Aufgabensammlung für den Brückenkurs Mathematik für

E VA R I C H T E R
AU F G A B E N S A M M L U N G
FÜR DEN BRÜCKENKURS
M AT H E M AT I K F Ü R S T U D I E N A N FÄ N G E R I N C O M P U TAT I O N A L S C I E N C E
UND WIRTSCHAFTSINF O R M AT I K D E R U N I V E R S I TÄT P O T S D A M
Formale Logik
1. Das p-g-System
Im p-g-System gibt es drei Zeichen: p,g,-(Bindestrich). Aus diesen
Zeichen können Ketten gebildet werden. Ketten sind z.B. − −
p − g− und p − − ppg aber auch die leere Kette, die kein Zeichen
enthält. Nicht alle Ketten sind zulässig. Eine zulässige Kette nennt
man einen Satz des Systems. Im Folgenden beschreiben wir eine
Methode, wie sich alle Sätze des p-g-Systems erzeugen lassen.
Wir gehen aus von einer Menge von Ketten, die im p-g-System
zulässig sind. Diese vorgegebenen Sätze nennt man Axiome. Jede
Kette der Form xp − gx −, wobei x ein Platzhalter für eine Kette
nur aus Bindestrichen ist, ist ein Axiom. Aus Sätzen können weitere Sätze gebildet werden, indem man folgende Regel anwendet:
Seien x,y,z Ketten, die nur aus Bindestrichen bestehen. Wenn
xpygz ein Satz ist, dann ist auch xpy − gz− ein Satz.
(a) Welche der folgenden Ketten sind Axiome? Welche sind Sätze?
Welche sind keine Sätze? Begründen Sie Ihre Antworten.
− − p − − − g − − − −−
− − p − − p − g − − − −−
−−−p−g−−−−
− − g − p−
Ein formales System ist ein System von
Symbolketten und Regeln. Die Regeln
sind Vorschriften für die Umwandlung
einer Symbolkette. Die Anwendung
der Regeln kann dabei ohne Kenntnis
der Bedeutung der Symbole erfolgen.
Das wird zum Beispiel im Compilerbau gebraucht. Eine Teilaufgabe eines
Compilers ist es, zu überprüfen, ob ein
eingegebenes Programm syntaktisch
korrekt ist, d.h. ob alle Anweisungen
die richtige Form haben, also „Sätze“
der entsprechenden Programmiersprache sind.
Eine spezielle Form der formalen Systeme sind logische Kalküle: Axiome
sind hier logische Wahrheiten, die als
unzweifelhaft gelten, Sätze sind weitere
daraus ableitbare wahre Aussagen.
Dabei können Aussagen entweder
einfach sein (dargestellt durch Aussagevariablen) oder Verknüpfungen
von Aussagen durch die Operationen
„nicht“ , „und“, „oder“ , „wenn...,
dann...“ -dargestellt durch die Zeichen
¬, ∧, ∨, ⇒ sein.
− − − p − − g−
(b) Versuchen Sie (ein oder mehrere) Kriterien zu finden, mit deren
Hilfe Sie schnell entscheiden können, ob eine Kette ein Satz ist
oder nicht.
2. Wir wollen den Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage auf die Wahrheitswerte ihrer Komponenten zurückführen.
Wir nehmen an, R wäre eine wahre Aussage und S wäre eine
falsche Aussage. Unter dieser Voraussetzung ist R ⇒ S eine falsche
Zu jeder logische Verknüpfungsoperation gehört eine Wahrheitswerttabelle;
hier die Tabelle für „und“ :
A
B
A∧B
wahr
wahr
wahr
wahr
falsch
falsch
falsch
wahr
falsch
falsch
falsch
falsch
4
eva richter
Aussage, da eine Implikation nur dann falsch ist, wenn ihr erstes Glied, die Prämisse (hier R) wahr und ihr zweites Glied, die
Folgerung(hier S) falsch ist.
Füllen Sie folgende Tabelle aus, indem Sie die Wahrheitswerte der
Aussagen bestimmen.
R⇒S
falsch
S⇒R
¬R ⇒ S
(S ∧ R) ∨ S
R ⇒ ( R ⇒ ¬ R)
R ⇔ ( R ∨ S)
¬ R ∧ ¬(S ⇒ ¬ R)
¬(S ⇒ ¬ R)
¬( R ⇒ ¬S)
⇔
3. Äquivalente Aussagen
Finden Sie für jede Aussage auf der linken Seite diejenige auf der
rechten, die genau die gleiche Bedeutung hat.
P∨Q
¬P ⇒ Q
P∧Q
( P ⇒ Q) ∧ ( Q ⇒ P)
P⇒Q
¬(¬ P ∨ ¬ Q)
P⇔Q
¬P ∨ Q
4. Kreuzlogikrätsel
In jedes Kästchen wird ein Wahrheitwert, also entweder w(ahr)
oder f(alsch) eingetragen. Jedes „Wort“ besteht also nur aus w-s
und f-s und reicht vom Schlüssel bis zum Zeilen- bzw. Spaltenende.
(a) waagerecht: 1.)1senkr ∨ 1waag. senkrecht:1.) 1senkr ⇒ 1waag.
1
(b) waagerecht: 1.) ¬( 3waag. ∧ ¬ (1waag)) 3.)¬ 1senkr.
senkrecht: 1.)¬¬( 1senkr.), 2.) ¬¬( 1waag.)
