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FH Düsseldorf
WS 2007/08
Prof. Dr. Horst Peters
Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor)
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3. Übungsblatt
(Analysis mit 1 Veränderlichen)
20.11.2007
Aufgabe 1 (Üben von Ableitungen I):
Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f ( x ) = −2x 2 + x mit Hilfe der Ableitungsdefinition:
f´( x ) = lim
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
∆x →0
Aufgabe 2 (Üben von Ableitungen II):
Berechnen Sie die jeweils ersten Ableitungen zu folgenden Funktionen:
a) f ( x ) = 2x 7 − 3x 6 + 5x 5 − 7x 4 + 11x 3 − 13x 2 + 17x − 19
b) f ( x ) = e −2x
ex + 1
c) f ( x ) = x
e −1
d) f ( x ) = x 3 ⋅ 3 x
qn − 1
(Rentenendwertfaktor)
q−1
f ( x ) = x n ⋅ e −nx
e) f ( q) =
f)
g) f ( x ) =
2x + ln x
h) f ( x ) = x ⋅ e x
(erste und zweite Ableitung)
Aufgabe 3 (Extremwerte I):
Susi Sorglos betreibt auf dem Düsseldorfer Weihnachtsmarkt einen Stand für Glühwein. In
den vergangenen Jahren hatte Susi den Becher für 2,00 EUR verkauft und hatte einen
durchschnittlichen Tagesabsatz von 200 Bechern. Im letzten Jahr erhöhte sie den Preis pro
Becher auf 3,00 EUR, woraufhin der Absatz auf 120 Becher pro Tag sank.
Der Wareneinsatz pro Becher beträgt 0,50 EUR, die Fixkosten pro Tag betragen 100 EUR.
a) Berechnen Sie Umsatz und Gewinn für beide Preis-Mengen-Konstellationen!
b) Susi Sorglos unterstellt nun eine lineare Preis-Absatz-Funktion auf Basis der obigen
Preis-Mengen-Kombinationen! Stellen Sie die Preis-Absatz-Funktion p(x) auf!
c) Berechnen Sie die umsatzmaximale Absatzmenge und den zu fordernden Preis!
d) Berechnen sie die Gewinngrenzen x1 und x2 !
e) Ermitteln Sie die gewinnmaximale Absatzmenge und den zu fordernden Preis!
f) Skizzieren Sie die Funktionen in einem gemeinsamen Koordinatensystem!
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Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor)
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3. Übungsblatt
(Analysis mit 1 Veränderlichen)
20.11.2007
Aufgabe 4 (Extremwerte II):
Gegeben sei folgende Zahlungsreihe eines Investitionsprojekts mit dreijähriger Laufzeit:
e0
-200
e1
400
e2
600
e3
-600
Die Kapitalwertfunktion habe in Abhängigkeit des Zinssatzes bzw. in Abhängigkeit von q
(=1+i) folgendes Aussehen:
215
K
Kapitalwertfunktion
210
205
200
195
190
185
180
175
170
i
165
Stellen Sie die Kapitalwertfunktion K(q) auf und berechnen Sie den Zinssatz, bei dem die
Kapitalwertfunktion ihr Maximum erreicht!
Aufgabe 5 (Extremwerte III):
Es sei angeknüpft an das Beispiel aus der Vorlesung (Produktion und Vermarktung von
Schokoladen-Weihnachtsmännern).
Nehmen Sie – in Abänderung des Beispiels – an, dass der Unternehmer von folgender
Preis-Absatz-Funktion ausgehe: f ( x ) = 7 ⋅ e −0,0001x .
Ferner werden die Fixkosten ignoriert (bzw. pauschal auf die variablen Kosten
aufgeschlagen), d.h. die Kostenfunktion lautet einfach: K ( x ) = 1,5x
a) Skizzieren Sie die Preis-Absatz-Funktion in einem Koordinatensystem!
b) Stellen Sie die Umsatz- und Gewinnfunktion auf und skizzieren Sie auch die Umsatz-, die
Kosten- und die Gewinnfunktion in einem gemeinsamen Koordinatensystem!
c) Berechnen Sie die Menge und den zu fordernden Preis, bei dem der Unternehmer einen
maximalen Umsatz erzielt!
d) Berechnen Sie die Gewinngrenzen!
DAS WAR´s !!!