EBENE GEOMETRIE

EBENE GEOMETRIE
1) Kollineare Punkte: liegen alle auf einer Geraden.
6) Parallele Geraden: schneiden sich nicht:
g1
A
B
C
D
2) Durch denselben Punkt gehende Geraden:
g1 kg2
g2
7) Einteilung der Dreiecke:
• nach den Seiten:
O
? unregelmäßig: alle Seiten verschieden lang
3) Winkeleinteilung:
• Nullwinkel = 0◦
? gleichschenklig: zwei gleich lange Seiten
• spitzer Winkel: < 90◦
a
a
g
Grundseite
• rechter Winkel = 90◦
? gleichseitig: alle Seiten gleich lang
a
a
• stumpfer Winkel: > 90◦
a
• nach den Winkeln:
• gestreckter Winkel =
180◦
? unregelmäßig: keine besondere Eigenschaften
4) Winkelpaare:
• Nebenwinkel: haben zusammen 180◦
? spitzwinklig: alle Innenwinkel sind spitz
• Scheitelwinkel: zwei einander gegenüberliegende
Winkel. Sie sind gleich groß.
? rechtwinklig: ein rechter Innenwinkel
Kathete
5) Senkrechte (orthogonale) Geraden: schneiden sich
unter einem rechten Winkel:
g1
g1 ⊥ g2
g2
Hypothenuse
Kathete
? stumpfwinklig: ein stumpfer Innenwinkel
8) Winkelhalbierende: der Winkel wird halbiert
11) Höhe eines Dreiecks: Die Senkrechte (das Lot) von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite.
Winkelhalbierende
Höhe
In einem Dreieck gehen die drei Winkelhalbierenden
durch I; I ist der Mitteklpunkt des Inkreises.
L
Lotfußpunkt
In einem Dreieck gehen die drei Höhen durch H;
H ist der Höhenschnittpunkt (Orthozentrum).
I
9) Mittelsenkrechte einer Strecke: die Senkrechte durch
den Mittelpunkt dieser Strecke.
H
Mittelsenkrechte
12) Summe der Innenwinkel im Dreieck:
180◦
13) Summe der Innenwinkel in einem konvexen
Viereck:
360◦
In einem Dreieck gehen die drei Mittelsenkrechten durch 14) Winkelpaare an geschnittenen Parallelen:
O; O ist der Mitteklpunkt des Umkreises.
g1
2 1
3
g2
O
4
5 6
8 7
innere Wechselwinkel: ]3 − ]6; ]4 − ]5
äußere Wechselwinkel: ]2 − ]7; ]1 − ]8;
Stufenwikel: ]1 − ]6; ]2 − ]5; ]3 − ]8; ]7 − ]4;
10) Seitenhalbierende eines Dreiecks: geht durch einen
Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden
Seite.
g1 kg2
⇐⇒
Stufenwinkel oder Wechselwinkel sind
gleich groß (ein Paar).
15) Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks:
Folgende Aussagen sind äquivalent:
Seitenhalbierende
• es hat zwei gleich lange Seiten (die dritte Seite ist
g)
In einem Dreieck gehen die drei Seitenhalbierenden durch
G; G ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
• es hat zwei gleich große Winkel
• die Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Höhe und
Winkelhalbierende entsprechend der Seite g sind
identisch.
G
2
3
Auf jeder Seitenhalbierenden befindet sich G vom Eckpunkt und 31 von der gegenüberliegenden Seite entfernt.
16) Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks:
Folgende Aussagen sind äquivalent:
• alle Seiten sind gleichlang
• alle Winkel sind gleichgroß (60◦ )
G
• die Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Höhe und
Winkelhalbierende entsprechend einer Seite sind
identisch.
17) Eigenschaften eines Parallelogramms:
21) Sätze in einem rechtwinkligem Dreieck
Folgende Aussagen sind äquivalent:
? In einem rechtwinkligem Dreieck haben die zwei
spitzen Winkel 90◦ zusammen.
• die Gegenseiten sind jeweils parallel;
• die Gegenseiten sind jeweils gleich lang;
? In einem rechtwinklig- und gleichschenkligem
Dreieck haben die zwei spitzen Winkel 45◦ .
