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BRP Mathematik – VHS Floridsdorf
14.06.2014
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Berufsreifeprüfung Mathematik
Lehrplan laut Berufsreifeprüfungscurriculaverordnung
Volkshochschule Floridsdorf | Frühjrahstermin 2014
Notenschlüssel:
Note
Punkte
1.
Sehr Gut
Gut
Befriedigend
Genügend
Nicht
(1)
(2)
(3)
(4)
Genügend (5)
55 – 60
48 - 54
39 - 47
30 - 38
0 – 29
Das soziale Netzwerk Facebook wurde im Februar 2004 gegründet.
In folgender Tabelle sind die UserInnenzahlen weltweit zu einem bestimmten Zeitpunkt
gegeben:
Zeit in Monaten seit Feb. 2004 10 38
UserInnen in Millionen
1
65
91
113
20 250 800 1150
a) Angenommen, die Anzahl der jedes Monat neu hinzu kommenden UserInnen war
konstant.
i. Berechnen Sie den durchschnittlichen monatlichen Zuwachs von
Dezember 2004 (t = 10) bis Juli 2013 (t = 113).
(1 P)
ii. Geben Sie eine lineare Funktion an, die die UserInnenzahlen im Zeitraum
zwischen 10 und 113 Monaten beschreibt.
(2 P)
iii. Beurteilen Sie, ob eine lineare Funktion zu den angegebenen Daten passt
und welches Modell besser geeignet wäre.
(1 P)
b) Angenommen, 0,26% der 1150 Millionen UserInnen im Juli 2013 waren
ÖsterreicherInnen. Berechnen Sie die Anzahl der ÖsterreicherInnen im Juli 2013
auf Facebook.
(1 P)
c) Gehen Sie davon aus, dass im Juli 2013 ca. 3 Millionen ÖstereicherInnen Mitglied
bei Facebook waren. Angenommen, ein User setzte zu diesem Zeitpunkt ein
Gerücht in die digitale Welt. Die Anzahl der User/innen, die das Gerücht kannten,
nahm pro Stunde um 4,2 % zu.
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i.
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Geben Sie eine Funktionsgleichung an, die die Verbreitung des Gerüchts
beschreibt.
(2 P)
ii. Berechnen Sie, wann (auf Tag und Stunde genau) jede/r UserIn in
Österreich von diesem Gerücht gehört hat (unter der Annahme einer
konstant gebliebenen UserInnenzahl).
(2 P)
2. Wenn man den Luftwiderstand berücksichtig, kann die Flugbahn eines Golfballs
näherungsweise durch eine Kurve 3. Grades dargestellt werden.
a) Der Abschlagpunkt liegt im Koordinatenursprung. Dort hat die Kurve einen
Wendepunkt. Der höchste Punkt der Bahn liegt 80 m vom Abschlag entfernt in
einer Höhe von 25 m.
Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten der Funktion
3. Grades auf.
(3 P)
b) Bei einem anderen Schlag ergibt sich folgende Funktion:
f(x) = -5·10-6x³ + 0,24x
Berechnen Sie, in welcher Entfernung und unter welchem Winkel der Ball auf den
Boden auftrifft.
(3 P)
c) Die Bewegungsenergie des Balls erhält man nach der Formel
� · �2
�=
2
E: Energie in Joule (J)
m: Masse in kg
v: Geschwindigkeit in m/s
i. Formen Sie die Formel nach v um.
(1 P)
ii. Berechnen Sie, welche Geschwindigkeit ein 45 g schwerer Ball erreicht,
wenn er mit einer Energie von 100 J abgeschlagen wird.
(1 P)
iii. Erklären Sie, wie hoch die Energie sein müsste, wenn die Geschwindigkeit
verdoppelt werden soll.
(1 P)
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3. 3 Prozent aller Ketchupflaschen haben eine zu geringe Füllmenge im Vergleich zum
angegebenen Wert.
a) Es werden 5 Ketchupflaschen einer Kontrolle unterzogen.
i. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Ketchupflasche
zu wenig Füllmenge hat? Geben Sie zwei Rechenwege an und erklären
Sie, warum beide Wege zum Ergebnis führen.
(2 P)
ii. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Ketchupflasche eine
zu geringe Füllmenge hat?
(1 P)
b) Die Füllmenge ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 250 g bei einer
Standardabweichung von 10 g.
i.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Ketchupflasche mit
weniger als 260 g herausgreift?
ii.
(1 P)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Ketchupflasche mit
mehr als 235 g herausgreift?
(1 P)
iii. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Ketchupflasche mit
weniger als 250 g herausgreift?
