Vorlesungsskript
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Frank Cichos Experimentalphysik III Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik Vorwort Hallo! Dieses Skript wächst mit der Vorlesung Experimentalphysik III im Wintersemester 2015/2016. Es enthält Informationen aus verschiedenen Quellen, anderen Skripten, Büchern und Onlinemedien und Vorlesungsmitschnitten. Bisher sind nicht alle Quellen korrekt angegeben und deshalb ist dieses Skript nur zur persönlichen Verwendung innerhalb dieser Vorlesung gedacht. Es enthält mehr Stoff als in den Vorlesungen erläutert wurde. Für Hinweise zu Fehlern oder Kommentaren zum Skript selbst bin ich gern unter [email protected] i 1 Einführung/Atomvorstellungen/Struktur der Materie 1.1 Entwicklung der Atomvorstellung 1.1.1 Atombegriff 1.1.2 Masse eines Atoms 1.1.3 Größe eines Atoms 1.1.4 Struktur der Atome 1.2 Elektromagnetische Strahlung als Teilchen Schwarzkörperstrahlung, Plancksches Strahlungsgesetz Photoeffekt Compton Effekt Photonengas 1.3 Wellencharakter von Teilchen 1.3.1.Materiewellen 1.3.2.Welle-Teilchen-Dualismus 1.3.3.Unschärferelation 1.3.4.Bohrsches Atommodell 1.3.5.Linienstrahlung - Brownsche Bewegung, Modell OHP - Brownsche Bewegung, Zitterbewegung Fetttröpchen (Milch) in Wasser mit Mikroskop betrachten - Feldemissionsmikroskop - Wasserzersetzung, Bestimmung Faraday-Konstante führt bei Kenntnis von e (Millikan) zu NA - Bragg-Reflexion, LiF - dichteste Kugelpackung 2 KAPITEL 1. ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG Entwicklung der Atomvorstellung Atomkern laufen. Nachdem die Elektronen eine Wellennatur besitzen, bildet sich auf einer Kreisbahn eine stehende Welle. Durch diese Randbedingung können die Radien der Kreisbahnen deshalb nur diskrete Werte annehmen. Übergänge der Elektronen zwischen den Bahnen führen zur Lichtemission und -absorption, was die Linienstrahlung erklärt. Bei genauerer Analyse dieser Linien beobachtete man jedoch eine Feinstruktur, d.h. eine kleine Aufspaltung. Sommerfeld löste dies indem er postulierte, daß die Elektronen keine Kreisbahnen sondern unterschiedliche Ellipsenbahnen um den Atomkern beschreiben. Elektronen, die eine besondere exzentrische Ellipse durchlaufen bewegen sichJahrhundertwende weit weg von demzum positiven Atomkern und sind dadurch Mit der zwanzigsten Jahrhundert erAusgehend von diesen Beobachtungen formulierte Bohr sein schwächer gebunden als Elektronen, die nahezu kreisförmig um den Atomfolgte eine umwälzende Neuordnung der Physik, der Beginn Atommodell, der postulierte, daß die Elektronen auf kreisförkern laufen. Diese Unterschiede bewirken unterschiedliche Bindungsenergien der modernen Physik. Zum Ausgang des 19ten Jahrhundert migen Bahnen um den Atomkern laufen. Nachdem die Elektund dementsprechend eine Verschiebung der Emissionsbzw. Absorptionsliwar die Mechanik durch die Newton’schen Gesetze und die ronen eine Wellennatur besitzen, bildet sich auf einer Kreisnien. Die kreisförmigen Elektronenbahnen im Bohr’schen Atommodell bzw. Elektrodynamik durch die Maxwell-Gleichungen erfolgreich bahn eine stehende Welle. Durch diese Randbedingung könin ihrer Sommerfeld’schen Erweiterung sind allerdings im Widerspruch zur beschrieben worden. Demnach versuchte man diese erfolgnen die Radien der Kreisbahnen deshalb nur diskrete Werte Elektrodynamik, die von einer beschleunigten Ladung (Kreisbahn) die Abreichen Konzepte auf den Mikrokosmos zu übertragen, was annehmen. Übergänge der Elektronen zwischen den Bahnen gabe von Strahlung nötig macht. Demnach würden die Elektronen Energie misslang. führen zur Lichtemission und -absorption, was die Linienverlieren und in den Kern stürzen. strahlung erklärt. Bei genauerer Analyse dieser Linien beobachtete man jedoch eine Feinstruktur, d.h. eine kleine Auf1 1 · § 1 R ¨ ¸ H spaltung. Sommerfeld löste dies indem er postulierte, daß 2 2 Rydberg O © n' n ¹ die Elektronen keine Kreisbahnen sondern unterschiedliche Spektrum Ellipsenbahnen um den Atomkern beschreiben. Elektronen, Rutherford die eine besondere exzentrische Ellipse durchlaufen beweAtom dV 1 1 v gen sich weit weg von dem positiven Atomkern und sind daSommerfeld 'x'p ! h d: E02 sin 4 4 durch schwächer gebunden als Elektronen, die nahezu kreis2 Heisenberg hQ Bohr förmig um den Atomkern laufen. Diese Unterschiede bewirhQ e k T 1 Hohlraumken unterschiedliche Bindungsenergien und dementspreE< H< strahlung deBroglie chend eine Verschiebung der Emissions- bzw. AbsorptionsliPlanck Schrödinger nien. Die kreisförmigen Elektronenbahnen im Bohr’schen AhQ h O Lichtmv tommodell bzw. in ihrer Sommerfeld’schen Erweiterung sind quanten allerdings im Widerspruch zur Elektrodynamik, die von einer Einstein beschleunigten Ladung (Kreisbahn) die Abgabe von StrahAbbildung 1.1: Entwicklung der Quantenphysik Anfang des 20ten Jahrlung nötig macht. Demnach würden die Elektronen Energie Erst die Quantenphysik schaffte es diesen Widerspruch aufhunderts verlieren und in den Kern stürzen. zulösen und in beeindruckender Weise bis heute die mikroskopische Natur der Materie zu erklären. Diese Entwicklung Die Widersprüche im Bohr’sche Atommodell wurden aufgeDie Widersprüche im Bohr’sche wurden des aufgelöst, durch die begann zunächst durch die Atommodell formale Einführung Wirkungslöst, durch die Arbeiten von Heisenberg, der nicht das Atom Arbeitenquantums von Heisenberg, nicht das selbst sondernder die Wände Observablen, h durchder Planck, um Atom die Energieabgabe selbst sondern die Observablen, d.h. die beobachtbaren d.h. dieeines beobachtbaren in den Vordergrund stellte. Zeitgleich HohlraumsMessgrößen bei Temperatur T zu beschreiben. Einstein Messgrö̈ ßen in den Vordergrund stellte. Zeitgleich postulierte postulierte de Broglie, daßdaß auch Teilchen Wellen beschrieben werden postulierte dann, nicht nur diedurch Energieabgabe dieser Osde Broglie, daß auch Teilchen durch Wellen beschrieben werzillatoren als quantisiert zu betrachten ist, sondern das das den können, den Materiewellen. Durch die Entwicklung der 7 A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum elektromagnetische Feld im Hohlraumc selbst als zusammenQuantenmechanik von Schrödinger und Heisenberg wurde gesetzt aus Lichtquanten zu beschreiben ist. Der experimenein geschlossene Mathematik zur Beschreibung der Quantentelle Nachweis, daß diese formale Behauptung richtig ist, erwelt entwickelt aus der sich auf natürliche Weise die Quantifolgte erst Jahre später durch die Beobachtung des Compsierung der Atomniveaus ergibt. ton-Effektes. Gleichzeitig zeigten Beugungsexperimente mit Elektronen, daß man ihnen eine Wellennatur zuschreiben Die konsequente Weiterführung dieser Beschreibung unter kann. deBroglie verknüpfte den klassischen Impuls eines TeilBerücksichtigung relativistischer Korrekturen und der Quantichens mit einer Wellenlänge, der deBroglie-Wellenlänge. Diesierung des Strahlungsfeldes erlaubt es eine präzise Bese Befunde zeigen daß Lichtteilchen, die Photonen, als auch schreibung atomarer Niveaus und damit der Linienemission. Materieteilchen sowohl Teilchen als auch Wellencharakter haben können. B Parallel dazu, wurde die Struktur der Atome durch die Streuexperimente von Rutherford weiter aufgeklärt, der feststellt, daß die positive Ladung im Atomkern lokalisiert ist. 3 1.1.1 Atombegriff Daraus läßt sich die atomare Masseneinheit amu ableiten (amu - atomic mass unit): Der Ausdruck Atom kommt aus dem Griechischen fü̈ r atomos dem Unteilbaren. Schon im 19ten Jahrhundert entwickelten die Chemiker durch die Betrachtung von chemischen Reaktionsabläufen eine Präzisierung des Atombegriffs. Zwei Beobachtungen waren dabei maßgeblich: • Gesetz der konstanten Proportionen für die Massen (Dalton’sches Gesetz) Wenn chemische Verbindungen eine Reaktion eingehen, so stehen die Massen der Ausgangssubstanzen immer in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander. 14 g N2 + 16 g O2 → 30 g NO In diesem Beispiel muß man für die vollstä̈ ndige Synthese von NO immer Stickstoff und Sauerstoff im Massenverhältnis 14:16 zusammen bringen. • Gesetz der konstanten Proportionen für Volumina (GayLussac) Wenn gasförmige chemische Verbindungen eine Reaktion eingehen, so stehen ihre Volumina in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander. 