Aufgabensammlung zum Seminar der Lehrveranstaltung

H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Aufgabensammlung
zum Seminar
der Lehrveranstaltung
Microwave and RF Technology“
”
Hinweis:
Die Reihenfolge der in den einzelnen Bereichen angegebenen Aufgabenstellungen ist
willkürlich und stellt keine Wertung bezüglich des Schwierigkeitsgrades dar !
Hinweise auf Fehler in der Aufgabensammlung oder auch Änderungsanregungen werden gerne entgegengenommen, z.B. unter:
[email protected]
Stand: 30.11.2010
1
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Übersicht über die Aufteilung der Bereiche
in der Aufgabensammlung
Microwave and RF Technolgy“
”
1. Passive, lineare Bauelemente
( Kapitel 2 ) 1
2. Elektronische Schaltungen
( Kapitel 4 )
3. Passive Transformations- und Kompensationsschaltungen
( Kapitel 3 )
4. Grundlagen der Leitungstheorie
( Kapitel 5 )
5. Leitungstransformationen, Leitungsdiagramm 2. Art (Smith-Chart)
( Kapitel 6 )
6. Kenngrößen von Hochfrequenz-Leitungen
( Kapitel 7 )
7. Lösungen (Endergebnisse) zu den einzelnen Aufgaben
Anhang
A. Aktuelle Formelsammlung
B. Leitungsdiagramm 2. Art (Smith-Chart)
1
Die Kapitelangaben in dieser Aufzählung beziehen sich auf die entsprechenden Kapitel des Vorlesungsmanuskriptes !
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Bereich 1
Passive, lineare Bauelemente
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Aufgabe 1.1:
1.1.1 Geben Sie die äquivalente Leitschichtdicke a in Form einer zugeschnittenen Größengleichung an.
Wie gross ist die äquivalente Leitschichtdicke a für die Materialien Silber
(κ = 62 Sm/mm2 ), Kupfer (κ = 58 Sm/mm2 ), Gold (κ = 43,5 Sm/mm2 ), Messing
(κ = 13 Sm/mm2 ) und Graphit (κ = 0,046 Sm/mm2 ) bei den Frequenzen f = 1 MHz,
1 GHz und 100 GHz ?
1.1.2 Wie gross ist der spezifische Oberflächenwiderstand ρ’ bei den in der Aufgabe 1.1.1
angegebenen Materialien und Frequenzen ?
1.1.3 Wie groß ist die Dicke δ einer Silberauflage zu wählen, damit praktisch sie allein
den spezifischen Oberflächenwiderstand ρ’ bestimmt. Benutzen Sie als Kriterium die
Annahme, dass der Betrag der Stromdichte S z im Material bezogen auf den Betrag
der Stromdichte S z0 an der Leiteroberfläche den Wert 1/100 annimmt !
1.1.4 Gegeben sei eine Bandleitung mit der Breite bB = 10 mm. Berechnen Sie den Widerstandsbelag RB0 der Bandleitung bei den Frequenzen aus Aufgabe 1.1.1, wenn das
Leitermaterial aus Kupfer bzw. aus Messing ist sowie Hin- und Rückleiter aus dem
selben Material sind!
1.1.5 Gegeben sei nun eine Koaxialleitung mit den Abmessungen D = 1,7 mm und
d = 0,5 mm. Führen Sie die unter Aufgabe 1.1.4 durchgeführte Rechnung für diese Koaxialleitung durch.
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Aufgabe 1.2:
Die komplexe Impedanz Z eines technischen Widerstandes wurde bei verschiedenen Frequenzen entsprechend der unten angegebenen Tabelle vermessen.
Messfrequenz f
0 MHz
1 MHz
1000 MHz
Rgem
Z gem
100 Ω
(100 + j0, 1) Ω
(reell) > R (f = 0 MHz)
1.2.1 Geben Sie auf der Basis der Messwerte und mit Hilfe geeigneter Vereinfachungen
ein näherungsweise gültiges Ersatzschaltbild für den Widerstand an.
1.2.2 Bestimmen Sie Näherungswerte für die Elemente R0 , LE und CE des Ersatzschaltbildes.
1.2.3 Welcher Widerstandswert Rgem wird bei der Frequenz f = 1000 MHz etwa gemessen ?
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Aufgabe 1.3:
Die komplexe Impedanz Z eines technischen Widerstandes wurde bei verschiedenen Frequenzen entsprechend Tabelle 1 vermessen.
Messfrequenz f
0 Hz
1 MHz
500 MHz
Z
1000Ω
996Ω − j62, 5Ω
1Ω
Tabelle 1
R
C
R
L
R
C
L
Schaltung 1
R
C
Schaltung 2
L
Schaltung 3
C
R
L
C
R
Schaltung 4
C
L
L
Schaltung 5
Schaltung 6
L
R
R
L
C
C
Schaltung 7
Schaltung 8
1.3.1 Prüfen Sie die angegebenen Schaltungen 1–8 daraufhin, ob sie das elektrische Verhalten des Widerstandes korrekt wiedergeben. Geben Sie zu jedem angegebenen
Ersatzschaltbild eine kurze Begründung durch Vergleich des Impedanzverhaltens
mit den Messwerten.
1.3.2 Welches physikalische Verhalten bzw. welche Eigenschaft repräsentieren die Elemente des gewählten Ersatzschaltbildes ?
1.3.3 Ermitteln Sie mit geeigneten Vernachlässigungen die unbekannten Elemente R, L
und C des passenden Ersatzschaltbildes.
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Aufgabe 1.4:
Für drei sog. SMD-Bauelemente (Spule, Widerstand und Kapazität) wurden mit Hilfe
einer verlustfreien Leitung mit dem Wellenwiderstand ZC entsprechend Bild 1 die
Reflexionsfaktoren r2 als Funktion der Frequenz f gemessen.
Ri
_r2
1
2
Z C = 50 Ω
UQ
1´
SMD-Bauelement
2´
Bild 1
Die drei zugehörigen, gemessenenen Ortskurven r2 = f (Frequenz) sind in den Bildern 2
bis 4 dargestellt.
1.4.1 Geben Sie zu jeder der drei gemessenen Ortskurven an, um welches Bauelement es
sich dabei handelt. (Kurze Begründung !)
1.4.2 Geben Sie für jedes Bauelement das zu der jeweiligen Ortskurve passende Ersatzschaltbild an.
1.4.3 Bestimmen Sie für das Bauelement mit der Ortskurve a) aus Bild 2 die einzelnen
Elemente des zugehörigen Ersatzschaltbildes.
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Aufgabe 1.5:
Bild 1 zeigt drei verschiedene Ersatzschaltbilder für einen technischen Kondensator. Die
Impedanz Z dieses technischen Kondensators wurde bei drei verschiedenen Frequenzen f
gemessen. Die Ergebnisse sind in die Tabelle 1 eingetragen.
C
C
R
R
b)
a)
L
L
C
L
c)
R
Bild 1
f / MHz
Z/ kΩ
0
106
0.01
0.0253-j159.2
5000
j0.031
Tabelle 1
1.5.1 Welche der gezeigten Ersatzschaltungen repräsentiert den technischen Kondensator, dessen Meßwerte in der Tabelle 1.1 vorgegeben sind ? Geben Sie eine kurze
Begründung für jedes Ersatzschaltbild bezüglich Ihrer Entscheidung.
1.5.2 Ermitteln Sie möglichst einfach (Näherungen benutzen !) die Elemente C, L und R
des von Ihnen ausgewählten Ersatzschaltbildes mit Hilfe der vorgegebenen Meßwerte.
1.5.3 Wie groß ist der Verlustfaktor tan δC und die Güte QC des technischen Kondensators
bei der Frequenz f = 10 kHz ?
(Benutzen Sie geeignete Vernachlässigungen !)
1.5.4 Berechnen Sie die Resonanzfrequenz fRes des technischen Kondensators unter Verwendung des von Ihnen ausgewählten Ersatzschaltbildes.
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Aufgabe 1.6:
Bild 1 zeigt vier verschiedene Ersatzschaltbilder für eine technische Festinduktivität. Die
Impedanz Z 1 dieser technischen Induktivität wurde bei drei verschiedenen Frequenzen f
gemessen. Die Ergebnisse sind in die Tabelle 1 eingetragen.
a)
c)
1
1
C
R
R
L
L
b)
1
R
L
1’
1’
C
1’
d)
1
C
R
L
1’
C
Bild 1
f / MHz
Z 1/ Ω
0
≈ 0,15
1000
≈ (0,15 + j2,074)
6000
≈ 103,2 k
Tabelle 1
1.6.1 Welche der gezeigten Ersatzschaltungen repräsentiert die technische Induktivität,
deren Meßwerte in der Tabelle 1.1 vorgegeben sind? Geben Sie eine kurze Begründung für jedes Ersatzschaltbild bezüglich Ihrer Entscheidung.
1.6.2 Ermitteln Sie möglichst einfach (Näherungen benutzen!) die Elemente C, L und R
des von Ihnen ausgewählten Ersatzschaltbildes unter Verwendung der vorgegebenen
Meßwerte.
1.6.3 Wie groß ist der Verlustfaktor tan δL der technischen Induktivität bei der Frequenz f = 1000 MHz ?
1.6.4 Bis zu welcher Frequenz f1 (Brauchbarkeitsgrenze) läßt sich die Festinduktivität
benutzen, wenn man als Kriterium zuläßt, dass die scheinbare Vergrößerung der
Induktivität kleiner 5 Prozent betragen soll ?
Hinweis:
Benutzen Sie bei den Unterpunkten 1.6.3 und 1.6.4 geeignete Vernachlässigungen
und gehen Sie davon aus, dass der Widerstand R im gewählten Ersatzschaltbild
frequenzunabhängig ist!
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Bereich 2
Elektronische Schaltungen
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Aufgabe 2.1:
Gegeben ist eine Verstärkerschaltung nach Bild 1 bestehend aus einem Transistor und
einem abstimmbaren, verlustfreien Parallelschwingkreis. Der Transistor lässt sich durch
das Kleinsignal–Ersatzschaltbild nach Bild 2 charakterisieren.
Für die Leistungsverstärkung Gm , bei Anpassung von Generator und Last sowie
Resonanzabstimmung des Schwingkreises auf die jeweilige Arbeitsfrequenz, wurden die
Messwerte in der unten stehenden Tabelle 1 ermittelt.
2
1
C
U1
1’
L
s .U1
G
U2
U1
G1
G2
S
2’
Bild 1
D
S
Bild 2
f0
100 kHz
100 MHz
0
Gm
20 dB
10 dB
Tabelle 1
2.1.1 Geben Sie eine allgemeine Gleichung für den Betrag der Spannungsverstärkung
|V U (f )| = |U 2 /U 1 | bei Abschluss des Resonanzkreises mit einem Lastleitwert GL
an.
2.1.2 Leiten Sie daraus eine Gleichung für die Leistungsverstärkung Gm = PAus /PEin bei
der Frequenz f0 ab (bei Anpassung von Generator und Last).
2.1.3 Ermitteln Sie mit Hilfe der Tabelle näherungsweise die 3-dB-Frequenz der Steilheit s
und die Transistor-Laufzeit τ .
2.1.4 Ermitteln Sie näherungsweise die maximale Schwingfrequenz fmax .
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Aufgabe 2.2:
Ein einfacher Bandfilter-Verstärker nach Bild 1 besteht aus einem Feldeffekt-Transistor
(FET) in sog. Sourceschaltung, aus einem Parallelschwingkreis (CP , tan δC , LP , tan δL ),
dessen Elemente verlustbehaftet sind, sowie aus einem reellen Verbraucher (R3 ), der zur
Anpassung an den Parallelschwingkreis über einen idealen Übertrager (w1 , w2 ) angekoppelt ist. Das Kleinsignal-Ersatzschaltbild des Feldeffekt-Transistors wird in Bild 2 gezeigt.
