A Element nicht A Element x Ax x Ax ⇒∉ ⇒∈

Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
1
Kapitel 1:
Grundlagen der Mengenlehre
Definition:
Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung
von bestimmten unterscheidbaren Objekten. Die
Einzelnen Objekte, aus denen die Menge
zusammengesetzt ist, heißen Elemente dieser Menge.
x ∈ A ⇒ x Element A
x ∉ A ⇒ x nicht Element A
Darstellung von Mengen
1. beschreibende Darstellung
A = Menge der PKWs
Kennzeichen
mit
Viersener
2. aufzählende Schreibweise
A = {2;4;6} (gerade Augenzahlen des Würfels)
3. Venn-Diagramme
A
1
2
A={1,2,4,5}
4
5
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2
Grundmenge und leere Menge
Definition
Die Grundmenge G enthält alle betrachteten Elemente.
Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leere
Menge; sie wird mit { } bezeichnet.
z.B. Grundmenge der natürlichen Zahlen N={1,2,3,…}
Gleichheit von Mengen
A = B ⇔ a ∈ A ⇒ a ∈ B und b ∈ B ⇒ b ∈ A
A = { 4, 16}; B = 22 ,42
{
}
Teilmengen
Definition:
A heißt Teilmenge von B, falls jedes Element der
Menge A auch in der Menge B enthalten ist; A ⊂ B
A = { 2,4 }, B = { 1,2,4,6 } ⇒ A ⊂ B
Durchschnitt und Vereinigung
A = { 2,4,8,10 }, B = { 1,2,4,6 }
A ∩ B = { 2,4}
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3
A ∪ B = { 1,2,4,6,8,10}
A = { 2,4,6,8 }, B = { 1,3,5,7 }
A ∩ B = { }; leere Menge
Zwei Mengen A und B, die kein gemeinsames Element
besitzen, heißen disjunkt oder elementfremd.
Merke:
A ⊂ B ⇒ A∩B = A
B
A
A ⊂ B ⇒ A∪ B = B
B
A
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4
Differenzmenge
A = {1,2,3,4,5,6}
B = {5,6,7,8,9,10}
Die Differenzmenge A\B (gelesen A ohne B)
besteht aus denjenigen Elementen, die zu A,
aber nicht zu B gehören.
A ohne B = {1,2,3,4}
B ohne A = {7,8,9,10}
Komplementärmengen
A = G/ A
G
A
Â
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5
Kapitel 2:
Zahlenbereiche (Zahlenmengen)
Natürliche Zahlen
N={1,2,3,4,5,6,7,…}
Ganze Zahlen
Z={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…}
Rationale Zahlen (Brüche)
p

Q =  / p, q ∈ Z ; q ≠ 0
q

Z
Z
=
Durch
1 kann jede ganze Zahl als rationale Zahl
dargestellt werden.
N ⊂ Z ⊂Q
Reelle Zahlen (R)
Auf der Zahlengeraden können Zahlen konstruiert
werden, die nicht rational sind, z.B. 2 , d.h. es gibt
keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich zwei ist.
Demzufolge ist 2 eine irrationale Zahl.
N ⊂ Z ⊂Q⊂ R
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Kapitel 3:
Das Rechnen mit reellen Zahlen
Allgemeine Rechenregeln
a+b = b+a; a·b = b·a
Kommutativgesetz
(a+b)+c = a+(b+c);
(a·b) ·c = a· (b·c);
Assoziativgesetz
a· (b+c) = a·b + a·c
Distributivgesetz
−a
a
a
=
=−
b
−b
b
Punkt- vor Strichrechung nicht vergessen !!!
x
=
x
o
=
x
x
=
0
x·x =
x-x =
x+x =
Beispiel:
85
(5+4·3) · (3-2·4) : (8-3·7) = 17 · (-5) : (-13) = 13
6
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Rechen mit Klammern:
Weglassen von Klammern
6+(3-2+8) = 6+3-2+8 = 15
Multiplizieren einer Summe
(2u-3v+7w) · 2u = 4u² - 6vu + 14wu
Ausklammern
6xyz + 8xya + 12 bxy = 2xy·(3z + 4a - 6b)
7
3
1
1
1
5 (1 4 x - 2 8 y + 3 7 z) – 2(x - 1 4 y - 2 2 z) =
7
5· 4 ·x
23
22
- 5· 8 ·y + 5· 7 ·z – 2x +
110
115
35
x
y
+
8
7 z – 2x +
4
35
115 1
110
( 4 -2)x – ( 8 - 2 )y + ( 7 +5)z
111
145
27
x- 8 y+ 7 z
4
2
5
y + 2· 2 z =
4
1
y + 5z =
2
=
5ax + 4bx + 3cx - 10ay + 8by + 6cy =
x·(5a+4b+3c) - 2y·(5a+4b+3c)=
(x-2y)·(5a+4b+3c)=
7
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8
Produkt zweier Klammern
(a+b) · (c+d) = ac + ad + bc + bd
(a + 4b − 3c ) ⋅ (2a − 2b − 2c ) =
2a 2 − 2ab − 2ac + 8ab − 8b 2 − 8bc − 6ac + 6bc + 6c 2 =
2a 2 + 6ab − 8ac − 8b 2 − 2bc + 6c 2 =
Division einer Summe
(96-16+4) : 2
entweder
oder
= 84 : 2 = 42
96
16
4
= 2 - 2 +2
= 48 - 8 + 2 = 42
12 ab + 4ac + 16ad 12a 4ac 16 ad
=
+
+
= 3a + 1c + 4d
4a
4a
4a
4a
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9
Kapitel 4:
Das Rechnen mit Brüchen
Erweitern und Kürzen von Brüchen
a a⋅c
a a:c
=
=
b b ⋅ c und b b : c
Ein Bruch kann immer durch den größten
gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner gekürzt
werden.