1
2
3
Zwei Aussagen sind logisch äquivalent,
wenn sie für jede mögliche Belegung
der enthaltenen Variabelen den gleichen
Wahrheitswert haben.
Kreuzlogikrätsel– ein Beispiel
In jedes Kästchen wird ein Wahrheitwert, also entweder w(ahr) oder f(alsch)
eingetragen. Jedes „Wort“ besteht
also nur aus w-s und f-s und reicht
vom Schlüssel bis zum Zeilen- bzw.
Spaltenende.
1
2
3
waagerecht:
1.) ¬ 2 senkr., 3.) 2 senkr. ∧ 1 waager.,
senkrecht:
1.)anders als 1 waager., 2.) 2 senkr.
Lösung: In unserem Beispiel gibt es
drei Schlüssel. Die Lösung für 1 waager.
besteht darin, 2 senkr. Feld für Feld
zu negieren. Stünde links oben ein T,
dann müsste oben rechts ein F stehen
und wenn oben rechts ein F steht, dann
muss unten rechts ein T stehen. Es sind
also zwei Varianten möglich:
w
f
f
w
oder
?
w
?
f
Um das linke untere Feld zu füllen
betrachten wir die Bedingung für
3 waager. In Variante 1 hätten wir
( f , w) ∧ (w, f ) = (?, w) was nicht
möglich ist, Variante 2 ergibt (w, f ) ∧
( f , w) = (?, f ) und wir können ? := f
setzen.
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computational science und wirtschaftsinformatik der universität potsdam 5
(c) waagerecht: 1.) ¬( 4waag. ∧ (5waag)) 4.)3senkr. 5.) ¬(2senkr.)
senkrecht: 1.)anders als 4waag. 2.) ¬ ( 5waag.) 3.)¬(1waag.)
3
1
2
4
3
5
5. Gültige Argumente
Entscheiden Sie für jedes der folgenden Argumente, ob es gültig
ist oder ob es ungültig ist.
a)
P∨Q
∴P
b)
P⇔Q
∴P
c)
P∧Q
∴ P∨Q
d)
¬¬ P
∴P
e)
P⇒Q
∴P
f)
P⇒Q
∴Q
g)
(¬ P ⇔ Q), Q
∴P
h)
P⇒Q
∴Q⇒P
i)
∀ x.P( x )
∴ P( a)
k)
∃ x.P( x )
∴ P( a)
l)
j)
∀ x.( P( x ) ∧ Q( x ))
∴ Q(b)
Ein Argument ist gültig, wenn es bei
keiner Belegung der Variablen möglich
ist, dass die Prämisse wahr und die
Konklusion falsch ist.
∃ x.( P( x ) ∧ Q( x ))
∴ Q(b)
6. Prädikatenlogik
W(x) bezeichne die Eigenschaft, dass x weiblich ist. S(x) besagt,
dass x ein Salamander ist und H(x,y) drückt die (zweistellige) Beziehung „x haut y auf den Kopf“aus. Welche Bedeutung haben
dann die folgenden Formeln? Geben Sie dazu einen umgangssprachlichen Satz an.
Beispiel: ∀ x.S( x ) ⇒ W ( x ) bedeutet alle
„Alle Salamander sind weiblich.“
(a) ∃ x.(W ( x ) ∧ S( x ))
(b) ∃ x.∃y.H ( x, y)1
(c) ∀ x.∀y.H ( x, y)
(d) ∀ x.∃y.H ( x, y)
(e) ∃ x.∀y.H ( x, y)
(f) ∃y.∀ x.H ( x, y)
7. K sei die Eigenschaft „ist kleiner “, d.h K ( x, y) steht für „x ist
kleiner als y“. q sei ein Name für die Zahl 17. Entscheiden Sie, ob
die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Wir gehen davon
aus, dass wir für x und y beliebige ganze Zahlen einsetzen dürfen.
x und y müssen nicht verschieden
sein!
1
6
eva richter
a) ∃y.K (y, q)
b) ∀ x.∃y.K ( x, y)
c) ∃ x.∀y.K ( x, y)
d) ∃y.∀ x.¬K ( x, y)
e) ∃ x.∀y.¬K ( x, y)
f) ∀y.∃ x.¬K ( x, y)
8. Einige geflügelte Worte gehen auf die folgenden Persönlichkeiten
zurück. Welche?
¬ A(U.S., y) ∧ A(y, U.S.)
„Ask not what your country can do
for you ... but what you can do for
your country.“
S(i ) ⇒ (St(i ) ∧ A(i ))
∀m.¬∃ x.A( x, m)
∀ x.FB( x ) ⇒ LB( x )
Mathematisches Beweisen
Summenzeichen
1. Schreiben Sie die folgenden Summen mit Hilfe des Summenzeichens. Überlegen Sie dafür zunächst wie das Bildungsgesetz der
Folge aussieht und legen Sie dann den Laufindex und die Summationsgrenzen fest.
Die Summe der ersten 5 Glieder einer
Zahlenfolge a1 , a2 , . . . schreibt man mit
Hilfe des Summenzeichens sehr viel
kompakter als:
5
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =
∑ ai
i =1
(a) 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
(b) 2 + 4 + 6 + 8 =
Dabei ist i der Laufindex, 1 die Untergrenze und 5 die Obergrenze der
Summation(nicht! die Anzahl der
Summanden).
