sie die ,,Methode der kleinsten Quadrate“ im Hinblick auf das Problem
der Bestimmung einer optimalen Modellfunktion.
2. Bei der Regressionsrechnung bzw. bei der Methode der kleinsten Quadrate bildet
man eine Straffunktion, indem man die Quadrate der Abstände (yi −f (xi ; a, b, c, . . .))2
zwischen Messwerten und Funktionswerten auf der Modellkurve addiert. Warum
quadriert man diese Abstände, d.h. warum addiert man die Abstände nicht direkt? Würde eine vernünftige Straffunktion entstehen, wenn man die Beträge der
Abstände addiert?
3. Begründen Sie, warum die quadratische Funktion (in den Variablen a und b)
f (a, b) = (yi − a − bxi )2
kein lokales Maximum haben kann.
4. Begründen Sie, warum eine quadratische Funktion (in den Variablen a und b) der
Gestalt
n
X
(yi − a − bxi )2
F (a, b) =
i=1
kein lokales Maximum haben kann.
5. Erklären Sie, wie man ein Regressionsproblem mit einer nichtlinearen Modellfunktion y = f (x) = aebx in ein lineares Regressionsproblem (d.h. in ein Regressionsproblem mit linearer Modellfunktion) umwandeln kann.
17
Differenzengleichungen
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 2, 15. Auflage, Sankt
Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 119-145
1. Für eine beliebige reelle Zahl a 6= 0 betrachten wir die nichtlineare (d.h. dass wir keinen
unserer bekannten Lösungsalgorithmen anwenden können) Differenzengleichung 1. Ordnung
yk+1 = 7 yk + a 7k+1 .
Zeigen Sie, dass yk = a k 7k eine Lösung ist.
2. Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der Differenzengleichungen
a) yk+1 + 2yk = 2
b) 3yk = yk−1 + 6
3. Gegeben ist das folgende lineare Anfangswertproblem
2yk+1 + 3yk = 5
mit
y0 = 2.
Bestimmen Sie y1 , y2 und y50 .
4. Diskutieren Sie das Lösungsverhalten der Differenzengleichung in Abhängigkeit von a:
a · yk+1 = (1 − a)yk + 1,
a 6= 0, a 6= 1, a 6= 0.5
5. Ein Preisanpassungsmodell postuliert die folgenden Zusammenhänge zwischen nachgefragter
Menge Qd,t , Angebot Qs,t und Preis Pt :
i) Qd,t = α − βPt
ii) Qs,t = −γ + δPt
iii) Pt+1 = Pt − σ(Qs,t − Qd,t )
(α, β > 0)
(γ, δ > 0)
(σ > 0)
Leiten Sie eine Differenzengleichung für Pt her und lösen Sie diese
(a) allgemein
(b) für α = 21, β = 2, γ = 3, δ = 6, σ = 0.3
6. Lösen Sie die folgenden Differenzengleichungen:
(a) yk + 2yk−1 − 15yk−2 = 4
mit y0 = 0, y1 = 2
(b) yk+2 + 10yk+1 + 25yk = 10
mit y0 = 1, y1 = 4
(c) yk+2 − yk+1 + yk = 2
allgemeine Lösung
18
Zusatzaufgaben
(aus: G. Kallischnigg, U. Kockelkorn, A. Dinge: Mathematik für Volks- und Betriebswirte, R. Oldenbourg Verlag, 3. Auflage(1998), ab Seite 43)
1. Jedes Jahr sterben 20% des Baumbestandes der Vorperiode ab. Zum Ausgleich
werden jedes Jahr 100′ 000 Bäume gepflanzt. Am 31.12.1997 gab es genau 1′ 000′ 000
Bäume.
(a) Stellen Sie die Differenzengleichung für den Baumbestand auf.
(b) Zu welchem Zeitpunkt ist ein Baumbestand von 631′ 072 erreicht?
(c) Wieviele Bäume müssten ab 1998 jährlich gepflanzt werden, damit am 31.12.2002
der Baumbestand 831′ 920 beträgt?
2. Die Bevölkerungszahl einer Stadt sei im k-ten Jahr gleich yk . Der natürliche Zuwachs soll jährlich 1.5% betragen. Durch die industrielle Entwicklung bedingt, soll
die Bevölkerungszahl in 20 Jahren von 20’000 auf 50’000 anwachsen. Wieviele Personen müssen jährlich zuziehen, wenn der Zuzug über den gesamten Zeitraum konstant gehalten werden soll?
Testfragen zur Vorlesung
1. Sei eine beliebige Differenzengleichung gegeben. Ist ein eher schwer oder eher leicht
eine Lösung dieser Differenzengleichung zu finden?
2. Sei eine beliebige Differenzengleichung gegeben. Ist eher schwer oder eher leicht eine
angebliche Lösung dieser Differenzengleichung auf ihre Richtigkeit zu überprüfen?
3. Für eine beliebige reelle Zahl a 6= 0 sei die folgende Differenzengleichung gegeben:
a
yk .
yk+1 =
k+1
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung!!
4. Für eine beliebige reelle Zahl a 6= 0 betrachten wir die (nichtlineare) Differenzengleichung 1. Ordnung
a
yk+1 =
yk .
k+1
ak
für jede reelle Zahl y0 eine Lösung ist.
k!
5. Die so genannte Fibonacci-Folge
Zeigen Sie, dass yk = y0
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
erfüllt das folgende Anfangswertproblem:
fk = fk−1 + fk−2
f0 = 0
f1 = 1.
Bestimmen Sie die (explizite, d.h. nicht rekursive) Lösung.
Lösung:
fk =
1
√
5
√ !k
1
1+ 5
−√
2
5
√ !k
1− 5
2
19
Quadratische Formen und Definitheit
1. Berechnen Sie für die Matrix

1 0 3
A =  0 1 2 
3 2 1

die quadratische Form QA und bestimmen sie die Werte QA (x) für die Vektoren


   
−1
1
0
x =  0  ,  1  und  1  .
−1
1
1
a b
2. Sei B =
eine beliebige (nicht notwendigerweise symmetrische) (2 × 2)-Matrix und
c d
A = 12 (B + B T ). Zeigen Sie:
(a) A ist symmetrisch und
(b) QA = QB , d.h. beide Matrizen beschreiben die selbe quadratische Form.
3. Berechnen Sie den allgemeinen Gradienten und die allgemeine Hesse-Matrix der folgenden
Funktionen:
(a) f (x, y) = x2 + 2xy + y 2
(b) Q(K, A) = 3 K 1/4 A3/4
x1 x2
+
(c) f (x1 , x2 ) =
x2 x1
4. Bestimmen Sie die quadratische Approximation der Funktion
f ( x1 , x2 ) = x sin(x) + y cos(y)
|{z} |{z}
x
an den Stellen
0
(a) a =
und
0
0
(b) a =
1
5. Untersuchen Sie die
1 0
a)
0 −2

1 0 0 0 0
 0 1 0 0 0

e) 
 0 0 0 0 0
 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1


1 2 0
h)  2 1 1 
0 1 1
y
folgenden Matrizen auf ihre Definitheit:
−1 −2
1 2
c)
b)
2 4
−2 −4






f)

40 1
1 2

1 2 0
i)  2 5 1 
0 1 1
g)