Multiplikation und Division von Brüchen
a
a⋅c
a
a
:
d
⋅c =
=
b
b und b
b⋅d
a1 a 2 a1 ⋅ a 2
⋅ =
b1 b 2 b1 ⋅ b 2
man dividiert indem man mit dem Kehrwert
multipliziert
a1 a 2 a 1 b 2 a1 ⋅ b 2
: = ⋅ =
b1 b 2 b1 a 2 b1 ⋅ a 2
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Beispiel
5
x
5x − 2 y
(5 x − 2 y ) 2 y ( 2b − 3a )
2
:
=
⋅
=
1
3ax − 2bx 4by − 6 ay x (3a − 2b )
(2 y − 5 x )
2
y−
2 y ⋅ 2(5 x − 2 y ) ⋅ (2b − 3a) 4 y
=
x (2b − 3a ) ⋅ (5 x − 2 y )
x
Zur Erläuterung des Nenners
(3a-2b) · (2y-5x) = (2b-3a) · (5x-2y)
(3-2) · (2-5) = (2-3) · (5-2)
1 · (-3) = -1 · 3
-3 = -3
2
1
1
2
1
4
2
4
=
=
10
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11
Kapitel 7:
Die binomischen Formeln
I. (a+b)² = (a+b)·(a+b) = a²+ ab+ba+b² = a² + 2ab + b²
II. (a-b)² = (a-b)·(a-b) = a² - ab – ba + b² = a² - 2ab + b²
III. (a+b) · (a-b) = a² - ab + ba - b² = a² - b²
Beispiele
(2x-3y)² = 4x² - 12xy + 9y²
98 · 102 = (100 – 2) (100+2) = 100² - 2² = 9996
25x² - 1 = (5x - 1) (5x + 1)
9 x 2 + 12 xy + 4 y 2
(3 x + 2 y ) 2
3x + 2 y
=
=
= 1,5x + y
6x + 4y
2 ⋅ (3 x + 2 y )
2
x2 + 2x + 1
( x + 1) 2
x +1
=
=
( x − 1)( x + 1) x − 1
x2 − 1
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12
Kapitel 9:
Das Rechnen mit Quadratwurzeln
b = a , falls b 2 = a
Die Zahl a heißt der Radikand. Da das Quadrat b²
nicht negativ ist, können Wurzeln nur aus nicht
negativen Zahlen a ≥ 0 gezogen werden.
0 = 0,
1 = 1,
4 = 2, usw.
Es gilt:
c1 ⋅ a + c2 ⋅ a − c3 ⋅ a = (c1 + c 2 − c3 ) ⋅ a
a⋅b = a ⋅ b
a
=
b
a
b
,b ≠ 0
( a )= a
2
Bsp.
2 9
18
⋅
=
= 3
3
2
6
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13
Vereinfachen:
1
1
3
⋅ 90 x = ⋅ 9 ⋅ 10 x =
10 x = 10 x
3
3
3
Wichtig:
Da a² = (-a)² gilt:
a = a =
2
{
+ a für a ≥ 0
- a für a < 0
Beachte:
49 + 196 = 245 ≈ 15,65
Richtig !!!
49 + 196 ≠ 49 + 196 = 7 + 14 = 21 Falsch !!!
Aus einer Summe darf die Wurzel nicht gliedweise
gezogen werden. Im Allgemeinen ist
a+b ≠ a + b
Gliedweises Wurzelziehen ist nur bei Produkten und
Quotienten nichtnegativer Zahlen erlaubt.
a ⋅ b = a ⋅ b für a, b ≥ 0
a
=
b
a
b
für a ≥ 0; b > 0
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
14
Falls in Summen gemeinsame Faktoren auftreten,
aus denen die Wurzel einfacher gezogen werden
kann, so müssen diese Faktoren ausgeklammert
werden.
