Mathematik - Klasse 07

7/1
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Achsensymmetrie und Achsenspiegelung
- Längentreue: Symmetrische Strecken sind gleich lang.
- Winkeltreue: Symmetrische Winkel sind gleich groß.
- Der Drehsinn ändert sich.
- Die Strecke von einem Punkt zum symmetrischen
Punkt wird von der Symmetrieachse senkrecht halbiert.
- Alle Punkte der Symmetrieachse sind von Punkt und Bildpunkt gleich weit entfernt.
Konstruktionen:
Konstruktion des Bildpunkts
Konstruktion der Achse
7/2
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Punktsymmetrie und Punktspiegelung
- eine punktsymmetrische Figur wird bei einer
Halbdrehung (um 180°) in sich selbst übergeführt.
- Längentreue: Symmetrische Strecken sind gleich lang.
- Winkeltreue: Symmetrische Winkel sind gleich groß und
haben dieselbe Orientierung.
- Die Strecke von einem Punkt zum symmetrischen Punkt
wird vom Zentrum halbiert.
Konstruktion:
Konstruktion des
Bildpunkts
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
7/3
Symmetrie bei Vierecken
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
7/4
Grundkonstruktionen:
Lot fällen
Winkel halbieren
Mittelsenkrechte
Lot errichten
7/5
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Geradenkreuzung
Nebenwinkel
ergänzen sich zu 180°.
Scheitelwinkel
sind gleich groß.
Doppelkreuzung
mit parallelen Geraden
Stufenwinkel
(„F-Winkel“)
sind gleich groß.
Wechselwinkel
(„Z-Winkel“)
sind gleich groß.
7/6
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Winkelsumme
Dreieck
Die Winkelsumme
beträgt 180°.
Viereck
Die Winkelsumme
beträgt 360°.
7/7
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Terme
a) Variablen
Variablen sind Buchstaben, die Zahlen vertreten.
b) Terme
Sinnvolle rechnerische Verknüpfung von Zahlen und Variablen nennt man Terme.
c) Definitionsmenge
Die Zahlenmenge, die für die Variablen eingesetzt werden darf, nennt man
Definitionsmenge D.
d) Wert des Terms
Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man den Wert des Terms.
Beispiel:
Rechteck: T(a;b) = a·b
a: Länge des Rechtecks
D = Q0+
b: Breite des Rechtecks
→ T(3;4) = 3·4 = 12
Flächeninhalt des Rechtecks
Term €Variablen
Termarten: Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz
7/8
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Vereinfachung von Termen
Eine Zahl vor einer Variablen heißt Koeffizient.
7x
Koeffizient
Variable
1. Regel: Einen Malpunkt zwischen Koeffizient und Variable darf man weglassen.
2. Regel: Verwende Potenzen!
3. Regel: Hoch vor Punkt vor Strich; Klammern vor allem!
4. Regel: Schreibe möglichst wenig Klammern!
Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer weglassen.
Steht ein Minus vor der Klammer, kann man die Klammer weglassen,
wenn man alle Vorzeichen in der Klammer umdreht.
7/9
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Rechengesetze für Terme
Produktterme, die sich nur im Koeffizienten unterscheiden, heißen gleichartig.
Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Koeffizienten
addiert bzw. subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält.
Beispiel: 3a + 2b + 7a – 5b = 10a – 3b
Beachte: Man kann nur gleichartige Terme zusammenfassen!
Addition und Subtraktion von Termen
Multiplikation und Division von Termen
Kommutativ-Gesetz
Kommutativ-Gesetz
Assoziativ-Gesetz
Assoziativ-Gesetz
Distributivgesetz
Ausmultiplizieren
a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c
Ausklammern
Bsp:
(3a + 7ab – 13a3) = a·(3 + 7b – 13a2)
7 / 10
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Gleichungen
Äquivalenzumformung
Ausmultiplizieren und
Zusammenfassen gleichartiger
Terme
Addieren oder Subtrahieren
gleichartiger Terme
Lösungsstrategie
1. Aufräumen
Beide Seiten möglichst weit
vereinfachen
2. Trennen
Alle x-Terme auf eine, alle
Zahlen auf die andere Seite
bringen
3. x isolieren
Division durch den
Koeffizienten
L = {−4}
4. Lösung
5. Lösungsmenge
angeben falls verlangt
6. Probe
Die Lösung in die linke und in die rechte Seite der Gleichung einsetzen
4⋅€( −4) + 3(−4 +1) = 4(−4 − 2) −1
−16 − 9 = −24 −1
−25 = −25
€
7 / 11
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Rechenregeln für Potenzen
1. Regel: gleiche Basis
Beispiele:
32 ⋅ 35 = 37
2. Regel: Potenzieren von Produkten
€
Beispiele:
(3b)
2
= 32 ⋅ b2 = 9b2
4
4
(−2x) = (−2) ⋅ x
4
= 16x 4
3. Regel: Potenzieren von Potenzen
€
€
Beispiele:
3
(a ) = (a⋅ a )⋅ (a⋅ a )⋅ (a⋅ a ) = a
(5 ) = 5 = 5
2
3
3
3⋅3
2⋅3
= a6
9
€
€
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
7 / 12
Produkte von Summen
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit
allen Summanden der zweiten Klammer (unter Berücksichtigung der Vorzeichen) multipliziert
und die Produkte addiert.
Beispiele:
7 / 13
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Kongruenzsätze
Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie
1. in drei Seiten übereinstimmen (SSS),
2. in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel
übereinstimmen (SWS),
3. in einer Seite und zwei anliegenden Winkeln
übereinstimmen (WSW),
4. in einer Seite, einem anliegenden und dem Gegenwinkel
übereinstimmen (SWW),
5. in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren
Seite übereinstimmen (SsW).
7 / 14
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Besondere Dreiecke
Gleichschenkliges Dreieck
(zwei gleich lange Seiten)
Die Basiswinkel sind
gleich groß.
Gleichseitiges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
(drei gleich lange Seiten)
Jeder Winkel misst 60°.
Thaleskreis
Ist eine Seite des Dreiecks Kreisdurchmesser und liegt die gegenüberliegende
Ecke auf dem Kreis, so ist das Dreieck rechtwinklig.
7 / 15
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Besondere Linien im Dreieck
Die drei Höhen schneiden sich in einem Punkt.
Die Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.
Die Mittelsenkrechten schneiden sich im Umkreismittelpunkt.
Die Winkelhalbierenden schneiden sich im Inkreismittelpunkt.
7 / 16
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Das arithmetische Mittel
Die Zahl
heißt arithmetisches Mittel oder Mittelwert
der Zahlen x1, x2, …, xn.
Mittelwert
Der Mittelwert schafft einen Ausgleich
zwischen großen und kleinen Werten.
Die Abweichungen ergeben zusammen
Null.