40 −1
−1 2

1 2 0
j)  2 6 1 
0 1 1
d)
−1 2
2 4
20
Extremwertprobleme
1. Gegeben sei die Funktion f (x, y) =
x2
+ y2.
4
(a) Ermitteln Sie die Niveaulinie f (x, y) = 1 und stellen Sie diese graphisch dar.
(b) Berechnen Sie den Gradienten in den Punkten (2, 0), (−2, 0), (0, 1), (0, −1) und tragen
Sie diese Vektoren in die Graphik ein.
(c) Berechnen Sie die Hesse-Matrix in den Punkten (2, 0), (−2, 0), (0, 1), (0, −1).
2. Gegeben sei die Funktion f (x, y) = x2 ln(y + 1). Berechnen Sie den Gradienten und die HesseMatrix von f an der Stelle (2, 0).
3. Bestimmen Sie im Punkt (1, 1) die Richtung der stärksten Zunahme der Funktion f (x, y) =
x4 y 3 . Stellen Sie die entsprechende Richtung durch einen Einheitsvektor dar.
4. (a) Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode eine mögliche Extremalstelle (x⋆ , y ⋆ ) des
folgenden Optimierungsproblems:
Maximiere die Zielfunktion f (x, y) = 8 ln(x)+2 ln(y) unter der Nebenbedingung φ(x, y) =
2x + y − 5 = 0.
(b) Berechnen Sie grad f (x⋆ , y ⋆ ) und grad φ(x⋆ , y ⋆ ) und interpretieren Sie das Resultat an
Hand einer Graphik.
5. Wir betrachten die Kurve im R2 , die durch die Gleichung φ(x, y) = x5 + x3 + y 2 − xy − 8 = 0
beschrieben wird.
(a) Zeigen Sie zunächst, dass der Punkt (1, 3) auf dieser Kurve liegt.
(b) Berechnen Sie den Wert der ersten Ableitung (die Tangentensteigung) dieser Kurve im
Punkt (1, 3), möglichst ohne dabei auf die Formel zum impliziten Ableiten zurückzugreifen.
Hinweis: Leiten Sie die Gleichung x5 + x3 + y(x)2 − xy(x) − 8 = 0 nach x ab.
(c) Berechnen Sie den Wert der zweiten Ableitung (die so genannte Krümmung) dieser Kurve
im Punkt (1, 3).
Hinweis: Leiten Sie die Gleichung x5 + x3 + y(x)2 − xy(x) − 8 = 0 zweimal nach x ab.
6. Wir betrachten die Gewinnfunktion einer Firma
G(K, A; p1 , p2 , p3 ) = p1 Q(K, A) − p2 · K − p3 · A
wobei K und A Kapital- bzw. Arbeitsinput, p1 der Stückpreis des produzierten Gutes und p2
und p3 die Preise für Kapital und Arbeit sind.
Was besagt der Einhüllendensatz, wenn Sie G bezüglich K und A maximieren?
21
Testfragen zur Vorlesung
1. Geben Sie die Definition des Gradienten einer Funktion f = f (x, y) in zwei Veränderlichen.
2. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen dem Gradientenvektor, dem Vektor der
Änderung der unabhängigen Variablen und dem Winkel zwischen diesen beiden
Vektoren einerseits und dem totalen Differential einer Funktion f = f (x, y) andererseits in einer Gleichung dar.
3. Geben Sie eine Beweisskizze für die folgende Aussage: Der Gradient zeigt in jedem
Punkt der Ebene in die Richtung der stärksten Zunahme von f .
4. Welche Eigenschaft haben die Gradienten einer linearen Funktionen? Geben Sie
eine allgemeine Formel für die Gradienten der Funktion f (x, y) = ax + by + c und
deuten Sie Ihr Ergebnis geometrisch.
5. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Begründen Sie Ihre
Behauptungen.
(a) Der Gradient zeigt stets zum globalen Maximum der Funktion.
(b) Der Gradient ist genau an den lokalen Extremalstellen der Funktion gleich Null
(Nullvektor).
(c) An einem Sattelpunkt der Funktion ist der Gradient gleich Null (Nullvektor).
(d) Eine notwendige Bedingung für das Vorliegen einer lokalen Extremalstelle ist
ein Gradient gleich Null (Nullvektor).
(e) Eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen einer lokalen Extremalstelle ist
ein Gradient gleich Null (Nullvektor).
(f) Eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Vorliegen einer lokalen
Extremalstelle ist ein Gradient gleich Null (Nullvektor).
22
Kombinatorik und Grundlagen der Stochastik
Referenzen:
H. Toutenburg, Induktive Statistik, 3. Auflage, Springer, Seiten 3-21.
Hinweis: Sämtliche Aufgaben dieses Blattes sind diesem Buch entnommen, das auch
Musterlösungen für jede Aufgabe enthält.
Übungsaufgaben zur Kombinatorik
1. Wieviele 8-stellige Kontonummern gibt es, die nicht mit der Ziffer 0 beginnen? Wieviele 8stellige Kontonummern gibt es, die nicht mit der Ziffer 0 beginnen und bei denen keine Ziffer
mehrfach vorkommt?
2. Gegeben seien fünf Buchstaben a, b, c, d und e. Wieviele der möglichen Permutationen dieser
fünf Buchstaben beginnen mit einem e? Wieviele beginnen mit der Folge cb?
3. Wieviele verschiedene Motorradkennzeichen der Art ′ RA − 153′ lassen sich aus 26 Buchstaben
und neun Ziffern herstellen?
4. Eine Hockeybundesliga besteht aus zwölf Mannschaften. In einer Saison spielt jede Mannschaft
gegen jede andere ein Hin- und Rückspiel. Wieviele Spiele finden insgesamt während einer
Saison statt?
5. Bei einer Party mit zehn Gästen küsst zur Begrüssung jeder jeden. Wieviele Küsse gibt es
dann?
6. Bei der Leichtathletik WM sind 22 Athleten mit den Startnummern 1 bis 22 für den 100-MeterLauf der Männer gemeldet. Wieviele Möglichkeiten gibt es für die Besetzung des Siegerpodests,
wenn die Plätze 1, 2 und 3 nicht unterschieden werden?
7. In einem Tischtennisverein mit zwölf Aktiven wird eine Rangliste für die erste Mannschaft
(Plätze 1 bis 6) festgelegt. Wieviele Möglichkeiten gibt es?
23
Übungsaufgaben zur Stochastik
1. Sei Ω die Menge der ganzen Zahlen 0, 1, . . . , 25. Folgende Teilmengen von Ω seien gegeben:
A = {1, 4, 8, 11}, B = {0, 1, 2, 5, 8, 9}, C = {5, 6, 7},
Bestimmen Sie
(a) A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C
(b) A ∪ B, A ∪ C
(c) A − B, B − A, A − C
(d) (A ∪ B) ∩ C
(e) (A ∩ B) − C
2. Ein Würfel wird einmal geworfen. Wir definieren die zufälligen Ereignisse:
A: ,,ungerade Zahl”
B: ,,Zahl > 3”
C: ,,Zahl 5 oder 6”
Geben Sie an, bei welchen Wurfergebnissen
(a) B und C eintreten, aber nicht A,
(b) keines der genannten Ereignisse A, B, C eintritt,
(c) genau eines der drei Ereignisse A, B, C eintritt.
3. Aus den Zahlen 1 bis 49 werden beim Zahlenlotto sechs verschiedene ausgewählt. Wie gross
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler
(a) sechs Richtige
(b) genau fünf Richtige
(c) keine Richtige
(d) höchstens zwei Richtige hat?
4. In einer gynäkologischen Abteilung eines Krankenhauses wurden in einem Monat zwölf Kinder
geboren. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Kinder am gleichen
Tag geboren wurden?
Annahme: Die Geburtshäufigkeit ist über den Monat gleichmässig verteilt und der Monat hat
31 Tage.
24
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Referenz: H. Toutenburg, Induktive Statistik, 3. Auflage, Springer, Seiten 21- 33.
Hinweis: Sämtliche Aufgaben dieses Blattes sind diesem Buch entnommen, das auch
Musterlösungen für jede Aufgabe enthält.
1. In einer Urne befinden sich acht gelbe und vier blaue Kugeln,
(a) Es werden gleichzeitig (zufällig) drei Kugeln gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um zwei gelbe und eine blaue Kugel handelt?
(b) Eine Kugel wird zufällig gezogen und durch eine Kugel der anderen Farbe ersetzt. Nun
mische man den Inhalt der Urne erneut und ziehe wieder zufällig eine Kugel. Wie gross
ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies eine blaue Kugel ist?
2. Aus drei Urnen U1 , U2 und U3 wird zufällig eine Urne ausgewählt, wobei jede Urne dieselbe
Wahrscheinlichkeit besitzt, in die Auswahl zu gelangen. Die drei Urnen enthalten weisse und
schwarze Kugeln, wobei sich in Urne
• U1 : zwei weisse und fünf schwarze
• U2 : vier weisse und vier schwarze
• U3 : sieben weisse und vier schwarze
Kugeln befinden. Aus der zufällig gewählten Urne wird nun eine Kugel gezogen.
(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogenen Kugel weiss ist?
(b) Die gezogene Kugel ist schwarz. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus Urne
U2 stammt?
3. Ein Bäcker benötigt für die Herstellung seines Spezialbrotes vier verschiedene Mehlsorten,
die er von vier verschiedenen Herstellern geliefert bekommt. Er kann sein Brot nur dann
verkaufen, wenn alle vier Mehlsorten einwandfrei sind. Für die vier Mehlsorten gilt, dass sie
mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1, 0.05, 0.2 bzw. 0.15 Mängel aufweisen. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Bäcker sein Brot nicht verkaufen kann?
4. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wir definieren die folgenden Ereignisse:
• A: ,,Die Augenzahl im ersten Wurf ist gerade.“
• B:,,Die Summe der Augenzahlen beider Würfe ist ungerade.“
Sind die Ereignisse A und B (stochastisch) unabhängig?
5. Ein Zufallsexperiment führe zu den zwei möglichen Ereignissen A und B. A und B seien
stochastisch unabhängig. Es gilt P (B) = 0.5 und P (A ∩ B) = 0.2. Wie gross ist P (A ∪ B)?
25
Zusatzaufgaben
1. Die Produktion einer Abteilung wird von zwei Kontrolleuren mit den Anteilen 30%
bzw. 70% sortiert. Dabei ist für den ersten bzw. zweiten Kontrolleur die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Fehlentscheidung zu treffen, gleich 0.03 bzw. 0.05. Es
wird beim Versand ein fehlsortiertes Teil gefunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
wurde es
(a) vom ersten,
(b) vom zweiten Kontrolleur sortiert?
(c) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil richtig einsortiert wurde.
2. Wir betrachten das Zufallsexperiment, das aus der Übertragung eines Bits auf
einem binären Kanal besteht. Im Allgemeinen kommen bei der Übertragung die
Zeichen 0 und 1 im Verhältnis 3 : 4 vor, 0 wird mit der Wahrscheinlichkeit p01 = 0.2
falsch (d.h. als 1) und 1 wird mit der Wahrscheinlichkeit p10 = 0.3 falsch (d.h. als
0) übertragen.
(a) Geben Sie einen geeigneten Raum S der möglichen Ausgänge des Experimentes
an.
(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 0 bzw. eine 1 zu empfangen?
(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 0 gesendet wurde, falls
Sie eine 0 empfangen haben?
(d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 1 gesendet wurde, falls
Sie eine 1 empfangen haben?
3. Ein Taxifahrer, der einen Unfall verursachte, wird bei der Fahrerflucht beobachtet.
Es ist bekannt, dass es in der Stadt nur zwei Taxigesellschaften gibt, Gesellschaft
A die 90% der Taxis stellt, betreibt nur grüne Taxis und Gesellschaft B, die die
restlichen 10% der Taxis stellt, betreibt nur blaue Taxis. Ein Zeuge identifiziert
das Flucht-Taxi als blau. Der Richter testet die Zuverlässigkeit des Zeugen unter
gleichen Umständen und stellt folgendes fest: In 70% der Fälle erkennt der Zeuge
ein grünes Taxi als grün und in 80% erkennt der Zeuge ein blaues Taxi als blau.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Flucht-Taxi blau war.
Hinweis: Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein vom Zeuge als blau identifiziertes
Taxi auch wirklich blau ist.
26
Zufallsvariablen
Referenz: H. Toutenburg, Induktive Statistik, 3. Auflage, Springer, Seiten 35 - 57.
Hinweis: Sämtliche Aufgaben dieses Blattes sind diesem Buch entnommen, das auch
Musterlösungen für jede Aufgabe enthält.
1. Eine stetige Zufallsvariable X besitze folgende Verteilungsfunktion