196 x + 196 y = 196( x + y ) = 14 ⋅ x + y
Herstellung rationaler Nenner:
2
=
7− 3
(
(
)
2⋅ 7 + 3
=
7− 3 ⋅ 7+ 3
)(
)
2⋅ 7+ 2⋅ 3
14 + 6
=
7−3
4
x+
y
x−
y
=
(
(
x+
y
x−
y ⋅
x+
)(
)
2
y
)
=
x + 2 xy + y
x− y
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
15
Kapitel 10:
Potenzen und allg. Wurzeln
Die n-te Potenz an der Zahl ist das n-fache Produkt
der Zahl a mit sich selbst, d.h.
n ∈ N, a ∈ R
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
n-mal
a heißt Basis (Grundzahl) und n heißt Exponent.
Merke:
(− 1)2 n = 1
(− 1)2 n+1 = (− 1)2 n−1 = −1;
n∈N
Die n-te Potenz einer negativen Zahl ist bei geradem
Exponenten n positiv und bei ungeradem Exponenten n
negativ.
Potenzgesetze
a n ⋅ a m = a n+ m
(a ) = (a )
n m
m n
= a n ⋅m
a n ⋅ b n = (a ⋅ b ) , n, m ∈ N
n
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
an
n− m
=
a
am
a0 = 1
1
a = n
a
-n
(Wichtig für spätere Ableitungen)
Beispiele
1
1
2 −5 = 5 =
2
32
1
1
(−3) −4 =
=
( −3) 4 81
3
3
4 1
3 1
−3
4 ⋅   ⋅ 2 =   ⋅ 3 = 2 3 ⋅ 2 −3 = 2 0 = 1
 2
2 2
1
−( −3)
3
=
5
=
5
= 125
−3
5
(2−2 ) −3 = 2( −2 )⋅(−3) = 26 = 64
12 a 5 b 7 c 8
3a 2
2 −1
= 3a c = 1
3 7 9
4a b c
c
Ausquadrieren
(a 3 + 2b 4 ) 2 = a 6 + 4a 3 b 4 + 4b 8
(a 3 ) 2 = a 3 ⋅ a 3 = a 6
16
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
17
n-te Wurzeln
Falls b n = a gilt, ist b = n a (n - te Wurzel aus a)
Dabei heißt a der Radikand und n der Wurzelexponent.
Die n-te Wurzel aus a ist also die Zahl, deren n-te Potenz
gleich a ist.
Das Radizieren oder Wurzelziehen ist die Umkehrung der
Potenzrechnung.
1
a =a
2
a = a , Quadratwurzel
3
a bezeichnet man als Kubikwurzel
3
8 = 2, wegen 2 3 = 8;
3
− 343 = −7,
3
−
3
− 8 = −2, wegen (-2) 3 = −8
27
3
=−
8
2
Wichtig:
Potenzen mit geradem Exponenten sind immer
nichtnegative Zahlen. Aus diesem Grund kann bei gerader
n
Ordnung n die n-te Wurzel
Zahlen a ≥ 0 gezogen werden.
3
Denn
Aber
4
− 8 = −2
− 16 = n.d .
a nur aus nichtnegativen
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
Einige Regeln:
n
a ⋅b = n a ⋅ n b
n
a
=
b
(a)
n
n
n
n
a
,b ≠ 0
b
= n an = a
1
n
a = n a für a ≥ 0;
a
-
1
n
1
=
a
1
n
=
1
n
a
Bedenke:
1
2
x =
2
x1 = x
4
3
x = 3 x4
4
x ⋅y
8
20
(
= x ⋅y
8
)
1
20 4
= x2 ⋅ y5
18
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
19
Kapitel 12:
Lineare Gleichungen mit einer Variablen
Definition:
Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten
ist eine Bestimmungsgleichung, in der eine
Unbekannte x nur mit Zahlen multipliziert und
addiert wird.
4x + 7 = 19 ⇒ x = 3
Für die umgeformte Gleichung der Art:
a·x=b
Gibt es folgende drei Lösungsmöglichkeiten:
1. Fall: a ≠ 0 ⇒ x = b/a ist die einzige Lösung
2. Fall: a = 0, b ≠ 0 ⇒ es gibt keine Lösung
3. Fall: a = 0, b = 0 ⇒ jedes beliebige x ∈ R
( ∞ viele Lösungen)
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
Beispiele:
2x − 3
5 − x =3
5≠ x
2x − 3
= 3 / ⋅ (5 - x)
5 − x
2x - 3 = 3(5 - x) = 15 - 3x
2x = 18 - 3x
/ + 3x
5x = 18
/:5
18
x = 5
x −1 x + 5
=
/ ⋅ (x - 2 ) ⋅ (x + 2 )
x−2 x+2
(x - 1) ⋅ (x + 2) = (x + 5) ⋅ (x - 2)
x 2 − x + 2 x − 2 = x 2 − 2 x + 5 x − 10 / - x 2
1x − 2 = 3 x − 10 / - 3x + 2
- 2x = -8 / : (-2)
x=4
20
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
21
Kapitel 13:
Geradengleichungen in der x-y-Ebene
Definition:
Die lineare Funktion y=mx+b stellt die Gleichung
einer Geraden in der x- y- Ebene dar.
