Kapitel 2: Multiplikative Funktionen 3 Multiplikative Funktionen

Kapitel 2: Multiplikative Funktionen
3
Multiplikative Funktionen
Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion)
(a) Eine Funktion α : Z>0 −→ C heißt arithmetisch (oder zahlentheoretisch). Wir bezeichnen
mit �(Z>0 � C) die Menge aller arithmetischen Funktionen.
(b) Eine arithmetische Funktion α : Z>0 −→ C heißt multiplikativ, wenn für alle �� � ∈ Z>0 mit
ggt(�� �) = 1 gilt:
α(� · �) = α(�) · α(�)
Wir bezeichnen mit �(Z>0 � C) die Menge aller multiplikativen arithmetischen Funktionen.
(c) Eine multiplikative Funktion α heißt vollständig multiplikativ, wenn α(� · �) = α(�) · α(�) für
alle �� � ∈ Z>0 gilt.
Beispiel 4
(a) Die Nullfunktion
0:
ist eine multiplikative Funktion.
(b) Die Funktion
ist auch multiplikativ.
ε:
Z>0
�
−→
�→
Z>0
�
−→
�→
C
�
1
0
(c) Ebenso multiplikativ ist die konstante Funktion
e:
Z>0
�
10
−→
�→
C
0
falls � = 1�
falls � > 1
C
1.
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(d) Die identische Abbildung
11
i:
ist ebenso multiplikativ.
Z>0
�
−→
�→
C
�
(f) Siehe auch §5 (die Möbiusfunktion), §6 (die eulersche �-Funktion), §7 (die Teilersummenfunktion), und [Aufgabe 4, Blatt 2].
Lemma 2.2
Ist α ∈ �(Z>0 � C) \ {0}, so ist α(1) = 1.
Beweis : Weil α nicht die Nullfunktion ist, existiert �0 ∈ Z>0 mit α(�0 ) �= 0. Wegen ggt(�0 � 1) = 1 gilt
α(�0 ) = α(�0 · 1) = α(�0 ) · α(1). Also können wir α(�0 ) kürzen und somit ist α(1) = 1.
Wir charakterisieren nun multiplikative Funktionen mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie.
Satz 2.3
(a) Sei α ∈ �(Z>0 � C) eine arithmetische Funktion. Dann sind äquivalent:
(i) α ist multiplikativ.
(ii) Ist � ∈ Z>0 und ist � = ��1 1 · · · ��� � mit � ∈ Z≥0 , �1 � � � � � �� ∈ Z≥0 und �1 � � � � � �� ∈ P
paarweise verschieden eine Primfaktorzerlegung von �, so gilt α(�) = α(��1 1 ) · · · α(��� � ).
(b) Zwei multiplikative Funktionen α1 � α2 ∈ �(Z>0 � C) sind genau dann gleich, wenn
α1 (�� ) = α2 (�� )
Beweis :
für alle � ∈ P und für alle � ∈ Z≥0 gilt.
(a) Ist α = 0, so ist die Aussage klar. Also nehmen wir an, dass α �= 0 ist.
(i) ⇒ (ii): Nun ist � = 1, so ist nach Lemma 2.2 die Behauptung trivial. Also nehmen wir an, dass
� ≥ 2 ist. Eine Induktion nach � liefert:
· Falls � = 1, so ist � = ��1 1 die Primfaktorzerlegung von �, und damit ist α(�) = α(��1 1 ).
· Falls � > 1, so ist α(�) = α(��1 1 ) · α(��2 2 · · · ��� � ), da α multiplikativ und ggt(��1 1 � ��2 2 · · · ��� � ) = 1
ist. Nun nach Induktion ist α(��2 2 · · · ��� � ) = α(��2 2 ) · · · α(��� � ). Also insgesamt:
α(�) = α(��1 1 ) · α(��2 2 ) · · · α(��� � )
(ii) ⇒ (i): Wir nehmen an, es gelte umgekehrt Aussage (ii) und es seien �� � ∈ Z>0 mit ggt(�� �) = 1
gegeben. Also wenn
�+1
�+�
� = ��1 1 · · · ���� und � = ���+1
· · · ���+�
Primfaktorzerlegungen von � und � sind, müssen �1 � � � � � �� � ��+1 � � � � � ��+� paarweise verschieden
sein, da ggt(�� �) = 1 ist. Das Produkt � · � hat dann die Primfaktorzerlegung
�+1
�+�
� · � = ��1 1 · · · ��� � · ���+1
· · · ���+�
�
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12
Damit gilt nach (ii), dass
(��)
(��)
�+1
�+�
�+1
�+�
α(� · �) = α(��1 1 ) · · · α(��� � ) · α(���+1
) · · · α(���+�
) = α(��1 1 · · · ��� � ) · α(���+1
· · · ���+�
) = α(�) · α(�) �
d.h. α ist multiplikativ.