für x < 2
 0
1 2
für 2 ≤ x ≤ 4 .
F (x) =
− x + 2x − 3
 4
1
für x > 4
(a) Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X.
(b) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V ar(X).
2. Gegeben sei die Funktion
f (x) =
2x − 4
0
für 2 ≤ x ≤ 3
.
sonst
(a) Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist.
(b) Ermitteln Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
3. (a) X sei eine stetige Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion
cx
für 1 ≤ x ≤ 3
f (x) =
.
0
sonst
Für welchen Wert der Konstanten c ist die oben genannte Funktion tatsc̈hlich eine korrekte Dichtefunktion?
(b) Setzen Sie den entsprechenden Wert für c ein und bestimmen Sie P (X > 2).
4. Eine diskrete Zufallsvariable X kann nur die Werte 1, 3, 5 und 7 annehmen. Über X seien
folgende Angaben bekannt:
k
1
3
5
7
P (X ≤ k)
0.1
0.5
0.7
1
Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X sowie den Erwartungswert der
Zufallsvariablen 1/X 2 .
5. Von einer stetigen Zufallsvariablen X sei nur bekannt, dass sie den Erwartungswert 15 und
die Varianz 4 besitzt.
(a) Wie gross ist P (10 ≤ X ≤ 20) mindestens?
(b) Bestimmen Sie das kleinste, symmetrisch um 15 gelegene Intervall der Form [15−c, 15+c],
in welches mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.9 die Werte von X fallen.
27
Zusatzaufgaben
1. Eine Zufallsvariable X kann nur die Werte 1, 3, 5 und 7 annehmen. Über X seien
folgende Angaben bekannt:
k
1
3
5
7
P (X = k)
0.1
0.4
0.3
0.2
Bestimmen Sie
(a) den Erwartungswert von X,
(b) die Varianz von X und
(c) den Erwartungswert der Zufallsvariablen 1/X 2 .
28
Standardverteilungen
Referenz: H. Toutenburg, Induktive Statistik, 3. Auflage, Springer, Seiten 69 - 93.
Hinweis: Sämtliche Aufgaben dieses Blattes sind diesem Buch entnommen, das auch
Musterlösungen für jede Aufgabe enthält.
1. X sei eine binomialverteilte Zufallsgrösse mit n = 10 und p = 0.25.
(a) Bestimmen Sie die exakte Wahrscheinlichkeit, dass X um höchstens 2 vom Erwartungswert abweicht.
(b) Schätzen Sie diese Wahrscheinlichkeit ab.
2. Eine Urne enthält M weisse und N −M schwarze Kugeln. Aus dieser Urne werden nacheinander
und ohne zurücklegen n Kugeln gezogen.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Zug eine weisse Kugel erscheint.
(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, im zweiten Zug eine weisse Kugel zu ziehen,
wobei der erste Zug beliebig ist?
(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, im zweiten Zug eine weisse Kugel zu ziehen,
wenn bereits im ersten Zug eine weisse Kugel gezogen wurde?
(d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, im i-ten Zug eine weisse Kugel zu ziehen,
wobei die i-1 vorhergehenden Züge beliebig sind?
3. Ein unverfälschter Würfel wird fünfmal geworfen. X sei die Anzahl der Würfe, bei denen eine
Sechs erscheint.
(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwei Sechsen zu werfen?
(b) Wie gross ist der Erwartungswert von X?
4. Eine Maschine produziert Bandnudeln, deren Längen normalverteilt sind. Die durchschnittliche Nudellänge kann eingestellt werden, jedoch beträgt die Varianz unabhängig davon immer
4.
(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der eingestellte Wert µ = 50 mm um
mehr als 3 mm unterschritten wird?
(b) Auf welchen Wert muss die durchschnittliche Nudellänge eingestellt werden, damit die
produzierten Nudeln mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 eine Länge von höchstens 60
mm haben?
5. X sei ein N (2; 4)-verteilte Zufallsgrösse. Folgende Ereignisse seinen definiert:
A = {X ≤ 3}
B = {X ≥ −0.9}.
(a) Bestimmen Sie P (A ∩ B).
(b) Bestimmen Sie P (A ∪ B).
6. Z sei ein N (0; 1)-verteilte Zufallsgrösse. Wie gross muss eine positive Zahl c gewählt werden,
damit gilt: P (−c ≤ Z ≤ +c) = 0.97?
Zusatzaufgaben
29
1. Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Knaben sei 0.51 und zwar unabhängig
von familiären Anlagen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit
fünf Kindern
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
genau drei Knaben hat,
wenigstens einen Knaben hat,
wenigstens ein Mädchen hat,
Kinder gleichen Geschlechts hat.
Lösungen
31
Vektoren und Matrizen 1
Lösungen der Aufgaben
1. 3, 3, 6 und
√
51
2. Musterlösung
a) Die Längen der beiden Vektoren können über den Satz von Pythagoras bestimmt werden.
Es ist
p
√
12 + 32 + 22 = 14
||x|| =
p
√
||y|| =
42 + (−1)2 + (−5)2 = 42
b) Zur Berechnung des gesuchten Vektors n gehen wir direkt vor. Falls Ihnen das sogenannte
Kreuzprodukt von Vektoren und dessen Eigenschaften bekannt sind, können Sie auch
dieses nutzen.
Die drei Eigenschaften des Vektors n überstzen sich nun wie folgt in drei Gleichungen.
n senkrecht zu x ; n • x = 0
n senkrecht zu y ; n • y = 0
n hat die Länge 1 ; n • n = 1


