04_wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit
Gliederung
• Inferenzstatistik
• Definitionen für Wahrscheinlichkeiten
– Relative Häufigkeit
– Grenzwerte („Gesetz der großen Zahl“)
• Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Stochastische Unabhängigkeit
• Wahrscheinlichkeitsrechnung
– Additionstheorem
– Multiplikationstheorem
– Theorem von Bayes
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
04_wahrscheinlichkeit
1
Inferenzstatistik
• Die Inferenzstatistik („schlussfolgernde Statistik“) zieht aus den
Daten einer Stichprobe Rückschlüsse auf die zugrundeliegende
Population.
• Inferenzstatistik beruht auf Wahrscheinlichkeitsaussagen
• Beispiel:
– Bei den Psychologie Erstsemester 2008 in Freiburg schätzen die Männer
(31) ihre Statistikvorkenntnisse höher ein als die Frauen (24).
– „Ist das gleiche Muster auch für andere Semester (oder andere
Universitäten) zu erwarten?“
– „Wie wahrscheinlich ist es, dass in der Gesamt-Population aller
Psychologie-Studienanfänger Männer ihre Statistikkenntnisse höher
einschätzen als Frauen?“
– „Wie wahrscheinlich wäre das gefundene Ergebnis (Männer = 31; Frauen =
24), wenn es in der Population keinen Unterschied gäbe?“
04_wahrscheinlichkeit
2
Definitionen für Wahrscheinlichkeiten
Was bedeutet Wahrscheinlichkeit?
1. „a priori“ Wahrscheinlichkeit (Laplace)
–
Wahrscheinlichkeit ist der relativer Anteil der „günstigen Fälle“ an allen
möglichen Ereignissen:
p ( A) 
nA
N gesamt
2. „a posteriori“ Wahrscheinlichkeit (Bernoulli)
–
Wahrscheinlichkeit ist der Grenzwert der relativen Häufigkeit des
Eintretens der „günstigen Fälle“ bei sehr häufigem Durchführen eines
Zufallsexperimentes:
 ( A) 
lim
N 
04_wahrscheinlichkeit
nA
N
3
Relative Häufigkeit
• Die relative Häufigkeit ist ein Schätzer für die „a posteriori“
Wahrscheinlichkeit.
• Die relative Häufigkeit wird berechnet als die Anzahl der
Probanden mit einer bestimmten Ausprägung auf einer Variable
geteilt durch die Stichprobengröße.
Herkunft
Baden-Württemberg
Hessen
Bayern
Berlin
Rest
Gesamt
04_wahrscheinlichkeit
Häufigkeit
53
8
7
2
28
98
p
0.54
0.08
0.07
0.02
0.29
1.00
4
„Gesetz der großen Zahl“
• Für große Zahlen ist die relative Häufigkeit ein immer besserer
Schätzer für die (a posteriori) Wahrscheinlichkeit.
• Der Grenzwert der relativen Häufigkeit für „N gegen Unendlich“
entspricht der Wahrscheinlichkeit.
• Beispiel: Relative Häufigkeit des Ereignisses „BadenWürttemberg“ in Abhängigkeit von N:
0,80
0,60
p(98) =.54
0,40
0,20
0,00
0
04_wahrscheinlichkeit
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5
Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein
Ereignis (A) ist, wenn gleichzeitig ein anderes Ereignis (B) gegeben
ist.
• Beispiele
– Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person depressiv ist (Ereignis A), wenn
sie an chronischen Schmerzen leidet (Ereignis B)?
– Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Schüler durch eine Prüfung fällt
(Ereignis A), wenn es sich um einen Jungen handelt (Ereignis B)?
• Formale Schreibweise:
pA | B 
 „Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B“
04_wahrscheinlichkeit
6
Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann folgendermaßen berechnet
werden:
pA | B  
pA  B 
p B 
• p(A|B): Wahrscheinlichkeit von A gegeben B.
• p(A B): Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig zutreffen
• p(B): Wahrscheinlichkeit von B.
04_wahrscheinlichkeit
7
Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Beispiel: Chronische Schmerzen (S) und Depression (D)
– 5% der Bevölkerung leiden an chronischen Schmerzen.
– 2% der Bevölkerung leiden an chronischen Schmerzen und Depressionen.
p D | S  
p D  S 
p S 