• zwei Gegenseiten sind parallel und gleich lang;
• die Gegenwinkel sind gleich groß;
• jede 2 nebeneinander liegende Innenwinkel haben
zusammen 180◦ ;
a
45◦
45◦
• die Diagonalen halbieren sich.
a
a
d
b
c
M
? Die Gegenkathete eines 30◦ -Winkels ist halb so lang
wie die Hypothenuse.
b
c
d
C
a
30◦
18) Eigenschaften eines Rechtecks:
2a
AB =
BC
2
Folgende Aussagen sind äquivalent:
A
• es ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel;
• alle Winkel sind rechte Winkel;
B
? Die zur Hypothenuse zugehörige Seitenhalbierende
ist halb so lang wie die Hypothenuse.
• die Diagonalen halbieren sich und sind gleich lang.
C
a
c
b
a
a
c
c
AM =
M
b
c
a
a
BC
2
a
B
A
19) Eigenschaften eines Quadrats:
22) Trapez: ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Gegenseiten(Grundseiten) und zwei nicht parallelen Gegenseiten (Schenkel).
• alle Seiten sind gleich lang und es hat einen rechten
Winkel;
Folgende Aussagen sind äquivalent:
• die Diagonalen halbieren sich, sind gleich lang und 23) Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes:
orthogonal.
Folgende Aussagen sind äquivalent:
a
• die zwei nicht-parallelen Seiten sind gleichlang;
b
a
b
b
b
• zwei einer Grundseite anliegende Winkel sind gleich
groß;
a
• die Diagonalen sind gleich lang.
a
b
20) Eigenschaften einer Raute (Rhombus):
a
a
Folgende Aussagen sind äquivalent:
• alle Seiten sind gleich lang;
• die Diagonalen halbieren sich und sind orthogonal.
a
a
B
24) Mittellinie in einem Dreieck:
Das ist die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier
Seiten. Sie ist parallel zur dritten Seite und halb so lang
wie diese.
A
a
3Mittellinie
a
D
E
DE k BC
DE =
B
C
BC
2
25) Mittellinie in einem Trapez:
34) Trigonometrische Funktionen:
Das ist die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte Der
Schenkel.
D b
C
M N - Mittellinie
M N kABkDC
M
N
Q
P
A
MN =
B
B
PQ =
B+b
2
B−b
2
sin α =
A
C
B
SA
AB
=
SC
CD
SA
SB
=
SC
SD
=
SD
CD
SB
AB
Ankathete
Hypothenuse
cot α =
Ankathete
Gegenkathete
sin2 α + cos2 α = 1
•
• tan α =
sin α
cos α
• tan α =
1
;
cot α
cos α
sin α
und cot α =
• sin α > 0, egal ob α spitz oder stumpf;
cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0 falls α spitz;
cos α < 0, tan α < 0, cot α < 0 falls α stumpf;
28) Ähnlichkeitssätze für Dreiecke:
(SSS), (W W ), (SW S);
S
cos α =
35) Trigonometrische Formeln:
27) Kongruenzsätße für rechtwinklige Dreiecke:
(KK), (HK), (HW ), (KW );
? Die Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich zueienander wie die gleichliegenden Abschnitte auf
dem anderen Strahl.
Gegenkathete
Ankathete
tan α =
26) Kongruenzsätze für Dreiecke:
(SW S), (W SW ), (SSS), (SSW );
29) Strahlensätze: Wird ein Strahlenbüschel von einer Parallelschar geschnitten, gilt:
Gegenkathete
Hypothenuse
36) Besondere Werte der trig. Funktionen:
0◦
30◦
45◦
sin α
0
1
2
√
cos α
tan α
1
0
2
√2
2
2
√
3
2
1
2
√
cot α
–
1
1
√
3
α
60◦
√
3
2
1
√
√3
1
3
90◦
1
0
–
3
0
37) Der Cosinus Satz:
A
c
D
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
b
oder
? Je zwei Parallelabschnitte, die zwischen gleichen
Strahlen liegen, verhalten sich zueinander wie die
zugehörigen Strahlenabschnitte ein und desselben
Strahls.
S
A
C
SA
SB
=
SC
SD
=
B
C
a
cos A =
38) Der Sinus Satz:
A
AC
BD
b
c
M
B
D
b2 +c2 −a2
2bc
B
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2r
r
C
a
? Die Abschnitte auf einer Parallelen verhalten sich
zueinander wie die zugehörigen Abschnitte auf ei39) Flächeninhalte:
ner anderen Parallelen.