Begründen Sie, warum Sie dieses Ergebnis auch ohne Hilfsmittel (Tabelle
oder Taschenrechner) erhalten können.
(2 P)
iv. Skizzieren Sie die Lösungen von i - iii in den unten dargestellten
Gaußkurven und zeichnen Sie den gefragten Wert und den
Erwartungswert ein.
(3 P)
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4. Ein Auto im Stadtverkehr steht bei einer roten Ampel, fährt bei Grün an, fährt eine
Zeitlang mit gleichbleibender Geschwindigkeit und muss bei der darauf folgenden Ampel
wieder abbremsen. Die Abbildung zeigt den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der
Zeit zwischen zwei Ampeln.
a) Das Auto beschleunigt aus dem Stand mit der konstanten Beschleunigung von
2,8 m/s². Ermitteln Sie die Gleichung der Zeit-Weg-Funktion in der
Beschleunigungsphase.
(2 P)
b) Lesen Sie aus dem Graphen die konstante Geschwindigkeit im zweiten
Zeitabschnitt ab (5 s ≤ t ≤ 14 s).
(2 P)
c) Während der Bremsphase ist der Weg durch die folgende Funktion gegeben:
s3(t) = -1,75t² + 63t – 378
Geben Sie die Funktionsgleichung für die Geschwindigkeit an und berechnen Sie
die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t = 15 s.
(2 P)
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d) Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an! Falls eine Aussage falsch ist,
geben Sie ein Gegenbeispiel an (Funktionsgleichung oder Skizze).
(3 P)
richtig falsch
Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle.
Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle.
Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Extremstellen hat,
ist mindestens vom Grad 3.
Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Extremstellen hat,
hat mindestens eine Wendestelle.
Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine
lokale Extremstelle.
5. Ein Haus hat ein Pultdach, welches mit Stahlblech gedeckt wird. Die gedachte
Verlängerung der Dachschräge trifft am Boden im Punkt A auf. Der gemessene
Höhenwinkel hat die Größe
= 23°. Die Punkte A und B sind 18 m voneinander entfernt.
Die Breite des Hauses ist BC = 11 m.
a) Berechnen Sie die Höhen h1 und h2.
(2 P)
b) Das Haus hat die Länge 22 m. Wie groß ist die Dachfläche?
(2 P)
c) Stahl hat die Dichte ρ = 7,8 kg/dm3. Das Blech ist 0,5 mm dick. Welche Masse hat
das gesamte Blechdach? (Wenn Sie die Frage (b) nicht beantworten konnten,
verwenden Sie für die Dachfläche 305 m2!)
(2 P)
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d) Zeichnen Sie im linken Einheitskreis alle Winkel ein, für die gilt: sin
Zeichnen Sie im rechten Einheitskreis alle Winkel ein, für die gilt: cos
= 0,8.
= -0,4.
(2 P)
e) Zeichnen Sie in den dargestellten Einheitskreisen ein, welches Maß die jeweilige
Winkelfunktion hat, und geben Sie den Wert an:
sin 30° = ….
(2 P)
tan 135° = ….
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6.
a) Für den radioaktiven Zerfall ist die Halbwertszeit tH eine charakteristische Größe.
Zeichnen Sie im Diagramm die Zahl der noch vorhandenen Kerne eines
radioaktiven Elements zu den Zeitpunkten tH, 2·tH, 3· tH, 4·tH ein, wenn zur Zeit
t = 0 die Anzahl der radioaktiven Kerne N0 beträgt, und skizzieren Sie den
Graphen der Zerfallsfunktion.!
(2 P)
b)
i. Geben Sie die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion an, die
bei E(-3/2) einen Extremwert hat und negativ gekrümmt ist.
(2 P)
ii. Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der gewählten Funktion und
der x-Achse! (Wenn Sie Aufgabe i nicht lösen können, wählen Sie eine
beliebige quadratische Funktion mit zwei Nullstellen.)
(3 P)
c) Die Preise von 12 Bügeleisen wurden erhoben:
19 €, 25 €, 27 €, 29 €, 36 €, 39 €, 44 €, 48 €, 49 €, 54 €, 57 €, 65 €
i. Teilen Sie die Preise in die Klassen 10 – 20 €, 20 – 30 € … ein und
zeichnen Sie ein Histogramm.
(2 P)
ii. Berechnen Sie arithmetisches Mittel und die Standardabweichung. (2 P)
iii. Geben Sie, an, wie sich arithmetisches Mittel und Standardabweichung
ändern würden,

wenn alle Preise um 10 € erhöht werden,

wenn alle Preise um 50 % erhöht werden.
(2 P)