2 l N2 + 1 l O2 → 2 l NO 2 l H 2 + 1 l O2 → 2 g H 2 O 1 amu = 1 m = 1.66 ⋅ 10−27 kg 12 C Im Periodensystem ist oft der Mittelwert der Atom-Masse angegeben, der sich aus der Mittelung über die Isotop-Haüfigkeit des betreffenden Elementes bestimmt. So liegt 1% des Kohlenstoffs in der Natur als 13C vor. Demnach ist die Masse im Periodensystem als 12.01 angegeben. Brownsche Bewegung [Experiment Milch/OHP] Ein Mol einer gasförmigen Verbindung nimmt ein Volumen von 22.4 l ein. Seine Masse entspricht dem Molekulargewicht (= molare Masse) der Verbindung. Der Botaniker Robert Brown (1773–1858) entdeckte 1827, dass in Flüssigkeiten suspendierte Teilchen unre- gelmäßige Zitterbewegungen ausführen, die man unter dem Mikroskop beobachten kann. Diese Bewegungen lassen sich erklären, wenn man annimmt, dass die im Vergleich zu den Atomen sehr großen Teilchen dauernd von sich schnell bewegenden Atomen bzw. Molekülen in statistisch verteilten Richtungen gestoßen werden. Brownsche Molekularebewegung Avogadro fasste diese Beobachtungen zusammen indem er postulierte, daß alle Verbindungen sich aus Molekülen zusammen setzen, die ihrerseits aus Atomen aufgebaut sind. Eine chemische Reaktion ist demnach eine Reaktion von Molekülen oder Atomen untereinander bei der ein Produkt entsteht, daß einer neues Kombination der Atome in den Ausgangssubstanzen entspricht. Auf der Basis der ganzzahligen Massenverhältnisse vermutete man, daß die Atome der Elemente ihrerseits aus Wasserstoff aufgebaut sind. Für die Umrechnung der Masse einer Substanz in eine Anzahl an darin enthaltenen Molekülen definierte Avogadro die Einheit des Mol. Die heute gültige Definition des Mols entspricht der Teilchenmenge, wie sie in 12 Gramm reinen Kohlenstoff 12C enthalten sind. Die molare Masse M beträgt demnach 12 Gramm. Die Zahl der Teilchen in einem Mol ist gegeben durch die Avogadro-Konstante NA: NA = 6.022 ⋅ 10 23 mol−1 Die Beobachtung der Brown’schen Bewegung ist sehr eindrucksvoll. Man kann sie durch eine Mikroskopbeobachtung über eine Videokamera auch einem großen Auditorium vorführen. Im Modellversuch lässt sich ihr Prinzip sehr schön illustrieren mit einem Luftkissentisch, auf dem eine große 4 ihre mitstark mader rung ssen, kung elnen skopbeobachtung über eine Videokamera auch einem großen Auditorium vorführen. Im Modellversuch lässt sich ihr Prinzip sehr schön illustrieren mit einem Luftkissentisch, auf dem eine große Scheibe von sich statistisch bewegenden kleinen Scheiben angestoßen wird. Bringt man eine kleine Glühbirne im Zentrum der Scheibe von sich statistisch bewegenden kleinen Scheiben großen Scheibe an, so kann ihr unregelmäßiger statisangestoßen wird. Bringt man eine kleine Glühbirne im Zentisch verlaufender Weg von oben fotografiert und damit trum der großen Scheibe an, so kann ihr unregelmäßiger staüber längere Zeit verfolgt werden (Abb. 2.15). und damit tistisch verlaufender Weg von oben fotografiert über längere Zeit verfolgt werden. Atom Mikropartikel → p1 → → p = m⋅ v → → = p 2 − p1 → p2 gegeben. Feldstärken von 1011 V/m können so erzeugt werden und reichen aus, um Elektronen aus dem Metall herauszuziehen. Die Elektronen werden durch das elektrische Feld beschleunigt, folgen den radialen Feldlinien und treffen auf einen Leuchtschirm auf der kugelförmigen Anode mit Kugelradius R, wo jedes Elektron einen Lichtblitz erzeugt. Die meisten Elektronen kommen von den Orten der Oberfläche, wo Minima der Austrittsarbeit auftreten. Diese Orte erscheinen auf dem Leuchtschirm im Maßstab V+= R/r vergrößert. Mit R = a) 10 cm, r = 10 nm erreicht man eine Vergrößerung von 107. leitende Schicht Feldemissionsmikroskop Heizung Bariumvorrat R b) − WolframSpitze Abb. 2.14. Schematische Darstellung der Brown’schen Molekularbewegung Die grundlegende Theorie zur Brown’schen Molekularbewegung wurde 1905 gleichzeitig von Albert Einstein (1879– 1955) und Marian Smoluchowski (1872–1917) entwickelt. Wichtig ist, dass sich ein Zusammenhang zwischen der Diffusion und der die Diffusion kennzeichnenden Diffusionskonstante ergibt. Verfolgt man ein einzelnes Brown’sches Teilchen, so ist seine mittlere quadratische Auslenkung in einer Dimension durch k T < Δx > = B Δt 3π ηr 2 ZnSSchirm Feldlinien Schematischer Aufbau eines Feldemissionsmikroskopes. b) vergrößertes Bild der Spitze c) r > 10 nm r~ d) Feldemissionsmikroskop gegeben. Die Diffusionskonstant steht mit diesem über D= k T 1 Δx 2 = B 2 Δt 6π ηr nach Einstein und Smulochowski im Zusammenhang. Feldemissionsmikroskop [Experiment] Erwin W. Müller (1911–1977), 1951 realisiert Eine feine Spitze eines Wolframdrahtes in der Mitte eines evakuierten Glaskolbens dient als Kathode, der eine Anode in Form einer Kugelkalotte im Abstand von 10−20 cm gegenübersteht. Legt man zwischen Anode und Kathode eine Spannung U von einigen kV an, so ist die elektrische Feldstärke E an der fast halbkugelförmigen Wolframspitze mit Krümmungsradius r durch E⃗= U r̂ r (z. Ele Ma Be beo Abb. 2.19. (a) Aufbauprinzip des Feldelektronenmikroskops. (b) Vergrößertes Bild der Spitze. (c) Abbild der Struktur der Wolfram-Oberfläche der Spitze auf dem ZnS-Schirm. (d) Sichtbarmachung von Barium-Atomen auf dervom WolframExperiment zum Feldemissiosmikroskop aus der Vorlesung Oberfläche 12.10.2015 1.1.2 Masse radius R, woeines jedes Atoms Elektron einen Lichtblitz erzeugt, genau wie beim Oszillographenschirm. Die meisten Zur Bestimmung der Avogadro-Konstanten gibt es generell Elektronen kommen von den Orten der Oberfläche, wo verschiedene Verfahren. Zur Bestimmung der Konstanten Minima der Austrittsarbeit auftreten. Diese Orte er- scheinen auf dem Leuchtschirm im Maßstab V = R/r vergrößert. Mit R = 10 cm, r = 10 nm erreicht man eine Vergrößerung von 107 (Abb. 2.19c). 5 Auch hier misst man jedoch nur den Ort der Elek- Da Jah ist räu Es kle tho bes ele tik [2. Pro prä we 2.2.heranExperimentelle und theoretische dnHinweise auf die Existenz von Atomen kann man zum Beispiel die allgemeinen Gasgleichung + ∇nv = 0 dt ziehen. β) Messung der Boltzmann-Konstante k Gaseinlaß Mit dem allgemeinen Gasgesetz erhält man dann die PhasenpVM = NA kBT = RT zur Pumpe Die Boltzmann-Konstante k wurde von Jean geschwindigkeit einer Dichtewelle im Gas,1906 die die SchallgeBaptiste Perrin schwindigkeit ist. (1870–1942) aus dem SedimentationsD Das Produkt aus der Avogadro Konstanten und der Boltzmann Konstanten R. Für S bezeichnet man als Gaskonstante M eine Bestimmung von NA gibt es mehrere Verfahren, die entT weder R und kB bestimmen oder NA direkt messen können. gleichgewicht kleiner Mastix-Teilchen der Masse m in 1/2 (Abb. 2.8). 1/2 einer Flüssigkeit ermittelt kBT 1/2 Für die ω p RTGleichgev = = κ = κ = κ S wichtsverteilung ( der ( n(z) ( M ) gilt die k mn )Dichte m )der Teilchen Boltzmann-Verteilung (Bd. 1, Abschn. 7.3.5): Bestimmung von R Argon Die Gaskonstante kann z.B. über die spezifische Wärme bestimmt werden. Die spezifische Wärme bei konstantem Volumen ist über CV = T 1 fR 2 T gegeben, wobei f die Zahl der Freiheitsgrade ist. Die bisher in Thermostat genauste Bestimmung von R erfolgt über die SchallgeschwinAbb. Bestimmung der Schallgeschwindigkeit Gaskonstante R aus der MesvS 2.7. digkeit in einem Gas. Diese ergibt sung der Schallgeschwindigkeit in Argon. M = Mikrofon, sich aus: T = Thermometer, S = Schallgeber, D = Druckmesser [2.9] p vS = κ ( ρ) 1/2 men bei konstantem Druck und konstantem Volumen κ ist bestimmen. der Adiabaten-Koeffizient, der bei einem einatomigen = 5 liegt. idealen Gas Ersetzt man Druck p mit der Derbei bisκ heute genaueste Wertden von R wurde durch idealen Gasgleichung so erhält man die Messung der Schallgeschwindigkeit vS in einem mit Argon gefüllten akustischen1/2Resonator (Abb. 2.7) RT aus der Relation (siehe vS =Aufg. κ 2.6) ( M) 2 ! n(z) = n 0 · e−(m −m ∗ g dn/ dz = , (2.6) ⇒ n kT wobei m ∗ · g = (m − ϱFl VT ) g das um den Auftrieb verminderte Gewicht der Teilchen mit Volumen VT ist. Bestimmung von kB Die Masse m der Teilchen kann aus ihrer unter dem Mikroskop gemessenen Größe und ihrer Dichte beDie Boltzmann Konstante wird aus einer Anwendung der bastimmt werden. Durch Abzählen von n(z) lässt sich rometrischen Höhenformel bestimmt. Die Dichte von Schwedn/ dz und damitFlüssigkeit die Boltzmann-Konstante k ermitteln beteilchen in einer ergibt sich aus dieser zu (Aufg. 2.7). Man kann das mühselige Abzählen durch folgende m*gz −k T B n(z) = n ⋅ e 0 Überlegung umgehen: Auf Grund der Schwerkraft sinken kugelförmige Teilchen mit dem Radius r mit einer m* die wobei beachten ist, dass die Masse(Bd. den8.5) Aufnach zudem Stokesschen Gesetz 1, durch Abschn. trieb verminderte Masse m*g = (m − ρVT )g enthält. Prinzipiell konstanten Sinkgeschwindigkeit erfordert das ein Abzählen der Teilchen in einer bestimmten (m − ϱFl · eine 4 VT ) ·Konzentrationsmessung. g Höhe z oder zumindest Einvg = − mit VT = πr 3 (2.7) fach ist der Wert für6πηr die Boltzmannkonstante aus 3 der Diffusion zu erhalten. Der Diffusionskoeffizient ist entsprechen dem herab, wobei Gesetz η die Viskosität der Flüssigkeit ist. Die Stokes-Einstein durch nach unten gerichtete