Beispiel:
6
∑ 2i = 2 · 3 + 2 · 4 + 2 · 5 + 2 · 6 = 36
i =3
(c) 2 + 5 + 10 + 17 + 26 =
(d) 9 + 16 + 25 + 36 =
(e) 1 +
In eine Bar kommen unendlich viele Mathematiker. Der erste
bestellt:„Ein Bier“, der zweite bestellt „Ein halbes Bier!“, der
dritte bestellt„Ein viertel Bier!“usw. Nachdem der sechste ein
vierundsechzigstel Bier bestellt hat, hat der Barkeeper genug. Er füllt
zwei Gläser und sagt: „Hier, bitteschön, macht das unter euch aus!“
1
1
1
1
+ + + ... =
2 22 23 24
2. Schreiben Sie die folgenden Summen explizit (d.h. ohne Hilfe des
Summenzeichens) und berechnen Sie sie.
7
(a)
∑ (−1)k k2 =
k =2
5
(b)
5
∑ j =
j =0
4
(c)
4
∑ j a j b 4− j =
j =0
Die Binomialkoeffizienten (nk) geben an,
auf wieviele Arten man k Objekte aus
einer Menge von n Objekten auswählen
kann und berechnen sich durch
n
n!
=
k
k!(n − k )!
So angeordnet, dass die Binomialkoeffizienten mit demselben n in einer Zeile
−1
stehen und dass (nk) unter (nk−
1 ) und
(n−k 1) steht, ergeben sie das Pascalsche
Dreieck.
8
eva richter
3. Für manche reelle Funktionen (und Konstanten) gibt es sogenannte Reihenentwicklungen, d.h. sie lassen sich als Grenzwert einer
Summe darstellen. Überprüfen Sie die Genauigkeit einer solchen
Darstellung indem Sie die ersten vier Glieder der folgenden Reihe
(in b) für x=3.14) berechnen:
∞
(−1)k
2k + 1
j =0
(a) π = 4· ∑
∞
(b) sin x =
(−1)k
∑ (2k + 1)! x(2k+1)
j =0
4. Vereinfachen Sie die folgenden Summen und berechnen Sie sie wie
im folgenden Beispiel.
7
(a)
∑
j2 + 2j − 2 =
j =0
9
∑ ( k − 2)2 + 2( k − 2) − 2
k =2
9
=
∑
k2 − 2k + 4 + 2k − 4 − 2 =
k =2
= −16 +
∑ k2
k =2
6
(b)
9
∑ k2 − 2
k =2
9
∑ ( j + 2) =
j =2
Oft lassen sich Summenausdrücke
vereinfachen, indem man die Laufvariable transformiert, und gleichzeitig die
Summationsgrenzen anpasst.
Ersetze j durch (k − 2) und passe die
Grenzen an
Summanden, in denen die Laufvariable
nicht auftritt, kann man aus der Summe
ziehen, indem man das entsprechende
Vielfache vor die Summe schreibt.
Da die Summationsgrenzen 2 und
9 sind gibt es 8 Summanden, also
−2· 8 = 16.
Faktoren lassen sich einfach ausklammern:
4
4
j =2
j =2
∑ 2j = 2 ∑ j
5
(c)
∑ (k + 2)2 (−1)k+2 =
k =0
i !
1
1
+ =
∑ 2
8
i =1
3
(d)
3
(e)
4
4 − j j 3− j
∑ j 3−j a b =
j =0
(f)
∑ ∑ ( j · k2 − 2j · k + 3) =
5
3
j =3 k =1
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computational science und wirtschaftsinformatik der universität potsdam 9
Verschiedene Beweisaufgaben
1. Für welche natürlichen Zahlen n gibt es natürliche Zahlen a1 , . . . an ,
die alle voneiander verschieden sind, so dass gilt
1=
1
1
+...+
a1
an
Beweisen Sie Ihre Behauptung.
2. Gegeben sei ein quadratisches Gitter in der Zahlenebene. Beweisen
Sie, dass man kein gleichseitiges Dreieck zeichnen kann, bei dem
alle Eckpunkte Gitterpunkte sind.
Vollständige Induktion
Die Übungen dienen dazu, sich mit dem Formalismus der vollständigen Induktion vertraut zu machen. Die Aufgabe besteht darin, jeweils
die angegebene Aussage zu beweisen (oder zu widerlegen). Führen
Sie dazu für alle Aufgaben jeden der folgenden Teilschritte sorgfältig
aus.
(a) Schreiben Sie die Behauptung auf und geben Sie an, wie Sie die
Induktion aufbauen wollen.
Beispiel: Für alle n ∈ N gilt
n
1 + ∑ 2i = 2 n + 1 .
i =0
Beweis (durch Induktion über n)
1. Induktionsanfang n=0
0
1 + ∑ 2i = 1 + 20 = 2 = 20+1 .
i =0
2. Indvorauss: Für alle n < k gilt
n
1 + ∑ 2i = 2 n + 1 .
(b) Beweisen Sie den Induktionsanfang!
i =0
(c) Formulieren Sie die Behauptung für den Induktionsschritt!
3. Induktionsbehauptung Dann gilt auch
k
1 + ∑ 2i = 2 k + 1 .
(d) Beschreiben Sie die Induktionsvoraussetzung!
(e) Leiten Sie durch geeignete Umformungen aus der Induktionsvoraussetzung (und eventuell dem Induktionsanfang) die Behauptung des Induktionsschrittes her und begründen Sie dabei jeden
Schluss.
