Blatt 13

Prof. Dr. Matthias Birkner
Peter Nelson
13. Übung zur Vorlesung
„Einführung in die Stochastik“
im Wintersemester 2016/2017
Die Lösungen zu diesem Übungsblatt sollen nicht abgegeben werden und werden nicht mehr
in den Übungen besprochen. Die Aufgaben sollen Ihnen die Gelegenheit geben, einige grundlegende bzw. schon etwas zurückliegende Inhalte der Vorlesung zu wiederholen.
Aufgabe 1:
Eine p-Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Kopf fällt.
(a) Es sei An , n ∈ N das Ereignis, dass genau beim n-ten Wurf erstmalig Kopf fällt. Drücken
Sie die folgenden Ereignisse mengentheoretisch aus und berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit.
i. Es fällt nie Kopf.
ii. Irgendwann fällt Kopf.
iii. Kopf fällt erstmalig nach einer geraden Anzahl von Würfen.
iv. Kopf fällt erstmalig nach einer ungeraden Anzahl von Würfen.
(b) Sei X die Anzahl der Würfe, bevor zum ersten Mal Kopf fällt. Geben Sie die Verteilung,
den Erwartungswert und die Erzeugendenfunktion von X an.
Aufgabe 2:
Eine Bundestagsfraktion bestehe aus 11 Männern und 19 Frauen. Die Fraktion muss für 5 Ausschüsse je 6 Mitglieder abordnen, wobei niemand in mehr als einem Ausschuss tätig sein kann.
Da keine Einigung erzielt werden kann, wird zufällig (gemäß der Gleichverteilung) eingeteilt,
wer in welchem Ausschuss sitzt.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in jedem Ausschuss mindestens eine Frau aus
dieser Fraktion sitzt?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abordnung für den Finanzausschuss paritätisch besetzt ist?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der Abordnungen nicht paritätisch
besetzt sind?
Aufgabe 3:
Seien X eine Zufallsvariable mit Werten in N0 und f, g : N0 → R zwei beschränkte, monoton
wachsende Funktionen. Zeigen Sie:
Cov[f (X), g(X)] ≥ 0.
Aufgabe 4:
Seien p ∈ (0, 1) und Xi , i ∈ Z u.i.v. Zufallsvariablen mit P (X1 = 1) = p = 1 − P (X1 = 0).
Weiter nennen wir einen Punkt i ∈ Z isoliert, falls Xi+1 = Xi = 0. Mit anderen Worten:
{Xi = 1} bedeutet „die Punkte i − 1 und i sind durch eine Kante miteinander verbunden“ und
{Xi = 0} „es gibt keine Kante zwischen i − 1 und i“.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unendlich viele Punkte isoliert sind.
(b) Es bezeichne Sn = #{i ∈ {1, ..., n} : i ist ein isolierter Punkt} die Anzahl der isolierten
Punkte aus {1, ..., n}. Zeigen Sie, dass Sn ein schwaches Gesetz der großen Zahl erfüllt,
d.h. es gilt für alle > 0
Sn
n→∞
2
P − (1 − p) > −→ 0.
n
Warum folgt die Aussage nicht aus dem in der Vorlesung bewiesenen schwachen Gesetz
der großen Zahl?
Aufgabe 5:
(Box-Muller-Methode)
Seien U, V unabhängige, auf (0, 1) gleichverteilte Zufallsvariablen, sowie R =
R cos(2πV ) und Y = R sin(2πV ).
√
−2 log U , X =
(a) Bestimmen Sie die Dichtefunktion von R und berechnen Sie P (R ≥ r), r ∈ (0, ∞).
(b) Zeigen Sie, dass X und Y unabhängig und N0,1 -verteilt sind. [Hinweis: Benutzen Sie die
Polarkoordinatentransformation von Doppelintegralen.]
Aufgabe 6:
Bei einer Werbeaktion eines Versandhauses bekommen die ersten 1000 Einsender einer Bestellung eine Damen- bzw. Herrenarmbanduhr geschenkt. Wir nehmen an, dass sich beide
Geschlechter gleichermaßen von dem Angebot angesprochen fühlen. Wie viele Damen- und
Herrenarmbanduhren sollten vorrätig sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% alle
1000 Einsender eine passende Uhr erhalten? Verwenden Sie (i) die Tschebyscheff-Ungleichung
und (ii) eine Normalapproximation.
Aufgabe 7:
Wir betrachten ein simples Wettermodell mit den drei Zuständen „sonnig“, „bewölkt“ und „regnerisch“ in diskreter Zeit. Wir nehmen an, dass es, wenn an einem Tag die Sonne scheint, am
nächsten Tag mit 60%-iger Wahrscheinlichkeit wieder sonnig ist, mit 30%-iger Wahrscheinlichkeit bewölkt ist und mit 10%-iger Wahrscheinlichkeit regnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass
auf einen bewölkten Tag ein sonniger folgt, betrage 30%, dass ein bewölkter Tag folgt 20%
und dass ein regnerischer Tag folgt 50%. Ist es an einem Tag regnerisch, scheine mit Wahrscheinlichkeit 0% am nächsten Tag die Sonne, es sei mit Wahrscheinlichkeit 10% bewölkt und
mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit wieder regnerisch. Es bezeichne Xn den Wetterzustand zur
Zeit n ∈ N0 . Wir fassen (Xn )n∈N0 als diskrete Markovkette auf.
(a) Geben Sie den Zustandsraum und die Übergangsmatrix an.
(b) Ist X aperiodisch bzw. irreduzibel?
(c) Geben Sie eine Gleichgewichtsverteilung π zu X an. Ist X reversibel?
(d) Berechnen Sie Pπ (X0 = sonnig | X2 = regnerisch).
(e) Berechnen Sie die erwartete Zeit bis zum Verlassen des Zustandes „bewölkt“, wenn wir
in diesem starten.
(f) Wir nennen einen Tag n einen traurigen Regentag, wenn Xn = regnerisch und Xn−1 6=
regnerisch. Heute regnet es. Wie lange müssen wir in Erwartung auf den nächsten traurigen Regentag warten?
(g) Es regnet nun bereits seit zwei Wochen ununterbrochen. Wie lange müssen wir in Erwartung auf den nächsten traurigen Regentag warten?
Aufgabe 8:
Es werden n Proben einer radioaktiven Substanz untersucht und jeweils die Anzahl der in einer
bestimmten Zeit zerfallenen Atomkerne gemessen. Es ist bekannt, dass diese Zahl zufällig und
Poisson-verteilt mit unbekanntem Parameter λ > 0 ist. Dieser soll anhand der gemessenen
Zerfallszahlen x1 , ..., xn geschätzt werden.
(a) Geben Sie das entsprechende statistische Modell an.
(b) Geben Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für λ an.
(c) Berechnen Sie den bias und die Varianz dieses Schätzers und überprüfen Sie, ob er eine
konsistente Folge von Schätzern definiert.