n1
Mit dem allgemeinen Ansatz n =  n2  heisst das
n3
I
II
III
0 = n • x = 1 · n1 + 3 · n2 + 2 · n3
0 = n • y = 4 · n1 − 1 · n2 − 5 · n3
1 = n • n = n1 · n1 + n2 · n2 + n3 · n3
Nun bestimmen wir zunächst alle Vektoren, die die Gleichungen I un II erfüllen. Dazu
lösen wir die erste Gleichung nach n1 auf und setzen das in die zweite Gleichung ein.
0 = 4 · n1 − 1 · n2 − 5 · n3
= 4 · (−3 · n2 − 2 · n3 ) − 1 · n2 − 5 · n3
= −13 · (n2 + n3 )
Damit folgt, dass −n2 = n3 =: a gelten muss und für die erste Komponente des gesuchten
Vektors folgt dann mit Gleichung I die Beziehung n1 = 3 · a − 2 · a = a. Setzen wir diese
Komponenten nun in die Gleichung III ein, ergibt sich:
1 = a · a + (−a) · (−a) + a · a = 3a2
q
q
1
also a = 3 oder a = − 13 und die zwei verschiedenen Lösungsvektoren sind


1
1
n = ± √  −1  .
3
1
32


8
3. ±  0 
−4


5
4. g1 ∩ g2 =  −8 , g2 ∩ g3 = ∅, g1 ∩ g3 = ∅
3
5.
a)
b) E :
3x − y + 4z = −3

 



2
0
1.5
 0  + r 1  + s 0 
0
0
1



 

0
1
0
oder 
0  +r 0  + s 1 
−4/3
3/2
0
Hinweis: Eine gegebene Ebene besitzt natürlich unendlich viele Darstellungen und je nach
dem welchen Lösungsweg man einschlägt, erhält man auch andere Darstellungen der selben
(Lösungs)ebene.
33
Vektoren und Matrizen 2
Allgemeine Hinweise:
Die algebraischen Operationen (+, − und ·) sind für folgende Matrizen erlaubt:
Am×n
Am×n
Am×n
+
−
·
Bm×n
Bm×n
Bn×o
=
=
=
Cm×n
Cm×n
Cm×o
Lösungen der Aufgaben
0 1
0 −4
−7
1. A − B =
, I−A =
, AB =
4 4
−2 −4
−8

25 −3 −2
3 1
−5 6
, C T C =  −3 1 −2
, CD =
−4 6
−4 −5
−2 −2 8





2 0 2
4 0 4
8 0 8
2. D 2 =  0 1 0 , D 3 =  0 1 0 , D 4 =  0 1 0
2 0 2
4 0 4
8 0 8
3 8
−13
−1
3. (I − 2A) =
, Ab =
2 5
9


40
4. x =  −10 
30
7
11

7 19
, BA =
0 −3
, CC T = 14 8
8 20

.
, B2 =
34
5. Musterlösung
gegeben: A = A2×3 =
1 0 1
0 −1 1
und B = B2×2 =
2 0
1 1
.
gesucht: Matrix X, so dass A2×3 X?×? = B2×2
Lösung: An den Dimensionen der Matrizen A und B erkennt man, dass die gesuchte Matrix
X genau 3 Zeilen und 2 Spalten haben muss. Wir machen daher den allgemeinen Ansatz


x11 x12
X =  x21 x22  .
x31 x32
Die Gleichung schreibt sich damit als


x11 x12
 x21 x22 
x31 x32
1 0 1
0 −1 1
=⇒
1 · x11 + 0 · x21 + 1 · x31 1 · x12 + 0 · x22 + 1 · x32
0 · x11 − 1 · x21 + 1 · x31 0 · x12 − 1 · x22 + 1 · x32
⇐⇒
x11 + x31
x12 + x32
−x21 + x31 −x22 + x32
=
2 0
1 1
=
2 0
1 1
=
2 0
1 1
Das sind genau 4 Gleichungen für die 6 gesuchten Unbekannten.
I
II
III
IV
x11 + x31
x12 + x32
−x21 + x31
−x22 + x32
=
=
=
=
2
0
1
1
Wir können 2 = 6-4 Parameter frei wählen, also z.B. x31 = a und x32 = b.
Hinweis: Man hätte hier auch eine andere Wahl treffen können, also z.B. x11 = a
und x12 = b. Das Resultat wäre eine auf den ersten Blick andere Lösungsbeschreibung.
Dann sind die restlichen Parameter eindeutig bestimmt.
I
II
III
IV
x11 + a
x12 + b
−x21 + a
−x22 + b
=
=
=
=
2
0
1
1
⇔
⇔
⇔
⇔
x11
x12
x21
x22
=2−a
= −b
=a−1
=b−1
Die (natürlich nicht eindeutig bestimmte) Lösung lautet damit


2 − a −b
X =  a − 1 b − 1  für alle a, b ∈ R.
a
b
35
6. det(A) = 0, det(B) = r, det(C) = 5 + 3t,
Musterlösung:


1 1
3
3
 1 2
1
2 

gegeben: D = 
 1 −2 1 −2 
0 1 −2 −1
gesucht: det(D) = |D|
Lösung:
Wir entwickeln nach der ersten Zeile (obwohl es besser wäre nach der ersten Spalte oder der
letzten Zeile zu entwickeln). Damit gilt zunächst:
1
1
3
3 1
2
1
2 = d11 · |D11 | − d12 · |D12 | + d13 · |D13 | − d14 · |D14 |
1 −2
1 −2 0
1 −2 −1 2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1 −2 − 1 · 1
1 −2 + 3 · 1 −2 −2 − 3 · 1 −2
1
= 1 · −2
1 −2 −1 0 −2 −1 0
0
1 −1 1 −2
.
Wir haben also das Problem der Determinantenbestimmung einer (4 × 4)-Matrix auf die
Berechnung von vier Determinanten von (3 × 3)-Matrizen zurückgeführt. Für die Bestimmung
der Determinaten dieser (3 × 3)-Matrizen bietet sich nun die Jägerzaunregel an:
(a)
2
1
2
−2
1 −2 1 −2 −1 = 2 · 1 · (−1) + 1 · (−2) · 1 + 2 · (−2) · (−2) − 2 · 1 · 1 − 2 · (−2) · (−2) − 1 · (−2) · (−1)
= −8
(b)
1
1
2 1
1 −2 0 −2 −1 = 1 · 1 · (−1) + 1 · (−2) · 0 + 2 · 1 · (−2) − 2 · 1 · 0 − 1 · (−2) · (−2) − 1 · 1 · (−1)
= −8
(c)
1
2
2 1 −2 −2 0
1 −1 = 1 · (−2) · (−1) + 2 · (−2) · 0 + 2 · 1 · 1 − 2 · (−2) · 0 − 1 · (−2) · 1 − 2 · 1 · (−1)
= 8
36
(d)
1
2
1 1 −2
1 0
1 −2 = 1 · (−2) · (−2) + 2 · 1 · 0 + 1 · 1 · 1 − 1 · (−2) · 0 − 1 · 1 · 1 − 2 · 1 · (−2)
= 8
Damit ergibt sich nun insgesamt:
1
1
3
3 1
2
1
2 = 1 · (−8) − 1 · (−8) + 3 · 8 − 3 · 8 = 0.
1 −2
1 −2 0
1 −2 −1 Lösungen der Zusatzaufgaben
1. ABAT und