(f) Schließen Sie den Beweis mit der entsprechenden Schlußfolgerung
ab.
i =0
4. Beweis des Induktionsschrittes:
k −1
k
1 + ∑ 2i = 1 + ( ∑ 2i ) + 2 k .
i =0
i =0
|
{z
2k
}
Da (k − 1) < k kann man die Indvorauss. verwenden und erhält:
k
1 + ∑ 2i = 2 k + 2 k = 2 · 2 k = 2 k + 1 .
i =0
1. Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∑k
3
=
k =1
n ( n + 1)
2
2. Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
n
∑ i = 2n
i =0
Aus 1. und 4. folgt die Behauptung.2
2
10
eva richter
3. Für alle natürliche Zahlen n und reelle Zahlen a mit 0 ≤ a ≤ 1
gilt:2
(1 + a ) n ≤ 1 + (2n − 1 ) a
4. Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n
∑ k −2 ≤ 2 − n −1
k =1
5. Die Anzahl der Diagonalen in einem ebenen, konvexen n-Eck kann
durch die Formel
n ( n − 3)
2
berechnet werden. Für welche n gilt die Formel?
d=
6. Es gibt genau eine natürliche Zahl n mit 2n < n2 .
7. Durch n Geraden wird die Ebene in höchstens 12 (n2 + n + 2) Teile
zerlegt.
8. Für welche natürlichen Zahlen n gilt n! ≤ 2n ? Beweisen Sie Ihre
Vermutung.
Hat was mit dem binomische Lehrsatz
und mit der vorigen Aufgabe zu tun.
2
Zahlen und Rechnen
Bruchrechnung
1. Kürzen Sie die folgenden Brüche soweit wie möglich. Geben Sie
an, für welche Werte der Variablen die Brüche definiert sind.
12xy − 4yx
35x
a)
= −1 für x, y 6= 0 f)
=
8xy − 16yx
14
24a
26x + 39y
=
=
b)
g)
15b
6x + 9y
c)
23a2
=
6a3
h)
12a − 4b
=
20ab
d)
63a
=
7b
i)
63a2 b2 − 9ab
=
18ab + 54a2 b2
e)
6( x 2 − y2 )
=
3( x − y )
i)
6a2 bc − 3ab2 c + 3abc2
=
15a2 b2 c2
2. Stellen Sie jede der folgenden Differenzen und Summen als einen
Bruch dar:
2 5
a) + =
3 3
x 12
b) +
=
3
6
1 1
c) + =
3 7
1 1
1
5
d) + −
+ =
3 4 12 6
3x 2x 13x
e)
+
−
=
11
5
55
2
5
4
f)
+
−
=
x + 3 2x + 6 x + 3
2a
5b
ab
−
+
=
g)
( a − 1) b + 1 (b + 1)( a − 1)
x
y
xy
h)
−
+
=
(2xy) 5x
3
Man erweitert einen Bruch, indem man
seinen Zähler und seinen Nenner mit
derselben Zahl multipliziert, z.B.
3 6
18
· =
7 6
42
Man kürzt in einem Bruch, indem man
den Zähler und den Nenner durch
dieselbe Zahl teilt, z.B.
9· 3
27
3
= =
36
4
9
·
4
Zähler und Nenner des dabei entstehenden Bruchs sind dabei nicht
unbedingt teilerfremd.
Um Brüche zu addieren muss man
sie zuerst gleichnamig machen, d.h.
so erweitern, dass sie gleiche Nenner
haben, z.B.
2
13
2· 3
13· 5
6
65
+
=
+
=
+
5
3
5· 3
3· 5
15
15
Brüche mit demselben Nenner werden
addiert, indem man die Zähler addiert
und den Nenner beibehäl:
6
65
6 + 65
71
+
=
=
15
15
15
15
12
eva richter
3. Berechnen Sie die folgenden Produkte und Quotienten.
2 5
a) · =
3 3
x 12
b) ·
=
3 6
1 1
c) : =
3 7
1 5
1 1
=
·
d) · :
3 4
12 6
3x 7
e)
: =
11 x
2
5
4
f)
·
·
=
x + 3 2x + 6 x + 3
2a
5b
ab
g)
−
:
=
( a − 1) b + 1
(b + 1)( a − 1)
x
y
xy
h)
:
·
=
(2xy) 5x
3
y xy x
:
·
=
i)
(2xy)
5x 3
Das Multiplizieren von Brüchen erfolgt
durch Multiplizieren der Zähler und
der Nenner, z.B.
2 13
26
·
=
5 3
15
Beim Dividieren wird der Divident mit
dem Kehrwert des Divisors multipliziert, z. B.
27 3
27 10
3· 9 5· 2
:
=
·
= · = 18
5 10
5 3
5 3
Ägyptische Bruchzahlen
Ägyptische Stammbruchzerlegung
1. Geben Sie eine Zerlegung der folgenden Brüche als Summe von
Stammbrüchen
im ersten Beispiel:
an wie 9
9
1
1
5
9
= +
−
= +
13
18
13 2
2
26
5
1 1
1
1 1
1
= + +
−
= + +
2 6
26 6
2 6 39
6
=
11
3
=
7
5
=
121
3
2. Beweisen Sie, dass der folgende Algorithmus zur Zerlegung einer
Zahl in Stammbrüche für beliebige Eingaben nach endlich vielen
Schritten terminiert, das heißt, dass es einen Index j gibt mit p j =
1. !
