Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen

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Schuljahr 2016/2017
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
Inhaltsverzeichnis
Polynomgleichungen und -ungleichungen ......................................................................................... 1
Bruch-, Wurzel- und Betragsgleichungen und –ungleichungen ........................................................ 6
Für Experten ....................................................................................................................................... 8
Polynomgleichungen und -ungleichungen
Definition: Ein Term der Form
an x n + an −1 x n −1 +  + a1 x + a0
( n ∈ ; a0 , a1 ,  , an ∈  )
heißt ein Polynom. Ist an ≠ 0 , dann heißt n der Grad des Polynoms. Ist an = 1 , dann heißt das
Polynom normiert. Eine reelle Zahl x0 heißt eine Nullstelle des Polynoms, wenn p ( x0 ) = 0 ist.
Polynomdivision:
Feststellung (Division eines Polynoms durch einen Linearfaktor): Ist p ( x ) ein Polynom und x0
eine reelle Zahl, dann gibt es ein (eindeutig bestimmtes) Polynom q ( x ) mit
p ( x ) =( x − x0 ) ⋅ q ( x ) + p ( x0 ) .
Beispiel: Die Polynomdivision
(x
3
− 2 x 2 + 1) : ( x − 3)
ergibt
(x
Also ist
3
(x
3
− 2 x 2 + 1) : ( x − 3) = x 2 + x + 3 +
− 2 x 2 + 1) =
10
.
x−3
( x − 3) ⋅ ( x 2 + x + 3) + 10 .
Der Rest 10 ist der Wert des Polynoms p ( x ) =x3 − 2 x 2 + 1 an der Stelle x0 = 3 .
Folgerung (Abspaltung eines Linearfaktors): Von einem Polynom p ( x ) lässt sich genau dann ein
Linearfaktor x − x0 abspalten, d. h. es gibt ein Polynom q ( x ) mit
p ( x ) =( x − x0 ) ⋅ q ( x ) ,
wenn x0 eine Nullstelle von p ( x ) ist.
Beispiel: ( x3 − 2 x 2 + 1) : ( x − 1) = x 2 − x − 1
Die Polynomdivision geht auf, weil x0 = 1 eine Nullstelle des Polynoms p ( x ) =x3 − 2 x 2 + 1 ist.
Merke: Eine Polynomdivision p ( x ) : ( x − x0 ) geht genau dann auf, wenn x0 eine Nullstelle von
p ( x ) ist.
Satz: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
Beweis: Zu jeder Nullstelle gehört ein Linearfaktor, und man kann von einem Polynom vom Grad n
höchstens n Linearfaktoren abspalten.
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Für Experten: Man kann ein Polynom vom Grad n durch ein beliebiges Polynom vom Grad
höchstens n dividieren.
Lösungsformeln für Gleichungen n-ten Grades:
• Fall n = 1 : Eine lineare Gleichung
a1 x + a0 =
0 ( a1 ≠ 0 ) bzw. mx + c =
0 ( m ≠ 0)
c
.
m
Fall n = 2 : Eine quadratische Gleichung
a2 x 2 + a1 x + a0 =
0 bzw. ax 2 + bx + c =
0
bzw. (nach Division beider Seiten durch a) eine normierte quadratische Gleichung
x 2 + px + q =
0
hat zwei, genau eine oder keine Lösung, nämlich
hat genau eine Lösung, nämlich x = −
•
2
•
•
p
 p
x1, 2 =
− ±   −q .
2
2
Hinweis: Rechne mit Brüchen und nicht mit Dezimalzahlen.
Bemerkung: Hat eine normierte quadratische Gleichung ganzzahlige Koeffizienten, dann
kann man die Nullstellen häufig raten, wenn diese ganzzahlig sind (was man allerdings im
Voraus nicht weiß), siehe unten.
Fall n = 3 und n = 4 : Es gibt (komplizierte) Lösungsformeln.
Fall n ≥ 5 : Es kann keine (allgemeine) Lösungsformel geben.
Sonderfälle von Gleichungen n-ten Grades:
1. Potenzgleichungen: x n = a
Fall a > 0 :
Unterfall n gerade: x = ± n a
Unterfall n ungerade: x = n a
Fall a = 0 : x = 0
Fall a < 0 :
Unterfall n gerade: Die Gleichung hat keine Lösung.
Unterfall n ungerade: x = − n a
Bemerkung: Die Schreibweise x= n −a wäre mathematisch nicht korrekt.