Alle Punkte P(x,y) deren Koordinaten x, y diese
Gleichung erfüllen, liegen auf dieser Geraden.
Beispiel:
y= 1,5x+1
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
22
In der Geradengleichung y=mx+b stellt b den
Achsenabschnitt auf der y-Achse dar. m ist die
Steigung. Wenn x um eine Einheit vergrößert
wird, ändert sich y um m Einheiten. Bei positiver
Steigung wächst y, bei negativer Steigung nimmt y
entsprechend ab. Im Falle m=0 stellt y ≡ b eine zur
x-Achse parallele Gerade dar.
Punkt-Steigungs-Formel
Gegeben ist ein Punkt P (x 0 , y 0 ) mit den
Koordinaten x 0 und y 0 . Die Gerade hat die
Steigung m. Dann lautet die Gleichung der
Geraden:
y- y 0 = m · (x- x 0 )
y
= mx + y 0 – mx 0
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
23
Beispiel:
Gesucht ist die Gleichung der Geraden g 1 durch
P (3;4) mit der Steigung m=2/3
2
y − 4 = ( x − 3)
3
2
2
y − 4 = x − ⋅3
3
3
2
y−4= x−2 /+4
3
2
y= x+2
3
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
24
Zwei-Punkte-Formel
Durch zwei verschiedene Punkte P1(x 1 ,y 1 ) und
P2( x2 , y 2 ) mit den Koordinaten (x 1 ,y 1 ) bzw. ( x2 , y 2 )
geht genau eine Gerade.
Für x 1 ≠ x 2 folgt aus dem Strahlensatz die
Gleichung:
y 2 − y1
= m
x 2 − x1
Beispiel:
Gesucht ist die Gleichung der Geraden durch die
Punkte: P1 (1;2) P2 (4;6)
y − 2
6 − 2
4
=
=
x −1
4 −1
3
4
y − 2 =
(x − 1 ) ⇔
3
4
2
y =
x +
3
3
y − 2 =
4
4
6
x −
/ +
3
3
3
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
25
Achsenabschnittsformel
x
y
+
= 1
a
b
Dabei ist a der vorzeichenbehaftete Achsenabschnitt auf der x-Achse und b der Abschnitt auf
der y-Achse. Die Formel gilt nur für a, b ≠ 0, also
für Geraden, die nicht durch den Koordinatenursprung gehen.
Beispiel:
Gesucht ist die Geradengleichung mit den
Achsenabschnitten a (x-Achse) und b (y-Achse)
a=5
b = -2
x
y
+
= 1⇒
5
− 2
y
x
2
=
−1⇒ y =
x − 2
2
5
5
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
26
Schnitt zweier Geraden
Zwei Geraden y = m 1 x + b 1 und y = m 2 x + b 2
sind parallel, falls ihre Steigungen gleich sind
(m 1 = m 2 ). Parallele Geraden besitzen keinen
Schnittpunkt.
Nichtparallele Geraden besitzen genau einen
Schnittpunkt. Die Berechnung erfolgt mittels der
Gleichsetzungsmethode:
m 1 x + b1 = m 2 x + b 2
Durch Einsetzen dieses x-Wertes erhält man die yKoordinate des Schnittpunktes.
2x − 3 = −0,5x + 3 / + 3
2x = -0,5x + 6 / + 0,5x
2
2,5x = 6 / ⋅
5
6 ⋅ 2 12
x=
=
5
5
12
24
9
y = 2⋅ − 3 =
−3=
5
5
5
 12 9 
Ps =  ; 
 5 5
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
27
Orthogonale Geraden
Die beiden Geraden y = m 1 x + b 1 und
y = m 2 x + b 2 stehen aufeinander senkrecht (sind
orthogonal), falls für ihre beiden Steigungen m 1
und m 2 gilt: m 1 · m 2 = -1
Beispiel:
Gesucht ist die Geradengleichung g, die durch den
Punkt P (2;4) geht und auf der Geraden y=0,75x+3
senkrecht steht.
4
⇒
m
=
−
m· 0,75 = - 1
3
Punkt-Steigungsformel anwenden
4
y − 4 = −
(x − 2 ) = − 4 x + 8 ⇒
3
3
3
y = −
4
20
x +
3
3
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
28
Kapitel 14:
Quadratische Gleichungen
Reinquadratische Gleichungen
(nur x 2 ohne zusätzliches x)
Die reinquadratische Gleichung ax 2 + c = 0, a 0 ist nur
c
c
−
> 0 besitzt sie die beiden
für − a ≥ 0 lösbar. Für
a
Lösungen
c
c
und x 2 = − − .
a
a
Für c = 0 gibt es nur die einzige Lösung x = 0.
x1 = + −
c
−
Im Falle a < 0 gibt es keine reelle Lösung.