S
A
B
AC
CE
C
BD
DF
• Allgemeines Dreieck :
u.s.w.
E
D
=
1
a
2
A=
F
ha
· ha
a
30) Satz des Pythagoras:
Hyp2 = K12 + K22
oder
• Rechtwinkliges Dreieck :
K12 = Hyp2 − K22
A=
31) Kathetensatz:
• Gleichseitiges Dreieck :
h2 = (1. Hypothenusenab.) · ( 2. Hypothenusenab.)
A=
a
33) Höhensatz II:
h=
K1 ·K2
Hyp
· K1 · K2
h
K 2 = Hyp · (zugehöriger Hypothenusenabschnitt)
32) Höhensatz I:
1
2
a
h
a
h=
√
a2 3
4
√
a 3
2
oder
A=
1
2
· Hyp · h
• Parallelogramm:
• Mittelsenkrechte einer Sehne:
A = a · ha
ha
M P ⊥ AB
P
B
A
• Rechteck :
C
A=a·b
b
• Abstände vom Mittelpunkt zu 2 Sehnen:
a
• Quadrat:
a
a
⇒
_
_
P A = P B und CA = CB
M
a
d1
A
√
a 2
d2
D
d1 = d2 ⇐⇒ AB = CD
A = a2
a
B
a
C
• Radius und Tangente:
• Raute:
r
A = a · ha
ha
oder
A=
d1 , d2 Diagonalen
a
Radius ⊥ Tangente
d1 ·d2
2
• Die Tangenten von einem Punkt außerhalb des
Kreises zum Kreis:
a
r
• Trapez :
r
a
b
1
(B
2
A=
h
+ b) · h
B
• Zentralwinkel:
• Kreis:
_
]M = AB
M
A = πr2
U = 2πr
π ≈ 3, 14
r
A
B
• Peripheriewinkel:
40) Regelmäßige Vielecke:
A
_
]A = BC
2
gleichseitiges Dreieck; Quadrat; regelmäßiges Hexagon
r: Umkreisradius;
sn : Seitenlänge;
ρn : Inkreisradius;
B
An : Flächeninhalt
s6
s4
r
r
ρ3
ρ6
B
• Satz des Thales: ein Winkel dessen Scheitel auf
einem Kreis liegt und dessen Schenkel durch die
Endpunkte des Durchmessers gehen, ist ein rechter
Winkel.
s3
r
A
C
ρ4
]A = 90◦
A
√
s3 = r 3
√
s4 = r 2
ρ3 =
r
2
ρ4 =
r
s6 = r
ρ6 =
√
2
2
√
r 3
2
A3 =
3 s32·ρ3
A4 =
4 s42·ρ4
• Innerer Winkel:
= (s4
A
)2
C
P
A6 = 6 s62·ρ6
B
Große Diagonale im regelm. Hexagon = 2r
_+ _
]P = AB 2 CD
D
√
Kleine Diagonale im regelm. Hexagon = s3 = r 3
• Äußerer Winkel:
P
A
41) Kreis:
C
B
• Gleich lange Sehnen; gleich lange Bogen:
D
A
B
C
_
_
AB = CD ⇐⇒ AB = CD
_− _
]P = CD 2 AB
D
42) Ungleichungen in einem Dreieck:
a > |b − c|
a<b+c
c
b
b > |a − c|
b<a+c
c > |b − c|
c<a+b
a
RAUMGEOMETRIE
1) Bestimmung einer Geraden:
durch 2 Punkte geht eine einzige Gerade
4) Gegenseitige Lagen: Gerade und Ebene
• parallel (keine gemeinsame Punkte)
A
AB
B
g
gkE
2) Bestimmung einer Ebene:
• drei nicht kollineare Punkte:
E
g k E genau dann wenn es eine Gerade f in E gibt, sodass f k g.
A
E = E(A, B, C) = (A, B, C)
B
• die Gerade durchstößt die Ebene (einen gemeinsamen Punkt)
g
C
• eine Gerade und ein Punkt außerhalb dieser
Geraden:
E = E(g; A)
g
g ∩ E = {S}
.. S
..
..
..
..