(b) Ist α1 = α2 , so ist sicher α1 (�� ) = α2 (�� ) ∀ � ∈ P und ∀ � ∈ Z≥0 . Umgekehrt ist α1 (�� ) = α2 (�� )
∀ � ∈ P und ∀ � ∈ Z≥0 , so gilt für � ∈ Z>0 mit Primfaktorzerlegung � = ��1 1 · · · ��� �
(�)
(�)
α1 (�) = α1 (��1 1 ) · · · α1 (��� � ) = α2 (��1 1 ) · · · α2 (��� � ) = α2 (�) �
wie behauptet.
Aufgabe 5 (Siehe Aufgabe 6, Blatt 2)
4
Sei α ∈ �(Z>0 � C) \ {0} eine multiplikative Funktion, die nicht die Nullfunktion ist. Genau dann
ist α vollständig multiplikativ, wenn α(�� ) = α(�)� für alle � ∈ P und für alle � ∈ Z≥0 gilt.
Die Dirichlet-Faltung
Definition 2.4 (Dirichlet-Faltung)
Seien α� β ∈ �(Z>0 � C) zwei arithmetische Funktionen. Die (Dirichlet-)Faltung von α und β ist
die arithmetische Funktion
α ∗β:
Z>0
�
−→
�→
C
�
(α ∗ β)(�) :=
α(�) · β( �� ) .
�|�
1≤�≤�
Anmerkung 2.5
Die Faltung kann auch folgendermaßen geschrieben werden:
�
(α ∗ β)(�) :=
α(�) · β(�)
��=�
für alle � ∈ Z>0 , wobei die Summe über alle Paare (�� �) ∈ Z>0 × Z>0 mit �� = � läuft.
Lemma 2.6
Seien α� β und γ arithmetische Funktionen. Dann gilt:
(a) α ∗ β = β ∗ α
(Kommutativität);
(c) α ∗ ε = α = ε ∗ α
(Die Funktion ε ist ein neutrales Element für die Faltung ∗).
(b) (α ∗ β) ∗ γ = α ∗ (β ∗ γ)
(Assoziativität);
Anders gesagt, bildet �(Z>0 � C) eine kommutative Halbgruppe bezüglich der Faltung.
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13
Beweis :
(a) Aufgrund der Anmerkung 2.5 ergibt sich sofort
�
�
(α ∗ β)(�) =
α(�) · β(�) =
β(�) · α(�) = (β ∗ α)(�)
für alle � ∈ Z>0 .
(b) Sei � ∈ Z>0 . Dann gilt:
��=�
��=�
((α ∗ β) ∗ γ)(�) =
=
=
Analog ist
(α ∗ (β ∗ γ))(�) =
=
=
�
��=�
�
��=�
(α ∗ β)(�) · γ(�)
�
�
���=�
�
��=�
�
��=�
�
�
��=�
α(�) · β(�)
�
α(�) · β(�) · γ(�)
· γ(�)
α(�) · (β ∗ γ)(�)
⎛
α(�) · ⎝
���=�
�
��=�
⎞
β(�) · γ(�)⎠
α(�) · β(�) · γ(�) �
Bis auf Umbenennung der Variablen, d.h. � := �� � := �� � := �, haben wir zweimal die gleiche
Summe erhalten, also ist (α ∗ β) ∗ γ = α ∗ (β ∗ γ).