Beispiele
4 x 2 − 121 = 0 ⇔
x1 = +
11
2
x2 = −
x 2 = 31 ⇔
x2 =
121
4
11
2
x 2 = −31 ⇒ keine reelle Lösung
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
29
14.2 Die spezielle quadratische Gleichung
ax2 + bx = 0, a ≠ 0
x ⋅ (ax + b ) = 0
Die spezielle quadratische Gleichung
ax 2 + bx = 0, a ≠ 0 besitzt die beiden Lösungen
b
x 1 = 0 und x 2 = − .
a
Beispiel:
10 x 2 − 3 x = 0 ⇔
x ⋅ (10 x − 3 ) = 0
3
x1 = 0 und x 2 =
10
Wichtig
ax 2 + bx = 0, a ≠ 0
nicht einfach durch x
dividieren, da sonst häufig die Lösung x = 0
unterschlagen wird.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
30
14.3 Die allgemeine quadratische Gleichung
Jede quadratische Gleichung der Form
ax 2 + bx = 0, a ≠ 0 kann durch Division durch a auf
die Normalform gebracht werden.
b
c
x 2 + px + q = 0; p = ; q =
a
a
Diskriminante
D = p − 4q
2
D < 0 => keine reelle Lösung
D = 0 => genau eine Lösung
D > 0 => zwei verschiedene Lösungen
Aus der Normalform folgt die sog. p-q-Formel:
x1,2
p
=− ±
2
p2
−q
4
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
31
Möglichkeit 1:
Ist
p2
− q negativ, so gibt es keine reelle Lösung.
4
Möglichkeit 2:
Ist
p2
− q positiv, so gibt es zwei Lösungen.
4
Möglichkeit 3:
Ist
p2
− q gleich 0, so gibt es genau eine Lösung.
4
Beispiel 1:
x2 − 4 x + 5 = 0
x1, 2 = 2 ±
16
− 5 ⇒ Radikand kleiner 0 ⇒ keine relle Lösung
4
Beispiel 2:
x2 + 3x −
3
=0
4
3
9 3
±
+
2
4 4
3
3
x1 = − + 3 ∨ x2 = − − 3
2
2
x1,2 = −
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
Beispiel 3:
x 2 + 7 x + 12,25 = 0
7
49
x1, 2 = − ±
− 12,25
2
4
7
x = − ⇒ Radikand ist 0.
2
Beispiele zur quadratischen Ergänzung:
x 2 + 12 x + 9 = 0
x 2 + 12 x = −9
12 2
12
) = −9 + ( ) 2
2
2
( x + 6) 2 = 27
x 2 + 12 x + (
( x + 6) = ± 27
x1 = −6 + 27
x 2 = −6 − 27
x 2 + 8x − 33 = 0
x 2 + 8x = +33
8
8
x 2 + 8x + ( ) 2 = +33 + ( ) 2
2
2
( x + 4)2 = 49
( x + 4) = ± 49
x1 = −4 + 7 = 3
x2 = −4 − 7 = −11
32
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
33
14.4 Der Satz von Vieta
Die Normalform
x 2 + px + q = 0
besitzt die Lösungen x1 und x2. Dann gilt
x1 + x2 = − p und x1 ⋅ x 2 = q
Der Koeffizient p von x stellt also die negative Summe
der Lösungen dar, während das konstante Glied q gleich
dem Produkt der beiden Lösungen ist.
Beispiel:
Gesucht ist die Normalform der quadratischen
Gleichung, welche die folgenden Lösungen besitzt.
x1 = 2 und x2 = −5
p = −(2 − 5) = 3
q = 2 ⋅ (−5) = −10
( x − 2) ⋅ ( x + 5) = x 2 + 3 x − 10 = 0
Falls eine Lösung der Normalform x + px + q = 0
bekannt ist, muss zur Berechnung der zweiten Lösung
nicht mehr die gesamte quadratische Gleichung gelöst
werden.