2. Gleichungen, in denen die Variable nur einmal auftritt: Isoliere die Variable „von außen
nach innen“.
Beispiel:
2 ( x − 3) − 10 =
0
4
2 ( x − 3) =
10
4
( x − 3)
4
5
=
x − 3 =± 4 5
x= 3 ± 4 5
Achtung: Nicht ausmultiplizieren!
3. Nullprodukt-Gleichungen: Einer der Faktoren muss 0 sein.
Achtung: Nicht ausmultiplizieren!
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4. Gleichungen, die durch Ausklammern zu Nullprodukt-Gleichungen werden: Wenn die linke
Seite eine Summe bzw. Differenz ist und in jedem Summanden derselbe Teilterm auftritt:
Klammere den Teilterm aus. Dann erhält man eine Nullprodukt-Gleichung.
Beispiel:
2 x 4 + 5 x3 − 3x 2 =
0
x 2 ⋅ ( 2 x 2 + 5 x − 3) =
0
Achtung: Nicht durch x oder durch x 2 dividieren!
5. Gleichungen, die durch Substitution zu einer quadratischen Gleichung werden: Wenn die
linke Seite aus drei Summanden besteht und in zwei dieser Summanden Teilterme auftreten,
wobei ein Teilterm das Quadrat des anderen Teilterms ist: Substituiere den Teilterm. Dann
erhält man eine quadratische Gleichung.
Beispiel:
3x 4 − 2 x 2 − 1 =
0
2
Substituiere x = z .
Allgemeiner Fall von Gleichungen n-ten Grades:
Feststellung: Ein Polynom ungeraden Grades hat (mindestens) eine Nullstelle.
Beweis: Eine ganzrationale Funktion f ungeraden Grades:
f ( x )= an x n + an −1 x n −1 +  + a1 x + a0 ( an ≠ 0 )
verhält sich für x → ∞ und für x → −∞ wie die Funktion x  an x n , d. h.
• im Fall an > 0 gilt:
Für x → ∞ strebt f ( x ) → ∞ , und für x → −∞ strebt f ( x ) → −∞ ;
• im Fall an < 0 gilt das Umgekehrte.
Also hat der Graph von f (mindestens) einen Punkt mit der x-Achse gemeinsam.
Für Experten: Streng genommen fehlen in diesem Beweis zwei Überlegungen:
1. Ganzrationale Funktionen sind stetig.
2. Der Nullstellensatz für stetige Funktionen.
Bemerkung: Ein Polynom geraden Grades braucht keine Nullstelle zu haben, zum Beispiel das
Polynom p ( x=
) x2 + 1 .
Die einzige Möglichkeit, eine exakte Lösung zu finden, ist raten. Der folgende Satz schränkt die
möglichen Lösungen in vielen Fällen etwas ein:
Feststellung (ohne Beweis): Sind bei einem normierten Polynom
p ( x ) = x n + an −1 x n −1 +  + a1 x + a0
alle Koeffizienten a0 , a1 ,  an −1 ganzzahlig, dann gilt für eine rationale Nullstelle: Die Nullstelle ist
ganzzahlig und ein Teiler des konstanten Koeffizienten a0 .
Beispiel: Die Gleichung x3 + 2 x 2 + 7 x + 6 =
0 hat als mögliche rationale Lösungen ±1 , ±2 , ±3
und ±6 .
Achtung: Die Feststellung besagt nicht, dass eine dieser Zahlen tatsächlich eine Lösung ist!
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Hat man durch Raten eine Lösung x1 einer Polynomgleichung
p ( x) = 0
gefunden, dann ergibt eine Polynomdivision
p ( x ) : ( x − x1 ) =
q ( x) .
Die weiteren Nullstellen von p ( x ) (falls vorhanden) sind die Nullstellen des Polynoms q ( x ) .
Linearfaktorzerlegung quadratischer Polynome:
Hat ein normiertes quadratisches Polynom x 2 + px + q
a) zwei verschiedene Nullstellen x1 und x2 , dann ist x 2 + px + q =
( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) ;
b) genau eine Nullstelle x1 , dann ist x 2 + px + q = ( x − x1 ) ;
c) keine Nullstelle, dann lässt es sich nicht in Linearfaktoren zerlegen.