. 02
 . 40
. 05
• Beispiel: Misserfolg in der Prüfung (P-) und Geschlecht (m)
Erfolg
Misserfolg
Männlich
12
3
Weiblich
14
1
p  P | m  
04_wahrscheinlichkeit
p  P  m 
p m 

. 10
 . 20
. 50
8
Stochastische Unabhängigkeit
• Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn die
Wahrscheinlichkeit für Ereignis A nicht vom Eintreten von Ereignis
B beeinflusst wird.
• Beispiel: 2 Würfelwürfe sind stochastisch unabhängig:
– Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln (p(6) = 1/6), ist unabhängig vom
Ergebnis des zweiten Würfels.
• Formal: Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B
entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit von A gegeben
„nicht-B“
p  A | B   p A | B   p  A
04_wahrscheinlichkeit
9
Stochastische Unabhängigkeit
Beispiel 1: Zwei Würfelwürfe
p W 1  6  
1
6
p W 1  6 | W 2  6  
p W 1  6 | W 2  6  
p W 1  6  W 2  6 
p W 2  6 

1 / 36

6 / 36
p W 1  6  W 2  6 
p W 2  6 

5 / 36
30 / 36
1
6

1
6
W2
1
2
3
4
5
6
1
2
W1
3
4
5
6
04_wahrscheinlichkeit
10
Stochastische Unabhängigkeit
Beispiel 2: Herkunft BW und Geschlecht
Herkunft
Männer
Frauen
Baden-Württemberg
14
38
sonstiges
7
37
p  BW | m  
14
p  BW | w  
38
 . 67
21
 . 51
75
– Formal: Keine Stochastische Unabhängigkeit von Herkunft und Geschlecht
– Aber: Exakt identische Werte sind in empirischen Erhebungen nie zu
erwarten
– Den statistischen Test für diese Fragestellung (Chi²-Test) lernen wir am
Ende des Wintersemesters kennen
04_wahrscheinlichkeit
11
Das Additionstheorem
• Mit dem Additionstheorem wird die Wahrscheinlichkeit
berechnet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.
• Beispiel:
– Wie wahrscheinlich ist es, eine 5 oder eine 6 zu würfeln?
– Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person im Laufe Ihres Lebens an einer
Angststörung und an einer depressiven Störung erkranken wird
(Lebenszeitprävalenz: Angststörungen: 15%, Depressivität: 10%)?
• Formale Schreibweise
– p(A B)
– „Wahrscheinlichkeit von A oder B“
04_wahrscheinlichkeit
12
Das Additionstheorem
• Bei „disjunkten“ Ereignissen, die niemals gleichzeitig auftreten,
werden die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach addiert:
p ( A  B )  p ( A)  p ( B )
• Wenn Ereignisse auch gemeinsam auftreten können, dann muss
die Formel ergänzt werden:
p  A  B   p  A   p B   p  A  B 
Depression
Angststörung
nein
ja
nein
.78
.07
ja
.12
.03
04_wahrscheinlichkeit
13
Das Multiplikationstheorem
• Mit dem Multiplikationstheorem wird die Wahrscheinlichkeit
berechnet, dass die Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten.
• Beispiel:
– Wie wahrscheinlich ist es, mit 2 Würfelwürfen jeweils eine 6 zu würfeln?
– Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person im Laufe Ihres Lebens an einer
Angststörung und an einer depressiven Störung erkranken wird
(Lebenszeitprävalenz: Angststörungen: 10%, Depressivität: 8%)?
• Formale Schreibweise
– p(A B)
– „Wahrscheinlichkeit von A und B“
04_wahrscheinlichkeit
14
Das Multiplikationstheorem
• Bei stochastisch unabhängigen Ereignissen werden die
Einzelwahrscheinlichkeiten einfach multipliziert:
p ( A  B )  p ( A)  p ( B )
• Wenn Ereignisse abhängig sind, dann muss folgende Formel
verwendet werden:
p  A  B   p  A | B   p B 
bzw.
p  A  B   p B | A   p  A 
04_wahrscheinlichkeit
Depression
Angststörung
nein
ja
nein
.78
.07
ja
.12
.03
15
Das Multiplikationstheorem
Beispiel
• Bei einer Untersuchungen von Schmerzpatienten stellen Sie fest,
das 30% der Schmerzpatienten gleichzeitig Medikamentenabhängig sind.
• 0.2 % der Bevölkerung leiden an einer chronischen
Schmerzerkrankung.
• Wie viel Prozent der Bevölkerung weisen sowohl eine
Schmerzerkrankung als auch eine Medikamentenabhängigkeit
auf?
p S  M
04_wahrscheinlichkeit
  p M
| S   p  S   . 30  . 002  . 0006  0 . 06 %
16
Das Theorem von Bayes
• Das Theorem von Bayes erlaubt es, die bedingten
Wahrscheinlichkeiten p(A|B) und p(B|A) in Beziehung zu setzen.
pA | B  
p  A   p B | A 
p B 
• Beispiel:
– 75% der Alkoholabhängigen sind Männer
– Lebenszeitprävalenz (insgesamt): 10%
– Wie hoch ist das Risiko für einen Mann eine Alkoholabhängigkeit zu
entwickeln?
p ( Alk . | m ) 
p ( Alk .)  p ( m | Alk .)
p (m )
04_wahrscheinlichkeit

