m - Bildungsportal Sachsen
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Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 251 1etv44-3 F = q⋅ v ⋅B (4.4.108) m⋅ v2 R (4.4.109) Fz = m ⋅ v2 = q⋅ v ⋅B R m⋅v R= (4.4.110) q ⋅B Die Umlaufzeit TU einer vollen Kreisbahn im Magnetfeld ergibt sich aus der konstanten Geschwindigkeit 2 ⋅ π ⋅R (4.4.111) v= Tu 2⋅ π⋅m (4.4.112) Tu = q⋅B Aufgabe 4.4.16 Ein Elektron (mo = 9.11⋅10-31 kg; e = 1.6⋅10-19 As) wird mit der Geschwindigkeit v = 10000 km/s senkrecht zur Feldrichtung in ein homogenes Magnetfeld der Dichte B = 1mT geschossen. Berechnen Sie den Radius der Flugbahn im Magnetfeld! b) Kräfte auf Ströme oder stromdurchflossene Leiter Die Kräfte auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld lassen sich aus der Lorentzkraft bestimmen, da der Stromfluss die Bewegung von Ladungen im Leiter ist. Wir betrachten einen Leiter nach Abb.4.4.47, durch den der Strom i fließt. G G dF B i= dQ dt i dQ G ds P α G G ds v= dt Abb. 4.4.47 Kraft auf stromdurchflossenen Leiter G Im Punkt P des Leiters hat das Magnetfeld die DichteB . Auf das differenzielle Leiterstück ds im Punkt P, in dem sich zur Zeit dt die Ladung dQ befindet wirkt die Kraft G G G dF = dQ ⋅ (v xB) (4.4.113) Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 252 1etv44-3 Mit G G ds dQ i= und wird Gl.(4.4.113) v= dt dt G G G G G G ds G dQ dF = dQ ⋅ ( xB) = ⋅ (dsxB) = i ⋅ (dsxB) dt dt G G Der Wegelementvektor ds ist richtungsgleich mit der Ladungsbewegung v und zeigt damit in Richtung des Stromes. Die Gesamtkraft auf einen Leiter der Länge s ergibt sich aus der Summierung der differenziellen Kräfte durch Integration: G G G G F = ∫ dF = i ⋅ ∫ dsxB (4.4.114) Für einen geraden stromdurchflossenen Leiter der Länge s in einem Magnetfeld der Dichte B, das längs des Leiters konstant ist, wird G G G G G F = i ⋅ ( ∫ ds)xB = i ⋅ (sxB) (4.4.115) s G s ist Vektor mit dem Betrag s und der Richtung der positiven Stromrichtung im Leiter. Beispiel 4.4.09: Zu berechnen ist die Kraft zwischen zwei parallelen geraden stromdurchflossenen Leitern. a G F1 i1 G B2 G B1 i2 s i2 s i1 a G F2 Abb. 4.4.48 Kräfte zwischen stromdurchflossenen Leitern In Abb.4.4.48 sind die Verhältnisse dargestellt. Der vom Strom i2 durchflossene Leiter erfährt im Magnetfeld des vom Strom i1 durchflossenen Leiters nach Gl.4.4.115 die Kraft F2. F2 = i2 ⋅ s ⋅ B1 ⋅ sin α mit α = 90o sinα = 1 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 253 1etv44-3 Nach Gl.(4.4.33) und (4.4.03) ist das Feld außerhalb eines geraden stromdurchflossen Leiters µ ⋅i B1 = µo ⋅ H1 = o 1 2⋅π⋅a i1 ⋅ i2 ⋅ l ⋅ µo F2 = 2⋅π⋅a Analog ergeben sich die Verhältnisse, wenn der Leiter mit dem Strom i2 felderzeugend und der Leiter mit dem Strom i1 die Kraft erfährt. i ⋅ i ⋅ l ⋅ µo F1 = F2 = 1 2 2⋅π⋅a Die Kraftrichtung ergibt sich aus Abb.4.4.45. Fließen die Ströme wie in Abb.4.4.48 in entgegengesetzter Richtung, so erfolgt Abstoßung der Leiter. Leiter mit in gleicher Richtung fließenden Strömen ziehen sich an. Beispiel 4.4.10: Zu berechnen ist die Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Luftspaltfeld eines Elektromotors mit D = 10cm; s = 15cm; B = 1T. In Abb.4.4.49 sind die Verhältnisse schematisch dargestellt. Der Läufer ist ein drehbar gelagerter Stahlzylinder mit dem Durchmesser D und der Länge s. Auf