Teil B – Aufgabengruppe II

Lösungen – Qualifizierender Abschluss der Mittelschule – Mathematik 2016 r 2016-7
Teil B – Aufgabengruppe II
r Hinweise und Tipps
1
2
Anzahl der …
Zitroneneiskugeln:
Vanilleeiskugeln:
Erdbeereiskugeln:
Schokoladeneiskugeln:
x
x – 40
4 ⋅ (x – 40)
80
⎫
⎪
⎪
⎬ 540 Eiskugeln
⎪
⎪
⎭
r
r
r
r
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r
r
r
r
r
Lege für die Anzahl der Kugeln einer Eissorte die
Variable x fest. Die Anzahl der Zitroneneiskugeln
eignet sich hier besonders gut.
Drücke die Anzahl der anderen Eiskugeln mithilfe von
x aus.
40 Kugeln weniger Vanilleeis als Zitroneneis: – 40
Viermal so viele Erdbeereiskugeln wie Vanilleeiskugeln: 4 ⋅
Berücksichtige auch die 80 Kugeln Schokoladeneis.
x + x − 40 + 4 ⋅ (x − 40) + 80 = 540
x + x − 40 + 4x − 160 + 80 = 540
6x − 120 = 540 ⏐+ 120
6x = 660 ⏐: 6
x = 110
r Stelle eine Gleichung auf und löse sie.
Anzahl der …
Zitroneneiskugeln:
Vanilleeiskugeln:
Erdbeereiskugeln:
Schokoladeneiskugeln:
r Berechne die Anzahlen der verschiedenen Eiskugeln.
110
110 – 40 = 70
4 ⋅ (110 – 40) = 4 ⋅ 70 = 280
80
a) Regelmäßiges Sechseck
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Ein regelmäßiges Sechseck setzt sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammen.
Der Radius des Umkreises hat die gleiche Länge wie die
Seite des regelmäßigen Sechsecks.
Zeichne einen Kreis um M mit dem Radius r = 5 cm.
Trage mit dem Zirkel den Radius auf der Kreislinie ab.
Arbeite genau!
Verbinde jeweils benachbarte Schnittpunkte auf der
Kreislinie miteinander und du erhältst das regelmäßige
Sechseck.
b) Höhe eines Bestimmungsdreiecks
h 2 = (5 cm) 2 − (2,5 cm) 2
h 2 = 25 cm 2 − 6, 25 cm 2
h 2 = 18, 75 cm 2
⏐
h = 4,3301… cm
h ≈ 4,33 cm
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Zeichne in das regelmäßige Sechseck
ein Bestimmungsdreieck ein.
Trage die bekannten Längen ein.
Die Höhe h teilt die Grundseite g in der
Mitte. Berechne die Höhe mithilfe des
Satzes von Pythagoras.
Runde das Ergebnis sinnvoll (hier: zwei
Dezimalstellen).
r
r
r
r
r
r
r
r
Die Länge der Grundseite und die Länge der Höhe sind
nun bekannt. Das regelmäßige Sechseck besteht aus
sechs solchen Bestimmungsdreiecken. Berechne den
Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks.
g⋅h
A Sechseck = 6 ⋅
2
Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks
5 cm ⋅ 4,33 cm
A Sechseck = 6 ⋅
2
A Sechseck = 64,95 cm 2
2016-8 r Lösungen – Qualifizierender Abschluss der Mittelschule – Mathematik 2016
r Hinweise und Tipps
3
a) Neuer Fahrradpreis
12 % Rabatt auf 550 e
100 % 550 E
1 % 550 E :100 = 5,50 E
12 % 5,50 E ⋅12 = 66, 00 E (Rabatt)
550 E – 66,00 E = 484,00 E (Endpreis)
oder:
100 % 550 E
1 % 550 E :100 = 5,50 E
88 % 5,50 E ⋅ 88 = 484, 00 E (Endpreis)
oder:
550 E ⋅ 0,88 = 484,00 E (Endpreis)
Der neue Fahrradpreis beträgt 484,00 E.