Teilchenstromdichte jg = vg · n D= "2 v ·M 1 inMeinemf 0nGas läßt sich aus der Die Schallgeschwindigkeit R= S = · · · r0 Gaskinetik mit κ einem · T Störungsansatz T κ n für die Dichte und Geschwindigkeit der Gasmoleküle ableiten. Es gilt die Impulsbilanz in einem Volumenelement in diesem Gas: ermittelt [2.9], wobei M die Molmasse, T die absolute Temperatur, r0 der Radius der Kugel und dv mn + v ∇v = − ∇p κ = C p /C V[ der (κ = 5/3 für Argon) ] dt Adiabatenindex ist. Die Schallgeschwindigkeit vS = f · λ = f 0n · r0 /n durch Messung Frequenzen 0,n der radialen m istwurde die Masse eines Atoms,der n die Dichte. Die fAdiabatengleiakustischen Eigenresonanzen des sphärischen Resonachung tors bestimmt (Bd. 1, Kap. 11). Dazu wurden durch ∇n einen Schallgeber S∇pmit = κvariabler Frequenz f Schallp erzeugt. n wellen im Resonator Bei allen Frequenzen f0n = vs /λ = vs /(r0 /n), bei denen radiale akustische gilt für adiabatische Zustandsänderungen wie sie für die Eigenresonanzen des gasgefüllten Resonators angeregt Dichteschwankungen in Schallwellen ist. Die Kontinuiwerden, liefert das Mikrofon gültig M Signalmaxima, weil tätsgleichung ist dann die Druckamplitude an den Wänden maximal wird. ∗ gz)/(kT) n(z) / m−3 z → jg kB T 6π ηR → Im Gleichgewicht: → → jg = − j D n(z) = n0 ⋅ e −mgz / kT jD z/m Abb. 2.8. Gleichgewichtsverteilung von Sedimentteilchen in einer Flüssigkeit 6 13 gegeben, wodurch sich nach Umstellen die Boltzmann Konstante zu kB = 6π ηRD T Elektrolyse von Wasser bestimmen lässt. Bestimmung der Avogadro-Konstante mithilfe der Elekt- 6.4rolyse Mechanismen der elektrischen Leitung [Experiment] 331 ε0 /σ, auch durch eine enzen ω ≫ A Elektroden) K AmperemeAbb. 6.78). B. ein TropEine zur Messung vondurch NA beruht Abb.Methode 6.78. Stromdurchgang eine auf dem aus bzw. dieweitere Faraday’schen Gesetz bei der Elektrolyse. Beim Umsatz von elektrolytische Lösung t, ließe1mol sicheines chemisch einwertigen Stoffes mit der Atommasen. se mx wird die Elektrizitätsmenge der StromF = NAe wohl zu der uelle hängt, transportiert (Faraday Konstante). Bei Kenntnis der Elemenlyse Sauertarladung e (Millikan Versuch) n CuSO4 in b. Millikan Versuch 4.4 realisüsste man zentration e Anzahlabelle 6.5 sehen ist. h H+ gecher Trog e leuchtet erhält man deshalb aus der Messung der transportierten Ladung F=NA · e die Avogadro-Konstante NA . Bei der Elektrolyse von Wasser entstehen Wasserstoff und Sauerstoff. Das Volumen des Wasserstoff kann man messen und erhält. Für die Erzeugung von einem Mol Wasserstoff werden 2 Ladungen benötigt. Damit erhält man für die Faraday Konstante F= Q Z⋅n mit Q = I ⋅ t, Z = 2, n = pV /RT. D.h. im Experiment muss neben dem Volumen der Strom bei der Elektrolyse und die Zeit für das Erzeugen des Volumens bestimmt werden. Kathode: Anode: 2 H2O + 2 e − → H2 + 2 OH − 2 H2O → O2 + 4 H + + 4 e − Direkte Bestimmung von NA Durch die Entwicklung moderner Methoden ist es heute möglich auch NA direkt zu bestimmen. Grundlage ist die Röntgenbeugung an Kristallen (siehe Abb 1.5). Man erhä̈ lt im gebeugten Röntgenstrahl konstruktive Interferenz, wenn die Bedingung Δ = 2d sin(θ ) = nλ erfüllt ist. Hier ist d der sog. Netzebenenabstand, θ der Beugungswinkel, λ die Wellenlänge des Röntgenlichts und n die Ordnung des Beugungsreflexes. Durch die Bestimmung des Beugungswinkels für konstruktive Interferenz erhält man d und damit das Volumen, das ein Atom einnimmt (im einfachsten Fall Vatom = d3. Die Avogadro-Konstante ergibt sich dann: NA Vatom = VMol = M ρ M ist die molare Masse und ρ die Dichte des Festkörpers. Die Genauigkeit zur Bestimmung von ρ ist Δρ /ρ = 10−6 und von d ist Δd /d = 10−8. Erinnerung Millikan Versuch: Beim Millikan Versuch wurde die Elementarladung e bestimmt, indem man Öltröpfchen durch ein elektrisches Feld zum Schweben gebracht hat. trom in dieSäuren oder mdurchgang rolyse bzw. 7 1.1.3 Größe eines Atoms 1.1.4 Struktur der Atome Die Größe von Atomen läßt sich in analoger Weise auch aus Röntgenbeugung ableiten. Allerdings ist die Größe eines Atoms nicht scharf definiert. Der genaue Wert hängt von der Art der Messmethode ab. Es wurde gezeigt, daß Atome aus positiven und negativen Ladungsträgern bestehen, wobei die negativen Ladungsträger sehr viel leichter sind. Die innere Struktur bzw. Verteilung dieser Ladungsträger im Atom selbst wird durch Streuexpe- Zur Messung der Atomgröße werden in der Regel Streuexperimente durchgeführt. Eine einfache Methode ergibt sich aber aus der Zustandsgleichung des realen Gases (van der Waals Gas). ( V 2M ) APITEL 1. ENTWICKLUNG aDER ATOMVORSTELLUNG p+ 1.1. ATOME (VM − b) = R ⋅ T erfüllt ist. Hier ist d der sog. Netzebenenabstand, ✓ der Beugungswinkel, Im zweiten Term auf der linken Seite wird dabei vom Molvoludie Wellenlänge des Röntgenlichts und n die Ordnung des Beugungsreflemen VM das 4-fache Eigenvolumen abgezogen. Aus der Gröes. Durch die Bestimmung des Beugungswinkels für konstruktive Interferenz ße von b lässt sich damit bei Kenntnis der Avogadro Konstanrhält man d undVolumen damit das Volumen, das ein Atom einnimmt (im einfachsten ten das eines Atoms bestimmen. 3 all Vatom = d . Die Avogadro-Konstante ergibt sich dann: b M =4N VM = A ol Va = NA Vatom (1.19) ⇢ rimente bestimmt: die Winkelverteilung gestreuter Teilchen M ist die molare Masse und ⇢ die Dichte des Festkörpers. Die Genauigkeit In Gleicher Art und Weise lässt sich die Größe deines Atoms ⇢ 6 8 ist charakteristisch für das Wechselwirkungspotential (hier ur Bestimmung von ⇢ ist ⇢ = 10 und von d ist d = 10 . auch über die Röntgenstreuung bestimmen. [Experiment] Coloumb-Potential) und die Massenverteilung im Atom. - d Atome sind aus elektrisch geladenen Teilchen aufgebaut und können daher nicht „unteilbar“ sein, sondern haben eine noch unbekannte Substruktur. Die elektrisch geladenen Bausteine der Atome haben Masse und Ladung. Es gibt sowohl positiv als auch negativ geladene Atombestandteile. Masse und Größe von Atomen 1.3. the size of atoms Kathodenstrahlen [Experiment] Masse und Größe von Atomen B) Röntgenbeugung example: Debye-Scherrer diffraction B) Röntgenbeugung Hittorf beobachtete bei solchen Drücken in einer GasentlaAbbildung 1.5: Durch Röntgenbeugung an den Netzebenen eines Kristalls dungsröhre Strahlen, die von der Kathode ausgingen und läßt sich der Atomabstand bestimmen. sich geradlinig ausbreiteten, wie er an der Schattenbildung von Körpern, die in den Strahlen- weg gesetzt wurden, feststellte. Die Strahlen erzeugten bei Auftreffen auf einen Leuchtschirm einen sichtbaren Leuchtfleck. Durch einen .1.3 Größe eines Atoms Magneten konnten diese Kathodenstrahlen abgelenkt werMasse und Größe von Atomen 1 den, sodass es sich um geladene Teilchen handeln musste. ie Größe von Atomen läßt sich in analoger Weise3 auch aus Röntgenbeugung B) Röntgenbeugung Aus der Tatsache, dass die Teilchen durch eine positive Spanbleiten. Allerdings ist die Größe eines Atoms nicht scharf definiert. Der ge- beschleunigt wurden, und aus der Richtung der Ablennung aue Wert hängt von der Art der Messmethode ab. Zur Messung der AtomMgO diagram from the book Gerthsen, Physics kung im Magnetfeld konnte bereits geschlossen werden, röße werden in der Regel Streuexperimente durchgeführt. Die Winkelverteidass ihre Ladung negativ sein musste. ung in einem solchen Streuprozeß hängt von den Streupartnern und damit on der Art der Wechselwirkung ab. Dieser Zusammenhang ist kompliziert, a zum Beispiel die Wechselwirkung von zwei neutralen Teilchen oder von wei geladenen Teilchen eher Informationen über die Reichweite der Wechelwirkung als über die eigentliche Größe des Atoms liefert. Im allgemeinen kann man ein Streuexperiment durch die Messung der bschwächung eines Gasstrahls in einem definierten Volumen bestimmen 8 ehal- kro? maund isch posichen r ist muss tom tatiöllig m gelang Jean B. Perrin 1895 und mit einer verbesserten Apparatur J.J. Thomson 1897, indem er die Teilchen durch einen Schlitz in der Anode A austreten ließ und − + Kathodenstrahlen = Elektronen R 32 Leuchtschirm Anode − + U + − Magnetfeld R Kathode N Ventil zur Vakuumpumpe K Thomson: Verhältnis e/m von Masse und Ladung der Teilchen bestimmen. Er zeigte auch, dass dieses Verhältnis unabhängig vom Material der verwendeten Kathode war, aber mehr als 104 mal größer als bei den von Eugen Goldstein (1850–1930) im Jahre 1886 entdeckten Kanalstrahlen, die in einer Gasentladung durch eine Bohrung in der Kathode traten, sich also in entgegengesetzter Richtung wie die Kathodenstrahlen bewegen (Abb. 2.35). R Ablenkungsmöglichkeit durch Magnetfeld Leuchtschirm Anode Kathode Gasentladung Ventil a) Abb. 2.33. Schematische Darstellung der Anordnung zur Beobachtung der Kathodenstrahlung auf einem Leuchtschirm. Kanalstrahlen Die Anordnung ermöglicht die Ablenkung der Strahlen durch Magnete + − A S Ventil zur Pumpe Abb. 2.35. Schematische Darstellung der experimentellen Realisierung von Kanalstrahlen in einer Gasentladung bei durchbohrter Kathode Atome bestehen aus negativ geladenen Elektronen und einer positiven Ladung,(Der überName deren G. entgegengesetzt Fitzgerald 1891gleichen Elektronen genannt. Verteilung im Atom nichts bekannt kommt von dem noch griechischen Wortwar. für Bernstein, bei dem zuerst elektrische Phänomene, z. B. Aufladung beim Reiben, beobachtet wurden [2.38]. Die posin tiv geladenen Partikel der Kanalstrahlung erhielten in Analogie zuvon den bei[Experiment] der Elektrolyse zu den ElektroBestimmung e/m den wandernden Teilchen die Bezeichnung Ionen (die estim- Eine Wandernden). diesenoch undnicht vielesehr weitere Versuche quantitative,Durch wenn auch genaue Bestimdurch mung wurde etwa 1900 geklärt: derbis Ladung von Kathodenstrahlen gelang Jean B. Per- Elek2.34b ahlen A austreten ließ und durch Magnete in eine seitliche Röhre auf ein Elektrometer lenkte. 