3. Übungsblatt - Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. Luise Blank
Fakultät für Mathematik, Universität Regensburg
Christoph Rupprecht
Übungsblatt 3
zur Vorlesung: Numerik partieller Differentialgleichungen im WS1314
Abgabe: 4.11.2013 (in der Vorlesung)
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Wir wenden die Cholesky-Zerlegung für Bandmatrizen auf die Matrix Ah in (2.16) an. Wie in der
Vorlesung legen wir über Ω = (0, a)2 ein äquidistantes Gitter mit Gitterweite h.
i) Formulieren Sie den Cholesky-Algorithmus für Bandmatrizen und beschreiben Sie die auftretenden Variablen.
ii) Berechnen Sie die Dimension, sowie die Bandbreite von Ah . Geben Sie den Aufwand für die
Band-Cholesky-Zerlegung von Ah an und geben Sie die Ordnung des Aufwandes in h an.
Aufgabe 2 (7 Punkte, NWI)
Implementieren Sie das Differenzenverfahren unter Nutzung des 5–Punkte Sterns für
−∆y = f
y = g
in Ω = (0, a)2 ,
(1)
auf ∂Ω.
(2)
i) Stellen Sie kurz die vorgenommene Diskretisierung des Gebietes und die Nummerierung der
Knoten dar. Geben Sie die Indizes der Knoten und insbesondere der Randknoten an.
ii) Leiten Sie das Gleichungssystem Ah ū = f¯ her.
iii) Schreiben Sie eine Funktion zum Lösen des Problems mit Parametern a, f , g, l, wobei die Anzahl
der äquidistant verteilten Knotenpunkte (l + 1)2 ist.
Hinweise: Die Matrix Ah können Sie mit Hilfe der Befehle spdiags und ones aufstellen. Zum
Lösen des Gleichungssystems nutzen Sie chol und anschließend \.
iv) Testen Sie Ihr Programm
für: a =1,
2 2
1
a) f = 1 und g = 4 1 − x1 − 12 + x2 − 12
,
b) f = 8π 2 sin(2πx) cos(2πy) und g = sin(2πx) cos(2πy),
c) f = 1 und g = 0.
Plotten Sie die Näherungslösungen für h = 2−7 .
v) Testen Sie für die drei Beispiele die Konvergenzordnung numerisch. Plotten Sie dazu den Fehler
ku−yk (in der richtigen Norm!) gegen die Gitterweite h auf einer logarithmischen Skala. Zeichnen
Sie außerdem im selben Fenster die Funktionen f (h) = h und f (h) = h2 als Vergleichswert. Die
exakten Lösungen sind für a) und b) gegeben durch g. Nähern Sie die exakte Lösung von c)
durch die Näherungslösung für h = 2−7 . Interpretieren Sie die Ergebnisse.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Betrachten Sie (1) und (2),
wobei Ω ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Die Gitterweite beträgt h im Inneren von Ω
und h/2 zu den Randpunkten x6 , . . . , x9 .
Stellen Sie das Gleichungssystem für u1 , u2 , u3 auf:
a.) Benutzen Sie 2.15 a) und zentrale Differenzenquotienten.
Leiten Sie dazu einen Fünf-Punkte Stern mit Konsistenzordnung 1
für die Punkte x2 und x3 her.
b.) Benutzen Sie 2.15 b).
9
8
10
3
7
6
11
1
2
4
5
Aufgabe 4 (2 Punkte)
Formulieren und beweisen Sie ergänzend zum diskreten Maximumsprinzip die diskrete Version der
stetigen Abhängigkeit von den Randdaten, analog zu 1.8 Folgerungen.