D
Ri
1
w1 : w 2
2
G
LP
U
_Q
3
U
_1
CP
_3
U
U
_2
R3
tan δ L tan δ C
1´
S
2´
3´
ü : 1
Bild 1
−sU
_ _ GS
G
U
_ GS C GS
R DS
RGS
D
C DS
S
U
_ DS
S
Bild 2
Zahlenwerte:
RGS = 400 kΩ
CGS = 3 pF
RDS = 150 kΩ
CDS = 1.5 pF
tan δL = 10−2
R3 = 10 kΩ
tan δC = 10−3
2.2.1 Zeichnen Sie das Gesamtersatzschaltbild des Bandfilter-Verstärkers unter Verwendung des Ersatzschaltbildes für den Feldeffekt-Transistor. Verwenden Sie
zur Beschreibung der verlustbehafteten Bauteile des Parallelschwingkreises eine
Parallelschaltung bestehend aus dem jeweiligen Element und dem zugehörigen
Verlustwiderstand.
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Zunächst sei die zusätzliche Kapazität CP = 0 !
2.2.2 Bestimmen Sie die notwendige Induktivität LP für eine Mittenfrequenz
f0 = 100 MHz des Bandfilter-Verstärkers.
2.2.3 Wie groß muß das Übersetzungsverhältnis ü = w1 : w2 des idealen Übertragers
gewählt werden, damit der Bandfilter-Verstärker eine Bandbreite von ∆f = 2 MHz
aufweist ?
2.2.4 Berechnen Sie allgemein die Spannungsverstärkung V U = U 3 /U 1 sowie das
Verstärkungs-Bandbreite-Produkt V U · ∆f jeweils bei der Mittenfrequenz f0 .
Aufgrund von Bauteil-Streuungen des Feldeffekt-Transistors kann die ausgangsseitige Kapazität CDS des Transistors um bis zu +10 % variieren.
2.2.5 Wie groß ist die maximale Abweichung der Bandmittenfrequenz f0 in Prozent bei
dieser Kapazitätsabweichung ?
Zur Verringerung der Änderung der Bandmittenfrequenz f0 soll nun eine zusätzliche Kapazität CP parallelgeschaltet werden. Zur Herstellung der alten Bandmittenfrequenz f0
0
werde eine neue, passende Induktivität Lp benutzt !
2.2.6 Wie groß muß das Verhältnis CP /CDS gewählt werden, damit bei einer Erhöhung
der Transistor-Ausgangskapazität CDS um 10% nur noch eine Frequenzvariation von
0,5 % existiert ?
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Aufgabe 2.3:
Gegeben sei ein einkreisiger Resonanzverstärker nach Bild 1, der durch das Ersatzschaltbild nach Bild 2 beschrieben wird.
Der Verstärker habe die maximale Spannungsverstärkung |V U |max = 100 bei der Resonanzfrequenz f0 = 1 MHz und die 3-dB-Bandbreite ∆f (1) = 10 kHz.
1
2
U1
U2
1´
−s U1
1
U1
2´
LP
2
RP
CP
1´
U2
2´
Bild 1
Bild 2
Zur Erhöhung der Verstärkung werden zwei der gegebenen Verstärker in Kette geschaltet.
(2)
2.3.1 Welche maximale Spannungsverstärkung |V U |max hat der so gebildete zweistufige
Verstärker ?
2.3.2 Wie groß ist die 3-dB-Bandbreite ∆f (2) des zweistufigen Verstärkers ?
Um für den zweistufigen Verstärker die gleiche Bandbreite ∆f zu erhalten wie für den
ursprünglich gegebenen einstufigen Verstärker (∆f (1) = ∆f (2) ), sollen die Schwingkreise
jeder Stufe in gleicher Weise zusätzlich bedämpft werden.
0
2.3.3 Wie groß muss die Bandbreite ∆f (1) der einzelnen Verstärkerstufe gewählt werden,
damit die oben genannte Bedingung erfüllt wird ?
2.3.4 Wie groß wird für diesen Fall die Verstärkung der Einzelstufe und wie groß die
Verstärkung des zweistufigen Verstärkers ?
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Aufgabe 2.4:
Bild 1 zeigt das Ersatzschaltbild eines zweistufigen, selektiven Verstärkers, der aus
zwei identischen Einzelkreisen aufgebaut ist.
Die einzelne Verstärkerstufe bestehe aus einem Feldeffekt-Transistor (s, RE , RA ) und einem Parallelschwingkreis, der mit einem verlustbehafteten Kondensator (C, tan δC ) und
mit einer verlustbehafteten Spule (L, tan δL ) aufgebaut ist. Die Mittenfrequenz der Gesamtschaltung sei f0 = 10 MHz.
- s U0
0
RE
U0
0´
Verstärkerstufe
RE = 455 kΩ
RA = 40 kΩ
s = 5 mS
RA
R ; C ; L
- sU1
1
RE
U1
R ; C ; L
2
1´
fM = 10 MHz
RE
U2
RA
2´
Schwingkreis
C = 100 pF
tan δC = 1 · 10−3
tan δL = 4 · 10−3
Bild 1
2.4.1 Wie groß muss die Induktivität L der Spule gewählt werden ?
2.4.2 Bestimmen Sie den Betrag der Spannungsgesamtverstärkung V U,0 der Schaltung
zwischen den Klemmen 0 − 00 und den Klemmen 2 − 20 bei der Mittenfrequenz f0 .
2.4.3 Ermitteln Sie die Bandbreite ∆f der gesamten Verstärkerschaltung.
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Aufgabe 2.5:
Der Schmalbandverstärker nach Bild 1 enthält drei identische Verstärkerstufen. Jede Stufe enthält einen Verstärker mit dem Eingangswiderstand RE , der Steilheit S und dem
ausgangsseitigen Innenwiderstand Ri (Bild 2). Die Ausgangsseite eines jeden Verstärkers
ist mit einem Schwingkreis (L, C, Q0 ) belastet. Die dritte Verstärkerstufe ist mit dem
Widerstand RA = RE abgeschlossen.
(1)
0
(2)
(3)
1
3
2
UQ
RA
0´
1´
3´
2´
L = 1, 267 µH
C = 200 pF
Q0 = 200
RA = 400 kΩ
Bild 1
- sU0
0
U0
RE
1
Ri
0’
RE = 400 kΩ
U1
1’
Ri = 40 kΩ
s = 5 mA/V
Bild 2
2.5.1 Bei welcher Frequenz f0 besitzt der Verstärker seine maximale SpannungsGesamtverstärkung |V U |max ?
(1) 2.5.2 Berechnen Sie den maximalen Betrag der Verstärkung V U einer einzelnen
Verstärkerstufe und deren 3-dB-Bandbreite ∆f (1) .
2.5.3 Berechnen Sie die 3-dB-Bandbreite ∆f (3) des gesamten, dreistufigen Verstärkers.
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Aufgabe 2.6:
Bild 1 zeigt das Ersatzschaltbild einer einzelnen selektiven Verstärkerstufe, bei der die
Belastung des Schwingkreises durch den Verstärker bereits berücksichtigt wurde. Die
Mittenfrequenz des Verstärkers sei f0 = 16 MHz.
1
- s U1
2
U1
U2
1’
f0
s
QL
RP
=
=
=
=
16 MHz
5 mA/V
150
25 kΩ
2’
Bild 1
(1)
2.6.1 Bestimmen Sie den Betrag der maximalen Verstärkung |V U |max dieser einzelnen
Verstärkerstufe sowie deren 3-dB-Bandbreite ∆f (1) .
Nun werden zwei dieser Verstärkerstufen mit der gleichen Dimensionierung wie in Aufgabe
2.6.1 in Kette geschaltet.
2.6.2 Wie groß ist in diesem Fall die 3-dB-Bandbreite ∆f (2) und der Betrag der maximalen
(2)
Verstärkung |V U |max des zweistufigen Verstärkers ?
2.6.3 Durch welche Maßnahmen kann man erreichen, dass bei gleicher Mittenfrequenz der
Einzelstufen die 3-dB-Bandbreite des zweistufigen Verstärkers wieder den gleichen
Wert annimmt wie die einer einzelnen Stufe nach Aufgabe 2.6.1 ?
2.6.4 Wie groß ist für den unter Aufgabe 2.6.3 angegebenen Fall die 3-dB-Bandbreite der
einzelnen Verstärkerstufe ?
2.6.5 Wie groß ist in diesem Fall die maximale Verstärkung der einzelnen Stufe und die
des gesamten zweistufigen Verstärkers ?
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Aufgabe 2.7:
Bild 1 zeigt eine einfache Verstärkerschaltung, die auf einen reellen Verbraucher (R2 )
arbeitet, der kapazitiv (C2 ) belastet ist. Das Ersatzschaltbild für den in der Schaltung
verwendeten Feldeffekttransistor wird in Bild 2 gezeigt.
D
Ri
G
1
U1
UQ
2
U2
1’
S
C2
R2
2’
U Q = 10 V
Ri = 20 kΩ
R2 = 40 kΩ
C2 = 1 pF
Bild 1
G
UGS
D
R gs
s UGS
R ds
S
Rgs = 10 kΩ
UDS
S
s = s = 10 mA/V
Rds = 40 kΩ
Bild 2
2.7.1 Bestimmen Sie allgemein die Spannungsverstärkung V U = U 2 /U 1 , zeichnen Sie die
Ortskurve für die Frequenzabhängigkeit V U (f ) in die komplexen Ebene ein und
kennzeichnen Sie die Lage der sogenannten 3 dB-Frequenz !
2.7.2 Ermitteln Sie die Leistungsverstärkung G = P2 /PG als Funktion der Frequenz f .
Hinweis:
PG - vom Generator an die Schaltung abgegebene Leistung,
P2 - vom Verbraucher aufgenommene Leistung.
Wie groß ist die Leistungsverstärkung G bei der Frequenz f0 = 1 GHz und geben
Sie diesen Wert in dB an.
0
2.7.3 Nun werde bei der Frequenz f0 = 1 GHz an den Klemmen 2 − 2 zur Kompensation
der kapazitiven Belastung eine passende Induktivität parallel geschaltet.
Wie groß muss die Induktivität L gewählt werden ?
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2.7.4 Ermitteln Sie für diesen Fall die Leistungsverstärkung G0 und geben Sie den Wert
ebenfalls in dB an.
2.7.5 Wie groß ist die Güte unter Last QL sowie die Bandbreite ∆f der kompensierten
Verstärkerschaltung ?
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Bereich 3
Passive Transformations- und
Kompensationsschaltungen
Hinweis:
Die Aufgaben dieses Kapitels sollen rechnerisch gelöst werden.
Sie eignen sich aber auch, als Ergänzung zum Kapitel 5, die Lösungen zeichnerisch im
Smith-Chart durchzuführen !
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Aufgabe 3.1:
Ein Verstärker hat eine Eingangsimpedanz Z E = RE · (1 − j 0.1) und soll über eine
geeignete Transformationsschaltung an einen Generator mit dem Innenwiderstand
Ri = 50 · RE angepasst werden.
3.1.1 Geben Sie den/die prinzipiellen Transformationsweg(e) in der Impedanzebene an
(ohne Zahlenwerte) !
3.1.2 Geben Sie eine geeignete Transformationsschaltung bestehend aus nur zwei idealen
Blindelementen an.
Hinweis:
Stellen Sie dabei die Transformationsschaltung so zusammen, dass Sie die sogenannte Resonanztransformation verwenden können.