2. Entwicklung der Atomvorstellung rin 1895 und mit einer verbesserten Apparatur J.J. Thomson 1897, Atome indem erbestehen die Teilchen einen Schlitz in Elektroder Anode ausdurch negativ geladenen nen und einer entgegengesetzt gleichen positiven Ladung, über deren Verteilung im Atom noch nichts bekannt war. zur Pumpe − Anod Elektrometer G Abb. 2.3 Realisie durchbo + R DurchUdie Ablenkung der Elektronen in Leuchtschirm einem Magnetfeld − kann das Verhältnis von Ladung zu Masse der Elektronen G. Fitz und auch der von Ionen bestimmt werden. kommt dem zu K Die Kraft auf ein bewegtes Elektron im Magnetfeld ist die Lo-beim R A B1 + B2 Ablenkplatten rentzkraft tiv gela b) Ventil Analog zur Pumpe ⃗ F ⃗ = − e(E ⃗+ v ⃗ × B) den wa Abb. 2.34a,b. Anordnung von J.J. Thomson zur BestimWander mung des Verhältnisses e/m der Kathodenstrahlung durch Tritt das Elektron mit einer Geschwindigkeit senkrecht zum wurde b Ablenkung (a) im Magnetfeld, (b) im elektrischen Feld Magnetfeld in dieses ein so wird das Elektron (und jedes andere geladene Teilchen) auf eine Kreisbahn gezwungen. Man kann dann die Vektoren durch die Beträge ersetzen. Auf der durch Magnete seitliche Röhre auf ElekKreisbahn gibt es ineineine Kräftegleichgewicht auseinZentrifugaltrometer lenkte (Abb. 2.34a). Mit der in Abb. 2.34b kraft und Lorentzkraft Ato nen Lad nic gezeigten Apparatur, bei der die Kathodenstrahlen durch zwei Spalte kollimiert wurden und auf eiv2 Pos m = e vB nem Leuchtschirm einenR Lichtpunkt erzeugten (erster oder m Kathodenstrahloszillograph), maß Thomson die Ablenkung elektrischen und magnetischen und Be-2.5.2 M Wurde die im Elektronengeschwindigkeit zudemFeld durch konnte so das e/mUvon Masse schleunigung mit Verhältnis der Spannung erzeugt so und ist Ladung der Teilchen bestimmen. Er zeigte auch, dass dieses J.J. Th 1/2 Verhältnis unabhängig vom Material der verwendeten Schüler 2eU erstmal = 104 mal größer als bei Kathode war, aber mehrv als ( m ) den von Eugen Goldstein (1850–1930) im Jahre 1886 Ionisati entdeckten Kanalstrahlen, die in einer Gasentladung Teil de Durch beobachten des Krümmungsradius und Kombination tem Wa durch eine Bohrung in der Kathode traten, sich also in der obigen Gleichungen erhält man schliesslich für das Ver-Ionen, entgegengesetzter Richtung wie die Kathodenstrahlen hältnis von Ladung zu Masse tröpfch bewegen (Abb. 2.35). Wilhelm Wien (1864–1928) konnte 1897 den Wert tung si 2U e = 2und e/m der Kanalstrahlen messen zeigen, dass sie aus der Sc m r B2 positiv geladenen Ionen des Füllgases der Entladungs- der Lu (siehe B röhre bestehen [2.37]. Kennt man die Größe der Elementarladung (z.B. aus MilliDie leichten negativen Partikel der Kathodenstrahkan), so lässt sich daraus die Elektronenmasse bestimmen. v= lung wurden nach einem Vorschlag von J. Stoney und me = 9.1093897 ⋅ 10−31 kg 9 y (d. h. nicht gestreuten Teilchen) σ = πr 2 Ṅ = Ṅ0 · e−nσx θ1 Weiterführende Fragen zum Selbststudium und zur Wiederholung: nB Ṅ0 = Ṅ(x = 0) . (2.100) Der integrale Streuquerschnitt σ hängt mit der mittle- r θ2 ! N A mit ren freien Weglänge Λ die Relation Hat die Probe insgesamt einüber Dicke von L so ergibt sich nach dieser Dicke folgende Anzahl von Teilchen die noch detek1 (2.101) tiert werden können Λ= n·σ θ3 y • Wie kann man freie Elektronen erzeugen? dx −nσL7.3.6). zusammen (siehe auch Bd. Abschn. N =1, N 0e z • Wie kann man Ionen erzeugen?a) Eine experimentelle Realisierung zur Messung inx b) tegraler Streuquerschnitte ist in Abb. 2.81a gezeigt. Der die2.80. Bewegung Ladun• Von welchen Parametern hängtAbb. (a) Streuungvon von Atomen NA an Atomen mit der Teilchenstrahl die Blenden B1 und B 2 kolliDichte n B in einer Schicht der Dicke dx. (b) ZurDie Definition Zahl der Teilchen,wird diedurch detektiert werden kann nimmt also gen im Magnetfeld ab? miert und tritt durch eine Folie aus Atomen der Sorte B des Wirkungsquerschnittes exponentiell mit der Dicke der Probe ab. Dabei ist unerheb• Von welchen Parametern hängt die Bewegung von Ladun(bzw. bei gasförmigen Stoffen durch eine differentilich was im den mit Teilchen passiert. Diese können ell Detail gepumptemit Kammer Ein- und Austrittsblende gen im elektrischen Feld ab? für den Strahl der Teilchen A, in der sich das Messabsorbiert werden oder auch in andere Richtungen abgedicke dx laufen, in der sich Atome der Sorte B mit gas Bfür befindet, das dauernd werden zugeführt und lenkt werden, eine Messung nuraußerhalb Teilchen herangeInteressante Themen der Teilchenzahldichte n B befinden (Abb. 2.80a), so der Kammer weggepumpt wird). Hinter der Blende B3 keine erfahren. wird infolge der Wechselwirkung zwischenzogen, A und Bdiesitzt der Wechselwirkung Detektor für die Teilchen A, die nur dann • Elektronenoptik (Demtröder) ein Teil d ṄA der einfallenden Teilchen A aus ihrer ursprünglichen Bahn abgelenkt (gestreut). Die Größe der Ablenkung hängt vom Wechselwirkungspotential V(r) zwischen A und B ab, von der Entfernung r zwischen A und B, von den Massen m A , Streuung m B und von der Relativgeschwindigkeit vA − vB . Wenn die Zahl n B · dx der streuenden Teilchen B prodieser Flächeneinheit genügend klein Die innere Struktur bzw. Verteilung Ladungsträger im ist, wird jedes Teilchen A an höchstens einem Atom B so nahe vorAtom selbst wird durch Streuexperimente bestimmt: die Winbeifliegen, dass es merklich abgelenkt wird (Einfachkelverteilung gestreuter Teilchen ist charakteristisch streuung) (Abb. 2.80a). für das Wir definieren als integralen Wechselwirkungspotential (hier Coloumb-Potential) und die Streuquerschnitt (auch integraler Wirkungsquerschnitt genannt) σ für Massenverteilung im Atom. die Streuung von A an B diejenige Fläche σ = πr 2 um ein Atom B, durch die ein Teilchen A fliegen muss, damit es um einen Winkel θ, der größer ist als ein a) Integraler Streuquerschnitt minimaler noch nachweisbarer Winkel θ0 , abgelenkt Bevor wir zu Streuung an einem Atomkern selbst kommen, wird (Abb. 2.80b). Entlang der Strecke dx ändert sich wollen wir noch ein paar wichtigedieBegriffe dieTeilchen Streuung Zahl ṄA =für Ṅ der A durch Ablenkung um Winkel θ ≥ θ um 0 selbst definieren. Fallen auf eine Probeschicht der Dicke Δx insgesamt N Teilchen pro Zeiteinheit, dann werden durch die d Ṅ = − Ṅ · σ · n · dx . Atome der Probe (2.99) durch B3 laufen, wenn sie um weniger als θ0 = b/2 d abgelenkt wurden. B2 n B B1 B3 θ0 = b/2d θ0 θ>θ0 A b Detektor d dx a) 1 A B2 B 2 Detektorfläche AD B1 A R V = F ⋅ ∆x b) ∆Ω Θ Streuebene φ y Teilen durch Ṅ und Integration über x liefert die Zahl der nach der Strecke x im Strahl verbliebenen ΔN = − σNnΔx x Abb. 2.81. (a) Messung des integralen Streuquerschnitts σ. (b) Messung des differentiellen Streuquerschnitts dσ/ dΩ b) Differentieller Wirkungsquerschnitt Wird im Experiment jetzt eine Probe mit energetischen TeilTeilchen durch die Wechselwirkung abgelenkt. Dabei ist σ chen bestrahlt und die Winkelverteilung mit einem Detektor der sogenannte integrale Streuquerschnitt, der angibt, wie gemessen. Teilchenerhaltung fordert, daß die Zahl der TeilGroß die Wahrscheinlichkeit ist auf der Probenfläche A ein chen, die durch einen Ring der Fläche 2πb d b treten, in einen Atom62zu treffen. 2. Entwicklung der Atomvorstellung d ΩDER Raumwinkel gestreut werden gemäß des sog. differentielKAPITEL 1. ENTWICKLUNG ATOMVORSTELLUNG 1.3. STRUKTUR DER ATOME y (d. h. nicht gestreuten Teilchen) len Wirkungsquerschnittes d σ /d Ω. σ = πr 2 Ṅ = Ṅ0 · e−nσx θ1 nB y Ṅ0 = Ṅ(x = 0) . (2.100) Der integrale Streuquerschnitt σ hängt mit der mittleren freien Weglänge Λ über die Relation r θ2 ! N A mit Λ= θ3 1 n·σ m1 (2.101) d4 R b 4 zusammen (siehe auch Bd. 1, Abschn. 