2
− p = x1 + x2
⇒
x2 = − p − x1
x2 + x − 2 = 0
x1 = 1
∨ x 2 = −1 − 1 = −2
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
34
14.6 Polynomdivision bei einer vorgegebenen Lösung
Beispiel 1:
Die Gleichung x
2
+ x−2 = 0
besitzt die Lösung x1 = 1
( x 2 + x − 2) : ( x − 1) = x + 2 = 0 ⇒ x = -2
- (x 2 − x)
2x − 2
− (2 x − 2)
0
L = {1,−2 }
Beispiel 2:
Die Gleichung 2 x 2 + 4 x + 2 = 0
besitzt die Lösung x 1 = − 1
(2 x 2 + 4 x + 2) : ( x + 1) = 2 x + 2 = 0 ⇒ x = -1
- (2x 2 + 2 x )
2x + 2
− (2 x + 2)
0
Polynomdivision ergibt keine weitere Lösung x = -1 war
schon vorher bekannt.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
35
14.7 Wurzelgleichungen, die auf quadratischen
Gleichungen führen
4− 6− x = x
4−x= 6−x
/q uadrieren
(4 − x )2 = 6 − x
x 2 − 8 x + 16 = 6 − x
x 2 − 7 x + 10 = 0
7
49
±
− 10
2
4
7 3
7 3
x1 = + = 5 ; x 2 = − = 2
2 2
2 2
Probe
x1, 2 =
x1 = 5 erfüllt die Ausgangsgl eichung nicht, denn
4- 6-5 = 5
4 −1 = 5
3≠5
ABER
x2 = 2 erfüllt die Ausgangsgl eichung, denn
4- 6- 2 = 2
4− 4 = 2
2=2
Damit ist die Lösung nur x = 2.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
36
Achtung
Durch das Quadrieren einer Wurzelgleichung kann sich
die Anzahl der Lösungen vergrößern. Daher muss
unbedingt die Probe durchgeführt werden, damit die
Lösungen der quadrierten Gleichung, welche die
Wurzelgleichung nicht erfüllen, ausgesondert werden
müssen.
Das Quadrieren stellt keine äquivalente Umformung
einer Gleichung dar.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
37
14.8 Gleichungen, die durch Substitution auf
quadratische Gleichungen führen
Substitutionsmethode
x 6 − 35 x3 + 216 = 0
x3 = u
u 2 − 35u + 216 = 0
35
35 2
35
361
u1, 2 =
±
− 216 =
±
2
4
2
4
35 19
u1, 2 =
±
2
2
u1 = 27 ∨ u 2 = 8.
x 3 = 27
∨ x3 = 8
x1 = 3 27 ∨ x 2 = 3 8
x1 = 3
∨ x2 = 2
2 x 4 − x 2 − 15 = 0 x 2 = u
1
15
2u 2 − u − 15 = u 2 − u −
2
2
u1/ 2
1
= ±
4
( 2 ) + 15 ⇒ u = 3 = x
1
4
2
2
1
2
⇒ x1 = 3 ∧ x2 = − 3
5
u2 = − keine reelle Lösung
2
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
38
Kapitel 16:
Ungleichungen und Beträge
Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen a und b
besteht genau eine der drei Beziehungen:
a<b
a=b
a>b
a ≠ b bedeutet entweder a < b oder a > b
Beziehungen der Art a < b, a > b, a
heißen Ungleichungen.
≤
b, a
≥
b
Regeln:
Aus a < b und b < c folgt a < c
Aus a < b folgt a+c < b+c
Aus a < b folgt a·c < b·c
für beliebiges c
für beliebiges c > 0
a·c > b·c
für beliebiges c < 0
Aus a < b und c < d folgt a+c < b+d
Beispiel:
2 < 5 |·4
⇒ 8 < 20
2 < 5 | · (-4)
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
⇒ -8
39
> -20
Achtung:
Bei der Multiplikation einer Ungleichung mit einer
negativen Zahl c < 0 geht das < Zeichen in > über
und umgekehrt. Das Ungleichheitszeichen muss
also bei der Multiplikation mit einer negativen
Zahl umgekehrt werden.
Für a < b und b < c schreibt man abkürzend
a < b < c.
Bei einer solchen doppelten Ungleichung müssen
gleichzeitig beide Ungleichungen a < b und b < c
erfüllt sein. à b liegt dann echt zwischen a und c.
2 < a-5 < 7
⇒ 7 < a < 12
| +5
2 < -b < 5
⇒ -2 > b > -5
| ·(-1)
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
40
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
41
Intervalle
abgeschlossen : [a; b] = {x / a ≤ x ≤ b}
offen : (a; b) = {x / a < x < b}
halboffen : (a; b] = {x / a < x ≤ b}
links offen und rechts abgeschlos sen
halboffen : [a; b) = {x / a ≤ x < b}
links abgeschlos sen und rechts offen
Die eckigen Klammern bedeuten, dass die
Intervallgrenzen zum Intervall gehören, bei
runden Klammern gehören die Grenzen
hingegen nicht dazu.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
42
Lineare Ungleichungen mit einer Variablen
Falls in einer Ungleichung die Variable x nur in
der ersten Potenz vorkommt, handelt es sich um
eine lineare Ungleichung, z.B. ax + b < c.
Zur Bestimmung der Lösungsmenge L wird die
Ungleichung durch wiederholte Addition und
Multiplikation so umgeformt, das x isoliert auf einer
Seite steht. Dabei ist darauf zu achten, dass das
Ungleichheitszeichen sich bei der Multiplikation mit
einer negativen Zahl umkehrt.