3.1.3 Berechnen Sie die zur Transformation notwendigen Blindwiderstände bzw. Blindleitwerte.
3.1.4 Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse aus Unterpunkt 3.1.3 mit Hilfe der vereinfachten
Beziehungen für die Resonanztransformation.
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Aufgabe 3.2:
Bei einer gegebenen Frequenz f0 kann die Eingangsimpedanz Z E eines Transistorverstärkers durch die Parallelschaltung eines Widerstandes RE mit einem kapazitiven
Blindwiderstand derselben Grösse |XE | = RE beschrieben werden.
Zur Anpassung an die Generator-Innenimpedanz Z i = (RE /10) · (1 + j) soll eine möglichst
einfache Transformationsschaltung angegeben werden.
3.2.1 Skizzieren Sie die Eingangsimpedanz Z E in der Impedanzebene in Abhängigkeit von
der Frequenz f0 .
3.2.2 Geben Sie den Transformationsweg in der Impedanz-Ebene ohne Bestimmung von
Zahlenwerten an.
3.2.3 Geben Sie eine geeignete Transformationsschaltung aus nur zwei Bauelementen an.
3.2.4 Ermitteln Sie die zur Anpassung notwendigen Blindwiderstände bzw. Blindleitwerte
in Abhängigkeit vom Widerstand RE .
25
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Aufgabe 3.3:
Ein sog. Collins- oder PI-Filter wird entsprechend Bild 1 zur Anpassung eines GeneratorInnenwiderstandes Ri an einen Lastwiderstand R2 = 2Ri verwendet. Die Serieninduktivität LS ist nur für drei Werte variierbar (XLS = ωLS ∈ {Ri ; 1, 25Ri ; 2Ri }). Die Kapazität
C1 ist fest eingestellt auf die Impedanz |XC1 | = 1/(ωC1 ) = Ri während die Kapazität C2
beliebig verändert werden kann.
Ri
UQ
LS
1
C1
2
C2
1´
R2
2´
Bild 1
3.3.1 Zeichnen Sie den Weg für die Transformation der Impedanz Z 2 = R2 = 2Ri
von den Klemmen 1 - 1´ zu den Klemmen 2 - 2´ in die komplexe z-Ebene ein
(Maßstäbliche Zeichnung !).
3.3.2 Welche Einstellung der Induktivität LS führt zur besten Annäherung an die exakte
Impedanztransformation bei der Anpassung des Abschlusswiderstandes R2 an den
Generatorwiderstand Ri ?
3.3.3 Wie muss die Kapazität C1 verändert werden (größer oder kleiner), damit die exakte
Transformation der Abschlussimpedanz Z 2 in die Eingangsimpedanz Z 1 = R1 = Ri
mit der gewählten Induktivität gelingen kann ?
26
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Aufgabe 3.4:
Bild 1 zeigt das Ersatzschaltbild einer sogenannten Anpassungsschaltung, mit der eine
Antenne an eine Speiseleitung mit dem Wellenwiderstand ZC = 50 Ω angepasst werden
soll. Die Eingangsimpedanz Z A der Antenne sei Z A = RA + jXA .
L1
1
2
ZC
L2
1’
ZA
2’
Z A = RA + jXA
mit
RA = 10 Ω und XA = −200 Ω
ZC = 50 Ω
Bild 1
3.4.1 Bestimmen Sie die zur Anpassung notwendigen Reaktanzen X1 und X2 der beiden
Spulen.
27
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Aufgabe 3.5:
Bild 1 zeigt das Ersatzschaltbild einer sogenannten Anpassungsschaltung, mit der eine
Antenne bei der Frequenz f = 10 MHz an die Speiseleitung (ZC ) angepasst werden soll.
Die Eingangsimpedanz Z A der Antenne sei Z A = RA + jXA .
C
1
0
1
1110
000
01
1
0
1
2
L
1111
0000
1’
ZA
ZC
2’
Z A = RA + jXA
mit
RA = 10 Ω und XA = −70 Ω
ZC = 50 Ω
f = 10 MHz
Bild 1
3.5.1 Ermitteln Sie die Größe der Induktivität L und der Kapazität C so, dass Anpassung
erzielt wird.
28
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Aufgabe 3.6:
Ein Verbraucher mit der Impedanz Z 2 = 100 Ω + j1000 Ω soll mit Hilfe eines aus zwei
verlustfreien Kondensatoren bestehenden Halbgliedes nach Bild 1 in den Eingangswiderstand Z 1 = R1 = 200 Ω transformiert werden.
1
0
0
1
0
1
B2= ω0 C2
1
2
Z
B ωC
Z 100Ω + j1000Ω
1
0
00000
11111
11
00
111111111111
000000000000
1111
0000
1
1
=
0
1
2
1’
=
2’
Z 1 = R1 = 200 Ω
Bild 1
3.6.1 Ermitteln Sie rechnerisch die erforderlichen Leitwerte B1 = ω0 C1 und B2 = ω0 C2 .
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Aufgabe 3.7:
Bild 1 zeigt das Ersatzschaltbild einer sogenannten Anpassungsschaltung, mit der eine
Antenne an die Speiseleitung (ZC = 50 Ω) angepasst werden soll. Die Eingangsimpedanz
Z A der Antenne lasse sich dabei durch die Reihenschaltung eines Widerstandes RA mit
einer Kapazität CA beschreiben.
1
1
1111
0000
1’
01
0
1
L
1010
11 1010
00
1010
1010
1010
10
ZA
s
2
L2
s’
ZC
2’
Z A = RA + jXA
mit
RA = 8 Ω und XA = −400 Ω
ZC = 50 Ω
f = 30 MHz
Bild 1
3.7.1 Bestimmen Sie für die Frequenz f = 30 MHz die beiden zur Anpassung notwendigen
Induktivitäten L1 und L2 .
Hinweis:
Formulieren Sie zunächst die Anpassbedingung bezüglich der Klemmen s - s´ !
30
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Aufgabe 3.8:
Bild 1 zeigt ein sogenanntes Collins-Filter, welches neben der Filterung die Aufgabe hat,
einen Verbraucher (R2 ) an eine Leitung (ZC ) anzupassen. Die Kapazitäten C1 und C2
seien beliebig einstellbar (0 ≤ C1 , C2 < ∞), während die Spule eine fest vorgegebene Induktivität L der Größe L = ZC /ω0 habe, wobei ZC der Wellenwiderstand der
Anschlussleitungen und f0 = ω0 /2π die Betriebsfrequenz der Schaltung sei.
0110
1010 111
000
000
111
1010 111
000C
1010
Z
10000
111
10
L
1
ZC
1
0
0
1
0
1
00
11
0
00
11
C 1
0
00 1
11
0
1
0
1
0
1
Z
0
1
111
000
0
1
2
1
R2 = 5 . Z C
2
1’
2’
1
L = ZC /ω0
2
Bild 1
3.8.1 Bestimmen Sie die normierten Blindleitwerte jb1 = jω0 C1 ZC und jb2 = jω0 C2 ZC , die
den gegebenen Verbraucher an die Leitung anpassen (Z 1 = ZC ).
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Bereich 4
Grundlagen der Leitungstheorie
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Aufgabe 4.1:
Gegeben sei die Schaltung nach Bild 1. Die Kapazitäten und deren Abstand L wurden so
gewählt, dass an den Klemmen 1 − 1´ Anpassung besteht. Leitung und Kondensatoren
seien verlustfrei !
Ri = ZC
11111111111111
00000000000000
1
ZC
UQ
2
C
ZC
111
000
11111111111111
00000000000000
0
1
0
1
0 0000
1
0
1111
0000
1111 0
11
1’
L
U Q = 20 V
Ri = ZC = 50 Ω
l
ω C ZC = 5
L/λ = 0.56
ZC = 50 Ω
11
00
Z 2 = ZC
C ZC
2’
Z 2 = ZC = 50 Ω
Bild 1
U(l )
00
11
1010
10100101
101001
1010
1001
101001
1111111111111111111
0000000000000000000
10
50
40
30
20
10
0V
l
1-1’
2-2’
Bild 2
4.1.1 Bestimmen Sie den Betrag der Spannung |U 2 | an den Klemmen 2 − 2´.
4.1.2 Skizzieren Sie den Spannungsverlauf |U (l)| in Bild 2.
Hinweis: Die Spannungswerte können aus dem Smith-Chart abgelesen werden !
4.1.3 Ermitteln Sie Ort und Betrag der minimalen und maximalen Spannung |U min | und
|U max | auf der Leitung.
33
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Aufgabe 4.2:
In der in Bild 1 dargestellten Schaltung speist ein Generator zwei Verbraucher mit
den Widerständen R3 und R5 . Mit Hilfe der Transformationsleitungen mit den Wellenwiderständen ZC2 bzw. ZC3 soll erreicht werden, dass beide Verbraucher je die halbe
verfügbare Leistung des Generators aufnehmen.
Ri
1
UQ
2
ZC1
1´
3
Z C2
2´
R3
Ri = ZC1 = 50 Ω
5
Z C4
Z C3
3´
λ
4
U Q = 10 V
4
4´
5´
λ
4
R3 = 400 Ω
ZC4 = R5 = 25 Ω
Bild 1
4.2.1 Ermitteln Sie den Wellenwiderstand ZC3 so, dass die von den beiden Widerständen
R5 und R3 aufgenommenen Leistungen gleich groß sind.
4.2.2 Ermitteln Sie den Wellenwiderstand ZC2 so, dass die von den Verbrauchern aufgenommenen Leistungen jeweils gleich der halben verfügbaren Leistung sind.
4.2.3 Berechnen Sie die Beträge der Spannungen |U 1 |, |U 3 | und |U 5 |.
34
R5
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Aufgabe 4.3:
Bild 1 zeigt die Zusammenschaltung zweier verlustloser Leitungen mit den Wellenwiderständen ZCI und ZCII , die von einem Generator (U Q , Ri = ZCI ) gespeist werden und
mit einem Abschluss Z 3 versehen sind.
Ri
1
UQ
2
3
Z C II
ZC I
1´
2´
Z3
3´
l1
l2
UQ = 10 V
ZC I = 50 Ω
ZC II = 250 Ω
Ri = ZC I = 50 Ω
l1 /λ = 0.375
l2 /λ = 0.304
Z 3 = (200 + j650) Ω
Bild 1
Bestimmen Sie für beide Leitungsabschnitte dem Betrag nach
4.3.1 die Spannungen der hinlaufenden Wellen |U H I | und |U H II |,
4.3.2 die Spannungen der rücklaufenden Wellen |U R I | und |U R II | sowie
4.3.3 die Maximal- und Minimalwerte der Spannungen |U I |max , |U II |max , |U I |min und
|U II |min .
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Aufgabe 4.4:
Die Leitung in Bild 1, die an den Klemmen 1-1´ von einer Spannungsquelle (U Q , Ri )
gespeist wird und an den Klemmen 3-3´ mit der Impedanz Z 3 abgeschlossen ist, ist an
den Klemmen 2-2´ mit der Kapazität C2 beschaltet.
_r 2,I _r 2,II
Ri
1
UQ
2
ZC,I
3
Z C , II
C2
1´
2´
3´
lI
U Q = 10 V
Ri = ZC
lI =
R3
l II
λ
2
ZC = 50 Ω
ω0 C2 = 16 mS
lII = 38 λ
R3 = 3 · ZC
Bild 1
Bestimmen Sie mit Hilfe des Leitungsdiagramms 2. Art (Smith-Chart)
4.4.1 den Eingangsreflexionsfaktor r2,II des Leitungsabschnittes II und den Eingangsreflexionsfaktor r2,I des Leitungsabschnittes I an den Klemmen 2-2´,
4.4.2 den Eingangsreflexionsfaktor r1 an den Klemmen 1-1´,
4.4.3 den maximalen und minimalen Betrag |U I |max und |U II |min der Spannung auf dem
Leitungsabschnitt I sowie
4.4.4 den maximalen und minimalen Betrag |U I |max und |U II |min der Spannung auf dem
Leitungsabschnitt II.