7.3.6). Eine experimentelle Realisierung zur Messung inx a) b) m tegraler Streuquerschnitte ist in Abb. 2.81a gezeigt. Der 2 Abb. 2.80. (a) Streuung von Atomen NA an Atomen mit der Teilchenstrahl wird durch die Blenden B1 und B2 kolliDichte n B in einer Schicht der Dicke dx. (b) Zur Definition miert und tritt durch eine Folie aus Atomen der Sorte B des Wirkungsquerschnittes Dadurch ergibt sich beim Durchgang durch eine Probe pro (bzw. bei gasförmigen Stoffen durch eine differentiLängeneinheit ein Verlust von ell gepumpte Kammer mit Ein- und Austrittsblende für den Strahl der Teilchen A, in der sich das Messdicke dx laufen, inΔN der sich Atome der Sorte B mit gas B befindet, das dauernd zugeführt und außerhalb Abbildung 1.13:Hinter Der der di↵erentielle − n σN (Abb. 2.80a), so der Kammer der Teilchenzahldichte n B= befinden weggepumpt wird). Blende B3 Wirkungsquerschnitt beschreibt die Δx Streuung in einen bestimmten wird infolge der Wechselwirkung zwischen A und B sitzt der Detektor für die Teilchen A, die nurRaumwinkel. dann ein Teil d ṄA der einfallenden Teilchen A aus ihrer durch B3 laufen, wenn sie um weniger als θ0 = b/2 d ursprünglichen Bahn abgelenkt (gestreut). abgelenkt wurden. Die Größe der Ablenkung hängt vom Wechselwirauftreten als kleinere. Dies ist zunächst unabhängig von der Art der Wechselkungspotential V(r) zwischen A und B ab, von der 10 Entfernung r zwischen A und B, von den Massen m A , zweite Term auf B3 der rechten Seite berücksichtigt hingegen die B1 wirkung.B2Der nB m B und von der Relativgeschwindigkeit vA − vB . θ0 = b/2d Physik der Wechselwirkung, da der Zusammenhang zwischen b und Streudx z 1.3.2 di↵erentieller Wirkungsquerschnitt über möglichen Stoßparameter dieeinen jeweils zu einem bestimmten durchalle einen Ring der Fläche 2⇡bdb mitteln, treten, in Raumwinkel d⌦ gestreut d Streuwinkel führen. Teilchenerhaltung fordert, daß die Zahl der Teilchen, werden gemäß des sog.jetzt di↵erentiellen Wirkungsquerschnittes , wiedie in Im Experiment wird eine Probe mit energetischen Teilchen d⌦ bestrahlt durch einen Ring der Fläche 2⇡bdb treten, in einen Raumwinkel d⌦ gestreut 1.3.2 di↵erentieller Wirkungsquerschnitt Abb.die 1.13 skizziert ist. und Winkelverteilung mit einem Detektor gemessen. Hierzu muß man d KAPITEL 1. werden gemäß des sog. di↵erentiellen Wirkungsquerschnittes , wie in d⌦ Die Fläche eines Rings der Breite db im Abstand b von der Symmetrieüber alle möglichen Stoßparameter mitteln, die jeweils zu einem bestimmten Im Experiment wird jetzt eine Probe mit energetischen Teilchen bestrahlt Abb. 1.13 skizziert achsedie desWinkelverteilung Problems ist: mit einem Detektor Streuwinkel führen.ist. Teilchenerhaltung fordert, daß die ZahlHierzu der Teilchen, die und gemessen. muß man Die Fläche eines Rings der Breite db im Abstand b von der Symmetriedurch einen Ring derStoßparameter Fläche 2⇡bdb treten, einen Raumwinkel d⌦ gestreut über alle möglichen mitteln,indie jeweils zu einem bestimmten achse des Problems ist: di↵erentiellen d d = 2⇡bdb (1.56) werden gemäß des sog. Wirkungsquerschnittes , wie in Streuwinkel führen. Teilchenerhaltung fordert, daß die Zahl der Teilchen, die d⌦ Abb. 1.13 skizziert ist.Fläche durch einen Ring der treten,auf in einen d⌦ gestreut Der Raumwinkel eines2⇡bdb einerRaumwinkel Kugeloberfläche mit dRinges = 2⇡bdb d (1.56) Die Fläche eines Rings der Breite db im Abstand b von der Symmetriewerden gemäß des sog. di↵erentiellen Wirkungsquerschnittes , wie in Ö↵nungswinkel ⇥ berechnet zu: auf einer Kugeloberfläche d⌦ DerProblems Raumwinkel einessich Ringes mit achse des ist: Der1.13Raumwinkel Abb. skizziert ist. eines Ringes auf einer Kugeloberfläche mit Öffnungswinkel zu d Ω berechnet 1 b von der SymmetrieÖ↵nungswinkel ⇥ sichBreite zu: sich Die Fläche Rings der db im Abstand d⌦eines = berechnet R (1.57) | sin {z⇥2⇡} Rd⇥ | {z } R2 d = 2⇡bdb (1.56) achse des ProblemsRingumf ist: ang Ringbreite |{z} 1 U mrechnung F läche Raumwinkel d⌦ = R Der Raumwinkel eines Ringes auf einer Kugeloberfläche(1.57) mit | sin {z⇥2⇡ } Rd⇥ | {z } 2 R |{z} Damit ergibt⇥sich: (1.56) Ringumf ang Ringbreite Ö↵nungswinkel berechnet sichdzu:= 2⇡bdb U mrechnung F läche Raumwinkel ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG m1 b r1 M SP 1.3. STRUKTUR DER ATOME 4CM r2 trie me m Sy bene e m2 KAPITEL 1. ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG 1.3. STRUKTUR DER A Der Raumwinkel eines Ringes2⇡bdb auf einer Kugeloberfläche mit d 1 Abbildung 1.11: Koordinatensystem für die Beschreibung des ZweierDamit ergibt sich: = zu: (1.58) d⌦ = sin ⇥2⇡ Rd⇥ (1.57) Ö↵nungswinkel ⇥R berechnet sich 1 | {z d⌦ } | {zR} sin ⇥2⇡Rd⇥ RR 2 Stoßes. und der Parameter b ist der Stoßparameter. Zusätzlich lässt 2 Daraus lässtRingumf sich der sogenannte differentielle Wirkungsquer|{z} ang d Ringbreite 2⇡bdb U mrechnung Fergibt läche 1 Raumwinkel Derschnitt di↵erentielle Wirkungsquerschnitt damit: = (1.58) sich dann auch die kinetische Energie im Schwerpunktsysberechnen. d⌦ =R sin ⇥2⇡ Rd⇥ (1.57) 1. ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG d⌦ R}sin ⇥2⇡Rd⇥ R12R2 | {z } | {z KAPITEL 1.3. STRUKTUR DER ATOM tem aufschreiben Damit ergibt sich: |{z} Ringumf ang Ringbreite d b db Fergibt Der di↵erentielle Wirkungsquerschnitt damit: U mrechnung läche Raumwinkel ⇣ ⌘ (1.59) d d⌦ = sin 2⇡bdb ⇥ d⇥ 1m 11 µ ṙ22 + r12 ˙ 2 2 + V (r)1.3. STRUKTUR DER(1.45) KAPITEL 1. ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG ATOME E = 2 = (1.58) Damit ergibt sich: 0 1 1 1(v1 − vc ) + 2 m 2 vc = m μv1 = E40CM d b db d⌦ R sin ⇥2⇡Rd⇥ 2 R 2 2 2 Der erste Term auf der rechten über = Seite berücksichtigt, die Statistik(1.59) SP Für die Beschreibung der Energieerhaltung läßt sich die kinetische Energie d d⌦ sin2⇡bdb ⇥ d⇥ ergibt r M di↵erentielle Wirkungsquerschnitt damit: die Der möglichen Stoßparameter, da zum Beispiel d mit b allein deshalb an1 r2 = (1.58) b 1 im Schwerpunktsystem für r ! 1 ansetzen, da für große Zeiten vor bzw. R sin ⇥2⇡Rd⇥ steigt, einfach in einem Stoßexperiment häufiger Der weil erstegrößere Term Stoßparameter auf derd⌦ rechten Seite berücksichtigt, die Statistik über R2 mit der reduziertenie-Masse Der differentielle Wirkungsquerschnitt ergibt damit nach dem Stoß der sehr groß wird und 4 damit die potentielle Energie m1 Abstand tr d zum bBeispiel db dergibt die möglichen Stoßparameter, da mit b allein deshalb anCM Der di↵erentielle Wirkungsquerschnitt damit: me m2 = (1.59) m y Potential e verschwindet, daSdas V (r) nur eine endliche Reichweite besitzt und n SP e d⌦ einfach sin ⇥ in d⇥einem c 24 A. Stoßexperiment von Keudell, Ruhr-Universität Bochum steigt, weil größere Stoßparameter häufiger m m 1 2 e0b gilt. r1 M r somit V (r ! 1) = b μ= 2. m1 d b db Der erste Term auf der rechten überAuch die Drehimpulserhaltung 4CMPolarkoordinaten kompakt mläßt 1+m 2 sich in = Seite berücksichtigt, die Statistik(1.59) e tri SP 24 Keudell, Ruhr-Universität Bochum e sinBeispiel ⇥ d⇥ c dA. von die möglichen Stoßparameter, d⌦ da zum mit b allein deshalb an~mim m schreiben. Zunächst haben wir rden L Schwerpunktsy2 1 M Gesamtdrehimpuls r2 Symbbene steigt, weil größere Stoßparameter einfach in einem Stoßexperiment häufiger e Der erste Term auf der rechten Seite berücksichtigt, die Statistik über stem mit v = 0 gegeben als: Man kann auch noch die Annahme fallen lassen, dass Abbildung 1.11: Koordinatensystem für die Beschreibungdas des Zwei 2 trie e die möglichen Stoßparameter, da zum Beispiel d mit b allein deshalb anm m zweite Partikel keine Geschwindigkeit besitzt, wodurch die Stoßes. 2 c) Stoß zweier Teilchen Sym bene c 24 A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum ~ steigt, weil größere Stoßparameter einfach in einem Stoßexperiment häufiger me1 r~1 ⇥ (v~1 beider v~c ) + Partikel m2 r~2 ⇥ (entscheidend v~c ) = L Relativgeschwindigkeit für die (1.46) Betrachten wir nun die Streuung eines geladenen Projektils Abbildung Koordinatensystem Gesamtenergie ist. Auch dies1.11: läßt sich vereinfachen zu: für die Beschreibung des Zweier(Masse m1 , Geschwindigkeit v 1⃗ , Ort rc1⃗ ) A.an einem ruhenden 24 von Keudell, Ruhr-Universität Bochum Stoßes. Atom (Masse m 2 , Geschwindigkeit v 2⃗ = 0 , Ort r 2⃗ ). Die KineAbbildung 1.11: Koordinatensystem für die Beschreibung des Zweier~⌘ ⇥ ~v1 = L (1.47) Im Schwerpunktsystem ist die Stoß wie ein Streupro⇣µ~r damit matik dieses Systems wird zweckmäßigerweise im Schwer1 Stoßes. 