Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

Elektrizitätslehre und Magnetismus
Othmar Marti | 19. 05. 2008 | Institut für Experimentelle Physik
Physik, Wirtschaftsphysik und
Lehramt Physik
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Materie im elektrischen Feld
Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle.
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Induziertes Dipolmoment
p ind = Zex
und damit
(Ze)2
· E = αE
k
Dabei ist α die atomare Polarisierbarkeit (Einheit
2
Asm2
[α] = F m2 = Cm
V = V ).
p ind =
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Isolator im Dielektrikum
Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem
elektrischen Feld ist
U
d
unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.
Andererseits ist
E=
D = 0 E =
0 U
0 Q
0 Q
Q
=
= A =
d
Cd
A
0 d d
abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator
können D und E unabhängig bestimmt werden.
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Relative Dielektrizitätszahl In vielen Fällen sind D und E linear voneinander abhängig.
D = 0 E = (1 + χe ) 0 E
mit ≥ 1 und χe ≥ 0
heisst die Dielektrizitätskonstante, χe die dielektrische
Suszeptibilität.
Im allgemeinen sind und χe Tensoren.
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Stetigkeitsbedingungen
Gausssches Gesetz
Ladungsfreier Raum divD = 0
Oberfläche A, die ein Stück ∆A der Grenzfläche umschliesst
Z
D · da = −D1⊥ ∆A + D2⊥ ∆A = 0
A
D1⊥ = D2⊥
Schlaufe s, die die Grenzfläche zweimal durchdringt
Z
I
s
s
rotE · da = E · ds = E1|| − E2|| = 0
2
2
A(s)
s
E1|| = E2||
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Stetigkeitsbedingungen
An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt
I die Komponente der dielektrischen Verschiebung
senkrecht zur Grenzfläche und
I die Komponente des elektrischen Feldes parallel
zur Grenzfläche
sind stetig.
Mit gradϕ = −E = können diese Stetigkeitsbedingungen auch
für das Potential ϕ umgeschrieben werden
ϕ1 = ϕ2
∂ϕ1
∂ϕ2
1
= 2
∂n
∂n
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Gesetz von Clausius und Mosotti
E lokal : Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld
E sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort,
Ei.
E lokal = E + E i
Die Polarisation hängt vom lokalen Feld E lokal wie folgt ab:
P = Np ind = NαE lokal
wobei N die Dichte der induzierten Dipole ist.
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Gesetz von Clausius-Mosotti
Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti
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Das Gesetz von Clausius und Mosotti
Berechnung von E i : homogenes Dielektrikum mit , bei dem ein
kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius R entfernt
wurde.
Das Dielektrikum erzeugt an der Oberfläche des Hohlraums
eine Ladungsdichte σ(Θ) = Pn = Px cos Θ, analog wie eine
Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit E = σ/0
zusammenhängt.
dEi,r =
Px cos Θ
σda
=
da
2
4π0 R
4π0 R 2
dEi,x =
Px cos2 Θ
da
4π0 R 2
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Das Gesetz von Clausius und Mosotti
Wir integrieren über die ganze Kugel
ρel = σδ(R)
da = r 2 sin ΘdΘdϕ
Z
Ei,x
1
cos2 (Θ) sin(Θ)dΘ = − cos3 (Θ)
3
π
Z
1
Px
=
2π cos2 Θ sin ΘdΘ =
Px
4π0
30
0
Ei =
1
P
30
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Das Gesetz von Clausius und Mosotti
P = ( − 1) 0 E = χe 0 E
χe
−1
Nα
=
=
χe + 3
+2
30
P
= ( − 1)0 E
P
= NαElokal
Elokal
1
Nα
= E + Ei
=
=
1
(−1)0
1
0
+
1
30
3+−1
3(−1)
P
( − 1)0
P
Elokal =
Nα
P
P
P
=
+
Nα
( − 1)0 30
1
1
1
=
+
0 ( − 1) 3
1
2+
=
0 3( − 1)
E=
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Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator
Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes
Feld. Rechts mit angelegtem Feld.
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Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator
wel =
1
D·E
2
Kondensator an Batterie
Kondensator isoliert
Spannung U konstant
Ladung Q konstant
D = 0 E konstant
E = D/( 0 ) konstant
Flüssigkeit steigt im Kondensator
Epot steigt
Epot steigt
wel = 12 D · E steigt
wel = 12 D · E sinkt
wel = 20 E 2 steigt
wel = 210 D 2 sinkt
Batterie muss die Energie liefern
Energiebilanz ist ausgeglichen
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Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator
Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung
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Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator
1. Mechanische Arbeit:
dWmech = Fdx
2. Elektrostatische Energie im Volumen a b dx: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch
U
E =
dWel
=
1 E 2
2 0
− 21 0 E 2 abdx
=
a
1
2
( − 1) 0
U2
a2
1
abdx =
2
( − 1) 0 U
2
b
a
dx
3. Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert. Die Kapazität ändert sich um
dC
= 0 bdx
− 0 bdx
a
a
= ( − 1) 0
bdx
a
Die Spannung U0 wird aufrecht erhalten und die Ladung dQ transportiert Epot = qU
dWBatt
= UdQ
= U · UdC = ( − 1) 0 U
2
bdx
a
4. Die Energiebilanz ist
dWmech + dWel = dWBatt
Fdx +
1
2
( − 1) 0 U
F =
1
2
2
b
a
dx = ( − 1) 0 U
( − 1) 0
b
a
U
2
2
b
a
dx
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Kräfte auf Ladungen in Leitern
Kräfte auf Ladungen in einem Leiter
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Stromrichtung
Der elektrische Strom I beschreibt den Fluss von Ladung. Deshalb fliesst der Strom von „+“ nach „- “. Der
elektrische Strom I darf nicht mit dem Massenstrom
ṁ verwechselt werden. Bei positiver Ladung ist die
Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens parallel zur Stromrichtung. Bei negativer Ladung
ist die Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens antiparallel zur Stromrichtung.
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Berechnung des Stroms
Berechnung des Stromes in einem Medium
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Stromfluss im Kondensator
Stromfluss in einem Kondensator