Im alten Ägypten wurden die Zahlen
mit Hilfe von Hieroglyphen dargestellt.
Für einige Einheiten wie 1, 10,100, 1000
und 1 Mio gab es Zeichen und ähnlich
wie bei römischen Zahlen wurde jede
Zahl als Summe aus hintereinander
geschriebenen Zahlzeichen aufgebaut,
z.B. 65=50+10+1+1+1+1+1 oder auch
1+1+1+10+50+1+1.
Wollte man einen Bruchteil darstellen,
verwendete man einen liegenden Mond
über den Zahlzeichen und las den
ganzen Ausdruck als Kehrwert der
unten stehenden Zahl. So stand z.B. ($
2)
für 1/2. Auf diese Weise konnte man
zunächst nur sogenannte Stammbrüche
aufschreiben, also Brüche mit dem
Zähler 1. Wollte man andere Brüche
notieren musste man sie als Summe
solcher Stammbrüche darstellen.
3
Taschenrechner ist hier erlaubt
aufgabensammlung für den brückenkurs mathematik für studienanfänger in
computational science und wirtschaftsinformatik der universität potsdam 13
p
< q.
p0 : = p
q0 = q
WHILE pi+1 6= 1 DO
n i +1 : = 1
WHILE ni+1 · pi ≤ qi DO
n i +1 = n i +1 + 1
p i +1
pi
1
OD
q i +1 = q i − n i +1
i:=i+1
Eingabe: q mit p
OD
k:=i
Ausgabe:
1
1
1
+...
+
p0
p1
pk
Rechnen wie die Babylonier
1. Stellen Sie die Zahlen 62, 125, 725 im Sexagesimalsystem dar.
2. Geben Sie eine Sexagesimaldarstellung für die Dezimalzahlen
1.25, 12.3 und 0.41 an.
3. Um welche Zahl zwischen 1 und 2 könnte es sich bei Abbildung 1
handeln?
Das babylonische Zahlsystem basierte
auf der Zahl 6o (Sexagesimalsystem),
das heißt jede „Ziffer“ einer Zahl
repräsentierte die Vielfachheit einer
Potenz von 60. Die Zahl a b bestehend
aus den Ziffern a und b steht dann für
a· 601 + b· 600
In unserem (dezimalen) Zahlsystem
hingegen würde sie gelesen als
a· 10 + b· 1
Abbildung 1:
4. Führen Sie a+b, a*b und a:b mit den Zahlen in Abbildung 2
schriftlich aus, ohne das Sexagesimalsystem zu verlassen!
a=
b=
Abbildung 2:
Wäre also a eine Drei und b eine
Sieben, stünde ab bei uns für 37, im
babylonischen System hingegen für 187.
Natürlich brauchte man im Sexagesimalsystem „Ziffern“ für alle Zahlen von
0 bis 59. Diese „Ziffern“ wurden aus
den Keilschriftsymbolen für Eins und
Zehn zusammengebaut (ähnlich wie
römische Zahlen).
14
eva richter
Griechische Rechensteine
Interessanterweise hat sich die griechische Mathematik nicht aus
den Bedürfnissen der Anwendungen heraus entwickelt. Vielmehr
stand am Anfang der antiken Mathematik ein Spiel, das Spiel mit
Rechensteinen. Rechensteine hatten verschiedene Farben und die
Aufgabe bestand darin, Rechensteine zu interessanten geometrischen
Konfigurationen zu legen um mathematische Gesetzmäßigkeiten zu
entdecken. Mit den Spielsteinen konnte man z. B. Dreiecke, Quadrate, Rechtecke und andere Figuren legen. Solche Figuren nennt man
figurierte Zahlen.
1. Man beweise mit Hilfe einer Operation von Rechensteinen, dass
für ein beliebiges n ∈ N folgende Formel gilt:
n2 =
n
∑ (2i − 1) = 1 + 3 + . . . + (2n + 1)
i =1
2. Ein pythagoräisches Tripel ist ein Tripel ( a, b, c) von natürlichen
Zahlen für die a2 + b2 = c2 gilt.
Man beweise (mit Hilfe von Rechensteinen), dass es unendlich
viele solcher Tripel gibt.
Beispielaufgabe: Man zeige mit Rechensteinen, dass gilt: Ungerade mal
Ungerade = Ungerade.
Lösung: Man legt das Produkt zweier
Zahlen mit Rechensteinen als Rechteck.
Wenn beide Faktoren ungerade sind,
entsteht jeweils eine weiße Mittelachse.
Für die Lösung der Aufabe beobachte
man, dass man Spiegelachsen finden
kann, so dass jeder Stein ein Spiegelbid
hat. Ausgenommen der Stein in der
Mitte. Man kann also die Steine zu
Paaren anordnen, wobei genau einer
übrig bleibt. Also ist Ungerade mal
Ungerade wieder Ungerade.
aufgabensammlung für den brückenkurs mathematik für studienanfänger in
computational science und wirtschaftsinformatik der universität potsdam 15
Potenzen und Logarithmen
Drei Rechenregeln für Potenzen
Als Formel geschrieben lautet Regel
Nummer 3
( x m )n = x m·n
1.
Multiplizieren, gleiche Basis:
Basis bleibt unverändert, Exponenten werden
2.
1
Dividieren, gleiche Basis:
Basis bleibt unverändert, Exponenten werden
3.