2 2 ˙2 zess einem Potential bei V(+ r ⃗ )r mit istseinem E0sehr = große µ ṙAbstände +derV Betrag (r)Ursprung ( punktsystem beschrieben. Die Schwerpunktsgeschwindigmit ~r = ~ran ~r2 . Für des Drehimpulses 1 2 KAPITEL DER ATOMVORSTELLUNG 1.3. STRUKTUR DER ATOME r ⃗ =als: r 1⃗ + r 2⃗ zu beschreiben. gegeben keit 1.v ENTWICKLUNG c⃗ errechnet sich aus: ⇣ Ist das ⌘Potential zentralsymme1 Für die Beschreibung der Energieerhaltung äßt die kinetische(1.45 En trisch, so gilt Drehimpulserhaltung die Gesamtenergie E0 = µ ṙ2 + r2 ˙ 2 und +lV (r)sich ~ 2 L⇣1 = µv (1.48) im Schwerpunktsystem für r ! ansetzen, vor kann in Polarkoordinaten dargestellt 1 b da für große Zeiten |~ r|!1 ⌘werden. v1‘ v1 4LB m1 m2 v‘1-vc v1-vc 4CM m1 v2‘ m2 -vc v2‘-vc 1 FürStoß die Beschreibung der Energieerhaltung sich die Energ nach dem der Abstand sehr diekinetische potentielle En E = µ groß ṙ2 +wird r2 ˙ 2 und +läßt V damit (r) 0 Die Drehimpulserhaltung2 in Polarkoordinaten ergibt sich dann zu: (1.45 1 im Schwerpunktsystem für r ! 1 ansetzen, da f·ür große Zeiten vor bzw verschwindet, da das Potential V (r) besitz E0nur = eine μ (r· 2 endliche + r 2 ϕ2) +Reichweite V(r) F ür die Beschreibung der Energieerhaltung l äßt sich die kinetische Energie 2 2 und nach dem groß wird damit die potentielle(1.49) Energ ˙ somit V (r !Stoß 1) der = 0Abstand gilt. sehr µv 1 b = µr ' im Schwerpunktsystem f ür r ! 1 ansetzen, da f ür große Zeiten vor bzw verschwindet, da das Potential V (r) lnur eine endliche Reichweite besitztkom un Auch die Drehimpulserhaltung äßt sich in Polarkoordinaten Setzt man Gl. 1.49 in Gl. 1.45 ein, so erhält man: nach dem Stoß der Abstand sehr groß wird und damit die potentielle Energie Die!Drehimpulserhaltung v2 = 0 im Schwerpunktsystem somit VZun (r 1) =haben 0 gilt. wir denfürGesamtdrehimpuls ~ im Schwerpun schreiben. ächst L verschwindet, da das Potential V (r) nur Reichweite besitzt und Auchistdie Drehimpulserhaltung läßteine sichendliche in Polarkoordinaten kompak stem mit v = 0 gegeben als: 2 ! 1) = 0 gilt. somit V (r ~ schreiben. Zunächst haben wir den Gesamtdrehimpuls L im Schwerpunktsy c 22 A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum Auch die Drehimpulserhaltung l äßt sich in Polarkoordinaten kompak stem mit v2 = 0 gegeben als: ~ ~ m1haben r~1 ⇥ (wir v~1 den v~c )Gesamtdrehimpuls + m2 r~2 ⇥ ( v~c ) L = im L Schwerpunktsy( schreiben. Zunächst stem mit v2 = 0 gegeben ~ ~1 als: ⇥ (v~1 v~c ) zu: + m2 r~2 ⇥ ( v~c ) = L (1.46 1r Auch dies läßt sichmvereinfachen Auchwas diessich läßtzusich zu: ~ m1 r~1vereinfachen ⇥ (v~1 v~c ) + m2 r~2 ⇥ ( v~c ) = L ~ µ~r ⇥ ~v1 = L (1.46 ( Auch dies läßt sich vereinfachen ⇥ zu: ~ ~v1ände =L (1.47 mit ~r = ~r1 ~r2 . Für sehr großeµ~rAbst ist der Betrag des Drehimp Abbildung 1.10: Kinematik eines Zweier-Stoßes im Laborsystem (oben) und im Schwerpunktsystem (unten) ~ ist der Betrag des Drehimpulse ~r = ~r1 ~r2 . Für sehr große gegebenmit als: µ~r Abst ⇥ ~v1 ände =L (1.47 gegeben mit als:r ⃗ = r1⃗ − r2⃗ vereinfachen lässt. Der Betrag des Drehimpulmit ~r = ~r1 ~r2 . Für sehr große Abstände ist der Betrag des Drehimpulse m1 v 1⃗ = (m1 + m 2 ) v c⃗ ~ |~r|!1 ses ist für große Abstände L = µv1 b ( gegeben als: Die kinetische Energie im Schwerpunktsystem ergibt sich zu: ~ |~r|!1 = µv1 b L (1.48 Der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem is Null. BeimDie Ü- Drehimpulserhaltung in Polarkoordinaten ergibt sich dann zu: 1 1 1 ~ Polarkoordinaten m1 (v1 vc )2 + m2 vc2 = µv12 = E0 (1.43) ergibt sich dann zu:(1.48 r|!1 = µv1 b bergang vom 2Laborsystem in2 das Schwerpunktsystem wird Die Drehimpulserhaltung inL|~ 2 2 allen die Geschwindigkeitsvektoren v c⃗ abgezogen. Der Die Drehimpulserhaltung in µv µvon bezeichnet reduzierte Masse: ˙ ( Polarkoordinaten ergibt sich dann zu: 1 b = µr2 ' µv1 b = µr '˙ (1.49 Streuprozeß im Schwerpunktsystem ist in dann m1 m2 µ= (m1 + m2 ) (1.44) man Gl. 1.49 in Gl. 1.45 ein, so 2erhält man: Setzt Setzt man Gl. 1.49 in Gl. 1.45 ein, so erhält man: µv1 b = µr '˙ (1.49 Man bekommt einen kompakten Ausdruck, der gleichbedeutend mit der Setzt man Gl. 1.49 in Gl. 1.45 ein, so erhält man: Bewegung eines einzelnen Körpers der Masse mµ und Geschwindigkeit v1 11 ist. Läßt man die Annahme fallen, dass für v2 im Laborsystem 22 v2 = 0 gilt, c A. von Keudell, Ruhr-Universität c 22 A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochu bekommt man E0 = 1 mc (v1 v2 )2 , d.h. für die kinetische Energie im Schwer- EL 1. ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG 1.3. STRUKTUR DER ATOME ~ µ~r ⇥ ~v1 = L mit ~r = ~r1 eben als: (1.47) Diese Gleichung läßt sich durch Integration auflösen. Die Integrationsgrenzen für ' sind [⇥/2,⇡/2] und für r [1, rmin ] (siehe Abb. 1.12): ~r2 . Für sehr große Abstände ist der Betrag des Drehimpulses ✓ ◆ 2 1/2 V (r) b ṙ = ±v1~ 1 |~ r|!1 = E0µv1 b r2 in Polarkoordinaund damit folgt für die L Drehimpulserhaltung ten Z (1.50) ⇡/2 d' = ⇥/2 Z d4 rmin 1 r2 ⇣ bdr 1 V (r)d4 b2 E0 R r 2 ⌘1/2 (1.53) (1.48) Das m Stoßintegral stellen einen Zusammenhang zwischen 1 Bei der des Integrals gilt es zuwas beachten, daßbestimmten diejenigen IntedemDefinition Ablenkwinkel für ein Teilchen mit einer R m1 b Vorzeichen von Gl. 4 m die Trajektorie zu berechnen, verwendet ergibt man folgende Umformung: Die Drehimpulserhaltung in Polarkoordinaten sich dann zu: Energie und grationsgrenzen 1.50 so gewählt daß als und das einem bestimmten Stoßparameter aufwerden, ein Streu- Ergebnispotential '(rmin ) = ⇡/2 bund '(1) ⇥/2 gilt. 4 bestimmter Form=trifft. m2 d'1 b = µr d'2 '1˙ µv = dr dt dr dt (1.49) (1.51) m2 Setzt man Gl. 1.49 in Gl. 1.45 ein, so erhält man: ITEL 1. ergibt ENTWICKLUNG ATOMVORSTELLUNG 1.3. STRUKTUR Dies lässt in die Energieerhaltung einsetzen und nach DER ATOME araus sich:sich DER der Geschwindigkeit umstellen wodurch man m1 4 d' vb 1 1.3. STRUKTUR DER ATOME M A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum ENTWICKLUNG DER 1.3. STRUKTUR DER (1.52) ATOME b di↵erentielle = ATOMVORSTELLUNG ± 2✓ ⇣ Abbildung 1.13: Der rWirkungsquerschnitt beschreibt die ⌘ ◆ 2 1/2 Abbildung 1.13: Der 4/2 di↵erentielle min Wirkungsquerschnitt beschreibt die dr r 2 b1/2 V (r) Streuung in einen bestimmten Raumwinkel. V (r) b v 1 m2 Streuung E0 r2 ṙ = ±v 11 (1.50)in einen bestimmten Raumwinkel. ITEL 1. ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG 1 c 1. 1 E0 r2◆ 1. ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG ✓ 1.3. STRUKTUR DER ATOME 1/2 ese Gleichung läßt sich durch Integration auflösen. Die IntegrationsVverwendet (r) b2 ◆ ✓ Um die Trajektorie ṙzu=berechnen, man 1/2 folgende Umformung: ±v 1 (1.50) 2 1 2 ] (siehe Abb. en für ' sind [⇥/2,⇡/2] und fürVrE(r) [1, r 1.12): b auftreten als kleinere. Dies ististzun ächst unabh ängigvon vonder derArt Art Wechse min auftreten als kleinere. Dies zunächst unabhängig derder Wechselr 0 ṙ = ±vTrick (1.50) MIt dem folgenden 1 1 Abbildung 1.12: Integrationsgrenzen für die Auflösung von Gl. 1.52 wirkung. zweite Termauf aufder derrechten rechten Seite Seite berücksichtigt die d wirkung. DerDer zweite Term berücksichtigthingegen hingegen d' E d'0 1 r 2 Z ⇡/2 zu berechnen, Um die Trajektorie man folgende Umformung: ✓Z rmin ◆ =verwendet (1.51) 1/2 Physik der Wechselwirkung, da der Zusammenhang zwischen b und StreuPhysik der Wechselwirkung, da der Zusammenhang zwischen b und Streu dr V (r) dt dr b2bdr db dt d' = db zu bestimmen. die Trajektorie ṙzu berechnen, verwendet man folgende Umformung: ⇣ ⌘ winkel ⇥(1.53) aus dem Stoßintegralgenutzt genutzt wird, wird, um = ±v1 1d' d' 1 V2 (r) (1.50) 1/2 winkel ⇥ aus dem Stoßintegral um zu bestimmen. d⇥ 2 d⇥ r läßt sich aus der Bedingung erschließen, daß r minimal wird amdas Ortan b ⇥/2 1 min 2 Für eine Coulomb-Wechselwirkung mit einem WechselwirE r Ein Beispiel ist die Streuung von zwei Ladungen q und QQ fürfür die Daraus ergibt sich: = r 0 dr1 (1.51) 2 Ein Beispiel ist die Streuung von zwei Ladungen q und die das a E0 r größter Annäherung bzw. aus ṙ = 0 gemäß Gl. 1.50: dr dt dt1 kungspotential einem Coloumb-Potential gilt. Mit einem Abstandsgesetz für dieses Potential d' d' einem Coloumb-Potential gilt. Mit einem Abstandsgesetz für dieses Potenti die Trajektorie zu verwendet man folgende Umformung: d'berechnen, v1 b =gilt 1zu beachten, ✓ ◆1/2 gemäß: (1.51) dr ei der Definition des Integrals es daß diejenigen InteDaraus ergibt sich: = ± dr ⇣ dt gem äß: 1 V (rmin ) (1.52) ⌘ 1 dt 1/2 2 rmin = 1 (1.54) drVorzeichen rd' V (r) 1.50 b2 so gewählt onsgrenzen das Gl. werden, daß als 1 E10 2 b d' der 1E0 Geschwindigkeit lässt und sich dann die Trajektorie über v1 von 1aus 2 V (r) = 1 1 e2 qQ (1.60) v1 b = 1gilt. r aus '(r ergibt sich: d' (1.51) bnis = ⇥/2 4⇡✏ dr min ) = ⇡/2 und 0 r e qQ V (r) = (1.60 = ±'(1) (1.52) ⇣ ⌘ dr dt dt 1/2 2 4⇡✏0 rund Q die Ladung des Atomkerns. dr sich rdurch Diese Gleichung läßt Integration V (r) 23 hierbei ist q die Ladung des Projektils