WKB-Näherung - Universität Heidelberg
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Einleitung Herleitung Beispiele WKB-Näherung Adrian Braemer Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg Fakultät für Physik und Astronomie Seminar: Quantenmechanik Wintersemester 2016/17 Prof. Dr. Wolschin 2. Dezember 2016 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Ausblick Namensgebung Die WKB-Näherung wurde 1926 fast gleichzeitig und unabhängig von Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Leon Brillouin publiziert. Prinzip schon viel früher in Akustik und Optik angewendet! Alternativ: Semiklassische Näherung Einleitung Herleitung Beispiele Inhaltsverzeichnis Einleitung Herleitung Grundgleichung Umkehrpunkte Beispiele Harmonischer Oszillator Wasserstoffatom Ausblick Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Ansatz • Stationäre Schrödingergleichung: −~2 ∂ 2 ψ (x) 2m ∂x 2 i ψ(x) = e ~ σ(x) [E − V (x)]ψ(x) = Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Ansatz • Stationäre Schrödingergleichung: −~2 ∂ 2 ψ (x) 2m ∂x 2 i ψ(x) = e ~ σ(x) [E − V (x)]ψ(x) = • Klassischer Impuls: p(x) = p 2m(E − V (x)) Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Ansatz • Stationäre Schrödingergleichung: −~2 ∂ 2 ψ (x) 2m ∂x 2 i ψ(x) = e ~ σ(x) [E − V (x)]ψ(x) = • Klassischer Impuls: p(x) = p 2m(E − V (x)) • DeBroglie-Wellenlänge: λ= h 2π~ = p p Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Ergebnis • Finale Formel für E > V (x): Rx R i A B p(x 0 )dx 0 − i x p(x 0 )dx 0 ψ(x) = p e ~ x0 +p e ~ x0 p(x) p(x) • Für E < V (x) macht im Rahmen der Näherung nur der exp. abfallende Term physikalisch Sinn: R C − 1 x |p(x 0 )|dx 0 ψ(x) = p e ~ x0 |p(x)| Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Klassische Umkehrpunkte • Randstelle bei 0, d. h. E = V (0) • Annahme: dV dx (0) > 0 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Klassische Umkehrpunkte • Randstelle bei 0, d. h. E = V (0) • Annahme: dV dx (0) > 0 ⇒ ψlinks ist oszillierend, ψrechts ist exp. abfallend Rx R i B A p(x 0 )dx 0 − i x p(x 0 )dx 0 +p ψlinks (x) = p e ~ x0 e ~ x0 p(x) p(x) Rx 1 0 0 C − |p(x )|dx ψrechts (x) = p e ~ x0 |p(x)| • Problem: Wie hängen ψlinks und ψrechts zusammen? Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Löcher stopfen • Finde ψp in Umgebung um 0, das ψlinks und ψrechts verbindet Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Löcher stopfen • Finde ψp in Umgebung um 0, das ψlinks und ψrechts verbindet • Idee: Nähere Potenzial linear V () ≈ V (0) + dV dx (0) Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Löcher stopfen • Finde ψp in Umgebung um 0, das ψlinks und ψrechts verbindet • Idee: Nähere Potenzial linear V () ≈ V (0) + dV dx (0) • Benötige Lösung für DGL der Form ψp00 (z) − zψp (z) = 0 mit z := αx und α = 2mV 0 (0) ~2 1/3 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Löcher stopfen • Finde ψp in Umgebung um 0, das ψlinks und ψrechts verbindet • Idee: Nähere Potenzial linear V () ≈ V (0) + dV dx (0) • Benötige Lösung für DGL der Form ψp00 (z) − zψp (z) = 0 mit z := αx und α = 2mV 0 (0) ~2 1/3 ⇒ Airy-Funktionen Z 1 ∞ t3 Ai(z) = cos( + zt)dt π 0 3 Z ∞ 1 t3 t3 Bi(z) = exp(− + zt) + sin( + zt)dt π 0 3 3 Ausblick Einleitung Herleitung Löcher stopfen • ψp (z) = aAi(z) + bBi(z) Beispiele Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Ausblick Löcher stopfen • ψp (z) = aAi(z) + bBi(z) • Benutze Näherungsformeln für Ai(x) und Bi(x): ( Ai(x) = ( Bi(x) = 1 sin 23 (−x)3/2 π(−x)1/4 3/2 √ 1 1/4 e −2z /3 πx + 1 cos 32 (−x)3/2 π(−x)1/4 3/2 √ 1 1/4 e 2z /3 πx + √ √ π 4 x 0 x 0 π 4 x 0 x 0 Einleitung Herleitung Beispiele Rechnung I • mit: p(x) = p p 2m(E − V (x)) ≈ −2mV 0 (0)x Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Rechnung I • mit: p(x) = p p 2m(E − V (x)) ≈ −2mV 0 (0)x • Bestimme ψrechts und ψp für die rechte Seite: 2 C 3/2 e − 3 (αx) 1/4 ~α(αx) 2 a b − 32 (αx)3/2 (αx)3/2 3 ψp (x) = √ e e + √ 2 π(αx)1/4 π(αx)1/4 ψrechts (x) = √ • Vergleich liefert: ⇒b=0 r π C ⇒a=2 ~α Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Rechnung II • Ähnlich Rechnung für die linke Seite liefert: π B = −ie i 4 C π C = ie −i 4 C Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Rechnung II • Ähnlich Rechnung für die linke Seite liefert: π B = −ie i 4 C π C = ie −i 4 C ⇒ Eine Konstante C für alle Teile der Wellenfunktion! Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Resultat • Ähnliche Überlegung für dV dx (0) < 0 • Engültige Formulierung für Umkehrpunkt bei a • für V (x) > E : Z 1 x 0 0 p(x )dx exp − ψ(x) = p ~ a |p(x)| C • für V (x) < E : 2C cos ψ(x) = p p(x) Z x π 1 0 0 p(x )dx − 4 ~ a Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Resultat • Ähnliche Überlegung für dV dx (0) < 0 • Engültige Formulierung für Umkehrpunkt bei a • für V (x) > E : Z 1 x 0 0 p(x )dx exp − ψ(x) = p ~ a |p(x)| C • für V (x) < E : 2C cos ψ(x) = p p(x) Z x π 1 0 0 p(x )dx − 4 ~ a • Das heißt nicht, dass die Näherung jetzt auch um a herum Sinn ergibt! Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Beispiel 1: Harmonischer Oszillator • Potenzial: 1 V (x) = mω 2 x 2 2 • klassische Umkehrpunkte x1 , x2 bei Energie E: r x1/2 = ± 2E mω 2 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Beispiel 1: Harmonischer Oszillator • 2 Funktionen: Z x 2C 1 π 0 0 ψ1 (x) = p cos p(x )dx − ~ x1 4 p(x) Z x2 0 π 2C 1 0 0 p(x )dx + ψ2 (x) = p cos − ~ x 4 p(x) Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Beispiel 1: Harmonischer Oszillator • 2 Funktionen: Z x 2C 1 π 0 0 ψ1 (x) = p cos p(x )dx − ~ x1 4 p(x) Z x2 0 π 2C 1 0 0 p(x )dx + ψ2 (x) = p cos − ~ x 4 p(x) • Argumente gleich bis auf nπ: 1 ~ Z π 1 x2 π p(x 0 )dx 0 − = − p(x 0 )dx 0 + + nπ 4 ~ 4 x1 x Z x2 1 ⇒ p(x 0 )dx 0 = n + π~ 2 x1 Z x Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Ausblick Beispiel 1: Harmonischer Oszillator • Berechne Integral: p p 2m(E − V (x)) = 2mE Z x2 E ! ⇒ p(x)dx = π = n + ω x1 1 ⇒ E = ~ω n + 2 p(x) = − m2 ω 2 x 2 1 π~ 2 Einleitung Herleitung Beispiele Ausblick Beispiel 1: Harmonischer Oszillator • Berechne Integral: p p 2m(E − V (x)) = 2mE Z x2 E ! ⇒ p(x)dx = π = n + ω x1 1 ⇒ E = ~ω n + 2 p(x) = • Exakte Energiewerte! − m2 ω 2 x 2 1 π~ 2 Einleitung Herleitung Beispiele Beispiel 1: Harmonischer Oszillator • Normierung C : ! Z ∞ 2 |ψ| ≈ 4|C | 1= 2 −∞ ≈ 2|C |2 Z x2 x1 x2 Z x1 r ⇒C = dx 2|C |2 π = p(x) mω mω 2π ⇒ WKB Wellenfunktion: s ψWKB (x) = 1 cos2 (...) p(x) 2mω cos πp(x) Z x 1 π p(x 0 )dx 0 − ~ x1 2 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wellenfunktionen Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wellenfunktionen Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wellenfunktionen Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wellenfunktionen Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wellenfunktionen Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wasserstoffatom • Ausgehend von der Radialwellenfunktion mit u(r ) = rR(r ): ~2 d2 u e2 1 ~2 l(l + 1) − + − + u = Eu 2m dr 2 4π0 r 2m r 2 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wasserstoffatom • Ausgehend von der Radialwellenfunktion mit u(r ) = rR(r ): ~2 d2 u e2 1 ~2 l(l + 1) − + − + u = Eu 2m dr 2 4π0 r 2m r 2 • Potentialterm: V (r ) = − • Finde Nullstellen r1 , r2 e2 1 ~2 l(l + 1) + 4π0 r 2m r 2 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wasserstoffatom • Ausgehend von der Radialwellenfunktion mit u(r ) = rR(r ): ~2 d2 u e2 1 ~2 l(l + 1) − + − + u = Eu 2m dr 2 4π0 r 2m r 2 • Potentialterm: V (r ) = − e2 1 ~2 l(l + 1) + 4π0 r 2m r 2 • Finde Nullstellen r1 , r2 • Löse: Z r2 p(r )dr = r1 1 n+ 2 π~ Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wasserstoffatom • Wasserstoff Energieniveaus: En = n− 1 2 ER 2 p + l(l + 1) • Nur für n 1 und l = 0 richtige Werte Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Wasserstoffatom • Wasserstoff Energieniveaus: En = n− 1 2 ER 2 p + l(l + 1) • Nur für n 1 und l = 0 richtige Werte • Langers Regel: l(l + 1) → (l + 0.5)2 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Weitere Anwendungen • Transmissionswahrscheinlichkeiten: ln |T |2 ≈ −2 Z r 2m(V (x) − E ) dx ~2 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Weitere Anwendungen • Transmissionswahrscheinlichkeiten: ln |T |2 ≈ −2 Z r • Relativistische Rechnungen 2m(V (x) − E ) dx ~2 Ausblick Einleitung Herleitung Beispiele Ausblick Weitere Anwendungen • Transmissionswahrscheinlichkeiten: ln |T |2 ≈ −2 Z r 2m(V (x) − E ) dx ~2 • Relativistische Rechnungen • Heutzutage fast vollständig durch Störungsrechnung abgelöst!