4 7 9
20 3
T
T
T


BAA nicht möglich, B AB =
5 9 12
und BB A =
7 2
3 6 9

2
1 1 3
3 2 2
T
T
T

1 ,C A=
,C A =
, CA, A − C und CAT nicht
1 2 2
2 1 0
0
3

2. AC =
2
2
definiert.
 3

 1
λ1 0 0
λ1
3. A3 =  0 λ32 0 , A−1 =  0
0 0 λ33
0
0
1
λ2
0

0
0 .
1
λ3
4. det(A) = −15, det(B) = 15, det(C) = 0 det(D) = 8
5. det(C) = a3 − ab2 6= 0
6. Wir nehmen die folgenden Umformungen vor:
2CX + 2X − B
2CX + 2In X − B
2(C + In )X − B
2(C + In )X
(C + In )X
X
(XA + In X)T
XA + In X
XA + XIn
X(A + In )
X
X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3A
3A
3A
3A + B
1
3
2A + 2B
(C + In )−1 ( 23 A + 21 B)
AT + In
(AT + In )T
A + In
A + In
(A + In ) · (A + In )−1
In
|+B
|:2
|(C + In )−1 ·
|(..)T
| · (A + In )−1
37
7.
(i) Die gesuchte Resultatmatrix X lautet:
X = 3 AT − 4 (B + 2 C)T
= 3 AT − 4 B T + 2 C T



 

3 −1
1 3
10
0
= 3 2
2  − 4  8 0  +  16 −4 
5
3
−2 1
20 16






11
3
−35 −15
9 −3
22  ,
6  − 4  24 −4  =  −90
=  6
18 17
−57 −59
15
9
(ii) Die gesuchte Resultatmatrix X lautet nach einer ersten Vereinfachung:
X = 2 (A + B) − 3 AT − B T
T
+ 5 (C − 2 A)
= 2 A + 2 B − 3 (A − B) + 5 C − 10 A
= 2 A + 2 B − 3 A + 3 B + 5 C − 10 A
= −11 A + 5 B + 5 C
5
8 10
1 8 −2
3 2 5
+5
+5
= −11
0 −2 8
3 0
1
−1 2 3
−3
58 −15
.
=
26 −32
12
8. Zunächst nehmen wir die folgenden allgemeinen Umformungen vor:
2(B + X) + XA
2B + 2X + XA
2B + 2I2 X + XA
2B
=
=
=
=
=
=
X(B − A) + 3X
XB − XA + 3X
XB − XA + 3I2 X
XB − XA + 3I2 X − 2I2 X − XA
X(B − A + 3I2 − 2I2 − A)
X(B − 2A + I2 )
| − 2I2 X − XA
Nun berechnen wir die beiden Matrizen
8 6
2B =
6 4
4 3
4 2
1 0
1 1
B − 2A + I2 =
−
+
=
,
3 2
0 2
0 1
3 1
und somit resultiert die Gleichung
8 6
6 4
= X
1 1
3 1
.
Mit Hilfe der inversen Matrix folgt damit sofort:
X =
8 6
6 4
−1
2
1 −1
−3 1
=
5 1
3 1
.
38
Vektorräume und Rang einer Matrix
Lösungen der Aufgaben
1. a) Die Vektoren sind linear unabhängig.
b) x = 15
2. x = −4a + b,
3. a) i)
y = 10a + 5b − c,
z = 20a − 5b + c
x = a + 3b
a) ii) x = 4a − 12c
a) iii) x ist keine Linearkombination von a und d


y1
 y2 

b) 
 y3  so dass y1 6= y3
y4
4. a) ad − bc 6= 0, b) ad − bc = 0 und (a, b, c, d) 6= (0, 0, 0, 0), c)(a, b, c, d) = (0, 0, 0, 0)
5. rg(A) = 3 , rg(B) = 3 , rg(C) = 1 , rg(D) = 2 , rg(E) = 3 , rg(F ) = 2
Lösungen der Zusatzaufgaben
1. {a1 , a2 , a3 } Basis und {a2 , a3 , a4 } keine Basis des R3
39
Lineare Gleichungssysteme
Lösungen der Aufgaben





x
p2 + 3p + 2
1 
2p2 − p − 3 
1. a) p 6= −1
b)  y  = 3
c) 
p +1
2
z
−3p − 2p + 1

 




−2
2
5
−14
 1 
 0 
 0




2. a) x = 
1  b) x = 
 1  + t1  0  + t2  −3
5
0
0
1




20
0
3. x =  0  + t 
1  0 ≤ t ≤ 52.5
42
−4/5
 

 
x
−1
1




y
−3
=
+t 1 
z
0
1


 , t1 , t2 ∈ R

4. Genau dann lösbar, falls b3 = b1 + b2
5. Musterlösung
Zunächst stellen wir dieses System von 3 linearen Gleichungen in x1 , x2 und x3 (mit einem
freien Parameter s) in Matrizengestalt dar und erhalten die folgende Koeffizientenmatrix A
und die erweiterte Koeffizientenmatrix A|b.

2 0 18

A =
1 1 s2
2 0 2s2

2 0 18

A|b =
1 1 s2
2 0 2s2



|
6
| s+3 
|
2s
Dann bringen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix durch (elementare) Zeilenumformungen
auf Zeilenstufenform.


2 0 18 |
6
 1 1 s2 | s + 3 
2 0 2s2 |
2s


1 0 9 |
3
 1 1 s2 | s + 3 
1 0 s2 |
s
:2
:2
−I
−I

1 0
9 |
3
 0 1 s2 − 9 |
s 
2
0 0 s −9 | s−3

Die ersten beiden Spaltenvektoren sind sicher linear unabhängig und somit gilt für den Rang
der (einfachen) Koeffizientenmatrix: 2 ≤ rg(A) ≤ 3.
40
Genauer gilt:
•
rg(A) = 3 ⇔ s2 − 9 6= 0
⇔ s 6= 3 und s 6= −3
In diesen Fällen (also stets wenn ein s 6= ±3 gewählt wird), besitzt unser Gleichungssystem genau eine Lösung.
•
rg(A) = 2 ⇔ s2 − 9 = 0
⇔ s = 3 oder s = −3
Diese beiden Fälle müssen wir noch weiter untersuchen. In beiden Fällen ist der Rang
von A nicht maximal.
– Für s = 3 erhalten wir das Gleichungssystem


1 0 9 | 3
 0 1 0 | 3 
0 0 0 | 0
für das gilt rg(A) = rg(A|b) = 2. Es gibt somit 2 Gleichungen für die 3 Unbekannten. Aus der zweiten Gleichung folgt sofort x2 = 3 und wir können einen weiteren
Parameter frei wählen, z.B. x3 = λ. Daraus folgt dann x1 = 3 − 9λ. Diese unendlich
vielen Lösungen können als Gerade geschrieben werden:




 
−9
x1
3
 x2  =  3  + λ  0 
0
1
x3
– Für s = −3 erhalten wir das Gleichungssystem


1 0 9 |
3
 0 1 0 | −3 
0 0 0 | −6
für das gilt rg(A) = 2 < rg(A|b) = 3. Dieses Gleichungssystem hat also keine Lösung.
Insgesamt gilt also:
• Genau eine Lösung für s 6= 3 und s 6= −3
• Unendlich viele Lösungen für s = 3
• Keine Lösung für s = −3


0.5
0.2 −0.3
6. A−1 =  0
0.2
0.2 
0.5 −0.4
0.1
Lösungen der Zusatzaufgaben
1. 2. (a) a 6= 4, (b) a = 4
3. a)
t + 2s + 30 = 0,
b) rg(A) = 3
41
Eigenwerte und Eigenvektoren
Lösungen der Aufgaben
1. 2. λ1 = 3,
x(1)
=
1
0
und λ2 = 1,
x(2)
=
1
2
3. Musterlösung
Zur Bestimmung der der Eigenwerte und der Eigenvektoren der Matrix


0 0 −2
0 
A =  0 7
1 0
3
gehen wir schrittweise vor.
• Wir bestimmen die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A.
pA (λ) = det(A − λE)


−λ
0
−2
= det  0 7 − λ
0 
1
0 3−λ
= −λ(7 − λ)(3 − λ) + 2(7 − λ)
Die Nullstellenbestimmung eines Polynomes dritten Grades ist im Allgemeinen keine
einfache Aufgabe. Es gibt zwar eine Möglichkeit, eine reelle Nullstelle durch Wurzeln
auszurechnen, wir haben diese Formel aber nicht behandelt. Deshalb wird man den charakteristischen Polynomen in diesen Fällen mindestens eine Nullstelle ,,ansehen,, können
und man sollte im obigen Fall die Terme nicht ausmultiplizieren, sondern den gemeinsamen Faktor ausklammern. Der Rest in den eckigen Klammern ist ein quadratisches
Polynom, dessen beide reellen Nullstellen 1 und 2 auch mit der p-q-Formel hätte bestimmt werden können.
pA (λ) = −λ(7 − λ)(3 − λ) + 2(7 − λ)
= (7 − λ) [−λ(3 − λ) + 2]
= (7 − λ) λ2 − 3λ + 2
= (7 − λ) (λ − 2) (λ − 1)
Die drei Eigenwerte sind also λ1 = 7, λ2 = 2 und λ3 = 1.
• Nun setzen wir die gefundenen Eigenwerte in das homogene Gleichungssystem (in Matrixschreibweise)