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Aufgabe 4.5:
Bild 1 zeigt die Zusammenschaltung dreier verlustloser Leitungen mit den Wellenwiderständen ZC1 , ZC2 und ZC3 . Die Schaltung wird an den Klemmen 1-1´ von einem
Generator (U Q , Ri ) gespeist und an den Klemmen 4-4´ mit dem Widerstand R4 abgeschlossen.
Ri
1
2
ZC1
UQ
ZC2
1´
U Q = 10 V
Ri = ZC1 = 50 Ω
f0 = 300 MHz
3
2´
4
R4
ZC3
3´
l1
l2
ZC1 = 50 Ω
l1 = l3 = 2 l2
εr1 = εr2 = εr3 = 1
4´
l3
l
R4 = ZC3 = 200 Ω
Bild 1
4.5.1 Bestimmen Sie für die Frequenz f0 = 300 MHz die minimale Länge l2 und den Wellenwiderstand ZC2 der zweiten Leitung so, dass durch den Widerstand R4 der maximal mögliche Strom fließt.
4.5.2 Zeichnen Sie für diesen Fall den Betrag der Spannung |U (l)| und des Stromes |I(l)|
für alle drei Leitungsstücke.
Die Frequenz f werde nun auf f = 2 f0 erhöht.
4.5.3 Ermitteln Sie für die drei Leitungsstücke die Anpassungsfaktoren m1 , m2 und m3 .
4.5.4 Zeichnen Sie für diese neue Frequenz f = 2 f0 den Betrag der Spannung |U (l)| und
den Betrag des Stromes |I(l)| für alle drei Leitungsstücke.
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Aufgabe 4.6:
Bild 1 zeigt zwei Leitungen mit den Wellenwiderständen ZCI = 50 Ω und ZCII = 100 Ω,
die durch eine Induktivität L2 miteinander verbunden sind. Die Schaltung werde an den
Klemmen 1-1´ von einer Spannungsquelle (U Q , Ri ) gespeist und sei an den Klemmen 4-4´
mit einem reellen Widerstand R4 = ZCII /4 = 25 Ω abgeschlossen.
i
1
UQ
2
2
3
4
ZC I
1´
2´
lI
U Q = 10 V
Ri = ZCI = 50 Ω
R4
ZC II
3´
4´
lII
l´
l´´
ω L2 = 150 Ω
ZCI = 50 Ω
lI = 0, 5 λ
ZCII = 100 Ω
lII = 0, 324 λ
R4 = 25 Ω
Bild 1
Bestimmen Sie mit Hilfe des Leitungsdiagramms 2. Art (Smith-Chart)
4.6.1 den maximalen und minimalen Betrag |U I |max und |U I |min der Spannung sowie den
maximalen und minimalen Betrag |I I |max und |I I |min des Stromes auf dem Leitungsabschnitt 1,
4.6.2 den maximalen und minimalen Betrag |U II |max und |U II |min der Spannung sowie
den maximalen und minimalen Betrag |I II |max und |I II |min des Stromes auf dem
Leitungsabschnitt 2.
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Aufgabe 4.7:
Auf einer verlustfreien Koaxialleitung (D, d, εr ) hat sich in der Schaltung nach Bild 1
bei der Frequenz f = 100 MHz eine Spannungsverteilung so eingestellt, dass der Abstand zwischen zwei benachbarten Spannungsminima den Wert ∆l = 1 m annimmt. Das
Verhältnis von |U |min zu |U |max ist m = 0, 3 (Bild 2). Der Verbraucher (V) nimmt dabei
die Wirkleistung P2 = 250 mW auf.
Schnitt A - B
A
εr
G
V
111111111
000000000
0000000
1111111
000000000
111111111
0000000
1111111
000000000
111111111
101111111
0
1
0000000
000000000
111111111
10 10 10
0000000
1111111
000000000
111111111
101111111
0
1
0000000
0
1
000000000
111111111
10 10 10
0000000
1111111
000000000
111111111
1010 10 1010
000000000
111111111
011000
11 10
100000
1111000
11110
10
d
B
D
Generator
Koaxialleitung
Verbraucher
Abmessungen
f = 100 MHz
m = 0, 3
∆l = 1m
P2 = 250 mW
D = 5 mm
d = 1, 115 mm
Bild 1
U(l)
l
∆l
Bild 2
Berechnen Sie mit diesen Angaben
4.7.1 die Dielektrizitätszahl εr des Dielektrikums,
39
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4.7.2 den Wellenwiderstand ZC der Leitung,
4.7.3 den maximalen Betrag der Spannung auf der Leitung |U |max ,
4.7.4 den Induktivitätsbelag L’ und
4.7.5 den Kapazitätsbelag C’ der Leitung.
40
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Aufgabe 4.8:
Nach Bild 1 wird eine Leitung, die mit dem ohmschen Widerstand R2 abgeschlossen ist,
von einem Generator (U Q , Ri ) gespeist. Die Leitung ist zunächst luftgefüllt (ZC0 , εr = 1).
Bei der Frequenz f0 des speisenden Generators ist die leere Leitung gerade eine Wellenlänge lang (L = λ0 ).
Ri
1
2
ZC ,ε r
UQ
R2
1´
2´
L
L
1) ZC
εr
2) εr
U Q = 10 V
Ri = 100 Ω
l
= λ0
= ZC0 = 100 Ω
=1
= 1, 5625
R2 = 50 Ω
Bild 1
4.8.1 Wie groß ist die Leistung P2 , die der ohmsche Widerstand R2 aufnimmt ?
4.8.2 Bestimmen Sie die Beträge der maximalen Spannung |U max | und der minimalen
Spannung |U min | auf der Leitung !
Nun werde die Leitung mit einem Dielektrikum der Dielektrizitätszahl εr = 1, 5625
gefüllt. Die geometrischen Abmessungen der Leitung sowie der Leitungsabschluss und
der speisende Generator bleiben unverändert.
Ermitteln Sie für diesen Fall
0
4.8.3 die Eingangsimpedanz Z 1 an den Klemmen 1 − 10 ,
0
4.8.4 die Leistung P2 , die jetzt der Widerstand R2 aufnimmt,
0 4.8.5 sowie die Beträge der maximalen Spannung U max und der minimalen Spannung
0 U min auf der Leitung.
41
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Aufgabe 4.9:
Ein Generator (U Q , Ri ) ist nach Bild 1 mit einer verlustfreien Leitung (ZC ) der variablen
Länge l1 beschaltet. Das Ende der Leitung (Klemmen 2-2´) sei durch einen Schalter S
entweder mit einem Kurzschluss (Schalter S geschlossen) oder mit einem Leerlauf (Schalter S offen) beschaltet. Die Gesamtschaltung werde bei einer Frequenz f0 = 300 MHz
betrieben.
Ri
S
1
2
ZC , ε r
UQ
1´
2´
l1
U Q = 10 V
Ri = 50 Ω
f0 = 300 MHz
l
εr = 1
ZC = 50 Ω
Bild 1
4.9.1 Bestimmen Sie die Länge l1 (0 ≤ l1 ≤ λ/4) der Leitung so, dass die Beträge der
Spannungen an den Klemmen 1-1´ in beiden Schalterstellungen gleich groß sind.
!
!
( |U 1K | = |U 1L | = |U 1 | )
4.9.2 Wie groß ist der Betrag dieser Spannung |U 1 | an den Klemmen 1-1´ ?
4.9.3 Wie groß ist die Spannung der hinlaufenden Welle |U HK |, wenn der Schalter S geschlossen ist und wie groß ist die Spannung der hinlaufenden Welle |U HL |, wenn der
Schalter S offen ist ?
42
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Aufgabe 4.10:
Bild 1 zeigt einen Generator (U Q , Ri ) mit einstellbarer Frequenz f , der über eine
verlustfreie, luftgefüllte Leitung (ZC ) mit dem Abschlusswiderstand R2 beschaltet ist.
Ri
1
2
ZC
UQ
R2
1´
2´
l12
l
U Q = 10 V
Ri = 50 Ω
R2 = 450 Ω
l12 = 60 cm
εr = 1
Bild 1
Der Generator gibt seine verfügbare Leistung P1,verf an den Verbraucher bei der kleinsten
Frequenz f = f1 ab.
4.10.1 Ermitteln Sie den Wellenwiderstand ZC der Leitung, die Frequenz f1 und die
verfügbare Leistung P1,verf .
Bei der kleinsten Frequenz f
= f2
> f1
minimale Wirkleistung P1,min an den Verbraucher ab.
gibt
der
Generator
seine
4.10.2 Ermitteln Sie den Wert der minimalen Wirkleistung P1 = P1,min und die Frequenz f2 .
43
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Aufgabe 4.11:
Nach Bild 1 speist ein Generator (U Q , Ri ) bei der Frequenz f0 über die Kettenschaltung
dreier Leitungen einen Verbraucher mit dem ohmschen Widerstand R4 . Auf der Leitung
wurde die in Bild 2 dargestellte Verteilung des Betrages der Spannung |U (l)| ermittelt.
Ri
1
UQ
Ltg. 1
Ltg. 2
2
Z C1 , ε r1
1´
l1
3
ZC2 , ε r2
2´
l2
Ltg. 3
4
Z C3 , ε r3
3´
R4
4´
l3
l
U Q = 10 V
Ri = 50 Ω
f0 = 500 MHz
l1 = 35 cm
l2 = 20 cm
l3 = 30 cm
Bild 1
Berechnen Sie aus der gegebenen Verteilung |U (l)|
4.11.1 den ohmschen Widerstand R4 ,
4.11.2 die Anpassungsfaktoren m1 und m2 der beiden Leitungen 1 und 3,
4.11.3 die Wellenwiderstände ZC1 , ZC2 und ZC3 der drei Leitungen und
4.11.4 die Dielektrizitätszahlen εr1 und εr3 der Dielektrika der beiden Leitungen 1 und 3.
44
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12
V
10
8
6
U(l)
4
2
0
80
l1 + l2 + l 3
cm
70
60
50
l2 + l3
40
30
l3
l
Bild 2
45
20
10
0
H F T
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Aufgabe 4.12:
Nach Bild 1 speist ein Generator (U Q , Ri ) einen Verbraucher mit der komplexen Impedanz
Z 3 über die Kettenschaltung zweier verlustfreier Leitungen mit den unterschiedlichen
Wellenwiderständen ZCI und ZCII und den normierten Längen l1 /λ und l2 /λ.
Ri
Leitung II
Leitung I
1
2
UQ
ZCI
1´
U Q = 10 V
Ri = 50 Ω
3
ZCII
2´
l1 / λ
ZC I = 50 Ω
l1 /λ = 0, 2
ZC II = 100 Ω
l2 /λ = 0, 3
l2 / λ
3´
Z 3 = 30 Ω + j20 Ω
Bild 1
Ermitteln Sie für diese Schaltung
4.12.1 die Leistung PH I und PR I der hin- und rücklaufenden Wellen auf der Leitung I
sowie
4.12.2 die Leistung PH II und PR II der hin- und rücklaufenden Wellen auf der Leitung II.
46
Z3
H F T
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Aufgabe 4.13
In der Schaltung nach Bild 1 speist ein Generator (U Q , Ri = ZC ) über verlustfreie
Leitungen vier verschiedene Verbraucher (R2 , R3 , R4 und R5 ). Die Leitung ist an ihren
Abschlussklemmen 5-5´ angepasst (R5 = ZC ).