0 . 10  0 . 75
 0 . 15
0 . 50
17
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Bisher haben wir die Wahrscheinlichkeit von Einzelereignissen
betrachtet.
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben die Auftretenswahrscheinlichkeiten für einzelne Werte einer Variable an.
• Beispiel Geschlecht:
– p(sex=„m“) = .22
– p(sex=„w“) = .78
• Beispiel Alter
–
–
–
–
–
p(age=18) = .03
p(age=19) = .19
p(age=20) = .21
p(age=21) = .10
…
04_wahrscheinlichkeit
18
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Da jede Person genau einen Wert für die Variable hat, sind die
Ereignisse disjunkt.
• Daher können Bereiche durch Addition zusammengefasst
werden:
– p(17<age<21) = p(age=18)+p(age=19)+p(age=20) = .43
– Insgesamt addieren sich alle Einzelwahrscheinlichkeiten immer zu 1

04_wahrscheinlichkeit
K
i 1
p  x  xi   1
19
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Graphische Darstellung
• 50% geben einen
Wert von 1 oder 2 an
• Die gemeinsame
Fläche der Balken
entspricht der
gemeinsamen
Wahrscheinlichkeit
04_wahrscheinlichkeit
20
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen für kontinuierliche Variablen
• Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt für jeden Wert
einer diskreten Variable die Auftretenswahrscheinlichkeit an.
• Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich ebenfalls,
wenn für die Auftretenswahrscheinlichkeit für alle Kategorien
einer Diskreten Variable angegeben wird (Histogramm).
• Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich, wenn für
eine kontinuierliche Variable unendlich kleine Kategoriebreiten
verwendet werden.
• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen heißen auch
„Dichtefunktion“
04_wahrscheinlichkeit
21
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Beispiel: Diskrete und Kontinuierliche Verteilung des
Optimismusfragebogens.
Hinweise:
• Die kontinuierliche Verteilung
ergibt sich nicht direkt aus den
Daten
• Im Beispiel wurde eine Normalverteilung angenommen.
04_wahrscheinlichkeit
22
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Interpretation kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Bei kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsvertelungen kann man
nicht mehr direkt eine Wahrscheinlichkeit für eine Ausprägung
der Variablen ablesen.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer kontinuierlichen Variable
exakt einen bestimmter Wert auftritt ist (theoretisch) unendlich
klein.
• Man kann aber Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Bereiche
einer Verteilung sehen.
• Dazu wird die Fläche der Verteilung herangezogen
04_wahrscheinlichkeit
23
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Interpretation kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Wert zwischen xmin und xmax
zu erhalten entspricht der Fläche unter der Verteilung zwischen
diesen Werten.
d
p
.30
f ( x ) dx
x min
.20
.10



