Mathematik - Bildungsserver Sachsen

SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT
Abitur
Januar/Februar 2003
Mathematik
(Grundkurs)
Arbeitszeit: 210 Minuten
Der Prüfling wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten G 1, G 2 und G 3 zur Bearbeitung aus.
Gewählte Aufgaben (Die drei zur Bewertung vorgesehenen Aufgaben sind vom Prüfling anzukreuzen.):
Gebiet G 1
Gebiet G 2
Gebiet G 3
Aufgabe 1.1
Aufgabe 2.1
Aufgabe 3.1
Aufgabe 1.2
Aufgabe 2.2
Aufgabe 3.2
Unterschrift Prüfling:
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
Gebiet G 1
Gegeben ist die Funktion f durch y = f ( x ) = −
Aufgabe 1.1
Analysis
1 3 2 2
x + x ,
9
3
x ∈ R.
Der Graph von f sei G.
Die Punkte P (–2 | f(–2)) und Q (3 | f(3)) liegen auf G.
a) Untersuchen Sie den Graphen G auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Art und
Lage von Extrempunkten und auf Wendepunkte.
Geben Sie eine Gleichung für die Gerade durch die Punkte P und Q an.
Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, den diese Gerade mit der Tangente an den
Graphen G im Punkt Q einschließt.
Im Folgenden beschreibt der Graph G im Intervall − 2 ≤ x ≤ 4 modellhaft den Querschnitt
eines Flusstales. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem 5 m im Gelände. Das angrenzende Gelände verläuft vom Hochpunkt aus in Richtung der positiven
→
x-Achse und vom Punkt P aus in Richtung von QP .
b) Zeichnen Sie den Querschnitt des Flusstales sowie des angrenzenden Geländes in ein
Koordinatensystem im Intervall −4 ≤ x ≤ 6 .
c) Bei Hochwasser steigt das Wasser bis zum Punkt P.
Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des gefüllten Flusstales sowie das
Fassungsvermögen (in m³) eines 45 m langen, geradlinigen Abschnittes des Flusstales.
d) Untersuchen Sie rechnerisch, ob ein Drachenflieger, der sich im Punkt D (5 | 4,5) befindet, den durch den Koordinatenursprung beschriebenen Punkt des Flusstales sehen
kann, wenn dieses ausgetrocknet ist.
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
Gebiet G 1
Aufgabe 1.2
Analysis
Gegeben ist die Funktion f durch y = f ( x ) = − ln
x
,
3
x ∈ Df .
Der zugehörige Graph wird mit F bezeichnet.
a) Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D f der Funktion f und untersuchen
Sie die Funktion f auf Monotonie.
Untersuchen Sie den Graphen F auf die Existenz von lokalen Extrem- sowie Wendepunkten und ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen F mit der
x-Achse.
Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 0 < x ≤ 6 .
Geben Sie an, wie der Graph F aus dem Graphen der Funktion g mit
g( x ) = ln x ( x ∈ R, x > 0) hervorgeht.
b) Weisen Sie nach, dass y = −
1
x + 1 eine Gleichung der Tangente an den Graphen F im
3
Punkt P(3 | f(3)) ist.
Die Tangente an den Graphen F im Punkt P und die Koordinatenachsen begrenzen ein
Dreieck. Diesem Dreieck soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt so einbeschrieben werden, dass zwei Rechteckseiten auf den Koordinatenachsen liegen.
Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Rechtecks.
c) Begründen Sie die Existenz einer Umkehrfunktion zur Funktion f.
Zeigen Sie, dass y = 3 ⋅ e − x eine Gleichung dieser Umkehrfunktion ist.
Der Graph der Umkehrfunktion der Funktion f, die Koordinatenachsen und die Gerade
mit der Gleichung x = 3 begrenzen eine Fläche vollständig.
Ermitteln Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
Gebiet G 2
Aufgabe 2.1
Analytische Geometrie
Das Dach eines Ausstellungspavillons hat
die Form einer dreiseitigen Pyramide mit
den Eckpunkten
A(16 | –13 | 4), B(8 | 11 | 4),
C(0 | –5 | 2) und D(6 | –3 | 12).
Eine Einheit im kartesischen Koordinatensystem entspricht einem Meter.
Die x-y-Ebene beschreibt die Horizontalebene, in der die Grundfläche des Pavillons liegt.
D
C
B
A
Abbildung nicht maßstäblich
a) An den Dachkanten AB , AC und BC sollen Dachrinnen befestigt werden.
Berechnen Sie die Gesamtlänge der Dachrinnen.
Begründen Sie, dass genau zwei dieser Dachrinnen zur Horizontalebene unter dem gleichen Winkel geneigt sind und berechnen Sie das Gradmaß dieses Neigungswinkels.
An einem im Punkt D befestigten Seil soll an dessen Ende im Punkt L ein Beleuchtungskörper aufgehängt werden. Die Lage des Seiles werde durch die Strecke DL charakterisiert.
b) Begründen Sie, dass die Strecke DL auf der Geraden g mit der Gleichung
 6
0
→


