3-Falger_Luftwiderstand

Vortrag:
Luftwiderstand und Magnuseffekt
Fachdidaktik Seminar
Alexander Falger, 6.12.2005
Überblick

Motivation (Bilder, Videoclips)

Unterschied: laminare und turbulente Strömung

Herleitung der Luftwiderstandskraft über
Energieerhaltung

Alternative mikroskopische Herleitung der
Luftwiderstandskraft

Der cw Wert

Beispiel 1: Freier Fall (Kugel und Papierzylinder)

Beispiel 2: Kraftstoffverbrauch einiger Autos

Magnuseffekt
Luftwiderstand im Alltag:
Beim Radfahren:
(Tour de France)
Am Sternenhimmel:
Die Sternschnuppe
Magnuseffekt im Alltag:
Beim Fußballspielen:
roberto carlos
Unterscheidung:
laminare und turbulente Strömung
F  6  r v
Stokes Reibung
laminar
Wenn die Strömungsgeschwindigkeit von einem Medium eine gewisse Grenze
überschreitet, dann geht die laminare in eine turbulente Strömung über.
F ?
turbulent
Diese kritische Geschwindigkeit hängt von der Dichte  und der Viskosität 
des Mediums sowie vom Radius r der Röhre ab. Eine wichtige Kennzahl
zur Charakterisierung von Strömungen des Mediums
ist die Reynolds-Zahl Re, die durch Re = 2rv/ definiert ist,
wobei v die mittlere Stömungsgeschwindigkeit des Mediums ist.
entgegengesetzt rotierende Wirbel
alternierende Wirbelablösung
KarmanscheWirbelstrasse
Bei Außenströmungen, z.B. über einen Tragflügel
geht die laminare Grenzschicht ab Rekrit = 105 – 106
in eine turbulente Grenzschicht über
Re 
typischer Radfahrer:
vl