(c) Sei � ∈ Z>0 . Dann gilt:
(α ∗ ε)(�) =
�
�|�
1≤�≤�
�
�
�
α(�) · ε( ) = α(�)
α(�) · ε( ) = α(�) · ε(1) +
����
�
�
� �� �
=1
�|�
1≤�<�
=0
und damit ist α ∗ ε = α. Wegen der Kommutativität der Faltung ist zudem ε ∗ α = α ∗ ε = α.
Lemma 2.7
Sind α� β ∈ �(Z>0 � C) zwei multiplikative Funktionen, so ist auch die Faltung α ∗ β eine multiplikative Funktion.
Beweis : Seien �� � ∈ Z>0 mit ggt(�� �) = 1. Wegen des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie gilt: für jede
Faktorisierung �� = �� lassen sich � und � eindeutig in ein Produkt � = �1 �2 mit �1 | �, �2 | � und
� = �1 �2 mit �1 | �, �2 | � zerlegen, wobei insbesondere ggt(�1 � �2 ) = ggt(�1 � �2 ) = 1 ist. Aufgrund der
Multiplikativität von α und β folgt
�
(α ∗ β)(��) =
α(�) · β(�)
=
=
��=��
�
�1 �1 =�
�2 �2 =�
�
�1 �1 =�
�2 �2 =�
α(�1 �2 ) · β(�1 �2 )
α(�1 ) · α(�2 ) · β(�1 ) · β(�2 )
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=
=
�
�1 �1 =�
�2 �2 =�
�
14
α(�1 ) · β(�1 ) · α(�2 ) · β(�2 )
�
�1 �1 =�
α(�1 ) · β(�1 )
� �
= (α ∗ β)(�) · (α ∗ β)(�) �
·
�
�2 �2 =�
α(�2 ) · β(�2 )
�
und damit ist α ∗ β ∈ �(Z>0 � C).
Satz 2.8
Sei α ∈ �(Z>0 � C) eine arithmetische Funktion mit α(1) �= 0. Dann existiert eine arithmetische
Funktion β ∈ �(Z>0 � C) mit β(1) �= 0 und α ∗ β = ε = β ∗ α.
Beweis : Nach Definition der Faltung existiert genau dann zu α eine arithmetische Funktion β mit α ∗ β = ε,
wenn die Gleichungen
1 = ε(1) = (α ∗ β)(1) = α(1)β(1)
und für � ∈ Z>1
0 = ε(�) = (α ∗ β)(�) = α(1)β(�) +
�
��=�
�<�
α(�)β(�)
erfüllt sind.
1
Also können wir die Funktion β induktiv definieren. Da 1 = α(1)β(1) gelten soll, setzen wir β(1) := α(1)
.
(α(1) �= 0 nach Vorausstzung!) Sei nun � > 1 . Induktiv nehmen wir an, dass β(�) schon für alle � < �
definiert ist, und wegen der zweiten Gleichung setzen wir:
β(�) :=
−1 �
α(�)β(�)
α(1)
��=�
�<�
Offensichtlich gilt nach Konstruktion α ∗ β = ε. Zudem gilt auch ε = β ∗ α wegen der Kommutativität
der Faltung.
Betrachten wir nun noch die übliche Addition + von Funktionen, so erhalten wir die folgenden algebraischen Strukturen auf �(Z>0 � C) und �(Z>0 � C).
Folgerung 2.9
(a) (�(Z>0 � C)� +� ∗) ist ein Integritätsbereich mit Nullelement die Nullfunktion 0 und mit Einselement ε.
(b) �(Z>0 � C)× = {α ∈ �(Z>0 � C) | α(1) �= 0}.
(c) (�(Z>0 � C) \ {0}� ∗) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element ε.
Beweis : Siehe [Aufgabe 5, Blatt 2].
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5
15
Die Möbiusfunktion
Definition 2.10 (Möbiusfunktion)
Die Möbiusfunktion µ ist die arithmetische Funktion
µ:
Z>0
�
−→
�→
Anmerkung 2.11
C
�
0
(−1)#{�∈P | � teilt �}
falls ∃ � ∈ P mit �2 | ��
sonst�
(1) Nennen wir eine Zahl quadratfrei, wenn sie von keiner Quadratzahl außer 1 geteilt wird,
so gibt die Möbiusfunktion an, ob eine positive Zahl quadratfrei ist oder nicht. Insbesondere
nimmt sie den Wert −1 an, falls die gegebene Zahl � eine Primzahl ist.