der Läuferoberfläche befindet sich axial der stromdurchflossene Leiter im Luftspaltfeld G der Dichte B . Nach Gl.4.4.67 steht der Flussdichtevektor im Luftspalt senkrecht auf der G G G G o Eisenoberfläche. Für den Winkel zwischen s und B gilt: )s;B = 90 Der Betrag der Kraft auf den Leiter wird damit nach Gl.4.4.115 G B F = I⋅ s ⋅B G s, I G F (4.4.116) Die Kraftrichtung wird nach Abb.4.4.45 bestimmt und wirkt immer tangential am Läuferumfang. An der Läuferwelle wirkt das Drehmoment G B D n, M M = F⋅ D D = I⋅ s ⋅B ⋅ 2 2 (4.4.117) Abb. 4.4.49 Kraft auf stromdurchflossenen Leiter in elektrischer Maschine Am Läuferumfang sind z vom Strom I durchflossene Leiter angeordnet, so dass sich das Gesamtdrehmoment Mg aus der Summe der Leiterdrehmomente errechnet. Mg = ∑ M = z ⋅ I ⋅ s ⋅ B ⋅ D 2 (4.4.118) Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 254 1etv44-3 Die thermische Belastung eines Elektromotors wird durch die spezifische Belastungsgröße Ankerstrombelag A charakterisiert z ⋅I (4.4.119) D⋅π Mit Gl.(4.4.119) wird das Drehmoment D2 Mg = A ⋅ π ⋅ s ⋅ B ⋅ 2 In normal gekühlten Elektromotoren ist A = 200A/cm. Damit wird das Drehmoment 2 D2 200A ⋅ π ⋅ 15cm ⋅ 1Vs ⋅ ( 0.1m ) Mg = A ⋅ π ⋅ s ⋅ B ⋅ = = 47.1Nm 2 cm ⋅ m2 ⋅ 2 A= c) Kräfte auf Trennflächen Da im Magnetkreis praktisch nur Trennflächen Eisen Luft auftreten, sind diese Kräfte immer unabhängig von der Feldrichtung und in Richtung der Verkleinerung des Luftspaltes gerichtet. In einem Magnetkreis mit Luftspalt ist wegen H0 HFe die magnetische Energie fast ausschließlich im Luftspalt gespeichert. Aus der Luftspaltverkleinerung resultiert damit die mechanische Kraftwirkung. In Abb.4.4.50 ist der Luftspalt eines magnetischen Kreises dargestellt. Der rechte Pol sei beweglich angeordnet. Im Luftspalt ist bei der Induktion B die magnetische Energiedichte wm vorhanden. Wird der rechte Teil des Magnetkreises um das Wegelement ds verrückt, ergibt sich die mechanische Arbeit aus dem differenziellen Volumen dV: G B N dV = dA ⋅ ds G dF dA S G B ds Abb. 4.4.50 Kraft auf Trennfläche dF ⋅ ds = w m ⋅ dV = w m ⋅ dA ⋅ ds (4.4.120) Die Gesamtkraft erhält man durch Integration der Teilkräfte. Mit Gl.(4.4.101) und (4.4.120) ist die Gesamtkraft B2 F = ∫ dF = ∫ w m ⋅ dA = ∫ dA (4.4.121) 2µo In homogenen Feldern ist B = konstant. Damit ist das Integral in Gl.(4.4.121) einfach zu Φ2 B2 B2 ⋅ A lösen. F = = = dA (4.4.122) 2 ⋅ µo ∫ 2 ⋅ µo 2 ⋅ µo ⋅ A Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 255 1etv44-3 Beispiel 4.4.11: Zu berechnen ist die Trennflächenkraft, wenn im Luftspalt die Flussdichte B = 1T beträgt und die Luftspaltfläche A = 100 cm2 ist 1V 2 s2 ⋅ Am ⋅ 100 ⋅ 10 −4 m2 F= = 3979N m4 ⋅ 2 ⋅ 0.4π ⋅ 10 −6 Vs Wegen der quadratischen Abhängigkeit von der Flussdichte ist die Kraftrichtung unabhängig von der Magnetfeldrichtung. Deshalb können Elektromagnete auch mit Wechselstrom erregt werden. Eine gepolte Kraftwirkung ist möglich, wenn dem Wechselsteuerfluss Φ S ein konstanter Gleichfluss Φ V überlagert wird. F = k ⋅ Φ 2 = k ⋅ (Φ s + Φ v )2 = k ⋅ (Φ 2s + 2 ⋅ Φ s ⋅ Φ v + Φ 2v ) (4.4.123) In Gl.