Uebungen_2_2

29. Oktober 2015
Elektrizitätslehre 3
Martin Weisenhorn
Uebungsserie 2.2
Aufgabe 1. CR-Glied
Abbildung 1: CR-Glied
Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 1. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion U 2 /U 1
a) direkt durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung.
b) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs.
c) In welchem Frequenzbereich lässt sich die Schaltung als Differentiator benutzen?
d) Wozu könnte man die Schaltung oberhalb ihrer Grenzfrequenz benutzen? Begründung angeben.
Aufgabe 2. Spannungsteiler mit Kondensator
Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 2. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion U 2 /U 1
a) direkt durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung.
b) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs.
Aufgabe 3. Schwingkreis mit Verlustwiderständen
Gegeben sei der Schwingkreis aus Abb. 3:
Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3
2
Abbildung 2: Spannungsteiler mit Kondensator
Abbildung 3: Einfacher Schwingkreis mit Verlustwiderständen
a) Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion U 2 /U 1 durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung.
Hinweis: Beginnen Sie mit der Spannung U 2 und drücken Sie alle anderen Grössen (Stromstärken, Teilspannungen) der Schaltung in Funktion von U 2 aus.
b) Bringen Sie die Frequenzgangfunktion in die folgende normierte Form
U2
=k
U1
1
1 + j ωω0 ·
1
Q
+ j ωω0
2
und indentifizieren Sie die Parameter k, ω0 und Q in Funktion der Grössen R1 , R2 , L und
C.
c) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs.
d) Welche Änderungen ergeben sich bezüglich k, ω0 und Q gegenüber dem Serieschwingkreis
bei dem der Widerstand R2 unendlich hoch ist?
Aufgabe 4. Resonanztransformator (Boucherot-Schaltung)
Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 4 mit den Werten R = 100 Ω, L = 35 mH, C = 0.5 µF.
Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3
3
Abbildung 4: Resonanztransformator (Boucherot-Schaltung)
r
Unter der Bedingung L/R > RC gilt für die
In diesem Fall gilt: Z(ωr ) =
Resonanzkreisfrequenz1 :
ωr =
1
LC
−
2
R
L
.
L
RC
a) Bestimmen Sie das Bodediagramm des komplexen Widerstands in der folgenden normierten
Form:
1 + j ωωg
Z(ω) = k
2
1 + j ωω0 Q + j ωω0
Identifizieren Sie die Koeffizienten k, ωg , ω0 und Q in Funktion der gegebenen grössen R, L
und C.
Aufgabe 5. KO ohne Tastkopf (Sonde) Der Messeingang eines KOs im DC-Modus kann
Abbildung 5: Ersatzschaltbild KO ohne Tastkopf an Spannungsquelle mit Innenwiderstand.
durch einen Widerstand RKO = 1 MΩ parallel zu einem idealen Kondensator der Kapazität
CKO = 27 pF dargestellt werden. Mit diesem KO wird das harmonische Signal eines Funktionsgenerators mit Leerlaufspannung U0 = 1 V und Innenwiderstand R0 = 50 Ω betrachtet.
a) Bestimmen Sie den Amplitudengang der mit den KO gemessenen Spannung U bezogen auf
die Quellenspannung U 0 als Bodediagramm.
1
Weitere Angaben zu diesem Schwingkreis sind in der Musterlösung der Übung EL3_Ueb1_2 zu finden.
Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3
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b) Bis zu welcher Kreisfrequenz (Grenzfrequenz) ωg wird das Signal um weniger als 3 dB gegenüber DC gedämpft?
Aufgabe 6. KO mit Tastkopf (Sonde)
Das Oszilloskop wird mit einem abgeglichenen Tastkopf (KO-Sonde) ergänzt (siehe Ersatzschaltung gemäss Abb. 6). Die Sonde weist den Widerstand RS = 9 MΩ und die Kapazität CS auf. Der
Funktionsgenerator und das Oszilloskop haben die selben Werte wie in der vorherigen Aufgabe,
Abbildung 6: Ersatzschaltbild KO mit Tastkopf (Sonde)
a) Bestimmen Sie die für den Abgleich benötigte allgemeine Bedingung und damit die Sondenkapazität CS .