Ri = Z L
1
2
3
I
II
UQ
ZC
1´
2´
λ /2
IV
R3
ZC
R4
ZC
3´
λ /4
5
III
R2
U Q = 10 V
Ri = 50 Ω
4
R5 = Z C
ZC
4´
λ /4
5´
λ /4
ZC = 50 Ω
R5 = 50 Ω
Bild 1
4.13.1 Wie müssen die Widerstände R2 , R3 und R4 gewählt werden, damit bei der Frequenz
f = f0 von allen diesen Widerständen die gleiche Wirkleistung aufgenommen wird ?
4.13.2 Wie groß ist die Wirkleistung P2 = P3 = P4 = P , die von jedem Verbraucher
aufgenommen wird ?
0
4.13.3 Wie groß ist der Betrag der Spannung |U 4 | an den Klemmen 4 − 4 ?
47
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Aufgabe 4.14:
Bei der Frequenz f0 = 1 GHz speist ein Generator (U Q , Ri ) die in Bild 1 gezeigte Schaltung. Die darin benutzten Leitungen (ZC , l1 ) und (ZC , l2 ) seien verlustfrei.
Ri
Rr
3
1
4
2
_UQ
ZC
1´
Z
_4
ZC
2´
l1
3´
4´
l2
l
Bild 1
Zahlenwerte:
U Q = 10 V
Ri = 20 Ω
f0 = 1 GHz
ZC = 50 Ω
Rr = 30 Ω
ZC = 50 Ω
Auf der Leitung 2 (Ortskoordinate l) stellt sich dabei der folgende Spannungsverlauf ein
(Bild 2). Die Lage des ersten Minimums nach den Klemmen 4 - 4’ (l = 0) sei durch
l = lmin = 0, 125λ0 gegeben.
| U(l)
_ |
| _Umax |
|U
_4 |
l
l2
lmin l=0
Bild 2
4.14.1 Bestimmen Sie die Abschlussimpedanz Z 4 . Durch welches konzentrierte Element
kann die Impedanz Z 4 ersetzt werden ? Geben Sie den Wert dieses Elementes an.
4.14.2 Wie groß ist das Verhältnis der Spannungen |U 4 |/|U max | ?
4.14.3 Bestimmen Sie die Leitungslängen l1 und l2 so, dass die Spannungsquelle an ihren
Klemmen 1 - 1’ die maximale Wirkleistung abgibt.
48
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Aufgabe 4.15
Nach Bild 1 speist ein Generator (U Q , Z i ) mit der verfügbaren Leistung Pverf einen Verbraucher (Z 2 ) über eine schwach verlustbehaftete Leitung mit dem Dämpfungsmaß
a = α l. Der Wellenwiderstand ZC der Leitung sei reell.
Zi
1
2
ZC ,γ = α + j β
UQ
1´
Z2
2´
l
Bild 1
Z i = Ri = ZC
Pverf = 100 kW
a = α l = 3 dB
Z 2 = ZC (1 + j)
4.15.1 Wie groß ist die vom Generator an den Klemmen 1-1´ abgegebene Wirkleistung P1 ?
4.15.2 Wie groß ist die vom Verbraucher an den Klemmen 2-2´ aufgenommene Wirkleistung P2 ?
49
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Bereich 5
Leitungstransformationen,
Leitungsdiagramm 2. Art (Smith-Chart)
( Die Aufgaben dieses Bereiches sollten in
der Regel im Leitungsdiagramm 2. Art
(Smith-Chart) gelöst werden ! )
50
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Aufgabe 5.1:
5.1.1 Invertieren Sie mit Hilfe des Leitungsdiagramms 2. Art (Smith-Chart) die folgenden
bezogenen Widerstände:
z = 2; 0, 2; j; j2; −j0, 2; 1 + j; 0, 8 + j0, 6; 0, 6 − j0, 8.
5.1.2 Suchen Sie mit Hilfe des Smith-Charts zu folgenden Impedanzen Z die Admittanzen
Y = 1/Z und verwenden Sie dabei verschiedene Normierungswiderstände RN :
Z = 100 Ω; (80 + j60) Ω; (50 + j100) Ω
RN = 50 Ω; 60 Ω; 80 Ω; 100 Ω.
5.1.3 Suchen Sie mit Hilfe des Smith-Charts zu folgenden Admittanzen Y die Impedanzen
Z = 1/Y und verwenden Sie dabei verschiedene Normierungsleitwerte GN :
Y = j10 mS; (20 + j10) mS
GN = 10 mS; 20 mS.
51
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Aufgabe 5.2:
Gegeben sei die Impedanz
Z 2 = R2 + jX2 = (1 + j) 50 Ω.
5.2.1 Ermitteln Sie die normierten Admittanzen y 2 = Y 2 ZC für die Wellenwiderstände
ZC ∈ {25 Ω; 50 Ω; 100 Ω} und daraus die wirkliche Admittanz Y 2 = 1/Z 2 und überprüfen Sie das Ergebnis rechnerisch.
Die Impedanz Z 2 sei nun die Abschlussimpedanz (Klemmen 2 - 2’) einer Leitung (Wellenwiderstand ZC = 50 Ω) mit der normierten Leitungslänge L/λ = 0, 425.
5.2.2 Geben Sie den Reflexionsfaktor r2 an den Klemmen 2 - 2’ an.
5.2.3 Bestimmen Sie die Impedanz Z 1 und die Admittanz Y 1 am Eingang der Leitung
(Klemmen 1 - 1’). Wie groß ist der Eingangsreflexionsfaktor r1 ?
5.2.4 An welcher Stelle l’ der Leitung liegt ein reeller Widerstand R’ vor, der größer
ist als der Wellenwiderstand ZC der Leitung. Geben Sie die zugehörige, normierte
Leitungslänge l’/λ sowie den Widerstand R’ an. Wie groß ist der Reflexionsfaktor r’
an dieser Stelle ?
5.2.5 Ermitteln Sie ebenso die normierte Leitungslänge l”/λ für die Stelle l” auf der
Leitung, bei der ein reeller Widerstand R” vorliegt, der kleiner ist als der Wellenwiderstand ZC der Leitung. Geben Sie auch für diese Stelle den Reflexionsfaktor r”
und den Widerstand R” an.
Hinweis: Lösen Sie die Aufgaben grafisch im Leitungsdiagramm 2. Art (Smith-Chart) !
52
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Aufgabe 5.3:
Die in Bild 1 dargestellte Leitung mit dem Wellenwiderstand ZC = 50 Ω ist an den Klemmen 4-4´ mit einem ohmschen Widerstand R4 = 500 Ω abgeschlossen. An den Klemmenpaaren 2-2´ und 3-3´ ist parallel zur Leitung je eine Reaktanz geschaltet.
C
C2
C
L3
C
B2 = w0C2 = 10 mS
X3 = w0L3 = 25 W
ZC = 50 W
Bild 1
5.3.1 Ermitteln Sie mit Hilfe des Leitungsdiagramms 2. Art (Smith-Chart) den Eingangsreflexionsfaktor r1 nach Betrag und Winkel und die Eingangsimpedanz Z 1 nach
Real- und Imaginärteil.
53
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Aufgabe 5.4:
Ein Generator mit der Urspannung U Q und dem Innenwiderstand Ri soll an einen Verbraucher R2 bei der Betriebsfrequenz f0 = 1 MHz die größtmögliche Wirkleistung abgeben.
Zur Transformation stehen eine Induktivität L und eine Kapazität C, jeweils verlustfreie
Bauelemente, zur Verfügung.
Ri
U
_Q
1
2
Transformationsschaltung
R1
1
R2
2
Bild 1
Zahlenwerte:
U Q = 10 V
Ri = 100 Ω
f0 = 1MHz
R2 = 10 kΩ
5.4.1 Geben Sie die zwei möglichen Transformationsschaltungen für die Transformation
des Abschlusswiderstandes R2 in den Eingangswiderstand R1 an.
5.4.2 Ermitteln Sie mit Hilfe des Leitungsdiagrammes (Smith-Chart) die zur Anpassung
erforderlichen Induktivitäten L und Kapazitäten C.
Hinweis:
Die hier im Smith-Chart zu lösende Aufgabe wurde auch als Aufgabe 3 in der Übung
rechnerisch bearbeitet!
54
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Aufgabe 5.5:
Ein Verbraucher mit dem ohmschen Widerstand R2 = 1 kΩ soll mit einem verlustlosen
Transformationsvierpol (TV) in einer Schaltung nach Bild 1 an einen Generator (U Q , Ri )
angepasst werden.
Ri
1
2
TV
U1
UQ
U2
1´
R2
2´
R2 = 1 kΩ
U Q = 10 V
Ri = 100 Ω
Bild 1
5.5.1 Wie groß sind bei erfolgter Anpassung die Beträge der Spannungen |U 1 | und |U 2 | ?
5.5.2 Dimensionieren Sie den Anpassungsvierpol TV durch die folgenden, vorgegebenen
Schaltungen in Bild 2:
a)
1
L1
2
b)
1
C1
ω0 L1 = ?
ω0 C2 = ?
C2
1´
2
ω0 C1 = ?
ω0 L2 = ?
L2
2´
1´
2´
1
2
1
c)
1
2
jB1
1´
ZC
l
d)
Z C= 50 Ω
l /λ=?
B1 = ?
jB1
ZC
1´
2´
Z C= 100 Ω
B1 = ?
B2 = ?
jB2
2´
l= λ0/ 4
Bild 2
Die in den Fällen c) und d) der Unteraufgabe 5.5.2 ermittelten Blindleitwerte sollen durch
eine kurzgeschlossene Leitung mit dem Wellenwiderstand ZC = 50 Ω realisiert werden.
5.5.3 Wie groß sind die Längen dieser Leitungen zu wählen ?
55
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Aufgabe 5.6:
In der Schaltung nach Bild 1 erzeugt der Generator neben der Grundfrequenz f0 auch
die dritte Harmonische bei 3f0 .
l
Ri
UG
1
LS
2
f0
ZC
U2
UG
Generator
R2
3f 0
1’
Netzwerk
2’
Verbraucher
Bild 1
Größen:
R2 = 100 · Ri
0 < l < λ22 bei f = f2
Das Netzwerk soll bei der Grundfrequenz f1 = f0 für größtmögliche Leistungsabgabe
des Generators sorgen und bei der Frequenz f2 = 3f0 die Aufnahme von Leistung durch
den Verbraucher R2 verhindern. Es besteht aus einer Längsinduktivität Ls und einem
leerlaufenden, verlustlosen Leitungsstück (εr = 1) als Querzweig in Parallelschaltung zum
Verbraucher R2 .
56
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XS
BP
R1
R2
Bild 2
5.6.1 Wie groß muss der Blindleitwert Bp am Leitungseingang und wie groß muss der
Blindwiderstand Xs der Längstinduktivität Ls bei der Frequenz f1 sein ?
Hinweis:
Überprüfen Sie, ob für die sog. Resonanztransformation die vereinfachten Gleichungen benutzt werden können (Bild 2) !
0
5.6.2 Wie groß muss der Blindwert Bp bei der Frequenz f2 sein und welche Leitungslänge l
wird dafür benötigt ?
5.6.3 Wie groß muss der Wellenwiderstand ZC der Leitung sein, damit der unter 5.6.1 berechnete Blindleitwert Bp bei der Frequenz f1 mit der unter 5.6.2 für f2 gefundenen
Leitungslänge l realisiert wird ?
5.6.4 Wie groß ist das Spannungsverhältnis |U 2 /U G | bei Annahme von Verlustlosigkeit
des Netzwerks für die Frequenz f1 = f0 ?