Also müsste auch gelten, dass
1 m
1
= x m ·m = x
xm
Potenzieren eines Terms
Daher ist x m die Zahl, die zur m-ten
Potenz erhoben gerade x ergibt. Diese
Zahl ist auch bekannt als
√
m
x,
als m-te Wurzel aus x.
(A) Jeder Faktor wird potenziert.
(B) Der Exponent jedes Faktors wird
Multiplizieren und Dividieren bei gleicher Basis
Bearbeiten Sie jede Aufgabe auf die kurze und die lange Art wie bei
Beispiel 1.
1.
8x3 (2x )
2.
−4a2 b(3a4 b2 )
3.
5wz0 (4w6 z3 )
4.
4x6
8x2
5.
15a3 b2
3a2 b
6.
12m2 p8
3m6 p3
lange Art
kurze Art
8xxx (2x ) = 16x4
2· 8x3+1 = 16x4
Potenz eines Terms
Bearbeiten Sie jede Aufgabe auf die kurze und die lange Art wie bei
Beispiel 1 .
16
eva richter
1.
(4x2 )3
2.
(−4b4 )2
3.
(5w7 )5
lange Art
kurze Art
(4x2 )· (4x2 )· (4x2 ) = 64x2+2+2 = 64x6
64x2·3
Gebrochene Exponenten
1. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke.
3
2
(a) a 4 : ( a 3 : a) =
1
1
1
(b) ( a 4 : a 5 )· a 10 =
2
3
(c) 12 3 · 12 2 =
(d) 31.5 · 31.4 · 30.6 =
√
√
4
5
(e)
29 · 29 =
1
1
4
(f) (2n) 4 · (8n2 ) 4 · n 5 =
1
1
1
1
(g) (24 3 + 2· 81 3 − 3· 192 3 )· 3 3 =
h
i
1
1
7
(h) ab2 · ( a3 b) 5 − ( ab2 ) 5 · a3 b · ( ab) 5 =
1
1
(i) (2x4 y2 ) 5 · ( x8 y7 ) 3 =
2. Schreiben Sie folgende Terme ohne negative oder gebrochene
Exponenten:
5
a− 2
7
x− 3
c−0.2
3. Vereinfachen Sie die Wurzelausdrücke.
rq
√
2
3 4
16
a) 3 =
b)
y8 =
q√
√
4
3
c)
2=
d) a4n =
rq
q√
3 4 √
5
16 =
f)
12 =
e)
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computational science und wirtschaftsinformatik der universität potsdam 17
Logarithmen
1. Verwandeln Sie die folgenden Potenzgleichungen in Logarithmengleichungen:
26 = 64
33 = 27
43 = 64
6250.5 = 25
1
125 3 = 5
2. Formen Sie die folgenden Terme in einen Logarithmus (der Form
loga zb ) um.
(a)
loga x +
1
1
loga ( x − y) + loga ( x + y)
2
2
(b)
loga ( x3 + 2x2 y + xy2 ) − loga ( x )
Es besteht ein enger Zusammenhang
zwischen der Länge einer ganzen Zahl
z in einem Positionssystem zur Basis b
und ihrem Logarithmus zur Basis b. Es
gilt nämlich lengthb (z) = blogb x c + 1.
Oder umgekehrt betrachtet: Da 103
die höchste Potenz in der Dezimaldarstellung von 1000 ist haben wir
length10 (1000) − 1 ≤ logb x <
length10 (1000) ist.
Wechselt man ins Dualsystem so ist
1000 = 1 · 29 + 1 · 28 + 1 · 27 + 1 · 26 + 1 ·
25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 =
I I I I I I00I0; die höchste Potenz ist 9,
man braucht also 10 Stellen um 1000
im Dualsystem zu notieren. Und wir
haben 9 ≤ log2 10 < 10, tatsächlich ist
log2 1000 = 9.96.
log a· b = log a + log b
3. Berechnen Sie die folgenden Logarithmen und machen Sie die
Probe.
(a)
log2 4
(b)
log3 3
log a
log b
(c)
log√2 2
(d)
log2
(e)
log3
√
3
√
5
16
27
Die Abbildung zeigt die Funktion
log x. Für die Stelle x = a· b gilt
log10 a· b = log10 a + log10 b. In der
Abbildung ist a = 10, b = 100 und
3 = log10 1000 = log10 10 + log10 100
Gleichungen, Ungleichungen, Polynome
Gleichungen
1. Schreiben Sie die Brüche so, dass keine irrationalen Zahlen im
Nenner stehen!
√
( a)
1
2−1
1
√
√
5 + 2 2 + 10
1
√
√
1+ 2+ 3
(b)
2+
(c)
√
2. Kürzen Sie die folgenden Ausdrücke
( a)
(b)
√
√
n2 − 4 n + 2 − n2 − 4
√
√
+
n + 2 − n2 − 4 n + 2 + n2 − 4
√
√
√
√
√
a+b− a−b
a + b + a − b b · a2 − b2
√
√
√
−√
·
4
a+b+ a−b
a+b− a−b
n+2+
3. Leiten Sie die abc-Formel
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
durch quadratische Ergänzung aus ax2 + bx + c = 0 her!
4. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen:
(a) 15( x − 2)2 = 16( x − 2)
(b) ( x − 5)2 + (2x + 3)2 = ( x + 1)2 + 97
(c) 3y2 + 4(y + 1)2 = 3
(d) nach c auflösen: c2 + 2b + 2(c − 2b)2 = −2a
Jetzt kann man guten Nutzen
aus der dritten binomischen
Formel ziehen!
20
eva richter
Polynome
1. Finden Sie ein Polynom 4. Grades, dessen Nullstellen bei x =
1, x = 2, x = 3 und x = 4 liegen, und welches an der Stelle x = 5
den Wert 1 annimmt.
2. Entscheiden Sie, ob das Polynom A( x ) = 29x2 − 16x3 + 3x2 − 16
durch ( x − 1) teilbar ist.
3. Überprüfen Sie, ob x = 4 und x = 5 Nullstellen des Polynoms
B( x ) = x4 − 9x3 + 21x2 − 9x + 20 sind.
4. Zeigen Sie dass das Polynom C ( x ) = px6 + qx5 + rx4 − rx2 − qx − p
durch ( x + 1) teilbar ist.
5. Bestimmen Sie den fehlenden Faktor:
(a) x4 − 3x3 + 3x2 − 4x + 3 = ( x − 1) A( x )
(b) x4 + 3x3 − 12x2 − 13x − 15 = ( x − 3) B( x )
(c) x3 + 6x2 + 6x + 5 = ( x + 5)C ( x )
Ungleichungen
1. Lösen Sie folgende Ungleichungen in R:
(a) x2 + 2x − 35 > 0
(b) 6x2 + x − 1 < 0
(c) x2 + 2x + 5 < 0
(d) −3x2 + x − 5 < 0
(e)
1
<0
x2 + 5x + 4
(f)
x+5
≤0
4−x
(g)
x+3
x−1
>
x−3
x+5
(h)
1 − 2x
1+x
−
>1
1+x
1 + 2x
(i)
x2 − 4
<0
x2 − 5x
(j)
1<
2x2 − 7x − 29
<2
x2 − 2x − 15
Funktionen
Beweisaufgaben
1. Es sei f die für alle reellen x durch
f (x) =
( x − 1) x
2
definierte Funktion. Ferner sei x0 eine beliebig gegebene, von 0
verschiedene reelle Zahl. Wie üblich seien die Funktionswerte der
Funktion f ( x ) an den Stellen x0 + 1 und x0 + 2 mit f ( x0 + 1) bzw.
f ( x0 + 2) bezeichnet. Man beweise, dass dann
f ( x0 + 2) =
( x0 + 2)· f ( x0 + 1)
x0
gilt.
2. Es sei x eine Variable, die alle von 1 und −1 verschiedenen reellen Zahlen annehmen kann. Man gebe eine Möglichkeit an, die
Funktion f mit
x
f (x) = 2
x −1
so als Summe zweier Brüche darzustellen, dass die Variable x nur
in den Nennern und dort in keiner höheren als der ersten Potenz
auftritt.
3. In einem Matheclub, in dem die Eigenschaften von Funktionen f
bei Kehrwertbildung4 untersucht werden, vermutete ein Clubteilnehmer, allgemein gelte für Funktionen f , die in einem Intervall J
definiert sind und nur positive Funktionswerte haben, der folgende Satz:
Ist f in J streng konkav5 , so ist 1f in J streng konvex. Ein anderer
Zirkelteilnehmer meint, es gelte der folgende Satz:
Ist f in J streng konvex, so ist 1f in J streng konkav. Man untersuche
jeden dieser Sätze auf seine Richtigkeit.
4. In einem Matheclub gibt es Streit um das Monotonieverhalten
von Funktionen. Bekannt ist von zwei Funktionen f und g, dass
Mit 1f ist die durch die Festsetzung
g( x ) = 1/ f ( x ) für alle x des Intervalls J
definierte Funktion g gemeint.
4
Eine Funktion f heißt streng konvex(konkav), wenn für je drei Zahlen
a, b, c aus J mit a < b < c der auf der
von den Punkten ( a, f ( a)) und (c, f (c))
begrenzten Sehne gelegene Punkt, dessen Abszisse b ist, eine Ordinate hat, die
größer(kleiner) als f (b) ist.
5
22
eva richter
beide für alle reellen Zahlen x definiert sind, f im gesamten Definitionsbereich streng monoton wächst und dass die Gleichung
g( x )2 − f ( x )2 = 1 für alle x erfüllt ist. Annemarie folgert nun daraus: „Dann ist auch g eine auf dem gesamten Definitionsbereich
streng monoton wachsende Funktion.“ Brigitte widerspricht:„Es
lässt sich nur schließen, daß g im gesamten Definitionsbereich entweder streng monoton wachsend, oder streng monoton fallend
ist.“Christa meint: „Ihr habt beide nicht recht.“ Wer von diesen
Schülerinnen hat nun recht?
5. Bestimmen Sie Definitions-und Wertebereich der reellen Funktionen:
(a)
f : x 7→ x2 − 1
(b)
f : x 7→ x2n , n ∈ N
(c)
f : x 7→ x2n+1 n ∈ N
(d)
f : x 7→
√
2x + 3
(e)
f : x 7→ abs( x ) := | x |
(f)
f : x 7→ tan x
Sind die Funktionen surjektiv, injektiv oder bijektiv?