 
liegt.
x =  − 3 + t 0
 0
 1


 
c) Die Punkte A, B und C bestimmen eine Ebene E.
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene.
[mögliches Ergebnis zur Kontrolle:
E: 3x + y – 20z + 45 = 0]
Der Punkt L sei der Durchstoßpunkt der Geraden g (siehe Aufgabe b) durch die
Ebene E.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L und ermitteln Sie die Länge des Seiles.
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
Gebiet G 2
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
Aufgabe 2.2
Analytische Geometrie
Gegeben seien die Punkte A(–7 | 12 | 18), B(3 | –8 | 8), C(–7 | 6 | 0) und D(–1 | 0 | 12) .
Die Punkte A, B und C seien die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks ABC.
a) Zeigen Sie, dass die Strecke AB Basis des gleichschenkligen Dreieckes ABC ist.
Berechnen Sie das Gradmaß des der Basis gegenüberliegenden Winkels.
b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke BC .
Eine Gerade g verlaufe vom Punkt D durch den Punkt M.
Berechnen Sie die Koordinaten jenes Punktes S, in welchem die Gerade g und die durch
die Punkte A und C gelegte Gerade einander schneiden.
c) Weisen Sie nach, dass der Punkt D auf der Strecke AB liegt und ermitteln Sie das
Streckenverhältnis der durch den Punkt D gebildeten Teilstrecken.
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
Gebiet G 3
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
Aufgabe 3.1
Stochastik
Eine Großkellerei importiert Korken zum Verschließen von Weinflaschen. In einer Lieferung
sind erfahrungsgemäß 5 % der Korken fehlerhaft.
a) Einem Karton werden zufällig 50 Korken entnommen.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der unter diesen Korken mehr als drei fehlerhaft
sind.
b) Bei der Abfüllung einer Partie von 1000 Flaschen eines Qualitätsweines dürfen höchstens 40 Flaschen einen fehlerhaften Korken haben.
Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Ereignisses.
c) Bei einer bestimmten Lieferung von Korken wird vermutet, dass der Anteil fehlerhafter
Korken mindestens 25 % beträgt. Im Labor wird eine Stichprobe von 20 Korken untersucht und die folgende Entscheidungsregel aufgestellt:
Wenn in der Stichprobe vier oder mehr Korken fehlerhaft sind, soll die Vermutung als bestätigt gelten.
Geben Sie hierfür eine mögliche Nullhypothese H0, eine Gegenhypothese H1 und den
Ablehnungsbereich zu H0 an.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Vermutung abgelehnt wird, obwohl
sie zutrifft.
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
Gebiet G 3
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
Aufgabe 3.2
Stochastik
Alf und Bob üben den Freiwurf beim Basketball. Alf trifft erfahrungsgemäß den Korb mit einer
4
4
Wahrscheinlichkeit von ; Bob trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von . Es wird angenom7
5
men, dass mehrere Würfe unabhängig voneinander erfolgen.
a) Alf wirft fünfmal nacheinander.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Alf trifft höchstens zweimal.
B: Alf trifft mindestens einmal.
b) Bob übt 20 Freiwürfe.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der er mehr Körbe erzielt, als im langfristigen
Mittel zu erwarten sind.
c) Alf und Bob nutzen ihr Training für ein Spiel. Alf beginnt. Es wird abwechselnd geworfen.
Jeder hat höchstens zwei Würfe. Beim ersten Treffer ist das Spiel beendet.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für ein Spiel und geben Sie für die Zufallsgröße X: „Anzahl der Würfe pro Spiel“ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung an.
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG
Gebiet G 1
Aufgabe 1.1
Analysis
Aufgabe
BE
Hinweise, Lösungen
a)
13
Untersuchen von G auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf Art und Lage
von Extrempunkten und auf Wendepunkte, z. B.:
Sx1(0 | 0), Sx2( 6 | 0) und Sy(0 | 0)
 32 
4
 erfüllt, wobei f’’(4) = −
hinreichende Bedingung für Hochpunkt  4
9
3


hinreichende Bedingung für Tiefpunkt (0 | 0) erfüllt, wobei f’’(0) =
3
3
b)
4
3
 16 
2
 erfüllt, wobei f’’’(2) = −
hinreichende Bedingung für Wendepunkt  2
9 
3