57
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Aufgabe 5.7:
Bild 1 zeigt einen Generator (U Q , Ri ), der mit Hilfe der beiden verlustlosen Leitungen
(ZC1 , εr1 , l1 ) und (ZC2 , εr2 , l2 ) einen reellen Verbraucher (RA ) speist. Die bezogenen Längen
der Leitungen seien beliebig im Bereich 0 ≤ l1,2 /λ ≤ 1 wählbar.
Ri
2
1
_U Q
U
_1
1´
Z C1 , ε r1
3
Z C2 , ε r2
RA
2´
l1
4
3´
l2
4´
_
Bild 1
Zahlenwerte:
U Q = 10 V
Ri = 50 Ω
ZC1 = 75 Ω
εr1 = 1
RA = 300 Ω
ZC2 = 100 Ω
εr2 = 1
Bestimmen Sie für die Frequenz f1 = f0
5.7.1 die minimalen, bezogenen Längen l1 /λ1 und l2 /λ1 der beiden Leitungen so, dass
die Spannung U 1 = 0 wird.
Ermitteln Sie nun für die Frequenz f2 = 2f0 mit den unter 5.7.1 ermittelten Längen l1
und l2
5.7.2 die Spannung U 1 am Generatorausgang und
5.7.3 die Wirkleistung PA am Verbraucher RA .
0
5.7.4 Wie groß muß die relative Dielektrizitätszahl ε0r1 und der Wellenwiderstand ZC1
der ersten Leitung gewählt werden, damit Anpassung am Generator erzielt werden
kann ?
5.7.5 Ermitteln Sie wiederum für diesem Fall die aufgenommene Wirkleistung PA0 im
Verbraucher RA .
58
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Aufgabe 5.8:
Gegeben sei die Anpassungsschaltung nach Bild 1. Sämtliche Leitungen seien verlustfrei
und mit einem Dielektrikum (εr = 2.25) gefüllt. Die kurzgeschlossene Leitung 2 (ZC2 , l2 )
ist an den Klemmen 2 - 2’ der Leitung 3 (ZC3 , l3 ) parallelgeschaltet.
l2
Ri
2
1
Z C1
UQ
Z C2
Z2
1´
Z C3
2´
l1
3
R3
3´
l3
Zahlenwerte:
U Q = 10 V
Ri = 25 Ω
f0 = 100 MHz
ZC2 = 150 Ω
l2 = 90, 4 cm
εr2 = 2, 25
ZC3 = 75 Ω
l3 = 65, 4 cm
εr3 = 2, 25
R3 = 375 Ω
Bild 1
5.8.1 Berechnen Sie die bezogenen Leitungslängen l2 /λ und l3 /λ.
5.8.2 Bestimmen Sie die Eingangsimpedanz Z 2K der am Ende kurzgeschlossenen Leitung 2
sowie die Eingangsimpedanz Z 23 der mit dem Widerstand R3 abgeschlossenen Leitung 3 an den Klemmen 2 - 2’. Wie groß ist die resultierende Gesamtimpedanz Z 2
an den Klemmen 2 - 2’ ?
5.8.3 Wie muss der Wellenwiderstand ZC1 und die Leitungslänge l1 gewählt werden, damit
der Generator seine maximale Leistung abgibt ? Wie groß ist in diesem Fall der
Betrag der Spannung U 3 ?
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Aufgabe 5.9:
Gegeben ist eine sog. Patch-Antenne nach Bild 1. Sie besteht aus einer auf einem Substrat geätzten Kupferfläche der Länge L und strahlt an ihren Stirnseiten Leistung in
den Raum. Sie kann durch einen Leitungsresonator in Form einer verlustlosen Leitung
der Länge L, die mit den Strahlungswiderständen RS der Antenne abgeschlossen ist, beschrieben werden (Bild 2). Die Patch-Antenne soll an der Stelle l an einen Generator mit
dem Innenwiderstand Ri angepasst werden.
L
Strahler
l
Substrat
Rückseite-Metallisierung
Bild 1
Zahlenwerte:
RS
ZC
_Z E
ZC
l
RS
ZC = 50 Ω
RS = 500 Ω
Ri = 50 Ω
L
Bild 2
5.9.1 Bestimmen Sie im Smith-Chart die Lage l/λ des Antennenspeisepunktes und die minimale bezogene Länge L/λ der Antenne unter Verwendung des Ersatzschaltbildes
nach Bild 2. Der Leitungsresonator befinde sich in Parallelresonanz.
5.9.2 Überprüfen Sie die Ergebnisse des Unterpunktes 5.9.1 rechnerisch.
60
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Aufgabe 5.10:
Bild 1 zeigt eine Anpassungsschaltung, die aus zwei einstellbaren Kapazitäten C1 und C2
besteht. Der Leitwert beider Kapazitäten kann nur im Bereich
B1,2 = ω0 C1,2 = (10.....40) mS
variieren.
Ri
U
_Q
C2
1
2
_Z 2
C1
1´
2´
Ri = 50 Ω
Bild 1
5.10.1 Ermitteln Sie die normierten Abschlussimpedanzen z 2 = Z 2 /Ri , die mit dieser Schaltung an den gegebenen Generator (U Q , Ri ) angepasst werden können und schraffieren Sie den Bereich im Leitungsdiagramm (Smith-Chart).
61
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Aufgabe 5.11:
In der Schaltung nach Bild 1 können die Elemente des verlustlosen Anpassungsvierpols
(Leitung, Kapazität C2 ) nur in bestimmten Grenzen verändert werden.
Ri
2
1
C2
ZC
_Q
U
1´
l /λ
Z
_2
2´
Zahlenwerte:
Ri = 25 Ω
ZC = 50 Ω
1/8 ≤ l/λ ≤ 1/4
0 ≤ ωC2 ZC < ∞
Bild 1
5.11.1 Schraffieren Sie den Bereich des Leitungsdiagrammes (Smith-Chart), in dem alle
normierten Impedanzen z 2 = Z 2 /ZC liegen, die mit der gegebenen Schaltung an
den Generator (U Q , Ri ) angepasst werden können.
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Aufgabe 5.12:
Ein Verbraucher R2 = 250 Ω soll mit Hilfe der in Bild 1 gegebenen Schaltung an eine verlustfreie Leitung mit dem Wellenwiderstand ZC = 50 Ω angepasst werden. Zwischen den beiden beliebig einstellbaren Blindwiderständen jX1 und jX2 befindet sich eine
λ/8-lange Leitung (ZC ).
1
ZC
jX 1
2
ZC
1´
jX 2
R2
2´
l
l = λ/8
ZC = 50 Ω
R2 = 250 Ω
Bild 1
5.12.1 Bestimmen Sie die möglichen Lösungen der zur Anpassung erforderlichen
Blindwiderstände jX1 und jX2 .
Die unter 5.12.1 gefundenen Blindwiderstände jX1 und jX2 sollen durch kurzgeschlossene
Leitungsstücke mit dem Wellenwiderstand ZC1 = 75 Ω realisiert werden.
5.12.2 Bestimmen Sie die erforderlichen bezogenen Leitungslängen l1 /λ und l2 /λ für die
unter 5.12.1 gefundenen Lösungen.
63
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Aufgabe 5.13:
Mit der in Bild 1 dargestellten Schaltung soll der Verbraucher Z 5 an eine Leitung mit
dem Wellenwiederstand ZC angepasst werden. Dazu sind im Abstand λ/4 zwei kurzgeschlossene Stichleitungen in Serie zur Hauptleitung geschaltet.
l1
ZC
1
ZC
2
ZC
3
l2
4
ZC
1´
5
ZC
2´
3´
λ
4
4´
5´
λ
2
Z C = 50 Ω
Z 5 = 10 Ω − j 10 Ω
Bild 1
5.13.1 Stellen Sie den Transformationsweg im Leitungsdiagramm 2. Art (Smith-Chart)
dar und bestimmen Sie die bezogenen Längen l1 /λ und l2 /λ der Stichleitungen
(Minimalwerte !).
64
Z5
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Aufgabe 5.14:
Mit der in Bild 1 dargestellten Schaltung soll der Verbraucher Z 3 an eine Leitung mit dem
Wellenwiederstand ZC angepasst werden. Dazu sind im Abstand λ/2 zwei Stichleitungen
angebracht, wobei die erste parallel und die zweite in Reihe zur Hauptleitung geschaltet
ist.
l1
ZC
l2
ZC
2
3
1
ZC
Z3
ZC
1´
2´
3´
λ
2
ZC = 50 Ω
Z 3 = (5 + j5) Ω
Bild 1
5.14.1 Bestimmen Sie die für die Anpassung erforderlichen bezogenen Längen l1 /λ und
l2 /λ der Stichleitungen (Minimalwerte !) und zeichnen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar in das Smith-Chart ein.
65
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Aufgabe 5.15:
Das in Bild 1 dargestellte Filter-Zweitor zwischen den Klemmen 1-1´ und 2-2´ besteht
aus einer durchgehenden Leitung, zu der im Abstand l1 voneinander zwei kurzgeschlossene Stichleitung geschaltet sind. Die Stichleitungen haben beide den gleichen Wellenwiderstand ZC und die Länge lS . Alle Leitungen seinen luftgefüllt (εr = 1). Das Filter soll
so dimensioniert werden, dass bei einer Frequenz f1 = 10 GHz kein Signal an den Verbraucher R2 übertragen wird und bei einer Frequenz f2 = 8 GHz die Signalübertragung
optimal ist.
lS
lS
ZC
ZC
R1
l1
1
3
4
ZC
UQ
1´
5
6
ZC
ZC
3´
4´
2
5´
6´
R2
2´
Zahlenwerte:
U Q = 10 V
Ri = ZC
ZC = 50 Ω
εr = 1
Bild 1
5.15.1 Bestimmen Sie lS so, dass für die Frequenz f = f1 = 10 GHz keine Leistung zum
Widerstand R2 gelangt.
5.15.2 Bestimmen Sie den Abstand l1 zwischen den Stichleitungen so, dass für die Frequenz
f = f2 = 8 GHz die verfügbare Leistung des Generators zum Widerstand R2 gelangt.
5.15.3 Wie groß ist in diesem Fall die Leistung P2 am Abschlusswiderstand R2 ?
66
R2 = ZC
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Aufgabe 5.16:
Nach Bild 1 speist ein Generator (U Q , Ri ) eine Schaltung mit zwei Verbrauchern R2 und
R3 . Die Schaltung soll als Frequenzweiche benutzt werden.
Alle Leitungen haben den Wellenwiderstand ZC und seien verlustlos.
Ri = Z C
l2
1
2
3
4
UQ
R4 = Z C
2´
3´
1´
4´
εr = 1
l1
R2 = Z C
l3
Bild 1
5.16.1 Bestimmen Sie die Längen l1 und l3 so, dass bei der Frequenz f1 = 300 MHz der
Abschlusswiderstand R4 die gesamte verfügbare Leistung Pverf des Generators aufnimmt.
5.16.2 Bestimmen Sie dann die Länge l2 so, dass bei der Frequenz f2 = 600 MHz der
Abschlusswiderstand R2 die gesamte verfügbare Leistung Pverf des Generators aufnimmt.
67
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Aufgabe 5.17:
Bild 1 zeigt die koaxiale Ausführung einer kompensierten, leitenden Stütze. Diese Schaltung besteht aus einer Stichleitung mit dem Wellenwiderstand ZCS und der Länge
lS = λ0 /4, die parallel zur Hauptleitung geschaltet ist. Zu beiden Seiten dieser Parallelverbindung befindet sich je ein Leitungstransformator mit dem Wellenwiderstand ZCT
und der Länge lT = λ0 /4. Dabei sei λ0 die Wellenlänge bei der Frequenz f0 .