2x + 4
< 3x + 5
2x + 4
2x- 3x + 4
-x + 4
-x
x
< 3x + 5
< 3x- 3x + 5
<5
<1
>-1
| -3x
|-4
| ·(-1)
Falls in einer Ungleichung ein Bruch vorkommt,
dessen Nenner die Variable x enthält, wird dieser
Nenner dadurch beseitigt, dass die Ungleichung
mit dem Nenner durchmultipliziert wird.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
43
Dabei
müssen
für
den
Nenner
Fallunterscheidungen gemacht werden.
Bei
positivem
Nenner
bleibt
das
Ungleichheitszeichen erhalten, während es bei
der Multiplikation mit einem negativen Nenner
umgekehrt werden muss.
Beispiel:
Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung
x +1
x−2
>
1
3
1. Fall: x –2 > 0 d.h. x > 2
x +1
x−2
1
>3
x+1>
| · (x-2)
1
3
|·3
| -x
| -3
| :2
(x –2)
3x + 3 > x – 2
2x + 3 > -2
2x > -5
5
x > -2.
Beide Ungleichungen x >
5
-2
und x > 2 sind für x > 2
{
}
erfüllt. Erste Lösungsmenge L1 = x x > 2 = ( 2;+∞ )
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
44
2. Fall: x-2 < 0 d.h. x < 2
x +1
x−2
x+1
1
>3
1
< 3
| · (x-2)
(x-2)
|·3
| -x
3x+3 < x-2
2x+3 < -2
2x < -5
| -3
| :2
5
x < -2
5
Beide Ungleichungen x < 2 und x < - 2 sind für
5
x<- 2
erfüllt.
Lösungsmenge
Damit
lautet
die
zweite

5
5
L2 =  x x < −  = (−∞;− ).
2
2

Also als Lösungsmenge L der Ungleichung erhält
man die Vereinigung:

5
5
L = L1 ∪ L2 =  x x > 2 oder x < −  = (−∞;− ) ∪ (2; ∞)
2
2

Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
45
Beträge und Abstände. Ungleichungen mit
Beträgen
Der Betrag der Zahl a
a für a > 0
|a| =
- a für a < 0
kann als Abstand dieser Zahl vom Nullpunkt
erklärt werden.
Für a > 0 gilt somit a = |a| und
Für b < 0 b = -|b|
Eigenschaften von Beträgen
|-a| = |a|
|a·b| = |a| · |b|
-|a| < a < |a|
|a+b| = |a|+|b|
Der Betrag |a-b| stellt den Abstand zwischen a und
b dar.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
46
Beispiel:
Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung
x − 10 ≤ 0,5 x
1. Fall: x-10 ≥ 0 ; d.h. x ≥ 10
x − 10 = x − 10
für x-10 ≥ 0 geht wegen
Ungleichung über in
1x-10 ≤ 0,5x
0,5x ≤ 10
x ≤ 20.
die
| +10 -0,5x
|·2
Lösungsmenge L1 = {x 10 ≤ x ≤ 20} = [10;20]
2.Fall: x-10 < 0; d.h. x < 10
aus x-10<0 folgt x − 10 = −( x − 10 ) . Damit geht die
Ungleichung über in
-(x-10) ≤ 0,5x
-x+10 ≤ 0,5x
3
10 ≤ 2 x
20
≤
3
|+x
|·
x.
Das liefert die Lösungsmenge
2
3
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
47
 20
  20 
L2 = x
≤ x < 10  =  ;10 

 3
 3
Die gesamte Lösungsmenge ist die Vereinigung
 20
  20 
L = L1 ∪ L2 =  x
≤ x ≤ 20 =  ;20 

 3
 3
Bei Ungleichungen mit Beträgen müssen zur
Beseitigung der Betragsstriche die beiden
Fallunterscheidungen a ≥ 0 und a < 0 gemacht
werden.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
48
Kapitel 17:
Gleichungen
höherer
Polynomdivision
Ordnung
-
In einer Gleichung n-ten Grades kommen von x
nur Potenzen bis zum n-ten Grad vor.
an x n + an −1 x n−1 + an− 2 x n− 2 + an −3 x n −3 + .... + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0
Auf der linken Seite steht ein Polynom n-ten
Grades. Dabei sind die Koeffizienten a0 , a1 , a2 ,...an
reelle Zahlen. Die Lösungen der Gleichungen n-ten
Grades stellen also die Nullstellen des Polynoms nten Grades dar.