−λ
0
−2 | 0
 0 7−λ
0 | 0 
1
0 3−λ | 0
ein und bestimmen alle Lösungsvektoren.
42
⋄ λ1 = 7
Wir erhalten hier das homogene Gleichungssystem

mit der Lösung:

−7 0 −2 | 0
+7 · III
 0 0
0 | 0 
1 0 −4 | 0


0 0 −30 | 0
: 26
 0 0
0 | 0 
1 0 −4 | 0


0 0
1 | 0
 0 0
0 | 0 
1 0 −4 | 0
x(1)


0
= t· 1 
0
⋄ λ2 = 2
Wir erhalten hier das homogene Gleichungssystem

mit der Lösung:
−2 0 −2
 0 5
0
1 0
1

0 0 0 |
 0 5 0 |
1 0 1 |
x(2)

| 0
+2 · III
| 0 
| 0

0
0 
0


−1
= t· 0 
1
⋄ λ3 = 1 Wir erhalten hier das homogene Gleichungssystem

mit der Lösung:
−1 0 −2
 0 6
0
1 0
2

0 0 0 |
 0 6 0 |
1 0 2 |
x(3)

| 0
+III
| 0 
| 0

0
0 
0


−2
= t· 0 
1
43
Insgesamt haben wir also die folgenden Eigenwerte mit ihren zughörigen Eigenvektoren gefunden:

λ1 = 7, x(1)

0
= 1 
0
λ1 = 5, x(1)

0
= 1 
0

λ2 = 2, x(2)

−1
= 0 
1
λ2 = 4, x(2)

2
= 0 
3
λ3 = 1, x(3)


−2
= 0 
1
4.


λ3 = −1, x(3)


1
= 0 
−1
5. 6. Hinweis: Multiplizeren Sie die Gleichung (A − λI)v = 0 (von links) mit der Inversen A−1 .
Lösungen der Zusatzaufgaben
1.
λ1 = −3,
x(1)
=
3
−2
λ2 = 2,
x(2)
=
1
1
2.
λ1 = 7, x(1)


0
= 1 
0
λ2 = −1, x(2)


2
= 0 
1
λ3 = −2, x(3)


1
= 0 
1
44
Regressionsrechnung
Die Aufgaben dieses Blattes können in zwei Klassen aufgeteilt werden.
Die erste Klasse besteht aus linearen (und solchen Aufgaben, die sich leicht auf lineare Gestalt bringen lassen) und quadratischen Regressionsaufgaben, d.h. die Ansatzfunktionen sind lineare Funktionen bzw. quadratische Polynome. Hier können wir auf die in der Vorlesung entwickelte Maschinerie
zurückgreifen. Insbesondere müssen wir hier nicht mehr die Straffunktion konstruieren.
Für die restlichen Aufgaben soll der gesamte Weg über Straffunktion und deren Ableitung durchlaufen werden.
1. a)
b) y = −1.25 x + 0.25
y = 2.3 x + 3.5
2. Musterlösung
gegeben:
xi
yi
Ansatz:
0
6
1
12
2
30
3
80
4
140
y = f (x) = aex + b
Straffunktion:
F (a, b) =
=
5
X
i=1
5
X
i=1
=
5
X
i=1
e2i
(yi − f (xi ))2
(yi − aexi − b)2
Notwendige Bedingungen für ein lokales Minimum:
5
X
∂
(yi − aexi − b) · (−exi )
F (a, b) = 2
0 =
∂a
i=1
⇐⇒
0 =
⇐⇒
0 =
⇐⇒
5
X
X
∂
(yi − aexi − b)
F (a, b) = −2
∂b
⇐⇒
0 =
i=1
i=1
5
X
i=1
(yi exi − ae2xi − bexi )
yi exi − a
yi exi = a
5
X
i=1
⇐⇒
0 =
⇐⇒
5
X
5
X
i=1
i=1
5
X
5
X
i=1
e2xi − b
e2xi + b
5
X
i=1
i=1
i=1
5
0 =
5
X
(yi − aexi − b)
yi − a
yi = a
5
X
i=1
5
X
i=1
exi − 5b
exi + 5b
5
X
i=1
exi
exi
45
Die beiden letzten Gleichungen in jedem Block können nun in Gestalt einer Matrizengleichung
geschrieben werden.