1
10
Angeben einer Gleichung der Geraden PQ, z. B.: y = − x +
9
3
Berechnen des Gradmaßes des Winkels zwischen der Tangente und der
Geraden PQ, z. B.:
Anstieg der Tangente im Punkt Q: m = 1
α ≈ 51,3°
Zeichnen des Querschnittes des Flusstales, z. B.:
y
5
x
c)
6
Berechnen des Inhalts der Querschnittsfläche und des Fassungsvermögens, z. B.:
4  32
2
 1

A = ∫ 
−  − x 3 + x 2  dx = 12
3
 9

−2  9
Inhalt der Querschnittsfläche: 300 m²
Fassungsvermögen: 3 00 m 2 ⋅ 45 m = 13500 m 3
d)
5
35
Untersuchen der Sichtbarkeit, z. B.:
9
x
Gerade DO: y =
10
9
1
2
x = − x 3 + x 2 , Die Gleichung hat 3 verschiedene Lösungen.
10
9
3
Schlussfolgerung: Von D aus ist der tiefste Punkt der Talsohle nicht zu sehen.
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG
Gebiet G 1
Aufgabe
a)
BE
4
Aufgabe 1.2
Analysis
Hinweise, Lösungen
Ermitteln des größtmöglichen Definitionsbereiches und Untersuchen auf Monotonie,
z. B.:
Df: x ∈ R ∧ x > 0 ,
1
, f ′( x ) < 0 für alle x ∈ D f ⇒ f ist streng monoton fallend
x
Untersuchen auf Existenz von lokalen Extrem- und Wendepunkten und Ermitteln der
Koordinaten des Schnittpunktes, z. B.:
f ′( x ) = −
5
Notwendige Bedingung für Extrempunkte
und für Wendepunkte für kein x ∈ D f erfüllt
⇒ keine lokalen Extrempunkte und keine Wendepunkte
(
Schnittpunkt von F mit der x-Achse: Px 3
b)
0
3
Zeichnen des Graphen F
2
Angeben, wie der Graph F durch Verschiebung und
Spiegelung aus dem Graphen der Funktion g hervorgeht
2
Nachweisen der Tangentengleichung
8
Ermitteln der Maßzahl A des maximalen Flächeninhalts , z. B.:
1
3
A( x ) = − x 2 + x , 0 < x < 3 ⇒ x =
3
2
lokales Maximum ist globales Maximum; A =
c)
)
3
4
2
Begründen der Existenz einer Umkehrfunktion zur Funktion f , z. B.:
f ist streng monoton ⇒ Umkehrfunktion existiert
4
Zeigen, dass y = 3 ⋅ e − x eine Gleichung der Umkehrfunktion ist, z. B.:
− x = ln
5
35
y
3
⇒
y = 3e − x
Ermitteln der Maßzahl des Flächeninhalts, z. B.:
3
1 

A = 3 ⋅ ∫ e − x dx = 3 ⋅ 1 − 3  ≈ 2,85
e 

0
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG
Gebiet G 2
Aufgabe
a)
BE
3
Aufgabe 2.1
Analytische Geometrie
Hinweise, Lösungen
Berechnen der Gesamtlänge der Dachrinnen, z. B.:
AB + 2AC = 8 10 + 36
⇒ Länge der Dachrinne: 61,30 m
5
Begründen, dass genau zwei dieser Dachrinnen zur Horizontalebene unter dem gleichen Winkel geneigt sind und Berechnen des Gradmaßes des Neigungswinkels,
z. B.:
 − 8
→