Spezielle Funktionen
1. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen:
(a)
f (x) =
( x + 2)2 ( x − 3)
( x − 1)( x − 2)2
g( x ) =
( x + 2)2 ( x − 1)
( x + 2)( x + 3)
(b)
2. Bestimmen Sie gemeinsame Punkte für f und g:
(a) f ( x ) = e x , g( x ) = 2
(b) f ( x ) = e2x−1 , g( x ) = 1
(c) f ( x ) = lnx, g( x ) = 1
(d) f ( x ) = ln(2x − 1), g( x ) = lnx
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
1. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke.
(a) (−1 − 2i ) + (2 − i )
(b) (1 + 2i ) − (1 − 2i )
√
√
(c) (1 + 3i ) · (3 − 2i )
√
√
(d) (3 + 2 2i ) · (3 − 2 2i )
(e)
√
5i
2−
√
3i
(f)
56 + 33i
12 − 5i
(g)
1
1
−
1+i 1−i
(h)
(2 + i )(3 − 2i )(1 + 2i ) 2 − i
+
(1 − i )(1 − i )
1+i
2. Erklären Sie folgende Begriffe: Gaußsche Zahlenebene, Polarkoordinaten, Exponentialdarstellung, komplexe Exponentialfunktion,
Formel von Moivre, komplexe Wurzel, Einheitswurzeln.
Darstellungen
1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Gaußschen
Zahlenebene dar und berechnen Sie ihre Beträge.
(a) z = 1 − i
(b) z = 2 + 2i
(c) z = 2(1 − 3i )
(d) z = −1 − i
Im
24
eva richter
1 Re(z) = |z| · cos ϕ
2. Geben Sie die Polarkoordinaten an:
ϕ
cos ϕ
−1
(a) z = 2
Im(z) = |z| · sin
sin ϕ
1
(b) z = −i
(c) z = 1 + i
−1
3. Berechnen Sie die Exponentialdarstellung folgender komplexer
Zahlen.
(a) z = 2 + 2i,
(b) z = − 12 +
√
3
2 i
(c) z = −2i,
(d) z = 3 + 3i
4. Berechnen Sie die algebraische Form folgender komplexer Zahlen.
(a) z = 2eπi
π
(b) z = 3ei 4
√ 3π
(c) z = 2 2ei 4
√
4π
(d) z = 2 3e−i 3
5. Richtig oder falsch?
π
(a) ei 2 = i
pi
(b) 3e−i 2 = −3i
(c) 4eiπ = −4
π 2
= −1
(d) ei 2
Komplexe Wurzeln und Einheitswurzeln
1. Geben Sie die Exponentialform der folgenden Zahlen an:
p
π
3
(a)
64ei 5
√
(b) i
2. Berechnen Sie: | eiϕ |
Wegen
eß ϕ = cos ( ϕ) + ß sin ( ϕ)
kann man eine komplexe Zahl der
Form
z = r (cos ( ϕ) + ß sin ( ϕ))
auch folgendermaßen darstellen:
z = reiϕ
Re
Häufig gebrauchte mathematische Notationen
Formale Logik
Logische Aussagen sind entweder Aussagevariablen p, q, . . . oder
Verknüpfungen von Aussagevariablen mit Hilfe sogenannte Konnektive(Junktoren):
Formel Bedeutung
p∧q
p und q
p∨q
p oder q
p→q
¬p
p impliziert q
bzw. aus p folgt
q
Negation von p,
nicht p
Wahrheitsbedingung
ist nur wahr, wenn p und q wahr sind
ist nur falsch, wenn p und q falsch
sind
ist nur falsch, wenn p wahr und q
falsch ist
ist genau dann wahr, wenn p falsch
ist
In der Prädikatenlogik sind die logische Aussagen p, q, . . . nicht nur
Aussagevariablen, sondern beschreiben, ob eine gewisse Eigenschaft
P, R, . . . usw. in einem gewissen (Zahl-)bereich gilt.
Formel
∀ x ∈ R.P( x )
∃ x ∈ N.P( x )
Bedeutung
für alle
x ∈ R gilt
P(x)
es existiert ein
x ∈ N mit
P(x)
Wahrheitsbedingung
ist wahr, wenn alle reellen Zahlen
die Eigenschaft P haben
ist wahr, wenn mindestens eine
natürliche Zahl die Eigenschaft P
hat
Schlussregeln in der Logik haben die Form
A1 , . . . A n
∴B
und man liest: „unter der Bedingung dass alle Voraussetzungen
A1 , . . . , An erfüllt sind, gilt auch B“.
26
eva richter
Mengenlehre
M, N, O . . . Variablen für Mengen
x∈M
M∪N
x ist Element von M
Vereinigung
M∩N
Durchschnitt
MC bzw. M
Komplement
M\N
Mengendifferenz
enthält alle Elemente von
M und von N
enthält nur Elemente, die
sowohl zu M als auch zu
N gehören
enthält alle Elemente des
Universums ( d.i. die
Obermenge von M bezüglich der das Komplement
gebildet wird), die nicht
zu M gehören
enthält nur die Elemente von M, die nicht in N
liegen
Arithmetik
Summenzeichen
( n −1)
∑
2i + 1 = n2
i =0
steht für die Summe der ersten n ungeraden Zahlen. Dabei heißt
i Summationsindex, 0 ist die Untergrenze und n − 1 ist die Obergrenze. Für n=5 erhält man 1+3+5+7+9=25=5*5.
Produktzeichen
n
∏ i = n!
i =1
steht für das Produkt der ersten n Zahlen.