5
X
2xi
e


 i=1
5
 X

exi
5
X
xi
e
i=1
5
i=1


5
X
xi
yi e
 
 a

i=1


=  5
 b

 X
yi






i=1
Nun berechnen wir aus den Datenpaaren die Einträge dieses linearen Gleichungssystems für
die gesuchten Unbekannten a und b.
yi
6
12
30
80
140
268
xi
0
1
2
3
4
10
exi
e0 = 1
e1 ≈ 2.72
e2 ≈ 7.39
e3 ≈ 20.08
e4 ≈ 54.6
85.79
e2xi = (exi )2
e0 = 1
e2 ≈ 7.39
e4 ≈ 54.60
e6 ≈ 403.43
e8 ≈ 2980.96
3447.38
yi exi
6e0 = 6
12e1 ≈ 32.62
30e2 ≈ 221.7
80e3 ≈ 1606.4
140e4 ≈ 7644
9510.72
Erinnerung:
Die Summen in der zweiten und dritten Spalte können effizienter mit der Summenformel der (endlichen) geometrischen Reihe berechnet werden. Es gilt
e0 + e1 + e2 + e3 + e4 =
e0 + e2 + e4 + e6 + e8 =
4
X
k=0
4
X
ek =
1 − e5
≈ 85.79
1−e
(e2 )k =
k=0
1 − (e2 )5
≈ 3447.38
1 − (e2 )
Wir erhalten also das Gleichungssystem
3447.38 85.79
85.79
5
a
b
=
9510.72
268
mit den beiden Lösungen a ≈ 2.486 und b ≈ 10.92. Die gesuchte Regressionsfunktion ist also
f (x) = 2.486ex + 10.92.
3. f (x) = 1.2 + 2.1 x + 4.5 x2
√
4. f (x) = 2.76 x + 1 + 2.1 x
5. b)
y = 44.002691 e−0.010014572 x
c) 13′ 230.−
Lösungen der Zusatzaufgabe
26.34
x
;
Grenzwertüberschreitung nach 5.3 Monaten
65
1 + 0.6194e−0.2666x
;
Grenzwertüberschreitung nach 7.5 Monaten
f1 (x) = 65 −
f2 (x) =
46
Differenzengleichungen
1. 2. a)
yk = (−2)k · (y0 − 2/3) + 2/3
b) yk = (1/3)k · (y0 − 3) + 3
3. Musterlösung
Natürlich könnten wir diese Aufgabe direkt lösen indem wir die Differenzengleichung nach
k = 0) y1 = − 32 y0 + 25 = −3 + 52 = − 21
yk+1 auflösen, also yk+1 = − 32 yk + 52 . Dann folgt
(für
3
5
3
1
5
und dann (für k = 1) y2 = − 2 y1 + 2 = − 2 · − 2 + 2 = 13
4 . So könnte man weiter machen, bis
man das gewünschte Glied erhält. Natürlich sollte man den folgenden eleganten Weg wählen.
Eine lineare Differenzengleichung 1. Ordnung wir schrittweise gelöst:
(a) Herstellen der Normalform
2yk+1 + 3yk = 5 ⇐⇒ 2yk+1 = −3yk + 5
5
3
yk+1 = − yk +
2
2
|{z}
|{z}
⇐⇒
A
B
(b) A und B ablesen und y ∗ berechnen
A = −
3
2
B =
5
2
y∗ =
5
B
2
= 1
=
1−A
1 − (− 23 )
(c) Allgemeine Lösung bestimmen
Nach der Lösungsformel für lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung gilt:
k
∗
yk = A (y0 − y ) + y
∗
=
3
−
2
k
(y0 − 1) + 1
(d) Lösung des Anfangswertproblems
Wir setzen die gegebene Anfangsbedingung y0 = 2 in die allgemeine Lösung ein und
erhalten
k
k
k
3
3
3
(y0 − 1) + 1 = −
(2 − 1) + 1 = −
+ 1.
yk =
−
2
2
2
k
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also yk = − 23 + 1 und wir können die gesuchten
1
2
50
Glieder der Folge schnelle berechnen: y1 = − 23 +1, y2 = − 32 +1 und y50 = − 32 +1.
47
4. Musterlösung
Da der Parameter a nach Voraussetzung ungleich 0 ist, kann die Normalform der Differenzengleichung leicht durch Division durch a hergestellt werden.
yk+1 =
1
1−a
.
yk +
a }
a
| {z
|{z}
A
B
1−a
Insbesondere gilt also A =
. Die Grösse A erfüllt die Bedingung A 6= 0, 1 da a 6= 1, 1/2.
a
Das Konvergenzverhalten der Lösung der Differenzengleichung hängt nur von A ab und wir
müssen diese Lösung nicht explizit bestimmen.
• Oszillierend oder Monoton?
Lösung oszillierend
Lösung monoton
⇐⇒
A
<
0
⇐⇒
1−a
a
<
0
⇐⇒
a < 0 oder a > 1
⇐⇒
A
>
0
⇐⇒
1−a
a
>
0
a>0:
a<0:
1−a<0
1−a>0
⇔
⇔
1<a
1>a
a>0:
a<0:
1−a>0
1−a<0
⇔
⇔
1>a
1<a
⇐⇒ 0 < a < 1
• Konvergent oder Divergent?
Lösung konvergent
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Lösung divergent
|A| < 1
1 − a
a <1
−1 <
1−a
<1
a
⇐⇒
a ∈ ( 21 , ∞) - {1}
⇐⇒
|A| > 1
⇐⇒
a ∈ (−∞, 21 ) − {0}
a>0:
−a < 1 − a < a
a<0:
−a > 1 − a > a
⇔
⇔
⇔
⇔
0 < 1 < 2a
1/2 < a
0 > 1 > 2a
??
48
5. a)
b)
6. a)
b)
c)
t
Pt = (1 − σ(β + δ))
α+γ
P0 −
β+δ
Pt = (−1.4)t (P0 − 3) + 3
+
1 k 1
1
· 3 − · (−5)k −
2
6
3
13 22
5
yk =
−
k · (−5)k +
18 15
18
π
π
yk = c1 · sin(k · ) + c2 · cos(k · ) + 2
3
3
yk =
Lösungen der Zusatzaufgaben
1. (a) Bt = Bt−1 − 0.2 Bt−1 + 100′ 000
(b) nach (rund) 6 Jahren
(c) 150′ 000
2. 997.37
α+γ
β+δ
49
Quadratische Formen und Definitheit
1. QA (x) = x21 + x22 + x23 + 6x1 x3 + 4x2 x3 und die Auswertungen der quadratischen Form an
den drei gegebenen Punkten sind 1, 13 und 5.
2. 2x + 2y
2 2
3. (a) grad f (x, y) =
Hf (x, y) =
2x + 2y
2 2
3 −3/4 3/4 −K −7/4 A3/4 K −3/4 A−1/4
K
A
9
4
HQ(K, A) = 16
(b) grad Q(K, A) =
9
1/4 A−1/4
K −3/4 A−1/4 −K 1/4 A−5/4
4 K
−1/x21 − 1/x22
2x2 /x31
1/x2 − x2 /x21
Hf (x1 , x2 ) =
(c) grad f (x1 , x2 ) =
2x1 /x32
−1/x21 − 1/x22
1/x1 − x1 /x22
4. Zunächst gilt für die partiellen Ableitungen der Funktion f (x) = f (x, y):
f (x, y) = x sin(x) + y cos(y)
fx (x, y) = sin(x) + x cos(x)
fy (x, y) = cos(y) − y sin(y)
fxx (x, y) = 2 cos(x) − x sin(x)
fyy (x, y) = −2 sin(y) − y cos(y)
fxy (x, y) = 0
fyx (x, y) = 0
(a)
1
2
x
y−1
T
P (x) = P (x, y) = 0 + (0, 1) x + x
2 0
0 0
x
(b)
P (x) = P (x, y) = cos(1) + (0, cos(1) − sin(1))
1
+(x, y − 1)
2
5. a) indefinit
b) positiv semidefinit
2
0
0 −2 sin(1) − cos(1)
c) negativ semidefinit
e) positiv semidefinit
f) positiv definit
i) positiv semidefinit
j) positiv definit
g) positiv definit
d) indefinit
h) indefinit
x
y−1
50
Extremwertprobleme
1. a) Ellipse
0
0
−1
1
,
,
,
b)
−2
2
0
0


