1.1.5. Der Zentralwert - boehme

1.1.5. Der
Zentralwert
1.1.5. Der Zentralwert
Schreibt man die Zensuren aus unserem Beispiel der Größe nach
auf, so erhält man
1
3
1
3
1
4
1
4
2
5
2
5
2
6
Der ZENTRALWERT oder MEDIAN z halbiert die der Größe
nach geordnete Datenreihe. Bei gerader Anzahl der Daten ist der
Median gleich dem Mittelwert der beiden mittleren Werte.
In der Mitte unserer Datenreihe stehen die Zahlen 2 und 3. Der
Mittelwert daraus ist 2,5. Also ist der Zentralwert in unserem
Beispiel gleich 2,5.
1.1.6. Der Modalwert
1.1.6. Der Modalwert
Der MODALWERT m ist der am häufigsten beobachtete Wert.
Note
Anzahl
1
4
2
3
3
2
4
2
5
2
6
1
Die Note 1 ist mit der absoluten Häufigkeit 4 der am häufigsten
beobachtete Wert. Der Modalwert in unserem Beispiel ist 1.
1.1.7. Kenngrößen der
Streuung um den
Mittelwert
1.1.7. Kenngrößen der Streuung um den Mittelwert
Um die Abweichung der Werte vom arithmetischen Mittel zu
erfassen, benutzt man in der Stochastik die Spannweite d und die
mittlere quadratische Abweichung s2 .
Die SPANNWEITE d ist die Differenz zwischen dem größten
und dem kleinsten auftretenden Wert.
d = xmax - xmin
Für unsere Zensurenliste aus 1.1.1. ist die Spannweite d = 6 – 1,
also d = 5.
Die Spannweite ist sehr stark von Ausreißern abhängig.
1.1.7. Kenngrößen der Streuung um den Mittelwert
Die MITTLERE QUADRATISCHE ABWEICHUNG s2
kennzeichnet die Streuung der Werte um den Mittelwert. Sie
wird berechnet mit:
( x1  x)2  n1  ( x2  x)2  n2  ...  ( xn  x) 2  nn
2
s 
n
oder
s2  ( x1  x)2  h1  ( x2  x)2  h2  ...  ( xn  x)2  hn
Für unser Beispiel:
s2 = (1-2,86)2 · 0,29 + (2-2,86)2 · 0,21 + (3-2,86)2 · 0,14 + (4-2,86)2 · 0,14
+ (5-2,86)2 · 0,14 + (6-2,86)2 · 0,07
s2 = 2,67
Eine große Streuung lässt auf einen nicht geeigneten
Mittelwert schließen.
1.1.8. Die
Wahrscheinlichkeit
1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Werden Zufallsexperimente (z.B. Würfeln) ausreichend oft
durchgeführt, so nähert sich die relative Häufigkeit für ein
Ereignis einem stabilen Wert. Dieser stabile Wert ist die
WAHRSCHEINLICHKEIT P(E) (Empirisches Gesetz der großen
Zahlen).
P( E ) 
Anzahl der für E günstigenErgebnisse
Anzahl der m öglichenErgebnisse
1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Würfeln
E ist das Ereignis „Es wird eine Zahl kleiner als 4 gewürfelt“
Für dieses Ereignis sind die Ergebnisse 1; 2 und 3 günstig.
E = {1; 2; 3}
Beim Würfeln gibt es sechs verschiedene Ergebnisse.
P( E ) 
3
 0,5  50%
6
1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist immer kleiner
oder gleich 1.
1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist immer
gleich 1.
Ein sicheres Ereignis ist beim Würfeln z.B. „Es wird eine Zahl
kleiner als 7 gewürfelt.“.
1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist
immer gleich 0.
Ein unmögliches Ereignis ist beim Würfeln z.B. „Es wird eine
Zahl größer als 6 gewürfelt.“.
1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E und des
Gegenereignisses  beträgt zusammen immer 1.
Ist E beim Würfeln das Ereignis „Es wird eine gerade Zahl
gewürfelt.“, so ist  das Ereignis „Es wird eine ungerade Zahl
gewürfelt.“.
1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes
gleichwahrscheinlich (z.B. Würfeln), so gilt:
P( A) 
Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt
Anzahl der möglichen Ergebnisse
(LAPLACE-Formel)