Z CS
lS = λ 0 / 4
1
ZC
2
Z CT
Z CT
lT = λ 0 / 4
ZC = 75 Ω
ZCT = 50 Ω
ZC
lT = λ 0 / 4
f0 = 1000 MHz
f1 = 1, 1 · f0
Bild 1
5.17.1 Ermitteln Sie für die Frequenz f0 die Impedanz Z 1 in der Ebene 1, wenn die Schaltung in der Ebene 2 mit dem Wellenwiderstand ZC der Abschlussleitung abgeschlossen ist.
Nun werde die Frequenz auf den Wert f1 = 1, 1 · f0 erhöht.
5.17.2 Bestimmen Sie den Wellenwiderstand ZCS der Stichleitung so, dass bei der
!
Frequenz f1 in der Ebene 1 Anpassung vorliegt (Z 1 = ZC ).
68
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Aufgabe 5.18:
Bild 1 zeigt eine Anpassungsschaltung, bestehend aus den einstellbaren Kapazitäten C1
und C2 sowie einer λ/4-Leitung.
Ri = ZC
UQ
1
2
C1
ZC
1´
C2
RA
2´
λ 0 /4
ZC = 50 Ω
f0 = 750 MHz
Bild 1
5.18.1 In welchem Bereich müssen die Kapazitäten C1 und C2 variierbar sein, damit ein
Abschlusswiderstand RA im Bereich von ZC ≤ RA ≤ 20 · ZC angepasst werden
kann ?
69
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Aufgabe 5.19:
Das Bild 1 zeigt eine Schaltung, in der zwei Verbraucher R1 und R2 durch eine Spannungsquelle (U Q , Ri ) versorgt werden.
Der Speisepunkt an den Klemmen 1-1´ auf der Leitung I ist variabel.
Die Leitungen sind verlustlos und haben den Wellenwiderstand ZC sowie die Längen
lI = λ/2 und lII = λ/2.
lI
2
3
1
lx
ZC ; I
R1
2´
R2
3´
1´
4
Z C ; II
Ri
l II
4´
UQ
R1 = ZC /2
lI = λ/2
ZC = 50 Ω
lII = λ/2
U Q = 10 V
Ri = 50 Ω
R2 = 2 · ZC
Bild 1
5.19.1 Bestimmen Sie durch Angabe der bezogenen Länge lx /λ den Speisepunkt so, dass
die beiden Verbraucher R1 und R2 die gleiche Wirkleistung aufnehmen.
5.19.2 Ermitteln Sie für die gefundene Länge lx die Beträge der Spannungen an den Klemmen 1-1´ bis 3-3´.
70
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Aufgabe 5.20:
In einem sogenannten Durchgangstastkopf ist parallel zu einer Leitung eine Kapazität C
geschaltet. Um die Wirkung der Kapazität zu kompensieren, soll der Durchmesser des
Innenleiters über eine Länge l reduziert werden, so dass eine luftgefüllte Leitung mit
erhöhtem Wellenwiderstand ZCT entsteht. Das Ersatzschaltbild dieser Anordnung ist in
Bild 1 dargestellt.
1
ZC
2
ZCT, ε r = 1
ZC
ZCT, εr = 1
C
1´
2´
l/2
l
f = 1 GHz
ZC = 50 Ω
ZCT = 120 Ω
C = 2, 12 pF
Bild 1
5.20.1 Bestimmen Sie die Länge l so, dass bei Anpassung an den Klemmen 2-2´ (Z 2 = ZC )
auch an den Klemmen 1-1´ Anpassung herrscht (Z 1 = ZC ).
Geben Sie beide Alternativen an !
5.20.2 Welcher Maximalwert Cmax könnte mit der angegebenen Anordnung kompensiert
werden ? Wie groß müsste in diesem Fall die Länge l∗ des Transformationsstückes
gewählt werden ?
71
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Bereich 6
Kenngrößen von Hochfrequenz-Leitungen
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Aufgabe 6.1:
Von einem Koaxialkabel sei der Innendurchmesser des Außenleiters D = 2.95 mm,
der Wellenwiderstand ZC = 50 Ω sowie die relative Dielektrizitätszahl εr = 2.28 des
verwendeten verlustfreien Dielektrikums (µr = 1) gegeben.
Berechnen Sie daraus
6.1.1 den Durchmesser d des Innenleiters,
6.1.2 den Kapazitätsbelag C 0 der Leitung,
6.1.3 den Induktivitätsbelag L0 der Leitung,
6.1.4 die Phasengeschwindigkeit vph auf der Leitung und
6.1.5 die Wellenlänge λ auf der Leitung bei der Frequenz f = 300 MHz.
Für ein Koaxialkabel sei der Innendurchmesser D des Außenleiters fest vorgegeben. Ermitteln Sie das Verhältnis D/d und den Wellenwiderstand ZC für ein Kabel
6.1.6 grösster Spannungsfestigkeit,
6.1.7 bester Leistungsübertragung und
6.1.8 minimaler Dämpfung.
73
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Aufgabe 6.2:
Gegeben sei ein luftgefülltes, leerlaufendes Leitungsstück der Länge l = 1 m. Bei der
Frequenz f = 30 MHz werde am Eingang des Leitungsstückes eine Eingangsimpedanz
ZE = −j 53 Ω gemessen.
6.2.1 Ermitteln Sie die Phasengeschwindigkeit vph auf der Leitung.
6.2.2 Berechnen Sie den Wellenwiderstand ZC der Leitung.
6.2.3 Berechnen Sie den Phasenkoeffizienten β.
6.2.4 Berechnen Sie den Induktivitätsbelag L0 und den Kapazitätsbelag C 0 der verwendeten Leitung.
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Aufgabe 6.3:
Zur Bestimmung der Kenngrößen einer verlustlosen Koaxialleitung mit Dielektrikum (εr )
wird ein elektrisch kurzes Stück Leitung der Länge l = 1 cm benutzt. Bei einer Frequenz
von f = 600 MHz wird jeweils die Eingangsimpedanz Z 1 dieser Leitung gemessen, wenn
die Leitung mit einem Leerlauf (Z 2 → ∞) bzw. mit einem Kurzschluss (Z 2 = 0) abgeschlossen ist. Die Messergebnisse sind in der unten stehenden Tabelle eingetragen.
Z 2 (Abschluss)
Z 1 (Eingang)
Kurzschluss
+jXK = j12.5 Ω
Leerlauf
−jXL = −j200 Ω
6.3.1 Geben Sie die Näherungsgleichungen für die Eingangsimpedanz Z 1 in beiden Fällen
an.
6.3.2 Berechnen Sie daraus und mit den Werten der Tabelle den Wellenwiderstand ZC
sowie die Wellenlänge λ auf der Leitung.
6.3.3 Wie gross ist die relative Dielektrizitätszahl εr des Dielektrikums ?
75
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Aufgabe 6.4:
Ein Hochfrequenz-Koaxialkabel mit dem Wellenwiderstand ZC = 100 Ω (Bild 1) ist mit
einem Dielektrikum unbekannter Dielektrizitätszahl εr (µr = 1) gefüllt. Der Innendurchmesser des Außenleiters ist D = 10 mm. Bei einer Frequenz von f = 300 MHz misst man
auf der Leitung eine Wellenlänge von λ = 0, 6 m.
εr
11111111
00000000
000000
111111
00000000
11111111
000000
111111
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
0
1
0
1
00000000
11111111
1010 10 10 1010
000000
111111
00000000
11111111
000000
111111
1010 1010 10
00000000
11111111
0
1
00000000
11111111
1100
00
11
10000
0
1
0
1
0
1
111
0
1111
000
1010
1010
ZC
µr
D
f
λ
c0
d
=
=
=
=
=
100 Ω
1
10 mm
300 MHz
0, 6 m
m
= 3 · 108
s
D
Bild 1
Berechnen Sie
6.4.1 die Dielektrizitätszahl εr des Isoliermaterials (µr = 1),
6.4.2 den Kapazitätsbelag C’,
6.4.3 den Induktivitätsbelag L’ und
6.4.4 den Durchmesser d des Innenleiters.
76
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Aufgabe 6.5:
Eine schwach verlustbehaftete Leitung wird bei einer Frequenz von f = 1 GHz im TEMMode betrieben. Die Daten der Leitung für diese Frequenz seien:
Wellenwiderstand
Kapazitätsbelag
Dämpfungsbelag
ZC = 50 Ω (ZC ≈ ZC0 )
C 0 = 100 pF/m und
α0 = 0, 150 dB/m.
Das Dielektrikum der Leitung sei verlustfrei.
Berechnen Sie aus diesen Angaben (c0 = 3 · 108 m/s) für die angegebene Frequenz
6.5.1 den Induktivitätsbelag L’,
6.5.2 den Phasenbelag β,
6.5.3 die Dielektrizitätszahl εr des Dielektrikums (µr = 1) und
6.5.4 den Widerstandsbelag R’.
77
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Aufgabe 6.6:
Bild 1 zeigt eine dielektrische Stütze in einer Koaxialleitung. Der Bereich der Stütze kann
als eine Koaxialleitung mit Dielektrikum aufgefasst werden.
1111111111111111111
0000000000000000000
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
a
ε r2
a
a
ε r1
d D
ε r1
a
d = 2 mm
D = 4 mm
εr1 = 1
εr2 = 2, 3
Bild 1
6.6.1 Dimensionieren Sie die Tiefe a der Nuten im Innen- und Außenleiter so, dass der
Wellenwiderstand im Bereich der Stütze gleich dem Wellenwiderstand der Koaxialleitung ist.
78
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Aufgabe 6.7:
Eine schwach verlustbehaftete Koaxialleitung mit einem Wellenwiderstand ZC = 50 Ω
soll dimensioniert werden. Dabei soll der Dämpfungsbelag α der Leitung bei der Frequenz
f = 100 MHz den Wert α = 10 dB/km nicht überschreiten. Als Material für den Innenleiter soll Kupfer (K1,i = 1, 03) und für den Außenleiter Aluminium (K1,a = 1, 31) verwendet
werden. Das vorgesehene Dielektrikum habe die Dielektrizitätszahl εr = 2, 25 und soll als
verlustfrei angenommen werden.
εr
κi
11111111
00000000
000000
111111
00000000
11111111
000000
111111
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
0
1
0
1
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
0
1
0
1
00000000
11111111
1010 10 10 1
0
000000
111111
00000000
11111111
0
1
0
1
0
1
00000000
11111111
1100
00
11
10000
0
1
0
1
0
1
111
0
1111
000
1010
0
1
0
1
ZC
εr
µr
α
K1,i
K1,a
50 Ω
2, 25
1
10 dB/km
1, 03
1, 31
r
κAg
K1 =
κ
f = 100 MHz
κa
d
D
=
=
=
=
=
=
Bild 1
6.7.1 Wie groß muss das Verhältnis D/d vom Innendurchmesser D des Außenleiters zum
Außendurchmesser d des Innenleiters gewählt werden ?
6.7.2 Berechnen Sie die erforderliche Mindestgröße für den Innendurchmesser D des Außenleiters.
79
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Aufgabe 6.8:
Eine Hochfrequenz-Koaxialleitung sei luftgefüllt (εr = 1, tan δε = 0) und habe bei der
Frequenz f0 = 10 MHz den Dämpfungsbelag α0 = 10 dB/km. Nun werde in das Kabel
ein Dielektrikum der Dielektrizitätszahl εr = 2, 3 und dem Verlustfaktor tan δε = 10−3
eingebracht.
6.8.1 Welchen Dämpfungsbelag α hat das Kabel nun bei gleicher Frequenz f0 = 10 MHz ?
80
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Aufgabe 6.9:
Bild 1 zeigt ein Dämpfungsglied, das aus einem Stück Koaxialleitung der Länge l mit
einem Außenleiter (κ → ∞) und verlustbehaftetem Innenleiter (R’= 10 Ω/m) besteht.