b2auflösen. Die Integrationsv 1 d' vund E01r r2 1 b f1ür r [1, nzenergibt für ' sind hierbei ist(1.52) q die Ladung des Projektils und Q die Ladung des Atomkern Es ergibt sich: min ] (siehe Abb. 1.12): aus sich:[⇥/2,⇡/2] =± 2 ⇣ ⌘1/2 ergibt sich damit ein differentieller Streuquerschnitt zu rdurch ergibt sich: V (r) Diese Gleichung l äßt sich Integration aufl Integrationsb2 ösen. DieEs Z dr Z ✓ 2 ◆2 vr1min1 ⇡/2 2 E bdr d 1 e qQ 1 1 1 d' d' =vund nzen für ' sind [⇥/2,⇡/2] ] r(siehe Abb. 1.12): (1.53) 1 b für r [1,10rmin ◆ =✓ 2 / 2 4⇥ (1.61) ⇣ ⌘1/2 =± 2 ⇣ (1.52) 4 ⇥ 2 2 ⌘ d⌦ 1 4 e4⇡✏ E10 sin 12 sin 1/2 d qQ 1 2 0 µv1 V (r) b ⇥/2 1 2 2 dr r 2 se GleichungmZl1äßt sich durch Z rminIntegration b aufl2ösen. Die Integrations- = / 2 4⇥ (1.61 ⇡/2 E042 r 4 ⇥ 2 v1 1 r V1E(r) bdr d⌦ 4 4⇡✏ µv E sin sin r 0 0 berechnen 1 Diese Formel für Streuung eines Projektils der0 Ladung 2 2 q und dem ein für ' sind [⇥/2,⇡/2] d' =und fürM r [1, (1.53) ⇣ rmin ] (siehe ⌘1/2Abb. 1.12): 2 Bei der Definition des Integrals gilt es zu beachten, daß diejenigen InteV (r) nem Coloumb-Potential einer Punktladung mit Ladung Q bezeichnet man b ⇥/2 1 r2 r1min E0 aufl bsich 4/2 e Gleichung ⇡/2 läßt durch Die Diese IntegrationsFormel für Streuung eines Projektils der Ladung q und dem e Z rminIntegration r2ösen. als Rutherford-Streuung (Der Winkel ⇥ ist der Streuwinkel im SchwertionsgrenzenZund das Vorzeichen von Gl. 1.50 so gew ählt werden, daß als bdr nem Coloumb-Potential einer Punktladung mit Ladung Q bezeichnet ma f ür ' sind [⇥/2,⇡/2] und f ür r [1, r ] (siehe Abb. 1.12): Diese Formel für Streuung eines Projektils der Ladung q und min punktsystem). d' =Integrals (1.53) ebnisder '(r '(1) = gilt. Bei Definition desund gilt⇥/2 es beachten, daß diejenigen Inte⇣ zu ⌘m min ) = ⇡/2 2 als Rutherford-Streuung (Der Winkel ⇥ ist der Streuwinkel im Schwe 1/2 demArteinem Coloumb-Potential eineroftPunktladung La- auch Diese der Streuung tritt in der Natur auf und wirdmit deshalb V (r) b2 ählt werden, daß ⇥/2 das Vorzeichen 1 2 Gl. Z tionsgrenzenZ und von 1.50 so gew als r 1 ⇡/2 rmin 2 punktsystem). dung Q bezeichnet maninals (Der Winkel E0 r für zahlreiche Anwendungen derRutherford-Streuung Technik genutzt. Betrachtet man zum bdr ebnis '(rmin ) = ⇡/2 gilt. d' und = '(1) = ⇥/2 (1.53) Diese Art der Streuung tritt in der Natur oft auf und wird deshalb auc der Streuwinkel im Schwerpunktsystem). θ ist Beispiel schnelle geladene Teilchen, die in ein Material eindringen, so hat ⇣ ⌘1/2 2 der Definition des Integrals gilt es zu beachten, daß diejenigen InteV (r) b ⇥/2 1 für zahlreiche Anwendungen in der Technik genutzt. Betrachtet man zum r2 1 2 E r 0 sgrenzen und das Vorzeichen von Gl. 1.50 so gewähltBeispiel werden, daß Art als geladene Teilchen, ein oft Material 25 schnelle Diese der Streuung tritt indie derinNatur auf undeindringen, wird des- so ha Abbildung 1.12: m1 Integrationsgrenzen für die Auflösung von Gl. 1.52 is '(r '(1) = gilt.beachten, halbInteauch für zahlreiche Anwendungen in der Technik geder Definition desund Integrals gilt⇥/2 es zu daß diejenigen min ) = ⇡/2 4 Betrachtet man zum Beispiel schnelle geladene Teil- Bochu M c 25 A. von Keudell, Ruhr-Universität rmin lässt Derund minimale Abstand der Stoßpartner sich berechgrenzen das Vorzeichen von Gl. 1.50 so gew ählt werden,nutzt. daß als b r m min 1 chen, die in ein Material eindringen, so hat die Trajektorie ei4/2 nen, wenn man erkennt, dass fürgilt. diesen Abstand die Ge4 daß s '(r ) = ⇡/2 und '(1) = ⇥/2 min l äßt sich aus der Bedingung erschließen, r minimal wird am Ort min ne sehr charakteristische Form: beim Eindringen selbst haschwindigkeit r· = 0 wird. M m2 er Annäherung bzw. ṙ = 0 gemrmin äß Gl. 1.50: ben diese Teilchen eine sehr hohe Energie; wegen der 1/E02b aus 4/2 c A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum c A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum Abhängigkeit ist der Wirkungsquerschnitt zunächst und die Ablenkung der Teilchen damit klein - die Trajektorie ist sehr 1 V (rmin )4 1 r = 1 (1.54) Wenn die Teilchen weiter in das Material eindrinminATOMVORSTELLUNG EL 1. ENTWICKLUNG DER 1.3. STRUKTUR DERgeradlinig. ATOME M b E 0 Abbildung 1.12: b Integrationsgrenzen rminfür die Auflösung von Gl. 1.52gen werden sie langsamer, womit aber auch der Wirkungsm1 4/2 4 querschnitt sehr stark ansteigt. Dadurch werden die Teilchen m M ält c Aufl A. ösung von Keudell, Bochum 1.12: Integrationsgrenzen fsogenannte ür die Gl. 1.52 immer 2vonRuhr-Universität t Abbildung diesen Integrationsgrenzen erh schließlich den Streuwinkel imstärker gestreut und verlieren dabei umso mehr kinetiDaraus erhält man letztendlich dasman Stoßintegral, b r sche rmin läßt sich aus der Bedingung erschließen, daß r minimal wird am OrtEnergie. Nachdem dieser Zusammenhang stark nicht-limin dass den Ablenkwinkel rpunktsystem ⇥ als: 4/2 des Stoßobjektes angibt. near ist (nämlich 1/E02 ) werden schnelle Teilchen in einem ßter Annäherung bzw. aus ṙ = 0 gemäß Gl. 1.50: m2 Z 1✓ erschließen,◆daß r minimal wird amMaterial rmin läßt sich aus der Bedingung Ort in einem relativ genau definierten Tiefenbereich sehr dr 1/2 stark abgebremst und somit dort deponiert. Man spricht von Väß (rmin ⇥= ⇡r aus (1.55) ßter Annäherung bzw. = 01gem Gl.)1.50: i1/2 1 2b ṙ 1 h = (1.54) bbildung 1.12: Integrationsgrenzen für die Aufl min Implantation. Diese Art der Wechselwirkung wird in der Halbb2 ösung von Gl. 1.52 rbmin 2 E V (r) m1 ✓ ◆1/2 m2 ✓ r 1 0 E0◆1/2 r2 1 V (rmin ) 1 rmin = 1 (1.54) bbildung 1.12:man Integrationsgrenzen für die Aufl von Gl. 1.52 b E es bezeichnet als Stoßintegral. gegebenem Stoßparameter c A. von ösung Keudell, Ruhr-Universität Bochum 0 Bei läßt sich aus der Bedingung erschließen, daß rman minimal wird am Ort Abstandsabh ängigkeit des Potentials V (r) kann den Streuwinkel Annäherung bzw. aus ṙ = 0 gemäß Gl.c 1.50: A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum hnen. läßt sich aus der Bedingung r minimal wird am Ort ✓ erschließen,◆daß 1/2 12 e sehr hohe Energie; wegen der 1/E0 -Abhängigkeit ist homogenen Ladungsverteilung. nitt zunächst und die Ablenkung der Teilchen damit eine sehr charakteristische Form: Eindringen selbst haNG DER ATOMVORSTELLUNG 1.3. beim STRUKTUR DER ATOME eenisteine sehr geradlinig. Wennwegen die Teilchen in das ist 2 sehr hohe Energie; der 1/Eweiter -Abhängigkeit 0 werden sie zunächst langsamer,und womit aber auch der uerschnitt die Ablenkung derWirkungsTeilchen damit p ansteigt. werden die Teilchen immer stärker ehr charakteristische Form: Wenn beim Eindringen selbst ha-in das ektorie ist Dadurch sehr geradlinig. die Teilchen weiter p 2 R2 b2 Ze2 y dabei umso mehr kinetische Energie. 2 Nachdem dieser tan ⇥ = = b (1.65) ne sehr hohe Energie; wegen womit der 1/E ist ngen werden sie langsamer, aber auch der Wirkungs0 -Abhängigkeit 2 px mv02 4⇡✏0 R3 nicht-linear ist (nämlich 1/E ) werden schnelle Teil0in die leiterindustrie der Medizintechnik ausgenutzt (z.B. Der mittlere Winkel ergibt sich durch Integration ü̈ ber alle nitt und die sowie Ablenkung der Teilchen damit starkzunächst ansteigt. Dadurch werden Teilchen immer stärker al in einem relativ genau definierten Tiefenbereich sehr Der mittlere Winkel ergibt sich durch Integration über alle möglichen Stoße ist sehr geradlinig. Wenn die Teilchen weiter inProtonenstrahlen). dasdieser lokale Behandlung von Tumoren mittels möglichen Stoßparameter: rlieren dabei umso mehr kinetische Energie. Nachdem somitnicht-linear dortlangsamer, deponiert. Man spricht Implantatiparameter: 2vonder werden sie aber auch Wirkungsstark ist womit (nämlich 1/E schnelle Teil0 ) werden echselwirkung wird in der Halbleiterindustrie sowie in Z R k ansteigt. Dadurch werden diedefinierten Teilchen immer stärker sehr Material in einem relativ genau Tiefenbereich Atom-Modelle 2⇡b sgenutzt (z.B. lokale Behandlung von Tumoren mittels nstdabei umso dort mehrdeponiert. kinetische Man Energie. Nachdem dieser und somit spricht von Implantatih⇥i = ⇥(b) 2 db (1.66) ⇡R 2 b=0 ist (nämlich werden schnelle Teilernicht-linear Wechselwirkung wird in1/E der0 )Halbleiterindustrie sowie in Betrachten wir zwei Grenzfälle inneren Struktur eines Aal einem relativ genau definierten Tiefenbereich sehr nikinausgenutzt (z.B. lokale Behandlung vonzur Tumoren mittels Ze2 toms: eine homogene Verteilung der positiven und negativen h⇥i = (1.67) n).somit dort deponiert. Man spricht von Implantatidodelle 4✏0 Rmv02 Ladungsträger (Thomson-Modell) eine echselwirkung wird in der Halbleiterindustrieund sowie in Konzentrierung Grenzfälle zur inneren Struktur eines Atoms: eine hopositiven Ladung auf Atomkern usgenutztder (z.B. lokale Behandlung von einen Tumoren mittels (Rutherford-Mo-Rutherford-Modell m-Modelle r positiven und negativen Ladungsträger (Thomsondell). b) Rutherford Modell nzentrierung der zur positiven Ladung auf eines einen Atoms: Atomkern Beim Rutherford-Modell benutztbenutzt man direkt Formel die Streuung zwei Grenzfälle inneren Struktur eine hoBeim Rutherford-Modell man die direkt die für Formel fü̈ r l). an einer Punktladung. Dieses Model ist in guter Übereinstimmung mit den ng der positiven und negativen Ladungsträger (Thomsondie Streuung an einer Punktladung. Dieses Model ist in guter a) Thomson-Modell odelle Streuexperimenten (siehe Abb. 1.15). Erst bei sehr kleinen Stoßparametern, ne Konzentrierung der positiven Ladung auf einen homogenen Atomkern LadungsÜ̈ bereinstimmung mit den Streuexperimenten. Erst bei sehr Zur Betrachtung der Streuung an einer bzw. großen Streuwinkeln, ist ein kleine Abweichung von Gl. 1.61 beobachtModell). Grenzfälle zur inneren Struktur eines Atoms: eine hokleinen Stoßparametern, bzw. großen Streuwinkeln, ist ein verteilung betrachten wir das elektrische Feld in einer homobar. Rutherford schloss daraus, daß die positive Ladung im Kern lokalisiert erStreuung positiven negativen Ladungsträger Abweichung beobachtbar. Rutherford schloss daraus, anund einer homogenen Ladungsverteilung gen positiv geladenen Kugel mit(ThomsonRadius beR, wie in Abb. 1.14 ist, derkleine allerdings eine endliche Ausdehnung hat, was an der Abweichung bei nzentrierung der positiven Ladung auf einen Atomkern dell rische Feld in einer geladenen Kugel die positive Ladung im Kern lokalisiertgibt ist, Gl. der 1.61 allerdings gezeigt. Diehomogen negativepositiv Ladung der Elektronen wird hier ver-⇥ = ⇡daß sichtbar wird (bei Streuung an Elektronen die Experill). Abb. gezeigt. negative Ladung der Elektronen Ausdehnung hat, Kernradius was an derskaliert Abweichung bei nachlä̈ ssigt, da sie wegen des großen Massenunterschiedes g der 1.14 Streuung anDie einer homogenen Ladungsverteilung bemente eine bis zuendliche b = 0 richtig wieder). Der wie: 1/3 Rutherford‘s experiments gt, da sie wegen des großen Massenunterschiedes kaum θ = π sichtbar wird. Der Kernradius skaliert wie rKern = r0 A kaum zurin Ablenkung beitragen. s elektrische Feld einer homogen positiv geladenen Kugel gen. wie in Abb. 1.14 gezeigt. Die negative Ladung der Elektronen rKern = r0 A1/3 (1.68) hlässigt, da sie wegen des großen Massenunterschiedes kaum Streuung an einer Ladungsverteilung beZe homogenen r 72 2. Entwicklung der Atomvorstellung ~ =in einer no E r̂ beitragen. trische Feld homogen positiv geladenen (1.62) Kugel 3 4⇡✏0 R c 27 A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum Abb. 1.14 gezeigt. Die negative Ladung der Elektronen dσ Ze r ung ändert sichE Durchdringen der Kugel in kaum einer(1.62) ~beim •l gt, da sie wegen des Massenunterschiedes dΩ = großen r̂ Ekin = 5 MeV 3 4⇡✏ R rag p . 0 Eα = 5 M eV ändert sich beim Durchdringen der gen. y Der Impuls in y-Richtung Z -Richtung ändert sich beim Durchdringen der Kugel in einer Kugel in einer Zeit 2 Ze b Δt um einen Betrag py . Ze r Thomson n Betrag p . • dif py = E t (1.63) ~yF=y dt ' r̂ (1.62) 3 0 R3 4⇡✏ 10 MeV 4⇡✏ R d Z 0 2 4 Ze b halb der Kugel hängt vom Stoßparameter b ab: 10 30 MeV tung ändert sich beim Durchdringen py = Fy dt ' t der Kugel in einer(1.63) 3 50 MeV 4⇡✏ R 0 rag py . p • no = 2Kugel R2 hängt b2 innerhalbdZder vom Stoßparameter b(1.64) ab: 2 Ze b 3 a) Winkel der FAblenkung: py =Die t (1.63)vom Stoßparame-10 Wegstrecke innerhalb der Kugel hängt y dt ' p 3 2 2 d = 24⇡✏R0 R DER b ATOMVORSTELLUNG (1.64) KAPITEL 1. ENTWICKLUNG 1.3. STRUKTUR DER ATOME 1000 ter b ab: „This is halb der Kugel hängt vom Stoßparameter b ab: an als Winkel der Ablenkung: being c A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum 2 p shootin 10 100 d = 2 R 2 b2 (1.64) 1.5.1.Thomson‘s mode Rutherford c A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum Winkel der KAPITEL 1. Ablenkung: ENTWICKLUNG DER ATOMVORSTELLUNG 1.3. STRUKTUR DER ATOME Q=+Ze Damit erhält man als Winkel der Ablenkung: 10 R b px c A. von Keudell, Ruhr-Universität Bochum r py ϑ 2 1.5.2. Rutherford‘s model d='tv r 0 px 10 mit A der Zahl der Nukleonen im Kern r0 = 1.3 ⋅ 10−15 m. 40 deviations from Rutherford‘s formula at high energies 80 120 160 deviations at large scattering angles ϑ /° Abb. 2.91. Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen Rutherfords (Kreise), dem berechneten Wirkungsquerschnitt für Coulombstreuung und dem Streuquerschnitt des Thomson-Modells R px 1 sin4 px Q=+Ze b ∝ Wirkungsquerschnitt für 60°-Streuung (Rel. Einheiten) Rutherford Streuung py Abbildung 1.14: Nach dem Thomson-Modell bestehe ein Atom aus einer homogenen Ladungsverteilung. d='tv0 Aus dieser Abweichung der gemessenen Streuverteilung von (2.129) kann der Radius rK des Atomkerns p Abbildung 1.14: Nach dem Thomson-Modell bestehe ein Atom aus einer 2 2 2 abgeschätzt werden. py 2 R b Ze homogenen Ladungsverteilung. tan ⇥ = = b (1.65) Man erhält Werte von px mv02 4⇡✏0 R3 Der mittlere Winkel ergibt sich durch Integration über alle möglichen StoßrK ≈ r0 · A1/3 , parameter: p py Z R2 R2 b2 Ze2 2⇡b tan ⇥ = = b (1.65) h⇥ip= ⇥(b) db 0 R3 (1.66) mv02 2 4⇡✏ x ⇡R b=0 Der mittlere Winkel ergibt sich durch Integration über alle möglichen StoßZe2 parameter: h⇥i = (1.67) 2 Z R4✏0 Rmv0 ZUSAMMENFASSUNG (2.130) b) 1 ϑ = 60° 10 15 20 25 30 35 40 Eα /MeV Abb. 2.92. (a) Bahn von a Teilchen für ϑ = 60◦ und (b) Abweichung vom Coulo bei höheren Energien E kin Teilchenenergie für ϑ > 100◦ wobei A die Massenzah r0 ≈ 1,3 · 10−15 m ist. Da macht demnach nur den B Atomvolumens aus. 13 Kontrollfragen A.1 Kapitel 1: Entwicklung der Atomvorstellung • Was ist die atomare Masseneinheit und wie wird sie bestimmt? • Beschreiben sie den Millikan-Versuch • Was ist der Unterschied zwischen totalem und differentiellen Wirkungsquerschnitt ? • Wie ist die Verknüpfung zwischen Streuexperiment und Wechselwirkungspotential ? • Wie skaliert die Rutherford-Streuformel mit der Energie des Projektils und dem Streuwinkel ? • Wie unterscheidet sich bei der Streuung das Laborsystem vom Schwerpunktsystem? Weiterführende Fragen zum Selbststudium und zur Wiederholung: • Wie kann man freie Elektronen erzeugen? • Wie kann man Ionen erzeugen? • Von welchen Parametern hängt die Bewegung von Ladungen im Magnetfeld ab? • Von welchen Parametern hängt die Bewegung von Ladungen im elektrischen Feld ab? Interessante Themen • Elektronenoptik (Demtröder) 14 2 Einführung in die Quantenmechanik Wellenfunktion (Wdh Interferenz) Ununterscheidbarkeit Messprozess Quanteninterferenz Schrödinger-Gleichung Anwendungen Freie Teilchen .Potentialstufe 2.3.3.Tunneleffekt 2.3.4.Kastenpotential 2.3.5.harmonischer Oszillator 2.3.6.kugelsymmetrische Probleme Operatoren 2.4.1.Erwartungswerte 2.4.2.Eigenwerte 2.4.3.Vertauschungsrelation 15 3 Das Wasserstoffatom 3.Das Wasserstoffatom 3.1.Wellenfunktion des H-Atoms 3.2.H-Atom im Magnetfeld 3.2.1.Zeeman-Effekt 3.2.2.Elektronenspin 3.2.3.Feinstruktur 3.2.4.Anomaler Zeeman-Effekt 3.3.Hyperfeinstruktur 3.4.Lamb-Verschiebung 3.4.1.Vakuumfluktuationen 3.4.2.Casimireffekt 16 17 4 Atome mit mehreren Elektronen 4.Atome mit mehreren Elektronen 4.1.Pauli-Prinzip 4.1.1.Fermionen und Bosonen 4.1.2.Symmetrie der Wellenfunktion 4.2.Helium Atom 4.3.Drehimpulskopplung 4.3.1.LS-Kopplung 4.3.2.jj-Kopplung 4.4.Besetzungsregeln 4.4.1.Hundsche Regeln 4.4.2.Periodensystem 18 19 5 Kopplung zwischen Atomen und em-Strahlung 5.Kopplung zwischen Atomen und em-Strahlung 5.1.Einstein Koeffizienten, Matrixelemente 5.2.elektrische Dipolstrahlung 5.3.Auswahlregeln 5.3.1.Magnetquantenzahl 5.3.2.Bahndrehimpuls 5.3.3.Spin 5.3.4.Gesamtdrehimpuls 5.4.Linienbreiten 5.4.1.Lebensdauer Verbreiterung 5.4.2.Doppler Verbreiterung 5.4.3.homogene ud inhomogene Linienbreite 5.5.Röntgenstrahlen 5.6.Laser 20 21 6 Grundlagen der Quantenstatistik 6.Grundlagen der Quantenstatistik 6.1.Boltzmann-, Fermi-Dirac-, BoseEinstein-Statistik, 6.2.Bose-Einstein-Kondensation 6.3.Superfluidität 6.4.ultrakalte Quantengase 22 23 24 Avogadro-Konstanten Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusm incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, trud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo conseq Related Glossary Terms Drag related terms here Index Find Term Chapter 1 - Entwicklung der Atomvorstellung Boltzmannkonstante Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Related Glossary Terms Drag related terms here Index Find Term Chapter 1 - Entwicklung der Atomvorstellung Gaskonstante Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusm incididunt ut labore et dolore magna aliqua. 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