2
Hat ein normiertes quadratisches Polynom ganzzahlige Koeffizienten, dann kann man die
Nullstellen (und damit die Linearfaktorzerlegung) häufig raten, wenn das Polynom ganzzahlige
Nullstellen hat (was man allerdings im Voraus nicht weiß). Aus
x 2 + px + q = ( x − x1 )( x − x2 ) = x 2 − x ⋅ x2 − x1 ⋅ x + x1 x2 = x 2 − ( x1 + x2 ) + x1 x2
folgt: Das Produkt der Nullstellen ist der konstante Koeffizient q, und die Summe der Nullstellen ist
das Negative des Koeffizienten p .
Beispiel: x 2 + 4 x + 3
Das Produkt der Nullstellen ist 3. Also sind die Nullstellen ±1 und ±3 .
Die Summe der Nullstellen ist –4.
Also hat das Polynom die Nullstellen –1 und –3.
Also hat das Polynom die Linearfaktorzerlegung x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1) ⋅ ( x + 3) .
Linearfaktorzerlegung beliebiger Polynome:
1. Wenn das Polynom nicht normiert ist, dann klammert man den führenden Koeffizienten aus
und zerlegt das restliche (normierte) Polynom in Linearfaktoren. Die sich ergebende
Zerlegung muss dann mit dem ausgeklammerten Koeffizienten multipliziert werden.
2. Falls möglich: Klammere x oder eine x-Potenz aus.
3. Falls möglich: Faktorisiere mithilfe der dritten binomischen Formel.
4. Bestimme eine Nullstelle und mache Polynomdivision.
Sonderfälle von Ungleichungen n-ten Grades:
1. „Potenzungleichungen“: x n > a bzw. x n ≥ a bzw. x n < a bzw. x n ≤ a
Ist n gerade und a > 0 , dann hat
die Ungleichung x n > a die Lösung x < − n a oder x > n a ;
die Ungleichung x n < a die Lösung − n a < x < n a .
Ist n ungerade und a > 0 , dann hat die Ungleichung x n > a bzw. x n < a die Lösung
x > n a bzw. x < n a :
ist n ungerade und a < 0 , dann hat die Ungleichung x n > a bzw. x n < a die Lösung
x > − n a bzw. x < − n a .
2. Lineare Ungleichungen: mx + c > 0 bzw. mx + c < 0 : klar
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3. Quadratische Ungleichungen: x 2 + px + q > 0 bzw. x 2 + px + q < 0
Bestimme die Nullstellen der linken Seite der Ungleichung (durch Raten der Linearfaktorzerlegung oder mithilfe der p-q-Formel).
Der wichtigste Fall ist, dass es zwei verschiedene Nullstellen x1 und x2 gibt.
Der Graph der Funktion x  x 2 + px + q ist ein nach oben geöffnete Parabel:
x1
x2
x
Man kann die Lösungsmenge der Ungleichung ablesen:
• Die Ungleichung x 2 + px + q > 0 hat die Lösungsmenge L =
( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; ∞ ) ;
• Die Ungleichung x 2 + px + q < 0 hat die Lösungsmenge L = ( x1 ; x2 ) .
Bemerkung: Man kann die Lösungsmenge einer Ungleichung ( x − x1 )( x − x2 ) > 0 bzw.
( x − x1 )( x − x2 ) < 0 auch dadurch bestimmen, dass man überlegt, für welche Werte von x
beide Linearfaktoren dasselbe Vorzeichen haben (und das Produkt positiv ist) bzw. beide
Linearfaktoren verschiedene Vorzeichen haben (und das Produkt negativ ist). Davon ist
abzuraten, weil es sehr fehleranfällig ist!
Allgemeiner Fall von Ungleichungen n-ten Grades:
Definition: Ist die reelle Zahl x0 eine Nullstelle des Polynoms p ( x ) , dann gibt es eine eindeutig
bestimmte natürliche Zahl n ≥ 1 und ein (eindeutig bestimmtes) Polynom q ( x ) mit der Eigenschaft
p ( x) =
( x − x0 ) ⋅ q ( x ) und q ( x0 ) ≠ 0 .
n
Die Zahl n heißt die Vielfachheit der Nullstelle x0 .
Die Vielfachheit n einer Nullstelle x0 gibt also an, wie oft man den Linearfaktor ( x − x0 ) abspalten
kann.
Feststellung (Beweis siehe „Für Experten“): Ist die reelle Zahl x0 eine Nullstelle des Polynoms
p ( x ) , dann hat p ( x ) an der Stelle x0 genau dann einen VZW, wenn die Vielfachheit von x0
ungerade ist.