Hinweis: Der kapazitive und der resistive Spannungsteiler2 müssen das selbe Verhältnis liefern.
b) Zeigen Sie, dass bei abgeglichener Sonde das Verhältnis U 2 /U 1 frequenzunabhängig ist.
c) Bestimmen Sie die Kreisfrequenz (Grenzfrequenz) ωg die sich jetzt für das Verhältnis U 2 /U 0
ergibt. Um welchen Faktor wird die Bandbreite gegenüber einer Messung ohne Sonde erhöht?
d) Welche Vorteile ergeben sich aus der Verwendung einer KO-Sonde?
Lösung 1. CR-Glied
Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 1. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion U 2 /U 1
a) direkt durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung.
U1 =
1 U2
+ U2
jωC R
→
(jωRC + 1)U 2 = jωRCU 1
→
U2
jωRC
=
U1
1 + jωRC
b) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs.
c) In welchem Frequenzbereich lässt sich die Schaltung als Differentiator benutzen?
U
1
Ist ω RC
= ωg , so wird U 2 ≈ RCjω, was einer reinen Differentiation entspricht.
1
2
gebildet durch Sonde und KO
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d) Wozu könnte man die Schaltung oberhalb ihrer Grenzfrequenz benutzen? Begründung angeben.
U
1
Oberhalb der Grenzfrequenz ω ωg = RC
gilt U 2 ≈ 1. Komponenten von u1 (t) mit Fre1
quenzanteilen weit unterhalb ωg werden unterdrückt → DC-Entkopplung z.B. am
Eingang eines Oszilloskops.
Lösung 2. Spannungsteiler mit Kondensator
Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 2. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion U 2 /U 1
a) direkt durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung.
I1 = I2 + IC =
1
R2
+ jωC U 2
U 1 = R1 I 1 + U 2 = 1 +
→
R1
+ jωR1 C U 2
R2
R1 R2
R2
C u̇2 (t) + u2 (t) =
u1 (t)
R1 + R2
R1 + R2
R1 R2
R2
1 + jω
C U2 =
U
R1 + R2
R1 + R2 1
U2
R2
1
R1 + R2
1
mit k =
und ωg = =
= k
ω
U1
1 + j ωg
R1 + R2
τ
R1 R2 C
b) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs.
Lösung 3. Schwingkreis mit Verlustwiderständen
Gegeben sei der Schwingkreis aus Abb. 3:
a) Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion U 2 /U 1 durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung.
Hinweis: Beginnen Sie mit der Spannung U 2 und drücken Sie alle anderen Grössen (Stromstärken, Teilspannungen) der Schaltung in Funktion von U 2 aus.
1
U2
1/R2 +jωC
=
=
U1
R1 + jωL + 1/R21+jωC
1+
1
R1
R2
+ jω R1 C +
L
R2
+ (jω)2 LC
b) Bringen Sie die Frequenzgangfunktion in die folgende normierte Form
U2
=k
U1
1
1 + j ωω0 ·
1
Q
+ j ωω0
2
und indentifizieren Sie die Parameter k, ω0 und Q in Funktion der Grössen R1 , R2 , L und
C.
U2
R2
1
·
=
U1
R1 + R2 1 + jω R1 R2 C + L
+ (jω)2 LC R2
R1 +R2
R1 +R2
R1 +R2
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Der Koeffizientenvergleich liefert:
k =
R2
R1 + R2
s
1
R1
ω0 = √
1+
R2
LC
p
√
R2 (R1 + R2 )
Q =
LC
R1 R2 C + L
c) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs.
d) Welche Änderungen ergeben sich bezüglich k, ω0 und Q gegenüber dem Serieschwingkreis
bei dem der Widerstand R2 unendlich hoch ist? Der Koeffizientenvergleich liefert:
k = 1
1
LC
ω0 =
√
Q =
1
R1
s
L
C
Lösung 4. Resonanztransformator (Boucherot-Schaltung)
Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 4 mit den Werten R = 100 Ω, L = 35 mH, C = 0.5 µF.
r
Unter der Bedingung L/R > RC gilt für die
In diesem Fall gilt: Z(ωr ) =
Resonanzkreisfrequenz3 :
ωr =
1
LC
−
2
R
L
.