2x ln(y + 1)
0
2


2. grad f (x, y) =
=
x
4
y+1
1
0.8
3. n =
grad f (1, 1) =
0.6
||grad f (1, 1)||
4. Musterlösung
gegeben:
Zielfunktion
Nebenbedingung
f (x, y) =
φ(x, y) =
8 ln(x) + 2 ln(y)
2x + y − 5
=0
gesucht: Mögliche Extremalstellen
Lösung: Für die Lagrange-Funktion F (x, y, λ) und deren partielle Ableitungen gilt:
F (x, y, λ) = 8 ln(x) + 2 ln(y) + λ(2x + y − 5)
1
+ 2λ
x
1
Fy (x, y, λ) = 2 + λ
y
Fλ (x, y, λ) = 2x + y − 5
Fx (x, y, λ) = 8
Setzen wir die drei partiellen Ableitungen gleich Null, multiplizieren die erste Gleichung mit
x und die zweite Gleichung mit y erhalten wir das folgende System von drei Gleichungen für
drei Unbekannte.
I
II
III
8 + 2xλ = 0
2 + yλ = 0 ⇐⇒ λ = −
2
y
2x + y − 5 = 0
Setzen wir II in I ein, erhalten wir zunächst:
x
2
= 8 − 4 = 0 ⇐⇒ 8y − 4x = 0 ⇐⇒ x = 2y.
8 + 2x −
y
y
Dann setzen wir diesen Zusammenhang zwischen x und y in Gleichung III ein:
2x + y − 5 = 2(2y) + y − 5 = 0 ⇐⇒ y = 1 und x = 2.
Die mögliche Extremalstelle hat also die Koordinaten (x⋆ , y ⋆ ) = (2, 1). Wir bestimmen hier
noch zusätzlich mit Gleichung II den Multiplikator λ = − 21 = −2.
51
Für die Gradienten der Zielfunktion und der Nebenbedingung gilt nun weiterhin
fx (x, y)
grad f (x, y) =
fy (x, y)
4
grad f (2, 1) =
2
2
grad φ(x, y) =
1
=
8/x
2/y
Man erkennt, dass die Gradienten von f und φ im Punkt (2, 1) auf einer Geraden liegen.
y
grad f
f(x,y)=f(2,1)
grad φ
x
φ(x,y)=0
Das ist allerdings nicht verwunderlich, denn in diesem Punkt gilt:
fx (2, 1) + λφx (2, 1) = 0
und
fy (2, 1) + λφy (2, 1) = 0
⇐⇒
fx (2, 1) = −λφx (2, 1)
und
fy (2, 1) = −λφy (2, 1)
⇐⇒
⇐⇒
grad f (2, 1) = −λ grad φ(2, 1)
fx (2, 1)
fy (2, 1)
= −λ
φx (2, 1)
φy (2, 1)
52
5. (a) Es gilt φ(1, 3) = 0.
(b) Musterlösung
Es gilt
0 =
d
x5 + x3 + y(x)2 − xy(x) − 8
dx
= 5x4 + 3x2 + 2y(x)y ′ (x) − y(x) − xy ′ (x)
= 5x4 + 3x2 − y(x) + (2y(x) − x)y ′ (x)
oder
y ′ (x) =
y(x) − 5x4 − 3x2
2y(x) − x
y ′ (1) =
y(1) − 5 14 − 3 12
2y(1) − x
=
3−5−3
= −1.
6−1
also
(c)
y ′′ (x) =
2y ′ (x) − 2y ′ (x)2 20x3 − 6x
2y(x) − x
und mit x = 1, y(1) = 3 und y ′ (1) = −1 aus Teil (b) folgt y ′′ (1) = −6.
6.
∂G⋆
∂p1
= Q(K ⋆ , A⋆ )
∂G⋆
∂p2
= −K ⋆
∂G⋆
∂p3
= −A⋆
Erinnern Sie sich, dass die erste Ableitung einer Funktion ein Näherungswert für die Änderung
der Funktion ist, wenn wir die (oder eine) Variable um 1 ändern. Die Funktion G⋆ gibt unseren
optimalen Gewinn in Abhängigkeit der Variablen (inschliesslich der Parameter) wieder, also
⋆
ist z.B. ∂G
∂p3 ein Näherungswert für die Änderung des optimalen Gewinns, wenn sich der Preis
p3 um eine (Geld)Einheit erhöht und der Einhüllendensatz sagt uns hier, dass dieser optimale
Gewinn um A⋆ sinkt (negatives Vorzeichen).
53
Lösungen zur Kombinatorik
1. 9 · 107 und 1′ 632′ 960
2. 24 und 6
3. 492′ 804
4. 132
5. 45
6. 1′ 540
7. 665′ 280
Lösungen zu Grundlagen der Stochastik
1. (a) A ∩ B = {1, 8}, A ∩ C = ∅, B ∩ C = {5}
(b) A ∪ B = {0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 11}, A ∪ C = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 11}
(c) A − B = {4, 11}, B − A = {0, 2, 5, 9}, A − C = {1, 4, 8, 11} = A
(d) (A ∪ B) ∩ C = {5}
(e) (A ∩ B) − C = {1, 8}
2. (a) {6}
(b) {2}
(c) {1, 3, 4}
3. (a) 7.15 · 10−8
(b) 1.84 · 10−5
(c) 0.436
(d) 0.981
4. 0.9142
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
1. a) 0.509 und b) 0.361
2. a) 0.474 und b) 0.317
3. 0.419
4. A und B sind stochastisch unabhängig
5. P (A ∪ B) = 0.7
54
Musterösungen der Zusatzaufgaben
1. Wir kürzen die Ereignisse wie folgt ab und können der Aufgabenstellung die folgenden Wahrscheinlichkeiten bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten entnehmen:
• K1
: Kontrolleur 1 sortiert mit p(K1) = 3/10
• R
• F =R
: (Teil) Richtig sortiert
: (Teil) Falsch sortiert
• K2 = K1 : Kontrolleur 2 sortiert mit p(K2) = 1 − 3/10 = 7/10
• p(F |K1) = 3/100 (WK dass ein vom 1. Kontrolleur sortiertes Teil falsch sortiert wurde)
• p(F |K2) = 5/100 (WK dass ein vom 2. Kontrolleur sortiertes Teil falsch sortiert wurde)
Gesucht sind nun die Wahrscheinlichkeiten 1. p(K1|F ), 2. p(K2|F ) und 3. p(R). Mit dem Satz
über die totale Wahrscheinlichkeit gilt zunächst:
3
3
7
5
44
·
+
·
=
= 0.044
10 100 10 100
1000
p(F ) = p(K1) · p(F |K1) + p(K2) · p(F |K2) =
p(R) = 1 − p(F ) =
956
= 0.956
1000
(Antwort auf Teil 3)
Mit dem Satz von Bayes gilt nun
p(K1|F ) =
p(K1) · p(F |K1)
=
p(F )
p(K2|F ) =
p(K2) · p(F |K2)
=
p(F )
3
100
44
1000
7
5
10 · 100
44
1000
3
10
·
=
9
≈ 0.2045
44
=
35
≈ 0.7955 = 1 − p(K1|F )
44
2. Wir kürzen die Ereignisse wie folgt ab und können der Aufgabenstellung die folgenden Wahrscheinlichkeiten bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten entnehmen:
• S0
: Sende 0 mit p(S0) = 3/7
• S1 = S0 : Sende 1 mit p(S1) = 1 − 3/7 = 4/7
• E0
: Empfange 0
• E1 = E0 : Empfange 1
• p(E1|S0) = 2/10 (WK dass eine 0 falsch übertragen wird)
• p(E0|S1) = 3/10 (WK dass eine 1 falsch übertragen wird)
Als Raum aller möglichen Ausgänge dieses Experimentes bietet sich die 4-elementige Menge
S = {S0 ∩ E0, S0 ∩ E1, S1 ∩ E0, S1 ∩ E1}
an. Mit dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit gilt zunächst:
3 8
4 3
18
·
+ ·
=
≈ 0.5143
7 10 7 10
35
p(E0) = p(S0) · p(E0|S0) + p(S1) · p(E0|S1) =
p(E1) = 1 − p(E0) =
17
= 0.4857
35
(Antwort auf Teil 2)
Mit dem Satz von Bayes gilt weiterhin
p(S0|E0) =
p(S0) · p(E0|S0)
=
p(E0)
p(S1|E1) =
p(S1) · p(E1|S1)
=
p(E1)
8
10
18
35
4
7
7 · 10
17
35
3
7
·
=
2
≈ 0.6667
3
=
14
≈ 0.8235
17
55
3. Wir wählen zunächst die folgenden Abkürzungen:
• TB = ,,Taxi ist blau,,
• TG = ,,Taxi ist grün,,
• ZB = ,,Zeuge erkennt ein Taxi als blau,,
• ZG = ,,Zeuge erkennt ein Taxi als grün,,
Wir suchen die bedingte Wahrscheinlichkeit p(T B|ZB) und mit Hilfe des Satzes von Bayes
und des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:
p(T B|ZB) =
=
=
p(ZB|T B) p(T B)
p(ZB)
p(ZB|T B) p(T B)
p(ZB|T B) p(T B) + p(ZB|T G) p(T G)
8 1
10 10
3 9
8 1
10 10 + 10 10
=
8
≈ 0.22857.
35
56
Zufallsvariablen
1. a)

 0
f (x) =
−1x + 2
 2
0
für x < 2
für 2 ≤ x ≤ 4 .
für x > 4
b) E(X) = 8/3 und V ar(X) = 2/9
2. a) −
b)

 0
F (x) =
x2 − 4x + 4

1
3. a) c = 1/4
für x ≤ 2
für 1 ≤ x ≤ 3 .
für x > 3
b) P (X > 2) = 5/8
4. E(X) = 4.4, E(X 2 ) = 23.4 und V ar(X) = 4.04 sowie E(1/X 2 ) = 0.1586
5. a) P (10 ≤ X ≤ 20) ≥ 0.84
b) [15 − c, 15 + c] = [15 − 6.325, 15 + 6.325]
Lösungen der Zusatzaufgaben
1. Für den Erwartungswert E(X) und die Varianz V (X) der Zufallsvariablen X gilt mit direkter
Rechnung:
4
3
2
21
1
+3·
+5·
+7·
=
= 4.2
10
10
10
10
5
21 2 4
21 2 3
21 2 2
21 2 1
·
·
·
·
+ 3−
+ 5−
+ 7−
V (X) =
1−
5
10
5
10
5
10
5
10
E(X) = 1 ·
=
84
= 3.36.
25
Da die Zufallsvariable X die Werte 1, 3, 5 und 7 annimmt, nimmt die Zufallsvariable Y = 1/X 2
die Werte 1/12 = 1, 1/32 = 1/9, 1/52 = 1/25 und 1/72 = 1/49 an. Die Verteilung ergibt sich
daraus wie folgt:
k
1
1/9
1/25
1/49
P (Y = k)
0.1
0.4
0.3
0.2
und für den Erwartungswert gilt somit:
E(X) = 1 ·
1 4
1 3
1 2
8′ 849
1
+ ·
+
·
+
·
=
≈ 0.1605.
10 9 10 25 10 49 10
55′ 125
57
Standardverteilungen
1. a) 0.8656
2. a)
M
N
, b)
und b) ≥ 0.53125 mit Tschebyschev
M
N
, c)
3. a) 0.1962 und b)
M −1
N −1
und d)
M
N
5
6
4. a) 1 − Φ(1.5) = 0.0668
b) µ ist so zu wählen, dass Φ( 60−µ
2 ) = 0.99 und das heisst µ = 55.34
5. a) 0.6180 und b) 1
6. c = 2.17
Lösungen der Zusatzaufgaben
1. Man hat nacheinander für die vier Fälle die Wahrscheinlichkeiten
5
(i) Pi =
0.513 · 0.492 = 0.3185,
3
5 X
5
(ii) Pii =
0.51k · 0.495−k = 0.9717,
k
k=1
5 X
5
(iii) Piii =
0.49k · 0.515−k = 0.9655,
k
k=1
(iv) Piv = 0.495 + 0.515 = 0.0628.