Winkelgesetze

F Winkelsätze
1
Nebenwinkel und Scheitelwinkel
Zwei nicht parallele Geraden bilden stets vier Schnittwinkel. Dabei unterscheidet man zwischen Scheitel- und Nebenwinkeln.
Beispiel :
α
β
γ
δ
Nebenwinkel
Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergänzen sich zu 180°.
α1 + β1 = 180°
α2 + β2 = 180°
α3 + β3 = 180°
α4 + β4 = 180°
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich gross.
γ1 = δ1
Mathematik -Theorie
γ2 = δ2
γ3 = δ3
51
γ4 = δ4
3. Klasse Bezirksschule
2
Fundamentale Sätze über Winkel und Winkelsummen
Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten,
entstehen 8 Schnittwinkel.
Die Winkel innerhalb der Parallelen heissen innere Winkel,
die Winkel ausserhalb der Parallelen heissen äussere Winkel.
β’
γ’
α’
δ’
//
β
γ
//
α
δ
Innere Winkel :
α , β , γ’ , δ’
Äussere Winkel :
α’ , β’ , γ , δ
Stufenwinkel
Einen inneren und einen äusseren
Winkel auf derselben Seite der
schneidenden Geraden nennt man
Stufenwinkel. Sie sind gleich gross.
α = α’ ,
γ = γ’ ,
β = β’ ,
δ = δ’
Wechselwinkel
Zwei innere oder zwei äussere
Winkel auf verschiedenen Seiten
der schneidenden geraden heissen
Wechselwinkel. Sie sind gleich gross.
α = γ’ ,
β = δ’ ,
γ = α’ ,
δ = β’
Mathematik -Theorie
52
3. Klasse Bezirksschule
Winkelsumme im Dreieck
C
γ
Es gilt für jedes Dreieck:
b
α + β + γ
=
180°
a
β
α
A
B
c
Besondere Dreiecke
α
- Ein gleichseitiges Dreieck hat drei
gleich lange Seiten und drei
gleich grosse Winkel (je 60°).
s
s
α
α
s
- Ein gleichschenkliges Dreieck hat
zwei gleich lange Seiten
(Schenkel) und zwei gleich grosse
Winkel (Basiswinkel).
s
s
α
α
b
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat
einen Winkel von 90°.
- Ein rechtwinklig-gleichschenkliges
Dreieck hat einen rechten Winkel,
zwei gleich lange Seiten und die
Basiswinkel sind je 45°.
Mathematik -Theorie
53
s
45°
s
45°
3. Klasse Bezirksschule
3
Winkelsummen von Vielecken (n-Ecken)
Um die Innenwinkelsumme, abgekürzt Winkelsumme, eines beliebigen
n-Eckes zu bestimmen, greift man auf die Winkelsumme des Dreiecks
zurück.
C
Es gilt:
α + β + γ
γ
b
= 180°
a
α
A
β
B
c
Durch die Unterteilung eines n-Eckes in Teildreiecke lässt sich dessen
Winkelsumme auf einfache Weise bestimmen.
D
Beispiele:
δ
C
γ2
Innenwinkelsumme im Viereck =
( α1 + γ2 + δ ) + ( α2 + β + γ1 ) =
A
2 ⋅ 180° = 360°
γ1
α1
α2
β
B
D
δ
Innenwinkelsumme im Fünfeck =
( ε1 + γ3 + δ ) + ( α1 + γ2 + ε2 ) +
E
( α2 + β + γ1 ) =
γ3
γ2
ε1
ε2
3 ⋅ 180° = 540°
α1
A
α2
Mathematik -Theorie
γ1
β
B
Es gilt:
Innenwinkelsumme im n-Eck
C
=
54
( n – 2 ) ⋅ 180°
3. Klasse Bezirksschule
Regelmässige Vielecke (regelmässige n-Ecke)
Bei regelmässigen Vielecken sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel
gleich gross.
Beispiele:
s3
s1
s1
α1
α1
α1
α2
α2
s1
α1
α3
α3
s2
s2
α1
α1
s1
α2
s1
s3
s3
s2
α3
s1
α3
s3
Regelmässiges Sechseck
Regelmässiges Dreieck
Regelmässiges Viereck
( gleichseitiges Dreieck )
( Quadrat )
Die Grösse des Innenwinkels α im regelmässigen Vieleck lässt sich aus der
Innenwinkelsumme und der Anzahl Eckpunkte berechnen.
Innenwinkel α
Es gilt:
=
( n − 2 ) ⋅ 180°
n
Beispiel:
Im regelmässigen Sechseck beträgt ein Innenwinkel somit:
α
=
( 6 − 2 ) ⋅ 180°
6
Mathematik -Theorie
=
720°
6
55
=
120° .
3. Klasse Bezirksschule
Allen regelmässigen Vielecken ist gemeinsam, dass deren Eckpunkte auf einer
Kreislinie liegen.
Beispiele:
M
M
ε
A
B
ε
A
B
M
A
ε
B
Verbindet man die Endpunkte einer Seite (z.B. A und B ) des regelmässigen
Vielecks mit dem Mittelpunkt M des Kreises, so entsteht mit diesem als
Scheitelpunkt ein sogenannter Mittelpunkts- oder Zentriwinkel ε.
Die Grösse des Zentriwinkels ε im regelmässigen Vieleck lässt sich aus der
Grösse des Vollwinkels (360°) und der Anzahl Eckpunkte berechnen.
Zentriwinkel ε
Es gilt:
=
360°
n
Beispiel:
Im regelmässigen Sechseck beträgt ein Zentriwinkel somit:
ε
=
360°
6
=
60° .
Für Innenwinkel und Zentriwinkel eines regelmässigen Vieleckes gilt folgende
Gesetzmässigkeit:
α + ε
=
Mathematik -Theorie
180°
56
3. Klasse Bezirksschule
4
Einige Anwendungen
Aussenwinkel
Ein Aussenwinkel ist der Winkel zwischen einer Seite und der Verlängerung
der Nachbarseite.
γ* ist ein Aussenwinkel von γ
Es gilt :
+
Aussenwinkel
=
180°
α
+
α*
=
180°
β
+
β*
=
180°
γ
+
γ*
=
180°
Innenwinkel
α
+
β
α
+
α*
→
γ
+
=
180°
=
180°
β
+
γ
=
α*
→
α
+
β
=
γ*
→
α
+
γ
=
β*
sowie:
Mathematik -Theorie
57
3. Klasse Bezirksschule
Der Satz des Thales
Werden in einem Kreis die beiden Endpunkte eines Durchmessers geradlinig
mit einem beliebigen anderen Punkt der Peripherie verbunden, entsteht ein
rechter Winkel.
Beweis:
2α + 2β =
180°
2(α + β) =
180°
α + β
90°
=
Mathematik -Theorie
58
3. Klasse Bezirksschule