Powerpoint-Vortrag

Slide 1

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 2

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 3

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 4

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 5

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 6

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 7

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 8

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 9

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 10

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 11

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 12

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 13

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 14

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 15

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 16

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 17

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 18

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 19

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 20

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 21

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 22

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 23

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 24

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 25

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 26

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 27

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 28

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 29

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 30

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 31

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 32

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 33

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 34

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 35

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 36

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 37

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 38

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 39

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 40

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 41

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 42

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 43

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44


Slide 44

Thomas Cassebaum

Stochastik
Permutationen
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Zufallsversuche
Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
Multiplikationssatz
Zufallsgrößen
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Formel
Binomialverteilung
Poissonverteilung
GeometrischeVerteilung

P(X=k )

0,3
0,2
0,1
0

2

4

6

8

Cassebaum, Stochastik SekII

1

Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt
sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben
verschieden anzuordnen?
TEAM
META
EMTA
ATEM
AMTE
TEMA
MATE
MEAT
ETAM
ATME

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen
aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

41 42 43 44 45 46 47 48 49

Cassebaum, Stochastik SekII

2

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n verschiedenfarbige Kugeln nebeneinander
zu legen?

Permutation
(ohne Wiederholung)

Fall n=1 :

Es gibt 1 Möglichkeit

→ 1! = 1

Fall n=2 :

Es gibt 2 Möglichkeiten → 1!  2 = 2! = 2
Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder
nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden.

Fall n=3:

Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2!  3 = 3! = 6
Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und
zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln
angeordnet werden.

Fall n+1

Annahme: Pn = n! = 1  2  …  n Möglichkeiten
Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!
Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also
insgesamt n+1 mal) angeordnet.
Cassebaum, Stochastik SekII

3

Permutation

Zur Anschauung:
Alle 24 Möglichkeiten für
vier verschiedene Kugeln:

(ohne Wiederholung)

1
2
3

4
5
6
1

2

3

4

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen
vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel
wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
Cassebaum, Stochastik SekII

4

Die fünf vom Trainer für das ElfBeispiel
meterschiessen ausgewählten
Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinander selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän
darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Varianten gibt es für die Reihenfolge?
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen
Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die
Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der
Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96
Die gesuchte Anzahl ist also 96.
Cassebaum, Stochastik SekII

5

Permutation

(mit Wiederholung)
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 10 Kugeln nebeneinander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb
und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge
gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.
Lösung :

2
3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
Es gibt 3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1! = 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙ 1 = 16.800 Möglichkeiten.
n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der
Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der
Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

n!
p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

Permutationen.
Es gilt:
Cassebaum, Stochastik SekII

6

Man bestimme die Anzahl
Beispiel
aller achtstelligen Wörter
aus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in
denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen.
Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA
Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB
Lösung:

Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenpermutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen,
die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

8!
5! 3!

 4  52

Die gesuchte Anzahl ist also 52.
Cassebaum, Stochastik SekII 7

1.
2.
3.
4.
5.

6.

Vier Schwimmer diskutieren über die
unterschiedlichen Startmöglichkeiten
auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?
Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Reihenfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern verschieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern
anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?
Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele
Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )
a) für die Teilnehmer des Halbfinales,
b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?
Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie
viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Reihenfolge zu stapeln?
Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus
Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten
kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln?
c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es
insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?
Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für
a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und
b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

Aufgaben

Cassebaum, Stochastik SekII

8

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Lösung:

Kombination
(ohne Wiederholung)

5
5!
120

3
  ( 5  3 )! 3!  2  6  10
 

Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich dadurch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k)
nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die
Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel
zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten
überein.

Allgemein gilt :

→ Cn

k

n
n!
   
( n  k )!k !
k 

Möglichkeiten.
Beispiel

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berechn
k
nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cn =   genannt.
k 
Cassebaum, Stochastik SekII

9

Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn k  n Kugeln aus n
verschiedenfarbigen Kugeln
zufällig bestimmt werden?
Annahme: Es gibt →
1

1 2 … n
1 … k

Induktionsbehauptung n, k: →
Induktionsbeweis

1 2 … n
n+1

1 … k

n
n!
Möglichkeiten.
  
( n  k )!k !
k 

Induktionsanfang :
n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

1

k+1

Binomialkoeffizient
1
1!