(2) zum Beispiel hat die Möbiusfunktion für 1 ≤ � ≤ 12 die folgenden Werte:
Lemma 2.12
�
µ(�)
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 −1 −1 0 −1 1 −1 0 0 1 −1 0
(a) Die Möbiusfunktion µ ist multiplikativ.
(b) Die Möbiusfunktion µ ist das Inverse von der konstanten Funktion e bezüglich der Faltung,
d.h.
µ ∗e = e∗µ = ε�
Beweis :
(a) Zunächst ist µ(1) = 1 nach Definition. Sei also � ∈ Z>1 mit Primfaktorzerlegung � = ��1 1 · · · ��� �
(d.h. � ∈ Z≥1 , �1 � � � � � �� ∈ Z≥0 und �1 � � � � � �� ∈ P sind paarweise verschieden). Einerseits gilt
�
0
falls ∃ 1 ≤ � ≤ � mit �� ≥ 2�
�1
��
µ(�) = µ(�1 · · · �� ) =
(−1)� falls �1 = � � � = �� = 1�
Anderseits ist für 1 ≤ � ≤ �
also ist auch
µ(��� � )
µ(��1 1 ) · · · µ(��� � )
�
0
=
−1
�
0
=
(−1)�
Daher ist µ multiplikativ nach Satz 2.3(a).
falls �� ≥ 2�
falls �� = 1 �
falls ∃ 1 ≤ � ≤ � mit �� ≥ 2�
falls �1 = � � � = �� = 1 �
(b) Wegen der Kommutativität der Faltung reicht es zu zeigen, dass µ ∗ e = ε. Da µ und e multiplikativ
sind, so ist auch µ ∗ e multiplikativ nach Lemma 2.7. Deshalb reicht es nach Satz 2.3(b) die Identität
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für Primzahlpotenzen nachzuweisen. Sei � ∈ P und � ∈ Z>0 . Es gilt:
(µ ∗ e)(�� ) =
�
�
�=0
µ(�� ) · e(��−� ) =
� �� �
=1
�
�
�=0
16
µ(�� ) = µ(1) + µ(�) = 1 + (−1) = 0 = ε(�� )
nach Definitionen von µ und ε. Außerdem ist (µ ∗ e)(�0 ) = ε(�0 ) = 1 nach Lemma 2.2.
Definition 2.13 (Summatorfunktion)
Sei α ∈ �(Z>0 � C) eine arithmetische Funktion. Dann wird die Summatorfunktion βα von α durch
βα := α ∗ e definiert, d.h. die Funktion
βα :
Z>0
�
−→
�→
Beispiel 5
C�
�|�
1≤�≤�
α(�) .
Offenbar ist ε die Summatorfunktion der Möbiusfunktion, da µ ∗ e = ε nach Lemma 2.12.
Satz 2.14 (Möbius-Umkehrsatz)
Ist α ∈ �(Z>0 � C) eine arithmetische Funktion, dann gilt α = βα ∗ µ, d.h.
für alle � ∈ Z>0 .
α(�) =
�
�|�
1≤�≤�
�
βα (�) · µ( )
�
Beweis : Nach Definition ist βα = α ∗ e, und nach Lemma 2.12 ist µ ∗ e = e ∗ µ = ε. Daraus folgt
α = α ∗ ε = α ∗ (e ∗ µ) = (α ∗ e) ∗ µ = βα ∗ µ �
da ε das Einselement von �(Z>0 � C) ist.
L���
2�6(�)
Folgerung 2.15
Sei α ∈ �(Z>0 � C) eine arithmetische Funktion mit Summatorfunktion βα . Dann ist α ∈ �(Z>0 � C)
genau dann, wenn βα ∈ �(Z>0 � C) ist.
Beweis :
’⇒’ Falls α ∈ �(Z>0 � C), so ist auch βα ∈ �(Z>0 � C) nach Lemma 2.7, da βα eine Faltung zweier
multiplikativen Funktionen ist.