b) Ersparnis beim Kauf des Helms
80 % 79, 00 E
1 % 79, 00 E : 80 = 0,9875 E
20 % 0,9875 E ⋅ 20 = 19, 75 E (Ersparnis)
oder:
79,00 E : 0,8 = 98,75 E (alter Preis)
98,75 E – 79,00 E = 19,75 E (Ersparnis)
Charlotte spart beim Kauf des Helms 19,75 E.
c) Aktionspreis für die Knieschoner
119 % 49,98 E
1 % 49,98 E :119 = 0, 42 E
100 % 0, 42 E ⋅100 = 42, 00 E
Der Aktionspreis für die Knieschoner beträgt
42,00 e.
d) Barzahlungspreis für den Helm
2 % Skonto auf 79 E
100 % 79 E
1 % 79 E :100 = 0, 79 E
2 % 0, 79 E ⋅ 2 = 1,58 E (Skonto)
79 E – 1,58 E = 77,42 E (Barzahlung)
oder:
100 % 79 E
1 % 79 E :100 = 0, 79 E
98 % 0, 79 E ⋅ 98 = 77, 42 E (Barzahlung)
oder:
79,00 E ⋅ 0,98 = 77,42 E
Charlotte muss bar 77,42 E bezahlen.
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Der Preis für das Mountainbike ist gegeben.
Auf den Preis gibt es 12 % Rabatt.
Berechne den Rabatt und den verbilligten Preis in e.
Rechne mit dem Dreisatz.
r Es gibt 12 % Rabatt, d. h., es sind noch zu zahlen:
r 100 % – 12 % = 88 %
r Rechne mit dem Faktor.
r 88 % = 0,88
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Der Helm ist um 20 % reduziert. Der reduzierte Preis
entspricht 100 % – 20 % = 80 % des ursprünglichen
Preises.
Die Ersparnis beträgt 20 % des ursprünglichen Preises.
Rechne mit dem Dreisatz.
r
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r
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r
Rechne mit dem Faktor.
80 % = 0,8
Die Differenz aus dem alten Preis und dem reduzierten
Preis ist die Ersparnis.
r
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r
Im zu zahlenden Preis sind 19 % Mehrwertsteuer
enthalten. Der Grundwert wurde also um 19 %
vermehrt.
100 % + 19 % = 119 %
Der Preis ohne Mehrwertsteuer beträgt 100 %.
Berechne den Preis ohne Mehrwertsteuer in e.
Rechne mit dem Dreisatz.
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r
Auf den reduzierten Preis gibt es bei Barzahlung
2 % Skonto.
Berechne das Skonto und den Barzahlungspreis in e.
Rechne mit dem Dreisatz.
r Es gibt 2 % Skonto, d. h., es sind noch
r 100 % – 2 % = 98 % zu zahlen.
r Rechne mit dem Faktor.
r 98 % = 0,98
Lösungen – Qualifizierender Abschluss der Mittelschule – Mathematik 2016 r 2016-9
r Hinweise und Tipps
4
Flächeninhalt der zwei Dreiviertelkreise
r = 5 dm
3
A Dreiviertelkreise = 2 ⋅ ⋅ 5 dm ⋅ 5 dm ⋅ 3,14
4
A Dreiviertelkreise = 117, 75 dm 2
Flächeninhalt der zwei Rechtecke
a = r = 5 dm
b = hk = 12 dm
r
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r
Zerlege die Oberfläche des Körpers in berechenbare
Teilflächen.
Die Oberfläche besteht aus zwei kongruenten Dreiviertelkreisen, zwei kongruenten Rechtecken und einem
drei viertel Zylindermantel.
Berechne den Flächeninhalt der Teilflächen.
AKreis = r ⋅ r ⋅ π
Rechne mit π = 3,14.
r ARechteck = a ⋅ b
ARechtecke = 2 ⋅ 5 dm ⋅ 12 dm
ARechtecke = 120 dm2
Flächeninhalt des drei viertel Zylindermantels
r = 5 dm
hk = 12 dm
3
A Zylindermantel = ⋅ 2 ⋅ 5 dm ⋅ 3,14 ⋅12 dm
4
r AMantel = 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ hk
r Rechne mit π = 3,14.
r
A Zylindermantel = 282, 6 dm 2
Oberfläche des entstandenen Körpers
AO = 117,75 dm2 + 120 dm2 + 282,6 dm2
AO = 520,35 dm2
r Addiere alle Teilflächen.