1 

1
( 0 )! 1!
 

n
n!
  
( n  k )!k !
k 

n+1, k+1: →

 n  1
n n 1
( n  1)!
n!( n  1)
n!
( n  1)

 



   
 k  ( n  1  k )!k ! ( n  k )!( n  1  k )  k ! ( n  k )!k ! ( n  1  k )  k  n  1  k
 n 
n!
n!( n  k )
n!
n  k n n  k

 



   
 k  1  ( n  k  1)!( k  1)! ( n  k  1)!( n  k )  k !( k  1) ( n  k )!k ! k  1  k  k  1
Cassebaum, Stochastik SekII

10

Beispielaufgaben:
n
n!
  
Wie viele Möglichkeiten
k
( n  k )!k !

gibt es für einen Mitspieler,
4 Karten der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe
beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die
zwei Karten im „Skat“, wenn man die
eigenen 10 Karten ausschliesst?

Beispiele

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler
je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

Lösung:
Es gibt

 32

 4


29  30  31  32
 
 35960 Möglichkeiten für Mau-Mau.
1 2 3  4


Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen
Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22
Es gibt demnach

 22

 2


21  22
 
 2 31
1 2


Möglichkeiten für den Skat.
Cassebaum, Stochastik SekII

11

Beispielaufgaben:
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, 6 Zahlen aus 49
Zahlen eines Lottoscheines
anzukreuzen?
Wie viele Varianten gibt es vier
verschiedene Schachfiguren auf
ein Schachbrett zu stellen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Beispiele

Lösung:
 49 
44  45  46  47  48  49
 
 13.983.816 Möglichkeiten im Lotto.
1 2 3  4 5  6
 6 

Es gibt 

 64 
61  62  63  64
 
 635 . 376 Möglichkeiten, vier Schachfelder
1 2 3  4
 4 

Es gibt 

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können
weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden.
Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier
verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.
Cassebaum, Stochastik SekII

12

Kombination

Wie viele Möglichkeiten
gibt es, wenn 3 Kugeln aus
(mitWiederholung)
fünf verschiedenfarbigen
Kugeln zufällig bestimmt
werden? Die Kugeln werden nach jeder Ziehung
wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis
Farben mehrfach auftreten.
Lösung:

 5  3  1
7
567



 

 35




3
1 2 3


3

Allgemein gilt :

→

 n  k  1
( n  k  1)!

 
k
( n  1)! k !



Die symbolische Darstellung ist

Möglichkeiten
Möglichkeiten.

Cn

W

k.
Cassebaum, Stochastik SekII

13

Wie kann man den
Term (a+b)n einfach
ausmultiplizieren?

Binomischer Lehrsatz

 n  n  k k  n  n  n  n 1
 n 
n n
nk
 a  b
( a  b )     a
 b    a    a  b  ...  
   b
k 0  k 
0
1
 n  1
n
n

n

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Binomialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem
Pascalschen Dreieck errechnet werden:
1

1

1

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern
immer 1, der Rest wird durch
Summation der darüber liegenden
Koeffizienten gebildet.
Beispiel: 15 = 10 + 5
(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³
Cassebaum, Stochastik SekII

14

6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer

7.

8.

9.

Aufgaben

Schulklasse für eine Volleyballmannschaft ausgewählt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?
b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11
Spielern ebenso viele Varianten?
Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26
Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Varianten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?
Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs
Plätzen frei.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die
freien Plätze auszuwählen?
b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler,
diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?
Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele
(Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen?
Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32
verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man
„Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.
Cassebaum, Stochastik SekII

15

Zufallsversuch

Zufallsversuch
Stufe 1

Stufe 2

n-stufig
…

Stufe n

Das Ergebnis 1 ist
Das Ergebnis setzt sich
ein Element der
aus den Teilergebnissen
Ergebnismenge Ω .
der Stufen (s1, s2, …, sn)
zusammen.
Ergebnis 
1

1=(s1, s2, …,sn)

E1



E2

E3

Ergebnismenge 

2

1
4

E

Ø
Ereignismenge 2

Die Ereignismenge ist
die Menge aller Teilmengen von Ω .