..
E
A
Spezialfall: orthogonal
• zwei parallele Geraden:
g
g2
E = E(g1 ; g2 )
g1
g ⊥ E
• zwei Geraden, die sich schneiden:
g2
.. S
..
..
.
E
E = E(g1 ; g2 )
g1
g ∩ E = {S}
g ⊥ E
S = Lotfußpunkt
g Normale, Orthogonale, Senkrechte
⇐⇒
g ist orthogonal zu jeder Geraden f ⊂ E ⇐⇒
3) Gegenseitige Lagen: zwei Geraden
• parallel (keine gemeinsame Punkte; befinden sich
in einer Ebene)
g1
g1 k g2
g2
g ist orthogonal zu zwei sich schneidende Geraden f1 , f2 ⊂ E
• die Gerade liegt in der Ebene:
g⊂E
5) Gegenseitige Lagen: zwei Ebenen
• parallel (keine gemeinsame Punkte)
E2
• windschief (keine gemeinsame Punkte; befinden
sich nicht in einer Ebene)
E1 k E2
E1
E1 kE2 genau dann, wenn es zwei sich schneidende Geraden in
g1
E1 gibt, die parallel zu zwei sich schneidende Geraden in E2
sind.
g2
• sie schneiden sich (nach einer Geraden)
E2
E1 ∩ E2 = g
g
• sie schneiden sich (einen gemeinsamen Punkt:
Schnittpunkt)
E1
g1
g1 ∩ g2 = {S}
S
Spezialfall: orthogonal
g2
E2
Spezialfall: orthogonal
g1 ⊥ g2
g1
E1 ⊥ E2
E1 ∩ E2 = g
g
E1
E1 ⊥ E2 genau dann wenn es eine Gerade in E2 gibt, die orthog2
• identisch:
g1 = g2
gonal zur Ebene E1 ist.
• identisch:
E1 = E2
6) Winkel zwischen:
8) Runde Körper
• zwei Geraden:
• Zylinder (Senkrechter Kreiszylinder):
• Gerade und Ebene:
g
..
..
..
..
..
.. α
...............S
..
..
..
E
](E; g) = α
...
..
...
..
..
...h
..
..
..
...
.. r
.................
.
M = 2πrh
O = 2πr(r + h)
V = πr 2 h
• Kegel (Senkrechter Kreiskegel):
• zwei Ebenen:
E2
](E1 ; E2 ) = α
α
E1
..
..
..
..
..
s
..
..
..h
..
..
..
.. r
.............................
.
M = πrs
O = πr(r + h)
V = π r2 h
3
7) Einfache Körper:
d: räumliche Diagonale; h: rümliche Höhe; G: Grundfläche;
M : Mantelfläche; O: Oberfläche; V : Volumen
• Würfel:
..
..
..
..
..
d
..
..
.
...................................
.....
.
a
.
.
.
...
d = a
a
• Kegelstumpf (vom senkrechten Kreiskegel):
.. r
.............
.. 2
..
..
..
..
s
..
..h
..
..
..
..
..
..
.........................
.r
√
3
O = 6a2
V = a3
1
a
• Quader :
.
..
..
a
..
..
.. ......................................
.....
a
d =
c
q
a2 + b2 + c2
V = abc
O = 4πr 2
b
r
.........................
• Prisma
.................
O = 2G + M
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
...................
...............
.
.
.
.
.
..
...
..
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...............
.
.
.
.
....
.
.
.
V = Gh
• Pyramide (Spezialfall Tetraeder )
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.. h
...
..
.................
..
.
.
..
....
......
.. .
.. ..
.. ..
... ....
.. .
.. ..
... h...
. ..
.
...................
... ...
.
.
.
.
...
O = 2G + M
..
....
.........
.... .
.... ..
...... ....
.. .. .
.. .. ..
... ... ....
.. .
h
.. ... ....
..
... ........
...
.
.
.
.
..
..
...
V = 1 Gh
3
• Pyramidenstumpf:
V =
h
(G1
3
• Kugel:
O = 2ab + 2ac + 2bc
+ G2 +
√
G1 G2 )
V = 4 πr 3
3
M = πs(r1 + r2 )
2 + πr 2
O = M + πr1
2
2 + r2 + r r )
V = πh (r1
1 2
2
3