Lösungsverfahren für Polynomungleichungen:
Gegeben ist eine Ungleichung
p ( x ) ≥ 0 bzw. p ( x ) ≤ 0 bzw.
p ( x ) > 0 bzw.
p ( x) < 0
mit einem Polynom p ( x ) .
1. Zerlege das Polynom p ( x ) so weit wie möglich in Linearfaktoren.
2. Notiere die Nullstellen des Polynoms p ( x ) mit Vielfachheit und notiere, ob es Nullstellen
mit oder ohne VZW sind. Dadurch erhält man die Intervalle, in denen p ( x ) einheitliches
Vorzeichen hat.
3. Bestimme das Vorzeichen von p ( x ) in einem dieser Intervalle. Am einfachsten ist, man
überlegt das Verhalten der Funktion x  p ( x ) für x → ∞ .
4. Skizziere grob (!) den Graphen der Funktion x  p ( x ) . Jetzt kann man die Lösungsmenge
der Ungleichung ablesen.
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Bruch-, Wurzel- und Betragsgleichungen und -ungleichungen
Bruchgleichungen:
1. Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Das sind alle reellen Zahlen, für die
kein Nenner 0 ist.
2. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner bzw. Hauptnenner.
3. Löse die entstehende Gleichung.
4. Prüfe, ob die Lösungen in der Definitionsmenge enthalten sind.
Bruchungleichungen:
1. Mache eine Fallunterscheidung, ob der Nenner bzw. Hauptnenner positiv oder negativ ist.
Forme die entsprechende Ungleichung jeweils so um, dass ersichtlich ist, für welche Werte
der Variablen welcher Fall eintritt.
2. Im Fall, dass der Nenner bzw. Hauptnenner positiv ist:
Multipliziere beide Seiten der Ungleichung mit dem Nenner bzw. Hauptnenner und löse die
entstehende Gleichung.
Bestimme die Teilmenge L1 der Lösungsmenge aus
• der Lösung der Ungleichung und
• der Bedingung an die Variable, dass der betrachtete Fall eintritt.
3. Im Fall, dass der Nenner bzw. Hauptnenner negativ ist:
Beim Multiplizieren beider Seiten der Gleichung mit dem Nenner bzw. Hauptnenner kehrt
sich das Ungleichheitszeichen um. Die Lösung der entstehenden Ungleichung verläuft
analog.
Bestimme die Teilmenge L 2 der Lösung für den betrachteten Fall.
4. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist die Vereinigungsmenge L1 ∪ L 2 .
Wurzelgleichungen:
Wir setzen voraus, dass höchstens zwei Wurzeln auftreten.
1. Bestimme die Definitionsmenge der Wurzelgleichung. Das sind alle reellen Zahlen, für die
kein Radikand negativ ist.
2. Isoliere die Wurzel bzw. eine Wurzel.
3. Quadriere beide Seiten der Gleichung.
4. Falls die entstehende Gleichung noch eine Wurzel enthält: Isoliere die Wurzel und quadriere
erneut.
5. Löse die entstehende Gleichung.
6. Mache mit den Lösungen die Probe in der Ausgangsgleichung.
Die Probe ist immer erforderlich, wenn nicht sicher ist, ob vor dem Quadrieren beide Seiten der
Gleichung nichtnegativ sind. Im Zweifelsfall macht man immer die Probe.
Feststellung: Quadrieren beider Seiten einer Gleichung bzw. Ungleichung ist im Allgemeinen nur
dann eine Äquivalenzumformung, wenn beide Seiten der Gleichung bzw. Ungleichung nichtnegativ
sind.
Beweis: Die Funktion x  x 2 ist für x ≥ 0 streng monoton wachsend.
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Wurzelungleichungen:
Wir setzen voraus, dass höchstens eine Wurzel auftritt.
1. Bestimme die Definitionsmenge der Wurzelungleichung. Das sind alle reellen Zahlen, für
die der Radikand nichtnegativ ist.
2. Isoliere die Wurzel. Dann gibt es u. a. folgende Fälle:
•
 ≥ a oder  ≤ a mit einer reellen Zahl a ≥ 0 : Quadriere beide Seiten der
Ungleichung und löse die entstehende Ungleichung. Daraus und aus der Definitionsmenge ergibt sich die Lösungsmenge.