v
Re 
l
 9m / s
Laminar:
F  1.3 104 v
Turbulent:
F  0.3 v 2
Herleitung der Luftwiderstandskraft:
Für die Strecke, die ein Fahrzeug mit der Querschnittsfläche A
mit der Geschwindigkeit v in der Zeit zurücklegt, gilt
Dabei wird von ihm ein Luftvolumen
zur Seite geschoben, welches die Masse
besitzt.
Man nehme an, dass die Luftmoleküle dabei eine Geschwindigkeit w
erhalten, die der Geschwindigkeit v proportional ist.
Für die kinetische Energie W der zur Seite geschobenen Luftmasse m
gilt dann:
oder mit w² = cW  v² (aus der Annahme w ~ v folgt w² ~ v²)
Zum Beschleunigen der Luft muss das Fahrzeug diese Arbeit aufbringen.
Weil das Fahrzeug nun die Luftwiderstandskraft FL erfährt und dieser bei der
Geschwindigkeit v das Gleichgewicht halten muss folgt für FL:
(mikroskopische)
Äquivalente Herleitung der Luftwiderstandskraft:
Ein Luftmolekül mit der Masse m0 und
dem Impuls pi = - m0•v•ex prallt auf die Sphäre
In unserem vereinfachten Modell nehmen
Wir an, dass es sich um einen elastischen
Stoß handelt.  pi = pf
oder
Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung
Erhalten wir:
Und ausmultipliziert ergibt dies:
oder
Betrachten wir nun die x-Komponente
unserer Ausgangsgleichung:
Setzen wir diese pfx in die vorherige
Gleichung ein,so erhalten wir:
Und somit:
Wir haben nun einen möglichen Fall behandelt, aber welchen
gemittelten Impuls erfährt unsere Sphäre bei allen Luftmolekülen?
Dazu muss man dieses Integral lösen,
wobei da ein Flächenelementstückchen der Sphäre beschreibt:
Ergebnis:
Betrachten wir n Moleküle:
Diese Zeichnung zeigt die reale und die angenäherte Volumenverschiebung
der Moleküle, diese beiden können als äquivalent angesehen werden.
Daraus ergibt sich:
oder
und
In vorangegangener Gleichung einsetzen:
So erhalten wir:
Der cw Wert:
Wie bestimmt man diesen cw Wert:
F  12 cw  A v 2
 cw 
2F
 Av 2
Beispiel freier Fall mit Luftwiderstand:
Link
Freier Fall der Kugel:
Wir vernachlässigen den Luftwiderstand, da FL = 7,5 • 10-4 • v2
 bei einer Geschwindigkeit v = 13,3 m/s entspricht FL = 0,01 • Fg
Die Kugel fällt auf der ganzen Strecke gleichmäßig beschleunigt mit der
Fallbeschleunigung g = 10 m/s2.
Für sie gelten die bekannten Gleichungen für den "Freien Fall":
• s = 1/2 • g • t2
•v=g•t
Fall des Papiertrichters:
Der Papiertrichter fällt zunächst ebenfalls beschleunigt.
Je größer seine Fallgeschwindigkeit v wird,
desto mehr nimmt die Luftwiderstandskraft FL zu.
Sie wirkt der Gewichtskraft Fg entgegen, so dass die Gesamtkraft Fges
auf den Papiertrichter im Verlauf der Fallbewegung immer kleiner wird.
Daher nimmt die Beschleunigung a immer mehr ab.
Ist die Luftwiderstandskraft FL betragsmäßig gleich der Gewichtskraft Fg,
wird die Gesamtkraft Fges und damit auch die Beschleunigung a null.
In diesem Augenblick bleibt der Papiertrichter nicht etwa stehen,
sondern er fällt ab diesem Zeitpunkt mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
(Dies ist etwa am Ende der Animation erfüllt)
FW = FG
1
2
cw  A v 2  mg
v
2 mg
cwA
 14m / s
Diagramme:
Das s-t-Diagramm ist die bekannte (nach unten geöffnete) Parabel.
Nach t = 2 s ist die Kugel z.B. bei s = 1/2 • -10 m/s2 • (2 s)2 = -20 m.
Das v-t-Diagramm ist eine Ursprungsgerade mit negativer Steigung.
Der Betrag der Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu.
Nach t = 2 s hat die Kugel z.B. die Geschwindigkeit
v = -g • t = -10 m/s2 • 2 s = -20 m/s.
Berechnung des Kraftstoffverbrauchs
einiger Modelle:
Audi A4:
BMW 740i:
Porsche 911:
Motorrad:
Dazu benötigen wir:
sowie:
 Dichte der Luft:
 Wirkungsgrad der Fahrzeuge:
 Heizwert des Kraftstoffes:
 = 1,29 kg/m3
 = 30% = 0,3
H = 32,6 MJ/Liter
Berechnung der Kraft zur Überwindung des
Luftwiderstandes:
Berechnung der daraus resultierenden
Verschiebungsarbeit auf s = 100 km:
Die Verschiebungsarbeit entspricht der genutzten
Energie:
Berechnung der notwendig zugeführten Energie:
Die zugeführte Energie entspricht der Energie;
die durch Verbrennung frei wird:
Berechnung der Kraftstoffmenge:
F
scw    A
2  H 
Verbrauch [l]
 v2
Audi A4
BMW 740i
Porsche 911
Motorrad
v [m/s]
Der Magnuseffekt:
Benannt nach seinem Entdecker Heinrich Gustav Magnus (1802-1870)
1)
Ein Ball wird von Luft umströmt
2)
Ein rotierender Ball versetzt
Luftschichten in seiner Umgebung
Ebenfalls in Rotation. Es entsteht
eine Zirkulationsströmung.
3)
Treten beide Fälle gleichzeitig auf,
überlagern sich diese. Dabei
werden die Stromlinien auf einer
Seite zusammengedrängt 
Unterdruck.
Auf der entgegengesetzten Seite
sind die Stromlinien auseinander
gezogen 
Überdruck.
Dadurch entsteht eine Kraft, die
quer zur Strömung gerichtet ist.
Diese wird als Querkraft
bezeichnet.