1. Ausklammern einer Potenz von x
à nur anwendbar, wenn in der Gleichung kein
konstantes, also x-freies Glied vorkommt.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
49
Beispiel:
x5 − x 4 − 6 x3 = 0
⇒ x 3 ( x 2 − x − 6) = 0
daraus folgt:
⇒ x3 = 0
⇒ x2 − x − 6 = 0
x³ = 0 besitzt nur die Lösung x1 = 0 . Die Lösungen
der quadratischen Gleichung sind:
1
1
1 5
x2, 3 = ±
+ 6 = ± ; x 2 = −2; x3 = 3
2
4
2 2
Die Lösungsmenge der Gleichung 5.Grades lautet
somit L = {− 2;0;3}
2. Vorgabe einer Lösung (Polynomdivision)
Falls eine Gleichung n-ten Grades die Lösung x = x1
besitzt, kann der Faktor ( x − x1 ) ausgeklammert
werden. Über die Division der linken Seite durch
( x − x1 ) (Polynomdivision) erhält man als zweiten
Faktor ein Polynom (n-1)-ten Grades.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
50
Beispiel:
x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0
Die Gleichung besitzt die Lösung x1 =1.
x 3 − 6 x 2 + 11x − 6
− ( x3 − x 2 )
: ( x − 1) = x² - 5x + 6
-5x² +11x
-(-5x² + 5x)
6x – 6
-(6x – 6)
0
Damit geht die Ausgangsgleichung in eine quadratische
Gleichung x² - 5x + 6 = 0 über,
mit den Lösungen:
x2, 3 =
5
25
5 1
±
− 6 = ± ; x2 = 2; x3 = 3
2
4
2 2
Damit lautet die Lösungsmenge der Gleichung 3.Grades
L = {1;2;3} .
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
51
Kapitel 18:
Lineare Gleichungssysteme
Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten
(Variablen)
heißt
linear,
wenn
die
Unbekannten nur in der ersten Potenz
vorkommen, z.B.
5 x + 4 y − 3 z = 38
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus
mehreren
linearen
Gleichungen,
die
gleichzeitig erfüllt sein müssen.
18.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei
Unbekannten
a1 x + a 2 y = b, a1 , a 2 , b ∈ R; a1 , a2 nicht beide gleich 0.
Alle Punkte P(x,y), deren Koordinaten diese lineare
Gleichung erfüllen liegen auf einer Geraden in der
Zahlenebene.
y=−
a1
b
x+
a2
a2
für a 2 ≠ 0; m = −
a1 b
,
= y - Achsenabschnitt
a2 a2
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
52
3
12
g1 : 3x + 4y = 12 ⇔ y = − x +
4
4
2
10
g 2 : - 2x + 4y = 10 ⇔ y = x +
4
4
g 3 : 5x = −20 ⇔ x = -4
g 4 : 3y = −6 ⇔ y = −2
g 5 : 2x - y = 0 ⇔ y = 2x
G3
G5
G2
G4
G1
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
1. Einsetzungsmethode
(1)
2x + 3y = 7 ⇔ x =
(2 )
3x − 2 y = 4
7 3
− y einsetzen in (2 )
2 2
7 3 
⇒ 3⋅ − y  − 2y = 4
2 2 
21 9
− y −2y = 4
2 2
13 13
=
y ⇔ y =1
2
2
Einsetzen 2 x + 3 ⋅ 1 = 7 ⇔ x = 2
2. Gleichsetzungsmethode
7 3
(1) 2 x + 3 y = 7 ⇔ x = − y gleichsetz en mit (2 )
2 2
(2 ) 3x − 2 y = 4 ⇔ x = 4 + 2 y gleichsetz en mit (1)
3 3
7 3
4 2
⇒ − y= + y
2 2
3 3
13 13
⇔
= y ⇔ y =1
6
6
Einsetzen 2 x + 3 ⋅ 1 = 7 ⇔ x = 2
53
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
54
4. Additionsmethode
(1)
(2)
(1)
(2)
2x + 3 y = 7 / ⋅ 3
3x − 2 y = 4 / ⋅ 2
6 x + 9 y = 21 / - Gleichung (2)
6x − 4 y = 8
(3) 13y = 13 ⇔ y = 1
Einsetzen 2 x + 3 ⋅1 = 7 ⇔ x = 2
18.2
Lineare Gleichungen mit drei
Unbekannten
Bei drei linearen Gleichungen mit drei
Unbekannten wird aus einer Gleichung eine
Unbekannte durch die beiden anderen
eliminiert. Dieser Ausdruck wird in die
beiden anderen Gleichungen eingesetzt.
Dadurch entstehen zwei lineare Gleichungen
mit zwei Unbekannten.
Einführung Mathematik – OR1AD – Quartester 1 – Dennis Wörmann
(1)
(2)
55
x + 2y + z = 8 ⇔ x = 8 - 2y - z einsetzen für x in
x - y + 2z = 5
Gleichung 2 und 3
(3) 2x + 3y - 3z = -1
(2) (8 - 2y - z)) - y + 2z = 5
(3) 2(8 - 2y - z) + 3y - 3z = -1
Damit entsteht das Gleichungs system
(2`) - 3y + z = -3
(3`) - y - 5z = -17 / ⋅ (-3)
- 3y + z = -3
3y + 15z = 51
16z = 48 ⇒ z = 3
z einsetzen in (3`)
y = -5z + 17 ⇒ y = 2
z und y einsetzen in (1)
x = -2y - z + 8
x = -2⋅2-3+8 =1
Lösung x = 1 ; y = 2 ; z = 3