Übungsblatt 1 - Helmut-Schmidt

Helmut-Schmidt-Universität
Herbsttrimester 2015
Universität der Bundeswehr Hamburg
Lehrstuhl für Angewandte Stochastik und
Risikomanagement
Dr. Rainer Schüssler
Spiel- und Entscheidungstheorie
Übungsblatt 1
Aufgabe 1:
A und B . Gegeben sind die gemeinsamen
P(A∩B) = 0.12 , P(A∩ B̄) = 0.29 und die bedingte Wahrscheinlichkeit
Betrachtet werden zwei Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
P(B | Ā) = 0.90.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
P(Ā ∩ B̄), P(Ā ∩ B), P(A), P(B), P(Ā), P(B̄),
P(A | B), P(B | A), P(A | B̄).
(b) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit
P(A ∪ B)
(d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass min-
destens eines der beiden Ereignisse auftritt)?
Aufgabe 2: In der Zeitung lesen Sie, dass ein arbeitsloser Bewohner von Gammelsdorf im
Lotto gewonnen hat. Sie machen sich Honung, dass es sich dabei um Ihren missratenen
Vetter Kalle handeln könnte, der aus Gammelsdorf stammt und dort wohnt. Gammelsdorfs
Bevölkerung hat einen Anteil von 30% Ausländern und eine Arbeitslosenquote von 8%.
Unter den Ausländern ist die Arbeitslosenquote 15%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der glückliche Gewinner ein Inländer ist?
Aufgabe 3:
In einem Betrieb sind 60% Männer beschäftigt. Von den Betriebsangehörigen
rauchen 30%. Unter den weiblichen Betriebsangehörigen ist der Anteil derer, die rauchen,
50%.
(a) Wie groÿ ist unter den Beschäftigten dieses Betriebs der Anteil
(i) der Raucherinnen,
(ii) der (männlichen) Raucher?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist jemand, der beliebig aus den Betriebsangehörigen
herausgegrien wird,
(i) männlich, falls er raucht?
(ii) Raucher, falls er männlich ist?
Aufgabe 4:
Eine Ölgesellschaft überlegt, ob sie einen seismischen Test durchführen soll,
bevor sie an einer Stelle nach Öl bohrt. Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis
0.6. Die Wahrscheinlichkeit, nach einem positiven Testergebnis Öl zu nden, beträgt
0.85. Für den Fall eines negativen Testergebnisses beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit 0.1.
beträgt
(a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit eines Ölfundes?
(b) Berechnen Sie die
Sensitivität
und die
Spezität
des seismischen Tests, d. h.
(i) die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses falls Öl vorhanden ist bzw.
(ii) die Wahrscheinlichkeit eines negativen Testergebnisses, falls kein Öl da ist.
Aufgabe 5:
Ein Vulkan bricht an einem beliebigen Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von
0.2% aus. In 99% aller Fälle werden am Vortag eines Vulkanausbruchs leichte Erdstöÿe gemessen. Gelegentlich treten solche Erdstöÿe aber auch ohne anschlieÿenden Vulkanausbruch
auf. Die Wahrscheinlichkeit eines leichten Erdstoÿes, gegeben dass der Vulkan anschlieÿend
nicht
ausbricht, beträgt 3%.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beobachtet man an einem beliebigen Tag leichte Erdstöÿe?
(b) Angenommen, eines Tages werden leichte Erdstöÿe gemessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist damit zu rechen, dass am Folgetag ein Vulkanausbruch stattnden wird?
Aufgabe 6:
Der Inhaber eines Ausugsrestaurants überlegt am Freitagmorgen, wie viele
Torten er für den Sonntag bestellen soll. Für den Fall, dass es regnet, rechnet er mit so
geringem Besuch, dass nur zwei Torten verkauft werden. Regnet es nicht, rechnet der Wirt
mit 20 Torten Absatz. Der Einkaufspreis einer Torte beträgt 10
E, der Erlös 30 E. Der
Inhaber will nur zwischen den Alternativen Zwei Torten, Fünf Torten und Zehn Torten
wählen. Sein Ziel ist Gewinnmaximierung. Stellen Sie eine Entscheidungsmatrix auf.
Aufgabe 7:
Die Diagnose einer Blinddarmentzündung ist niemals sicher. Es besteht also
bei Anzeichen einer solchen Erkrankung das Problem, entweder sofort zu operieren - in
dem Bewusstsein, dass es unnötig gewesen sein mag - oder abzuwarten. In letzterem Fall
kann der Blinddarm durchbrechen, was zu einem ernsteren Zustand des Patienten führt als
eine einfache Blinddarmentzündung.
Gehen
Sie
von
folgender
Situation
aus:
Ein
18-jähriger
Mann
wird
mit
Schmerzen
eingeliefert. Die Untersuchungsergebnisse sind einigermaÿen vereinbar mit einer Blinddarmentzündung, aber nicht sonderlich typisch dafür. Die Resultate von Labortests und
Röntgenaufnahmen sind unklar. Es gilt nun zu entscheiden, den Patienten entweder sofort
zu operieren oder lieber 12 Stunden abzuwarten und dann zu operieren, falls es dem
Patienten bis dahin nicht besser geht.
Nehmen Sie an, die a priori-Wahrscheinlichkeit für eine Blinddarmentzündung sei bekannt, ebenso stehen die Ergebnisse verschiedener Untersuchungen zur Verfügung, so
dass mit Hilfe des Bayes-Theorems eine a posteriori-Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen
einer Blinddarmentzündung ermittelt werden konnte. Im vorliegenden Fall wurde eine
Wahrscheinlichkeit von 56% für das Vorliegen einer akuten Blinddarmentzündung errechnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein entzündeter Blinddarm durchbricht, wurde mit 6%
angenommen.
Als
Ziel
wird
die
Minimierung
der
Todeswahrscheinlichkeit
angenommen.
Diese
be-
trägt 0,0009 (also 0,9%) bei Entfernung eines entzündeten und 0,0004 bei Entfernung eines
gesunden Blinddarms; bei der Entfernung eines durchbrochenen Blinddarms beträgt sie
0,0064.
Stellen
Sie
das
Entscheidungsproblem
in
einem
Entscheidungsbaum
dar
und
ermit-
teln Sie, ob eine sofortige Operation oder Abwarten die bessere Wahl darstellt, um die
Todeswahrscheinlichkeit zu minimieren.
Aufgabe 8: Betrachten Sie die folgenden Lotterien a und b:
30
60%
20%
60%
a
40
50
40%
20
20%
40%
b
50%
10
10%
10
70
(a) Berechnen Sie jeweils die erwartete Auszahlung der Lotterien.
(b) Nutzen Sie das Konvexitäts- und Unabhängigkeitsaxion, um beide Lotterien jeweils
als einfache Lotterien darzustellen und berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit,
xmax
zu erhalten, wenn als Nutzenfunktion
u(x) = ln(x)
unterstellt wird.
(c) Berechnen Sie den jeweiligen Erwartungsnutzen der beiden Lotterien. Welche bevorzugen Sie?
(d) Wie hoch ist das jeweilige Sicherheitsäquivalent für die Lotterien?
(e) Wie hoch ist die jeweilige Risikoprämie für die Lotterien?