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Mathematische Modellierung
Dozent: Prof. Dr. Martin Burger
Assistenz: Dipl. Math. Markus Knappitsch
3. Übungszettel. Abgabe: 31.10.2012
http://wwwmath.uni-muenster.de/num/Vorlesungen/Modellierung WS12/
Aufgabe 1:[Alkoholabbau nach der Matheparty]
Alkohol wird im Stoffwechsel in mehreren Phasen zu Kohlenstoffdioxid, das wir ausatmen,
und Wasser abgebaut. In der ersten Phase wird der Alkohol ( C2 H5 OH ) durch das Enzym
Alkoholdehydrogenase (ADH) in Acetaldehyd ( C2 H3 OH ) abgebaut:
C2 H5 OH + NAD+ −→ C2 H3 OH + NADH + H+ .
In der zweiten Phase erfolgt der Abbau von Acetaldehyd in Essigsäure ( CH3 COOH ) mit
Hilfe des Enzyms Aldehyddehydrogenase ( ALDH ):
C2 H3 OH + NAD+ + H2 O −→ CH3 COOH + NADH + H+ .
Die Essigsäure wird anschließend durch den Citratzyklus in Kohlendioxid und Wasser
umgewandelt. Stellen Sie ein Modell für die chemische Reaktionskinetik bis zur Entstehung
der Essigsäure auf.
( 4 Punkte)
Aufgabe 2:[Mehrdimensionale partielle Integration]
Gegeben sei ein glattes Gebiet Ω ∈ Rd mit Rand ∂Ω sowie glatte Funktionen
u, v : Ω → R und f, g : Ω → Rd . Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Gauß:
1.
Z
Z
Z
∇u(x) · n(x)v(x)dσ −
∇ · (∇u(x)) v(x)dx =
Ω
∇u(x) · ∇v(x)dx.
Ω
∂Ω
2.
Z
Z
∇ (∇ · f (x)) · g(x) =
Ω
Z
∇ · f (x)g(x) · n(x)dσ −
∂Ω
∇ · f (x)∇ · g(x)dx.
Ω
3.
Z
Z
(∆u(x)v(x) − ∆v(x)u(x)) dx =
Ω
(∇u(x) · n(x)v(x) − ∇v(x) · n(x)u(x)) dσ.
∂Ω
Dabei bezeichnet ∇· die Divergenz, ∆ = ∇ · ∇ den Laplace Operator und n(x) den
Normalenvektor auf ∂Ω .
(2+2+2 Punkte)
Aufgabe 3:[Wärmeleitung]
Betrachten Sie die stationäre Wärmeverteilung ohne Berücksichtigung externer Quellen
im Intervall [0; 1] , wo [0; ε) eine Trennschicht mit niedrigerer Leitfähigkeit und (ε; 1]
das Wohnrauminnere darstellt. Wir nehmen immer eine konstante Außentemperatur an,
d.h. u(0) = u∗ .
1. Betrachten Sie zunächst eine konstante Innentemperatur u . Welcher Temperaturverlauf stellt sich in der Trennschicht stationär ein? Nehmen Sie dabei an, dass trotz
der Diffusion die jeweilige Temperatur im Inneren und außen konstant bleibt.
2. Nun beobachten wir in der Trennschicht und im Wohnrauminneren jeweils eine
Diffusion mit konstanten Koeffzienten DT und DI . Zusätzlich messen wir am
rechten Rand eine Temperatur von u(1) = u . Welcher Temperaturverlauf stellt
sich im Intervall [0; 1] stationär ein? Was passiert für ε → 0 ?
(3+3 Punkte)