.00
f ( x ) dx  1 . 00
x
xmin
04_wahrscheinlichkeit

x max
xmax
24
Die Normalverteilung
• Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der
Psychologie ist die Normalverteilung.
• Sie wurde von C.F. Gauss „entdeckt“ und war auf den alten
10 DM Scheinen abgebildet.
• Dort stand auch die Formel der Dichtefunktion der Normalverteilung:
f ( x) 
( x )
1
2  
e
2
2
2
2
• Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, weil in der Natur
sehr viele Merkmale (annähernd) normalverteilt sind.
04_wahrscheinlichkeit
25
Die Normalverteilung
• Jede Normalverteilung …
– hat einen „glockenförmigen“ Verlauf und
– ist symmetrisch (a3=0) und
– hat einen „normalen“ Exzess (a4 = 0)
• Es gibt unendlich viele Normalverteilungen
• Diese unterscheiden sich in Ihrem Mittelwert und in der
Standardabweichung (bzw. Varianz)
– Der Mittelwert (μ) gibt die Position des „Gipfels“ an.
– Die Standardabweichung (σ) gibt die Breite der Verteilung an.
04_wahrscheinlichkeit
26
Die Standardnormalverteilung
• Ein Normalverteilung mit einem Mittelwert μ=0 und einer
Streuung von σ=1 heißt Standardnormalverteilung.
• Werte einer Standardnormalverteilungen können besonders
einfach interpretiert werden, da die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten aus einer Tabelle im Statistikbuch
nachgeschlagen werden können.
• Jede normalverteilte Variable kann einfach in eine Standardnormalverteilung transformiert werden (z-Transformation)
x neu  z x 
04_wahrscheinlichkeit
x alt  ˆ
ˆ
27
Die Standardnormalverteilung
Beispiel z-Transformation der Optimismuswerte
Deskriptive Statistik
Standardabweic
N
Mittelwert
lot
98
Gültige Werte (Listenweise)
98
LOT
zLOT
27
1.08
23
-0.03
16
-1.97
19
-1.14
25
0.53
25
0.53
04_wahrscheinlichkeit
23,1020
hung
3,60266
z lot 
lot  23 . 10
3 . 60
28
Die Standardnormalverteilung
Interpretation von z-Werten (ungefähre Werte)
f(z)
2%
14%
-2
68%
-1
0
14%
1
2%
2
z
• Im Statistiklehrbuch findet man in der Tabelle zur Standardnormalverteilung für jeden z-Wert den Anteil der Fläche, die links
dieses Wertes liegt.
04_wahrscheinlichkeit
29
Zusammenfassung
• Die Inferenzstatistik verallgemeinert die Befunde einer
Stichprobe.
• Wahrscheinlichkeit ist der relativer Anteil „günstiger“ Ereignisse
an allen möglichen Ereignissen.
• Im Nachhinein kann die Wahrscheinlichkeit über relative
Häufigkeiten geschätzt werden.
• Das Gesetz der großen Zahl besagt, dass eine Abschätzung der
Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit immer genauer wird, je
größer die Stichprobe ist.
• Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich
Ereignis A ist, wenn man schon weiß, dass ein anderes Ereignis B
eingetreten ist.
04_wahrscheinlichkeit
30
Zusammenfassung
• Mit dem Additionstheorem kann berechnet werden, wie groß die
Wahrscheinlichkeit ist, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B
eintritt.
• Mit dem Multiplikationstheorem kann berechnet werden, wie
groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Ereignis A und Ereignis B
eintreten.
• Das Theorem von Bayes erlaubt es, die bedingten
Wahrscheinlichkeiten p(A|B) und p(B|A) in Beziehung zu setzen.
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen erlauben Aussagen über die
Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Merkmalsausprägungen.
• Viele Psychologische Merkmale sind normalverteilt.
• Eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 heißt Standardnormalverteilung.
04_wahrscheinlichkeit
31