Ereignis E
{ 1, 2, 3 }

3
5

6
7

Das Ereignis E ist eine
Teilmenge der Ergebnismenge Ω .
Cassebaum, Stochastik SekII

16

Beispiel

2-facher Münzwurf
1.Münze

w = Wappen
z = Zahl

2.Münze

Das Wurfergebnis setzt sich
aus den Ergebnissen der
beiden Einzelwürfe (s1,s2)
zusammen.

Das Ergebnis (w,w)
ist ein Element der
Ergebnismenge Ω.

Ergebnis 
=(w,w)

…

(z,w)
(w,z)

(w,w); (z,z)



(z,z)
(w,w)

(w,z) (w,w)
(z,w);(z,z)

Ergebnismenge 

Ø

Ereignismenge

2

Die Ereignismenge enthält
alle Kombinationen möglicher Wurfergebnisse.

Ereignis E
{ (w,w); (z,z) }

Das Ereignis E  Ω
steht für den Fall,
dass beide Münzen
das gleiche zeigen.
Cassebaum, Stochastik SekII

17

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch mit minimal 2 möglichen
Ergebnissen i . Das Ergebnis
kann nicht vorhergesagt werden.

Zufallsversuch

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von
einem n-stufigen Zufallsexperiment.
Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergebnisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.

Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs,
wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element  zugeordnet
ist. Ein solches Element (Ereignis)  wird Elementarereignis genannt.
Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē
alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereignis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man sicheres Ereignis.
Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.
Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschiedene Teilmengen von Ω.
Cassebaum, Stochastik SekII

18

Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch,
weil es zwei (also mehrere) mögliche
Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“)
gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt
der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.

Beispiele

Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und
2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und
„Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält
4 = 22 Teilmengen von Ω.
Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist
unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder
„Wappen”) ist sicher.
Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}
ist

Ē = {1} = {„Zahl“}.
Cassebaum, Stochastik SekII

19

Beispielaufgaben:
a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spielwürfel alle möglichen Elementarereignisse!
b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des
Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne
Elementarereignisse repräsentieren!
c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen
Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der
Ereignismenge!
d) Notiere alle Elementarereignisse für den zweifachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!

Beispiele

Lösungen:
a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt
also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .
b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das
Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.
c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen  steht hier für „ODER“)
d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“
Cassebaum, Stochastik SekII

20

Lesen im Lehrbuch:
Kapitel C1: S.193 bis S.203

•C2 a)

Hausaufgaben

(S.204)
Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge  an und bestimme ||!
Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.
•C4
(S.205)
Gib die Ereignismenge 2 an !
a) 1 = { 0; 1 }
b) 2 = { 1; 2; 3 }
•C6
(S.205)
An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i }
Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4
C = A1 A2 A3 A4
D = 1  2  3  4
•C7
(S.205)
Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2
Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen
können für eine Ortsregion vergeben werden?
•C10
(S.205)
Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören!
•C11
(S.205)
Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer
registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!
a) Primzahl
b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl
d) größer als 12 e) kleiner als 8
f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17
Cassebaum, Stochastik SekII

21

Wird ein Zufallsexperiment (z.B.
Würfeln) 30-mal (n-mal) hintereinander ausgeführt und tritt dabei ein
bestimmtes Ergebnis  (z.B. 4) genau
7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E)
und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) bei n Versuchen.
Im Beispiel gilt demnach:

H30(4) = 7

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens
des Ergebnisses  (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n
Versuchen.
h ( i )

hn() = k/n mit (1) 0  h()  1 und (2) h(E)=  E
i

Im Beispiel gilt allso:
h30(4) = 7/30 = 0,233
hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%
Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}
h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

Cassebaum, Stochastik SekII

22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Auftretens von einer Sechs bei einem
Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wahrscheinlich
-keitsmaß

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden
möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.
Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß
P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und
allen möglichen Ereignissen herstellt.

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|
P(A) = Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann
für einen Wurf einfach errechnet
werden:

|A| 1
P(A) = |Ω| = 6

1
2
3

Das einzige günstige
Ereignis „Wurf der 6“
von insgesamt sechs
möglichen

4
5
6

Cassebaum, Stochastik SekII

23

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für
die 4 möglichen Versuchsergebnisse  = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit
Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Baumdiagramme
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten
zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergebnisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.
Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4
Baumdiagramm

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k)
Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrscheinlichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei
rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die
erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3
Cassebaum, Stochastik SekII

24

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne
Kugeln enthält, zwei Kugeln
nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die
zweite Kugel rot ist?

