Faktorisieren

Mathematik
Lektion 2
Faktorisieren
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Mathematische Hintergründe
Ziel beim Faktorisieren, ist es eine Summe so weit wie möglich in ein Produkt
umzuwandeln.
Für uns ist das wichtig, da wir sspäter Brüche kürzen wollen, wir aber in Brüchen nur - gemeinsame - Faktoren ”kürzen” dürfen.
Anders gesagt: Wir versuchen einen Term mit Pluszeichen so umzuschreiben,
dass so viele Malzeichen wie möglich da stehen.
Wenn etwas in jedem Summanden auftaucht, so dürfen wir es vor die Klammer
schreiben und innerhalb der Klammer is den Summanden weglassen.
Einfaches Beispiel: ab + ac = a(b + c)
Vorgehensweise:
Vorgehen
Unsere Ausgangssituation ist,
dass wir eine beliebige Summe vor uns haben.
Gemeinsamkeiten suchen
hier: a
Wir nehmen nun unser a und schreiben es vorne hin,
öffnen dann eine Klammer und schreiben den Rest hin,
lassen aber in der Klammer das a weg.
Dann schließen wir die Klammer wieder.
Nun können wir noch schauen ob wir eine Zahl finden,
durch die ich jede der Zahlen in der Klammer teilen kann
Hier können wir die 15 finden, da
15 · 1 = 15, 15 · (−2) = −30 und 15 · 3 = 45 gilt.
Nun können wir wie oben das a
die 5 nach vorne nehmen
Da wir nun nichts mehr finden können
sind wir an dieser stelle fertig und erhalten die Lösung
Beispiel
15ab − 30ac + 45a
15ab − 30ac + 45a
a(15b − 30c + 45)
a(15b − 30c + 45) =
=a(15 · b + 15 · (−2)c + 15 · 3)
15a(b − 2c + 3)
15a(b − 2c + 3)
Hinweis: Wenn man nicht gleich sieht, dass die 15 hier möglich ist, ist das nicht
schlimm. Man erkennt relativ leicht, dass die 5 ausklammerbar ist. Dann macht
man es eben Schritt für Schritt. Nachdem man die 5 ausgeklammert hat erkennt
man recht gut dass die 3 auch noch möglich ist.
a(15b − 30c + 45) = 5a(3b − 6c + 9) = 3 · 5a(b − 2b + 3) = 15a(b − 2c + 3)
Ausklammern kann man immer gleiche Elemente egal wie diese aussehen.
Also auch komplette Klammern, zum Beispiel:
ab + ac + xb + xc = ab + xb + ac + cx =
= b(a + x) + c(a + x) =
= (a + x)(b + c)
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Aufgabe 1.1 Faktorisieren Sie folgende Terme so weit wie möglich.
(Bis zur Aufgabe 34 solltet ihr das Faktorisieren einigermaßen beherrschen.Die
Aufgaben 35-38 sind etwas schwieriger wenn ihr sie nicht lösen könnt ist das
nicht schlimm. Im Unterricht sind wir auch noch nicht weiter.)
26. 3x + 9x
27. 38a2 + 19a2
28. x2 + 2xy + y 2
29. 3az − 7bz
30. −6f z − 4gz
31. 27as + 12a
32. 15b2 + 40ab − 30b (b2 = b · b)
33. ac + ad + bc + bd
34. 15xy − 6xz + 21ax
35. 12y − 20x + 5a2 x − 3a2 y
36. 36ac − 24ad − 45bc + 30bd
37. 16ac − 24bc − 40ad + 60bd
38. 12a2 c + 42a2 d − 20abc − 70abd
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