’⇐’ Umgekehrt ist die Funktion α nach dem Möbius-Umkehrsatz vollständig von ihrer Summatorfunktion
definiert, und zwar ist α = βα ∗ µ. Nun ist die Möbiusfunktion multiplikativ nach Lemma 2.12(a),
also ist α multiplikativ als Faltung zweier multiplikativen Funktionen.
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17
Aufgabe 7 (Aufgabe 7, Blatt 3)
Sei α ∈ �(Z>0 � C) eine arithmetische Funktion mit Summatorfunktion βα . Zeigen Sie:
(a) α(�� ) = βα (�� ) − βα (��−1 ) für alle � ∈ P und für alle � ∈ Z>0 .
(b) Sei α ∈ �(Z>0 � C) \ {0}. Sei � ∈ Z>1 mit Primfaktorzerlegung � = ��1 1 · · · ��� � , dann gilt:
α(�) =
6
�
�
(βα (��� � ) − βα (��� � −1 ))
�=1
Die eulersche �-Funktion
Definition 2.16 (eulersche �-Funktion)
Die arithmetische Funktion
�:
−→
�→
Z>0
�
heißt eulersche �-Funktion.
Beispiel 6
C
#{� ∈ Z | 1 ≤ � ≤ � und ggt(�� �) = 1}
Zum Beispiel nimmt die eulersche �-Funktion für 1 ≤ � ≤ 12 die folgenden Werte an:
Satz 2.17
�
�(�)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4
(a) Ist � ∈ Z>0 , so ist �(�) = |(Z/�Z)× |.
(b) Die eulersche �-Funktion ist multiplikativ.
(c) Für � ∈ P und � ∈ Z>0 gilt �(�� ) = �� − ��−1 .
�
(d) Für � ∈ Z>1 mit Primfaktorzerlegung � = �∈P ��� (�) gilt
�(�) =
�
�∈P
(��� (�) − ��� (�)−1 ) = �
�
�∈P
�|�
(1 −
1
)�
�
(e) Die Summatorfunktion der eulerschen �-Funktion ist die identische Abbildung i.
(f) (Rekursionsformel). Für � ∈ Z>1 gilt
�(�) = � −
�
1≤�<�
�|�
�(�) �
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18
Beweis :
(a) Dies ist ein Ergebnis aus der AGS. (Anmerkung: Z/1Z ist der Nullring und (Z/1Z)× ist die triviale
Gruppe, also ist diese einelementig.)
(b) Seien �� � ∈ Z>0 mit ggt(�� �) = 1. Der chinesiche Restsatz liefert einen Ring-Isomorphismus
Φ:
−→
�→
Z/(��)Z
� + ��Z
Z/�Z × Z/�Z
(� + �Z� � + �Z) .
Die Einschränkung von Φ auf die Einheiten (Z/(��)Z)× liefert die Existenz eines Gruppen-Isomorphimus
(Z/(��)Z)× −→ (Z/�Z)× × (Z/�Z)× �
Damit folgt aus (a), dass
�(��) = |(Z/(��)Z)× | = |(Z/�Z)× | · |(Z/�Z)× | = �(�) · �(�) �
(c) Wir betrachten den Gruppen-Homomorphismus � : (Z/�� Z)∗ −→ (Z/�Z)∗ : � + �� Z �→ � + �Z.
Dieser ist offensichtlich surjektiv mit Kern ker(�) = {(1 + ��) + �� Z | 0 ≤ � ≤ ��−1 }. Nun folgt aus
dem Homomorphiesatz, dass
ist.
�(�� ) = |(Z/�� Z)× | = | ker(�)| · |Im(�)| = ��−1 · (� − 1) = �� − ��−1
(�)
(d) Folgt aus (c) und der Tatsache, dass �� − ��−1 = �� (1 − �1 ) für alle � ∈ Z>0 ist.
(e) Seien � ∈ P und � ∈ Z>0 . Nach Definitionen gilt
(µ ∗ i)(�� ) =
�
�
�=0
µ(�� ) · i(��−� ) = 1 · �� + (−1) · ��−1 = �� − ��−1 �
Aber µ und i sind multiplikativ und nach (b) ist � auch multiplikativ. Es folgt also aus Lemma 2.2,
dass µ ∗ i(1) = 1 = �(1). Also stimmen die Funktionen µ ∗ i und � für Primzahlpotenzen überein.