Baumdiagramme

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann
wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal
mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:
Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn
eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für
die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4
2/5

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

Baumdiagramm

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)
Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel
gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:
P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6
Cassebaum, Stochastik SekII

25

Beispiele

Beispielaufgaben:
In einer Urne befinden sich
je eine rote, grüne und blaue
Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und
danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste
gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!
Lösungen:
a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}.
Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen
Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .
b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach
der Laplace-Regel:
r
g
4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .
b
r
c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen
r
g
g
werden. Von den 6 möglichen Pfaden
b
{(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote
b
r
Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also
g
mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .
b
Cassebaum, Stochastik SekII

26

10. Ein idealer Würfel wird

Aufgaben

zweimal hintereinander
geworfen und jeweils die
Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“
B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“
C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“
D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“
B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“
C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.“

Cassebaum, Stochastik SekII

27

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des
Auftretens einer „6“ bei zwei
Würfen mit einem Würfel ?

Additionssatz

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.
1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines der
Ereignisse A oder B mit folgender
Formel errechnet werden kann:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6

Im Fall dieser Aufgabe gilt

Alle günstigen Ereignisse
mit 6, das rote gibt es nur
einmal!

P(A) + P(B) - P(AB) =
P(AB) =

1
6

+

1
6

−

1
36

11
36

Cassebaum, Stochastik SekII

28

Es werden aus einer Urne,
die drei rote und zwei grüne Kugeln
enthält, zwei Kugeln nacheinender
ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig
oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Beispiel
2/5 ∙ 1/4 = 1/10
1/4

Nach den Pfadregeln gilt:
P(A) = 1/10+3/10 = 4/10

und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:
P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)
= (4+6-3)/10 = 7/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10
3/4

3/5

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

3/5 ∙ 2/4 = 3/10
2/4

Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen,
dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des
Ereignisses AB ist.
Nach dem Additionssatz muss so
gerechnet werden:

2/5

{(r,g)}

{(g,r)}

{(r,r)}
B

A

{(g,g)}
Cassebaum, Stochastik SekII

29

Beispielaufgaben:
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim
zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem
Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem
Zurücklegen?
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses des Ziehens mindestens einer
„As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer
Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
mit sofortigem Zurücklegen?

Beispiele

Lösungen:
Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elementarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist
P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen:
P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523
b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen
Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe:
P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479
Cassebaum, Stochastik SekII

30

Multiplikationssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des
Auftretens der Augensumme 8 bei
einem Wurf mit zwei Würfeln! Das
Auftreten eines Paschs wird immer als
ungültig gewertet.
Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.
Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des
gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B
8 Augen
Pasch
mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A  B) = P(A|B) ∙ P(B)
P(A|B) =

P(A  B)
P(B)

(P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Es gilt:
A= 8 Augen B= kein Pasch
30

P(B) = 36 =
Ereignis

Ereignis

B

A

5
6

P(A|B) =

4
30

=

2
15

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) = 0,11

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.
Cassebaum, Stochastik SekII

31

In einer Urne befinden sich weiße und
schwarze Kugeln. Es soll experimentell
die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt werden, eine weiße Kugel aus der Urne zu
ziehen. Bestimme auch die Wahrscheinlichkeit ps , eine schwarze Kugel zu
ziehen!

BernoulliKette
Zähltabelle
1

0

21
13
Ein Lösung
Bernoulli-Experiment
ist ein
Zur
der Aufgabe wird
eine
s w
Zufallsexperiment
der
ErgebKugel
gezogen undmit
nach
farbgerechnismenge
(1
= für
{ 0 ; schwarz
1}.
ter
Zählung
und 0 für
weiß)
die Kugel
in die
zurückgeDas Ergebnis
1=1
trittUrne
im Erfolgsfall
legt.
DieWahrscheinlichkeit
Kugeln der Urne werden
gemischt
undmit
mit der
p, 2=0
tritt sonst
dann
wird eine weitere Kugel
gezogen und
der Wahrscheinlichkeit
1-p ein.
gezählt…
nEine -n-fache
Gesamtzahl
aller gezogenen
Kugeln
und unabhängig
voneinander
wausgeführte
- Zahl der
weißen Kugeln
Realisierung
eines Bernoullin der
w Längew
Experiments heisst Bernoulli-Kette
n.
Nach der Laplace-Regel gilt: ps =
pw =

n

34

n

n

Cassebaum, Stochastik SekII

32

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau zweimal 2 Sechsen bei
drei Würfen mit 2 Würfeln!
(nicht einmal und nicht dreimal!)