L
RC
a) Bestimmen Sie das Bodediagramm des komplexen Widerstands in der folgenden normierten
Form:
L
1 + j ωωg
1 + jω R
Z(ω) = R
=
k
2
1 + jωRC + (jω)2 LC
1 + j ωω0 Q + j ωω0
Identifizieren Sie die Koeffizienten k, ωg , ω0 und Q in Funktion der gegebenen grössen R, L
und C.
k = R
R
ωg =
L
3
ω0 =
√
Q =
1
R
1
LC
s
L
>1
C
(wegen der Bedingung
L
> RC)
R
Weitere Angaben zu diesem Schwingkreis sind in der Musterlösung der Übung EL3_Ueb1_2 zu finden.
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Lösung 5. KO ohne Tastkopf (Sonde)
Der Messeingang eines KOs im DC-Modus kann durch einen Widerstand RKO = 1 MΩ parallel
zu einem idealen Kondensator der Kapazität CKO = 27 pF dargestellt werden. Mit diesem KO
wird das harmonische Signal eines Funktionsgenerators mit Leerlaufspannung U0 = 1 V und
Innenwiderstand R0 = 50 Ω betrachtet.
a) Bestimmen Sie den Amplitudengang der mit den KO gemessenen Spannung U bezogen auf
die Quellenspannung U 0 als Bodediagramm.
1
1
+jωCKO
U
RKO
=
1
U0
R0 + 1 +jωC
RKO
=
KO
1+
R0
RKO
1
1
RKO
1
·
=
=k
R
R
0
KO
R0 + RKO 1 + jω R +R CKO
1 + j ωωg
+ jωR0 CKO
0
KO
b) Bis zu welcher Kreisfrequenz (Grenzfrequenz) ωg wird das Signal um weniger als 3 dB gegenüber DC gedämpft?
ωg =
RKO + R0 1
= 740.8 · 106 s−1 ≡ 117.9 MHz
RKO R0 CKO
Lösung 6. KO mit Tastkopf (Sonde)
Das Oszilloskop (RKO = 1 MΩ, CKO = 27 pF) wird mit einem abgeglichenen 10:1 Tastkopf
(KO-Sonde) ergänzt (siehe Ersatzschaltung gemäss Abb. 6). Die Sonde weist den Widerstand
RS = 9 MΩ und die Kapazität CS auf. Der Funktionsgenerator und das Oszilloskop haben die
selben Werte wie in der vorherigen Aufgabe,
a) Bestimmen Sie die für den Abgleich benötigte allgemeine Bedingung und damit die Sondenkapazität CS .
U2
RKO
CS
=
=
U1
RS + RKO
CS + CKO
→
CS =
RKO
CKO = 3 pF
RS
Hinweis: Der kapazitive und der resistive Spannungsteiler4 müssen das selbe Verhältnis liefern.
b) Zeigen Sie, dass bei abgeglichener Sonde das Verhältnis U 2 /U 1 frequenzunabhängig ist.
U2
=
U1
1
RKO
1
RKO
1
+jωCKO
1
+jωCKO
+
1
RS
1
+jωCS
=
1
1+jωRKO CKO
RS
1
1
1+jωRKO CKO + RKO · 1+jωRS CS
=
1
1+
RS
RKO
=
1
10
c) Bestimmen Sie die Kreisfrequenz (Grenzfrequenz) ωg die sich jetzt für das Verhältnis U 2 /U 0
ergibt.
1
1
+jωCKO
U2
U U
1
RKO
= 2· 1 = ·
U0
U1 U0
10 R0 + 1 1
RKO
4
gebildet durch Sonde und KO
+
+jωCKO
1
RS
+
1
+jωCS
1
RS
1
+jωCS
=
1
RKO + RS
·
·
10 R0 + RKO + RS 1 + jω R
1
R0 RKO
CKO
0 +RKO +RS
Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3
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d) Welche Vorteile ergeben sich aus der Verwendung einer KO-Sonde?
ωg =
RS + RKO + R0 1
= 7.408 · 109 s−1 ≡ 1.179 GHz
RKO R0
CKO
Mir der 10:1-Sonde wird die Bandbreite um den Faktor 10 erhöht und die Eingangskapaziät
um den selben Faktor erniedrigt. Dies geht auf Kosten der Empfindlichkeit: Dämpfung um
20 dB gegenüber einer Messung ohne Sonde.