Damit folgt aus Satz 2.3(b), dass µ ∗ i = � ist und wegen Lemmata 2.6(a),(c) und 2.12(b) erhalten
wir
i = i ∗ ε = e ∗ µ ∗ i = e ∗ � = β� �
wie behauptet.
(f) Nächste Woche. Weil i die Summatorfunktion von � ist, gilt
�
�
� = i(�) = � ∗ e =
�(�) =
�(�) + �(�) �
Beispiel 7
1≤�<�
�|�
1≤�<�
�|�
Eine Anwendung von Satz 2.17(e) liefert z.B.:
(a) Für � = 12 = 3 · 4 ist �(12) = �(3)�(4) = (31 − 30 ) · (22 − 21 ) = 2 · 2 = 4.
(b) Für � = 30 = 2 · 3 · 5 ist �(30) = �(2)�(3)�(5) = (21 − 20 ) · (31 − 30 ) · (51 − 50 ) = 1 · 2 · 4 = 8.
In der Tat sind genau folgende acht Zahlen zwischen 1 und 30 prim zu 30:
1� 7� 11� 13� 17� 19� 23� 29�
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7
Die Teilersummenfunktion und vollkommene Zahlen
19
Definition 2.18 (Teilersummenfunktion)
Die Teilersummenfunktion ist die Summatorfunktion σ := i ∗ e der identische Abbildung, d.h. die
Funktion
σ:
−→
�→
Z>0
�
Bemerkung 2.19
C�
�|�
1≤�≤�
�.
Die Teilersummenfunktion σ ist multiplikativ, und für � ∈ P und � ∈ Z>0 gilt
σ (�� ) =
��+1 − 1
�
�−1
Beweis : Nach Definition ist die Teilersummenfunktion eine Faltung zweier multiplikativen Funktionen, so
dass σ nach Lemma 2.7 multiplikativ ist. Zudem ist
σ (�� ) =
�
0≤�≤�
�� = 1 + � + � � � + �� =
��+1 − 1
�
�−1
wobei die letzte Gleichheit aus der Summenformel der geometrischen Reihe folgt.
Damit erhalten wir die ersten Resultate über Zahlen.
Definition 2.20 (vollkommene Zahl)
�
Eine Zahl � ∈ Z>0 mit � =
� heißt eine vollkommene Zahl, d.h. � ist Summe ihrer echten
positiven Teiler.
Anmerkung 2.21
�|�
1≤�<�
Der Begriff einer vollkommenen Zahl sowie die ersten vier vollkommenen Zahlen waren schon in
der Antike bekannt. Diese sind
6� 28� 496� 8128 �
Die fünfte vollkommene Zahl ist 33� 550� 336. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene
Zahlen gibt. Ferner sind alle bekannten vollkommenen Zahlen gerade – es ist nicht bekannt, ob
es ungerade vollkommene Zahlen gibt. Zum Studium von vollkommenen Zahlen eignet sich die
Teilersummenfunktion, wie die Definitionen und die folgende Bemerkung zeigen.
Bemerkung 2.22
Sei � ∈ Z>0 . Genau dann ist � eine vollkommene Zahl , wenn σ (�) = 2�.
Beweis : Nach Definition ist
σ (�) =
�
�|�
1≤�≤�
�=
�
�|�
1≤�<�
�+��
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20
also ist � vollkommen genau dann, wenn σ (�) = 2�.
Beispiel 8
Für die fünfte vollkommene Zahl erhalten wir die Primfaktorzerlegung 33� 550� 336 = 212 · 8� 191.
Damit gilt
σ (33� 550� 336) =
8� 1912 − 1
· (213 − 1) = 67� 100� 672 = 2 · 33� 550� 336
8� 191 − 1
Die Zahl ist also eigentlich vollkommen.
Wir möchten jetzt zeigen, dass die vollkommenen Zahlen durch die sogenannten Mersenne-Primzahlen
charakterisiert werden können.
Definition 2.23 (Mersenne-Zahl, Mersenne-Primzahl)
Für � ∈ Z>0 heißt M� := 2� − 1 die �-te Mersenne-Zahl. Die Primzahlen, die auch MersenneZahlen sind, heißen Mersenne-Primzahlen.