(4.4.123) ist der Term 2 Φs Φv vom Vorzeichen des Steuerflusses abhängig. Stahlmembran Von dieser Möglichkeit macht man Anwendung in polarisierten Relais und im Telefonhörer Abb.4.4.51 Gebrauch. Ohne Gleichfluss würde die Stahlmembran mit der doppelten Frequenz des Erregerwechselstromes schwingen. d) N S Abb. 4.4.51 Telefonhörer Kräfte auf Magnete Magnete werden durch ihre magnetische Polstärke gekennzeichnet. Magnetische Polstärke ist der am Pol in den Magneten eintretenden bzw. austretende magnetische Fluss Φ. Magnete erfahren im Magnetfeld eine Kraftwirkung. Sie werden im Magnetfeld ausgerichtet. G In Abb.4.4.52 ist ein Magnet der Polstärke Φ in einem Magnetfeld der Feldstärke H drehbar gelagert. G H Φ G F s N G −F α M Φ S G H Abb. 4.4.52 Kraft auf Magneten Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 256 1etv44-3 Im Magnetfeld der Feldstärke H wird auf einen Magnet mit der Polstärke Φ folgende Kraft ausgeübt. G G F = Φ ⋅H (4.4.124) H ist dabei die vor dem Einbringen des Magneten vorhandene Feldstärke. Der Magnet kann entweder ein Dauermagnet oder eine gleichstromerregte Spule sein, für die sich der Polfluss nach Gl.(4.4.125) ergibt Φ= I⋅N⋅ µ ⋅ A s (4.4.125) Auf den drehbar gelagerten Magneten wirkt ein Drehmoment, solange der Magnet nicht in Feldrichtung steht. Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Das Drehmoment berechnet sich dabei aus den Komponenten der Kraft in tangentialer Richtung. M = F ⋅ s ⋅ cos(90o − α ) = Φ ⋅ H ⋅ s ⋅ sin α (4.4.126) Zusammenfassung Magnetisches Feld Magnetische Größen magnetische Feldstärke magnetische Flussdichte (Induktion) magnetische Durchflutung magnetische Spannung magnetischer Fluss magnetischer Widerstand magnetischer Leitwert H B Θ V Φ Rm Λ [H] = 1A/m [B] = 1Vs/m2 = 1T [Θ] = 1A [V] = 1A [Φ] = 1Vs = 1Wb [Rm] = 1A/Vs [Λ] = 1Vs/A Feldberechnung Richtung: Rechtswirbel I⇒H⇒B⇒ Φ G G dΦ Φ = ∫ B ⋅ dA B = dA ⊥ B = µ ⋅H G G Θ = v∫ Hds i G Θ;H Θ = ∑ Iν = I ⋅ N wenn H längs s konstant: H= Θ v∫ ds Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 257 1etv44-3 Feldstärke Gerader Leiter s 2R r ≤ R : Hi = Ringspule: (Torroidspule) H= Zylinderspule: I⋅r R ⋅ 2π 2 r ≥ R : Ha = I 2π ⋅ r I⋅N 2π ⋅ r I⋅N s Hi = s D: Genauer Wert in der Mitte der Spulenachse: H= I⋅N ⋅ s 1 D 1+ s 2 Magnetische Kreise (homogenes Feld) ∑ Φ = 0 magn. Knotensatz Θ = ∑I = ∑ V V = H⋅ s Λ= Φ = B⋅A B = µ ⋅H magn. Maschensatz 1 Φ B⋅A µ⋅A = = = Rm V H ⋅ s s Unverzweigter magnetischer Kreis mit Luftspalt Φ = Bo ⋅ A = BFe A ϕFe BFe ⇒ MKL ⇒ HFe HFe ⋅ sFe + Θ = HFe sFe + Ho δ = I N BFe = I ⋅ N ⋅ µo µo ⋅ sFe − ⋅ HFe δ ⋅ ϕFe δ ⋅ ϕFe I= Ho = Bo µo ϕFe Eisenfüllfaktor Bo ⋅ δ µo N B Fe = f(H Fe) (MKL) grafische Lösung BFe BFe = f(HFe ) BFe ( 0 ) I BFeA MKL A A BFe = δ I ⋅ N ⋅ µ0 µ0 ⋅ sFe − ⋅ HFe δ ⋅ ϕFe δ ⋅ ϕFe sm Φ HFeA HFe ( 0 ) HFe Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 258 1etv44-3 Lorentzkraft G G G F = Q ⋅ (vxB) F = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sinα G G α = )v;B G v G B G F G F G B α G v Q Kräfte auf stromdurchflossene Leiter G G G F = I ⋅ (sxB) Flussdichte ist über Leiterlänge konstant Leiter hat konstanten Winkel zum Flussdichtevektor 2 parallele Leiter mit Abstand a in Luft: I ⋅I ⋅ µ ⋅ s ⊗ →← ⊗ ← ⊗ : → F= 1 2 0 2π ⋅ a Kraft auf stromdurchflossenen Leiter in elektrischer Maschine: F = I⋅ s ⋅B Drehmoment (Durchmesserspule): M = 2 ⋅ N ⋅ I ⋅ s ⋅ B ⋅ D 2 Kraft auf Trennflächen F = wm ⋅ A = B2 ⋅ A Φ2 = 2µ0 2µ0 ⋅ A Kraft auf Magnete F = Φ ⋅H Φ Polstärke des Magneten H Feldstärke des Feldes vor dem Einbringen des Magneten