BernoulliFormel

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.
Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

n
b(n; p; k) = P(X=k) =
 pk  ( 1–p )n-k
k
In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit
k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben
wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs
bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.
3  35
105
3
2
3-2
b(3;1/36;2) = 2  (1/36)  (1-1/36) = 2 1 =
46656
36  36
= 0,00225

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Ergebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.
Nach der Laplace-Regel:

3  35
36

3



105
46656



0,00225
Cassebaum, Stochastik SekII

33

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
genau zweimal die Sechs, wenn dreimal
mit einem Würfel geworfen wird?

BernoulliFormel

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Einzelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüberblick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrachten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).
Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch.
Erfolg / Nichterfolg:

000-001-010-011-100-101-110-111

1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge
011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nichterfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße
Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weiteren Erfolgsfälle genauso groß.
Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten  n    3   3
bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).
k  2
3

Es gilt also: P(Erfolg=E) = 2 ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944
Allgemein gilt:

n
P(E) = b( n; p; k) = k ∙ pk ∙ (1-p)n-k

Cassebaum, Stochastik SekII

34

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer BernoulliKette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg
hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 .
Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einander auschließender
Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich
groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der
möglichen Erfolge zu multiplizieren.

BernoulliFormel

n
b(n; p; k) = P(X=k) = k  pk  (1-p)n-k

Faktor 1:

Faktor 3:

Binomialkoeffizient zur
(n-k)-faches Produkt der
Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit (1-p)
Anzahl der Möglichfür das Erreichen eines
keiten, k Elemente aus Faktor 2:
Einzel-Nicht-Erfolgs
insgesamt n Elemenk-faches Produkt der
ten zu erwählen.
Wahrscheinlichkeit p
für das Erreichen eines
Einzel-Erfolges
Cassebaum, Stochastik SekII 35

Wertermittlung zur
Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrechner oder dem PC auch die Tabelle
aus der Zahlentafel zur Wertermittlung benutzt werden. Praktisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:
n
5

n

k
0
1
2
3
4
5
k

0,05
0,7738
0,2036
0,0214
0,0011

0,10
5905
3281
0729
0081
0005

0,95

0,90

b(5;0,05;2) = 0,0214

1/6
4019
4019
1608
0322
0032
0001
5/6

0,20
3277
4096
2048
0512
0064
0003
0,80

k
5
4
3
2
1
0
k

1-p=0,2 n-k=3
b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 0,0512

1. Bestimmung des Bereiches für n.
2. Bestimmung der Spalte für p.
3. Bestimmung der Zeile für k.
4. Wert für b(n;p;k) ablesen.
Cassebaum, Stochastik SekII

36

12. Aus einem gut gemischten Skatspiel

Aufgaben

werden nacheinander (mit oder ohne
Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?
13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in
einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …
a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal,
c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,
f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.
14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …
a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,
c) … für genau einen Erfolg,
d) … keinen Erfolg.
e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforderlich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?
Cassebaum, Stochastik SekII

37

Verteilungen
diskreter Größen

Verteilungsfunktionen
ordnen den Werten der
Zufallsgrößen passende
Wahrscheinlichkeiten zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße
X: xi  pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({  und X(i ) = xi })
mit i{1; ...; n; ...}.
1
2
3
Die Verteilungsfunktion von X
ist F(x) = P(X x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

xi

1

2

3

P(xi)

0,2

0,5

0,3

Tabellarische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

F(x)
0,6

1

2

3

xi

P(X=xi )

  1 ...  n 


 P ( 1 ) ... P ( n ) 

2-zeilige Matrixschreibweise einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
0,6

0,4

0,4

0,2

0,2
1

2

3

xi

Stabdiagramm





 0 , 2 0 ,5 0 ,3 

P(X=xi )

Histogramm

1

2

3

xi

Cassebaum, Stochastik SekII

38

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und
2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2
Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel würfelt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal.
Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält
vom Verlierer die Augendifferenz in Cents ausgezahlt.
Welchen Würfel würdest du wählen?