Beispiel 9
Es ist M1 = 1, M2 = 3, M3 = 7, M4 = 15, M5 = 31, � � �
Lemma 2.24
Sei � ∈ Z>0 . Ist die �-te Mersenne-Zahl M� eine Primzahl, so ist auch � eine Primzahl.
Offensichtlich gilt die Umkehrung nicht, da M11 = 23 · 89.
Beweis : Wir zeigen die Kontraposition: Sei � ∈ Z>0 reduzibel, etwa � = �� mit �� � ∈ Z>1 . Dann ist auch
2� − 1 > 1, und damit ist
�−1
�
M� = M�� = 2�� − 1 = (2� − 1)
(2� )�
�=0
�
�
�
reduzibel. (Wende die Formel X � − 1 = (X − 1)( �−1
�=0 X ) mit X = 2 an.)
Satz 2.25 (Euler/Euklid)
Eine gerade Zahl � ∈ Z>0 ist genau dann vollkommen, wenn sie die Form
hat, wobei � ∈ P und 2� − 1 ∈ P sind.
� = 2�−1 (2� − 1)
Beweis :
’⇒’ (Euler) Zunächst nehmen wir an, dass � gerade und vollkommen ist. Dann hat � eine Darstellung
� = 2� ·� mit � ∈ Z>0 und � ∈ Z>0 ungerade. Wegen der Multiplikativität von σ und Bemerkung 2.19
ist
σ (�) = σ (2� ) · σ (�) = (2�+1 − 1) · σ (�) �
Nach Bemerkung 2.22 ist zudem σ (�) = 2�. Damit gilt
(2�+1 − 1) · σ (�) = 2�+1 · � �
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so dass
Daraus folgt, dass
σ (�) =
21
2�+1
(2�+1 − 1) + 1
�
·�=
· � = � + �+1
�
−1
2�+1 − 1
2 −1
2�+1
�
= σ (�) − � ∈ Z
2�+1 − 1
�
ist, da σ (�)� � ∈ Z. Also ist � + � = σ (�) =
�, und damit müssen � und � die einzigen Teiler
� :=
�|�
1≤�≤�
von � sein. Da � < � ist, erhalten wir: � = 1, � = 2�+1 − 1 ∈ P. Setzen wir also � := � + 1.
Schließlich ist � ∈ P nach Lemma 2.24.
’⇐’ (Euklid) Umgekehrt nehmen wir an, dass � = 2�−1 (2� − 1) mit �� 2� − 1 ∈ P ist. Also ist � =
2�−1 (2� −1) eine Primfaktorzerlegung von �. Wegen der Multiplikativität von σ und Bemerkung 2.19
erhalten wir
σ (�) = σ (2�−1 )·σ (2� −1) =
2�−1+1 − 1 (2� − 1)1+1 − 1
·
= (2� −1)·((2� −1)+1) = 2� ·(2� −1) = 2� �
2−1
2� − 1 − 1
und damit ist � nach Bemerkung 2.22 vollkommen.
Statt der Teilersummenfunktion kann man auch die Teileranzahlfunktion oder die Teilerproduktfunktion
betrachten:
Aufgabe 8 (Aufgabe 9, Blatt 3)
Für eine positive ganze Zahl � ∈ Z>0 bezeichnen wir mit
τ(�) := #{� ∈ Z>0 | � ist ein Teiler von �}
und
P(�) :=
�
�|�
1≤�≤�
�
die Anzahl der positiven Teiler von �, bzw. das Produkt aller positiven Teiler von �. Zeigen Sie:
(a) τ = e ∗ e ist multiplikativ;
�
(b) ∀ � ∈ Z>0 gilt τ(�) = �∈P (�� (�) + 1).
(c) ∀ � ∈ Z>0 gilt P(�) = �
τ(�)
2
.
Ist P eine multiplikative Funktion?
Zusammenfassung:
In der folgenden Tabelle sind für wichtige arithmetische Funktionen α, die wir in diesem Kapitel
untersucht haben, ihre Summatorfunktionen gegeben:
α
βα = α ∗ e
ε µ � i
e ε i σ
e
τ