•
 ≥ a mit einer reellen Zahl a < 0 : Die Lösungsmenge ist gleich der Definitionsmenge.
•
 ≤ a mit einer reellen Zahl a < 0 : Die Lösungsmenge ist leer.
•
 ≥ Term oder  ≤ Term : Mache eine Fallunterscheidung, ob der Term positiv
oder negativ ist. Forme die entsprechende Ungleichung jeweils so um, dass
ersichtlich ist, für welche Werte der Variablen welcher Fall eintritt.
Im Fall, dass der Term positiv ist, quadriere beide Seiten der Ungleichung und löse
die entstehende Ungleichung. Bestimme die Teilmenge L1 der Lösungsmenge aus
• der Lösung der Ungleichung und
• der Bedingung an die Variable, dass der betrachtete Fall eintritt, und
• der Definitionsmenge.
Im Fall, dass der Term negativ ist, ist die Lösungsmenge entweder leer oder gleich
der Definitionsmenge.
Definition:
1. Für zwei reelle Zahlen a und b heißt die Zahl
1
( a + b ) das arithmetische Mittel von a und
2
b.
2. Für zwei reelle Zahlen a ≥ 0 und b ≥ 0 heißt die Zahl
und b.
3. Für zwei reelle Zahlen a > 0 und b > 0 heißt die Zahl
ab das geometrische Mittel von a
2
1 1
+
a b
das harmonische Mittel von a
und b.
Die Mittelwerte können auch für mehr als zwei Zahlen definiert werden, siehe „Für Experten“.
Satz (Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel): Für alle reellen Zahlen a, b ≥ 0
gilt
1
( a + b ) ≥ ab ,
2
und Gleichheit gilt genau dann, wenn a = b ist.
Beweis:
⇔
1
( a + b ) ≥ ab
2
a + b ≥ 2 ab
⇔
a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab
⇔
a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0
⇔
(a − b)
2
≥0
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Die letzte Ungleichung ist wahr, und es gilt Gleichheit genau dann, wenn a − b =
0 ist, also genau
dann, wenn a = b ist. q.e.d.
Feststellung (Ungleichung vom geometrischen und harmonischen Mittel; ohne Beweis): Für alle
reellen Zahlen a, b > 0 gilt
2
ab ≥
,
1 1
+
a b
und Gleichheit gilt genau dann, wenn a = b ist.
Betragsgleichungen und –ungleichungen:
 x für x ≥ 0
Definition: x = 
− x für x < 0
Notiere, an welchen Stellen einer der Terme in einem Betrag sein Vorzeichen wechselt. Dadurch
erhält man die Intervalle, in denen die Terme in den Beträgen einheitliches Vorzeichen haben.
Schreibe die Gleichung bzw. Ungleichung für jedes Intervall ohne Betragszeichen.
Für Experten
Beweis der Feststellung: Ist die reelle Zahl x0 eine Nullstelle des Polynoms p ( x ) , dann hat p ( x )
an der Stelle x0 genau dann einen VZW, wenn die Vielfachheit von x0 ungerade ist.
Beweis: Es ist p ( x ) =
( x − x0 ) ⋅ q ( x ) mit q ( x0 ) ≠ 0 . Da q ( x0 ) ≠ 0 ist, gibt es eine Umgebung
n
von x0 , in der q ( x ) einheitliches Vorzeichen hat. Also hat p ( x ) an der Stelle x0 genau dann einen
VZW, wenn ( x − x0 ) an der Stelle x0 einen VZW hat. Das ist genau dann der Fall, wenn n
n
ungerade ist.
Streng genommen fehlen in diesem Beweis drei Überlegungen:
1. Das Polynom q ( x ) hat nur endlich viele Nullstellen.
2. Die Funktion x  q ( x ) ist stetig.
3. Der Nullstellensatz für stetige Funktionen.
Definition:
1. Für n reelle Zahlen x1 , x2 , …, xn heißt die Zahl
1
( x1 + x2 +  + xn ) das arithmetische
n
Mittel von x1 , x2 , … xn .
2. Für n nichtnegative reelle Zahlen x1 , x2 , …, xn heißt die Zahl
n
x1 x2 ⋅  ⋅ xn das
geometrische Mittel von x1 , x2 , … xn .
3. Für n positive reelle Zahlen x1 , x2 , …, xn heißt die Zahl
harmonische Mittel von x1 , x2 , … xn .
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8/8
n
1 1
1
+ + +
x1 x2
xn
das