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X:   ist eine Funktion, die jedem Ergebnis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine
diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Funktionswerte xi .
1/6
1/6

4/6

1/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 =
2/36
(1,3) 1/6 ∙ 1/6 =
1/36
(1,5) 3/6 ∙ 1/6 =
3/36
(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36
(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36
(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =
12/36
(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36
(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36
18/36 18/36

Die Wahrscheinlichkeiten des
Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide Würfel
gleich. Wie sind
aber die gewonnenen und verlorenen
Cents auf die
Spieler verteilt?
Cassebaum, Stochastik SekII 39

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt? Welchen Würfel würdest du
wählen?

Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße X:   ist die Funktion,
die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufallsexperimentes ein xi zuordnet.
Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:
Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines
X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

1/6

(1,2) =
(1,3) =
(1,5) =
(4,2) = 2
(4,3) = 1
(4,5) =
(6,2) = 4
(6,3) = 3
(6,5) = 1
11

Spieles der gegebenen
Aufgabe ist im Pfadmodell des 2-stufigen Zufallsversuches für beide
Würfel gleich,

-1 ∙ 2/36 = -2/36
-2 ∙ 1/36 = -2/36
-4 ∙ 3/36 = -12/36
∙ 8/36 =+16/36
∙ 4/36 = +4/36
-1 ∙12/36 = -12/36
∙ 2/36 = +8/36
∙ 1/36 = +3/36
∙ 3/36 = +3/36
-8
+6/36 = 1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n
wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.
Cassebaum, Stochastik SekII

40

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne
und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal
je eine Kugel gezogen und
zurückgelegt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit P(X=k)
werden dabei genau k { 0;…;5 }
grüne Kugeln gezogen?

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomialverteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“
(geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.
Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grünen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für
k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln
und darzustellen. Zur Wertermittlung sind
Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:
P(X=0)= 0,1681
P(X=3)= 0,1323

P(X=1)= 0,3602
P(X=4)= 0,0284

P(X=2)= 0,3087
P(X=5)= 0,0024

P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
0

1

2

3

4

Cassebaum, Stochastik SekII

5

41

Erwartungswert

Wie sind aber die gewonnenen und
verlorenen Cents auf die Spieler
verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden
Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der
zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe
zusammengefasst:
n

E(X) =
i 1

( x i P ( X  x i ))

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

i

1;2

1;3

1;5

4;2

4;3

4;5

6;2

6;3

6;5

xi

-1

-2

-4

+2

+1

-1

+4

+3

+1

P(x )

2/36

1/36

3/36

8/36

4/36

12/36

2/36

1/36

3/36

i
Der Erwartungswert
einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX
(X), X oder  geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert
der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der
Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro
Spiel 1/6 Cent
gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.
Cassebaum, Stochastik SekII

42

Zufallsgrößen können sich trotz
gleichem Erwartungswert erheblich unterscheiden, sie sind anders
„gestreut“.
a)

xi

1

2

3

P(xi)

1/3

1/3

1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

b)

Streuung
oder Varianz

xi

1

2

3

P(xi)

0,1

0,8

0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

c)

xi

1

2

3

P(xi)

0,4

0,2

0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu
erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für
diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische
Abweichung“, die Streuung  ² oder Varianz V(X) genannt wird.
V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn
a)
b)
c)

V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666
V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1
= 0,2
V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4
= 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung 
oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen
mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.
Cassebaum, Stochastik SekII

43

C++ und die
Binomialverteilung
P(X=k )
0,4
0,3
0,2
0,1

k
1

0

2

3

4

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n
Anzahl Zufallswerte n = 4
Wahrscheinlichkeit p = 0.3

Das dargestellte kleine C++Programm ermöglicht die Berechnung beliebiger Wertfolgen
zur Binomialverteilung.

B(4,0.3)(X=0)
B(4,0.3)(X=1)
B(4,0.3)(X=2)
B(4,0.3)(X=3)
B(4,0.3)(X=4)

=
=
=
=
=

0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081

Nochmal? [j/n] : _
Cassebaum, Stochastik SekII

44