liegt parallel zur x-y-Ebene
(1) AB =  24 
 0


⇒
AB ist nicht zur Horizontalebene geneigt
 − 16 
 − 8
→

 → 

(2) AC =  8  ; BC =  − 16 
 − 2
 − 2




⇒
AC und BC haben gleiche Höhendifferenz bei gleicher Länge, also
gleiche Neigung zur x-y-Ebene
Aus (1) und (2) folgt die Behauptung.
1
⇒
α = 6,4°
sin α =
9
b)
3
Begründen, dass die Strecke DL auf der Geraden g liegt, z. B.:
(1) D ∈ g
→
(2) v g ist senkrecht zur Horizontalebene.
Aus (1) und (2) folgt die Behauptung.
c)
5
Ermitteln einer Koordinatengleichung der Ebene, z. B.:
→
→
(1) AB ⊥ n E
→
→
(2) AC ⊥ n E
→
20
⇒
–8 nx + 24 ny
=0
–16 nx + 8 ny – 2 nz = 0
→
(3) OA ⋅ n E = –45
Aus (1), (2) und (3):
4
⇒
3x + y – 20z + 45 = 0
Berechnen der Koordinaten des Punktes L und Ermitteln der Länge des Seiles, z. B.:
g ∩ E = {L} ⇒
18 – 3 – 20 t + 45 = 0 ⇒
t=3
⇒ L(6 | –3 | 3)
Länge des Seiles: 9 m
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG
Gebiet G 2
Aufgabe
a)
BE
5
Aufgabe 2.2
Analytische Geometrie
Hinweise, Lösungen
Zeigen, dass AB Basis im gleichschenkligen Dreieck ABC ist und Berechnen des
Winkelgradmaßes, z. B.:
AC = BC = 6 10 ;
cos γ =
b)
10 ⋅ 90
=
1
6
⇒
γ ≈ 80,4°
1
Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunktes:
M(–2 | –1 | 4)
7
Berechnen der Koordinaten des Schnittpunktes, z. B.:
g:
⇒
c)
5
7
 − 2


x =  − 1+ r
 4


→
 1
 
 1
8
 
S(–7 | –6 | –36)
Nachweisen der Lage des Punktes und Ermitteln des Streckenverhältnisses, z. B.:
 − 7


gAB: x =  12 + t ⋅ AB
 18 


→
D ∈ gAB mit t =
AD : DB = 3 : 2
20
gAC:
 − 7
0


 
x =  12 + s  1 
 18 
3


 
→
3
<1
5
mit
 10 


AB =  − 20 
 − 10 


→
⇒ D ∈ AB
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG
Gebiet G 3
Aufgabe
BE
Aufgabe 3.1
Stochastik
Hinweise, Lösungen
a)
3
Ermitteln der Wahrscheinlichkeit, z. B.:
X: Anzahl fehlerhafter Korken
X ~ B50; 0,05
P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 0,23959
b)
6
Berechnen der Wahrscheinlichkeit, z. B.:
X: Anzahl fehlerhafter Korken
X ~ B1000; 0,05
µ = 50, σ ≈ 6,892
 40 + 0,5 − 50 
P(X ≤ 40) ≈ Φ
 ≈ Φ(–1,38) = 1 – Φ(1,38) = 0,0838
6,892


c)
3
Angeben von H0, H1 und Ablehnungsbereich, z. B.:
H0: p0 ≥ 25 %
H1: p1 < 25 %
A = { 0, 1, 2, 3 }
3
15
Berechnen der Wahrscheinlichkeit, z. B.:
Z: Anzahl fehlerhafter Korken in der Stichprobe
Z ~ B20; 0,25
P(Z ≤ 3) = 0,22516
SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003
MATHEMATIK (GRUNDKURS)
HINWEISE ZUR KORREKTUR UND BEWERTUNG
Gebiet G 3
Aufgabe
a)
BE
5
Aufgabe 3.2
Stochastik
Hinweise, Lösungen
Berechnen der Wahrscheinlichkeiten, z. B.:
Y: Anzahl der Treffer unter fünf Würfen; Y ~ B
P(A) = P(Y ≤ 2 ) = B
5;
4
7
5;
4
7
({0; 1; 2}) = 0,3679
P(B) = P(Y ≥ 1 ) = 1 – P(Y = 0) = 0,9855
b)
3
Ermitteln der Wahrscheinlichkeit, z. B.:
Z: Anzahl der Körbe unter 20 Würfen; Z ~ B20; 0,8
Anzahl der Körbe im Mittel ⇔ E(Z) = 16
P(Z > 16) = 1 – P(Z ≤ 16) = 0,4115
Zeichnen eines Baumdiagramms für ein Spiel und Angeben einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, z. B.:
c)
3
4/7
T
4/5
N
3/7
Alf
4
X=k
T
4/7
T
N
1/5
4/5
N
3/7
T
N
1/5
Bob
Alf
Bob
1
2
3
4
P(X=k) 0,571 0,343 0,049 0,037
15