Die verlustlosen Anschlussleitungen mit dem Wellenwiderstand ZC0 = 50 Ω haben die
gleichen Querschnittsabmessungen wie das Dämpfungsglied.
R´
Z C0
Z C0
d D
εr = 1
εr = 1
εr = 1
l
R0 = 10
ZC0 = 50 Ω
Ω
m
R0 = R0 (100 MHz)
Bild 1
6.9.1 Berechnen Sie den Verlustfaktor tan δR0 = R’/ω L’. Geben Sie eine zugeschnittene
Größengleichung in Abhängigkeit von der Frequenz f /MHz an.
6.9.2 Berechnen Sie den Wellenwiderstand ZC der verlustbehafteten Koaxialleitung der
Länge l und geben Sie eine geeignete Näherung für Frequenzen f > 100 MHz an.
Hinweis:
Es gilt:
√
1−x≈1−
x
2
für |x| < 1
81
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Aufgabe 6.10:
Gegeben sei der Innendurchmesser D des Außenleiters einer Koaxialleitung nach Bild 1,
deren Dielektrikum (εr ) verlustfrei sei. Der spezifische Oberflächenwiderstand des Leiters
sei ρ’.
εr
11111111
00000000
000000
111111
00000000
11111111
000000
111111
00000000
11111111
1010
0
1
000000
111111
00000000
11111111
0
1
000000
111111
0
1
0
1
00000000
11111111
0
1
0
1
000000
111111
0
1
0
1
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
0
1
0
1
00000000
11111111
101000
0
1010 11
1010 1
00000000
11111111
1100
0
111
000
00001
1010 1111
0
1
0
1
D = 10 mm
εr = 2, 25
ρ0 = 5 mΩ
d
D
Bild 1
6.10.1 Bei welchem Durchmesser d des Innenleiters wird der Dämpfungsbelag α der Leitung
minimal ?
Hinweis:
Zur Lösung kann die in Bild 2 dargestellte Funktion y = f (x) = (1 + x)/ln(x)
herangezogen werden !
10
f(x) = (1+x) / ln(x)
für x > 1
8
f(x)
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Bild 2
6.10.2 Wie groß ist dieser minimale Dämpfungsbelag αmin ? Geben Sie das Ergebnis in
dB/100 m an.
6.10.3 Wie groß ist für die unter Aufgabe 6.11.1 gefundene Dimensionierung der Wellenwiderstand ZC der Koaxialleitung ?
82
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Aufgabe 6.11:
Ein Generator mit dem Innenwiderstand Ri = ZC = 50 Ω und der verfügbaren Leistung
Pverf = 100 kW speist über eine luftgefüllte, schwach verlustbehaftete Leitung der Länge
l = 100 m einen an die Leitung angepassten Verbraucher R2 (Bild 1). Die Dämpfung der
Leitung sei α = 6 dB/km.
Ri
1
2
ZC , α, εr = 1
UQ
1´
R2
2´
l
Ri = ZC
Pverf = 100 kW
ZC = 50 Ω
α = 6 dB/km
l = 100 m
R2 = ZC
Bild 1
6.11.1 Wie groß ist die vom Verbraucher aufgenommene Wirkleistung PP2 ?
6.11.2 Wie groß sind die Verluste P abs auf der Leitung ?
6.11.3 Berechnen Sie den Widerstandsbelag R´ der Leitung !
6.11.4 Wie groß ist der Wirkungsgrad η des Leistungstransportes auf der Leitung ?
83
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Aufgabe 6.12:
Auf einer Koaxialleitung mit dem Querschnitt nach Bild 1 stellt sich im TEM-Mode bei
der Frequenz f = 500 MHz eine Wellenlänge λ = 0, 3 m ein. Der spezifische Oberflächenwiderstand ρ’ vom Innen- und Außenleiter sei gleich groß. Das Dielektrikum sei verlustfrei.
11111111
00000000
000000
111111
00000000
11111111
000000
111111
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
0
1
0
1
00000000
11111111
10111111
0
1
000000
0
1
0
1
00000000
11111111
1010 10 10 1010
000000
111111
00000000
11111111
1010 1011
00000000
11111111
1100
00
10000
0
1
0
1
111
0
1111
000
1010
1010
ρ
d
D
f
λ
µr
ρ0
d
=
=
=
=
=
=
2 mm
10 mm
500 MHz
0, 3 m
1
5, 8 mΩ
D
Bild 1
Berechnen Sie
6.12.1 die Phasengeschwindigkeit vph ,
6.12.2 die relative Dielektrizitätszahl εr des Dielektrikums,
6.12.3 den Wellenwiderstand ZC ,
6.12.4 den Widerstandsbelag R’ und
6.12.5 den Dämpfungsbelag α (Angabe in dB/km).
84
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Aufgabe 6.13:
Gegeben sei eine Hochfrequenz-Koaxialleitung mit den folgenden Daten:
d = 0, 51 mm
D = 1, 68 mm
tan δG0 = 2 · 10−4
µr = 1
κ = 43, 66 Sm/mm2
C 0 = 95 pF/m.
Innen- und Außenleiter der Koaxialleitung seien aus demselben Material gefertigt !
Bestimmen Sie aus diesen Daten für die Frequenz f = 1 GHz
6.13.1 den Verlustfaktor tan δR0 der Längsverluste sowie
6.13.2 den Dämpfungsbelag α und geben Sie das Ergebnis in dB/100 m an.
85
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Informationstechnik
Aufgabe 6.14:
Zur Bestimmung der Kenngrößen eines 100 m langen, schwach verlustbehafteten Hochfrequenzkabels werde bei der Frequenz f = 100 MHz je ein Kurzschluss- und ein Leerlaufversuch durchgeführt (Bild 1). Die dabei ermittelten Reflexionsfaktoren r1K und r1L auf
◦
der Messleitung mit dem Wellenwiderstand ZC haben die Werte r1K = 0, 22 · ej300 und
◦
r1L = 0, 22 · ej120 .
r 1K
1
r 1L
2
ZC1 , ε r = 1
ZC
1´
◦
r1K = 0, 22 · ej300
1´
f = 100 MHz
ZC = 50 Ω
l1 = 100 m
2
ZC1 , εr = 1
ZC
2´
l1
1
2´
l1
◦
r1L = 0, 22 · ej120
Bild 1
6.14.1 Ermitteln Sie den Wellenwiderstand ZC1 des untersuchten Kabels.
6.14.2 Wie groß ist das Ausbreitungsmaß g = γ l1 bei der Messfrequenz f = 100 MHz ?
6.14.3 Ermitteln Sie den Dämpfungskoeffizienten α und geben Sie ihn in dB/km an.
86
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Hochfrequenztechnik
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Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Aufgabe 6.15:
Ein schwach verlustbehaftetes Koaxialkabel mit dem Durchmesser des Innenleiters
d = 0, 51 mm und dem Innendurchmesser des Außenleiters D = 1, 47 mm werde bei
der Frequenz f = 10 GHz betrieben. Der Kapazitätsbelag des Koaxialkabels betrage
C 0 = 82 pF/m. Der Verlustfaktor des verwendeten Dielektrikums sei tan δG0 = 10−4 .
6.15.1 Bestimmen Sie die Dielektrizitätszahl εr des Dielektrikums.
6.15.2 Bestimmen Sie den Wellenwiderstand ZC und den Induktivitätsbelag L0 des Kabels.
6.15.3 Ermitteln Sie den Phasenkoeffizienten β für die angegebene Betriebsfrequenz f .
6.15.4 Berechnen Sie den Anteil αG0 an dem Dämpfungskoeffizienten α, der durch Querverluste verursacht wird und geben Sie die Größe in dB/100 m an.
87
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
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Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Bereich 7
Lösungen (Endergebnisse)
zu den einzelnen Aufgaben
88
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Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Bereich 1 - Passive Bauelemente
Aufgabe 1.1:
a
0, 503
=q
f
κ
mm
µr · MHz
· Sm/mm
2
1.1.1
a /µm
f/
Silber
Kupfer
Gold
1
64
66,2
1000
2,02
100000
0,202
ρ0
mΩ
1.1.2
v
u
u
= 1, 987 · t
ρ’ / mΩ
f/
Messing
Graphit
76,4
139,8
2349,6
2,09
2,42
4,42
74,3
0,209
0,242
0,442
7,43
MHz
f
MHz
κ
Sm/mm2
Silber
Kupfer
Gold
Messing
Graphit
1
0,252
0,261
0,3
0,55
9,25
1000
7,97
8,24
9,51
17,4
292,6
100000
79,7
82,4
95,1
174
2926
MHz
1.1.3
δ ≈ 4, 6 · a
1.1.4
89
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
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H F T
mΩ
cm
R’
f/
Kupfer
Messing
1
0,522
1,1
1000
16,48
34,8
100000
164,8
348
Kupfer
Messing
MHz
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
1.1.5
mΩ
cm
R’
f/
MHz
1
2,15
4,53
1000
67,9
143,4
100000
679
1434
Aufgabe 1.2:
1.2.1
1
R0
LE
1’
CE
1.2.2
R0 = 100 Ω; LE = 15, 92 nH; CE = 0, 796 pF
1.2.3
Rgem = 200, 1 Ω
1.2.4
Q=1
Aufgabe 1.3:
1.3.1
Schaltung 7
1.3.2
Parasitäre Einflüsse durch Bauelement-Aufbau
1.3.3
R = 1000 Ω; L = 10, 18 nH; C = 10, 06 pF
90
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Informationstechnik
Aufgabe 1.4:
1.4.1
a) Induktivität
b) Kapazität
c) Widerstand
1.4.2
L
a)
C
R
1
1’
b)
1
1’
C
R
R
c)
L
1
1’
C
1.4.3
Zu a)
R = 5 Ω; L ≈ 4, 97 nH; C ≈ 5, 16 pF
Aufgabe 1.5:
1.5.1
Schaltung c)
1.5.2
R = 106 kΩ; L ≈ 1 nH; C ≈ 100, 7 pF
1.5.3
tan δc = 0, 16 · 10−3 ; Qc = 6, 25 · 103
1.5.4
fRes = 501, 7 MHz
Aufgabe 1.6:
1.6.1
Schaltung c)
1.6.2
R ≈ 0, 15 Ω; L ≈ 0, 33 nH; C ≈ 2, 13 pF
1.6.3
tan δL = 72, 3 · 10−3
1.6.4
f1 < 1, 31 GHz
91
L
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Bereich 2 - Elektronische Schaltungen
Aufgabe 2.1:
s
1
·p
G2 + GL
1 + (ω0 /ω3dB )2
2.1.1
|V U | =
2.1.2
Gm =
2.1.3
f3dB = 33, 3̄ MHz; τ = 4, 78 ns
2.1.4
fmax = 331, 66 MHz
s2
1
·
4G1 G2 1 + (ω0 /ω3dB )2
Aufgabe 2.2:
2.2.1
Zusammenfassung Bild 1 und Bild 2
2.2.2
Lp = 1, 69 µH
2.2.3
ü = 6, 02
2.2.4
VU =
−s
ü · (GDS + GL + G3 /ü2 )
V U · ∆f =
−s
ü · 2πCDS
0
2.2.5
f0 − f0
=
ˆ 4, 65 %
f0
2.2.6
Cp /CDS ≈ 9
Aufgabe 2.3:
2.3.1
(2) V U,max = 10.000
2.3.2
∆f (2) = 6, 44 kHz
2.3.3
∆f (1) = 15, 54 kHz
(1)0 (1) V U,max = 0, 64 · V U,max 2.3.4
0
(2)0 (2) V U,max = 0, 41 · V U,max 92
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Informationstechnik
Aufgabe 2.4:
2.4.1
2.4.2
L = 2, 53 µH
V U,0 = 7, 3 · 103
2.4.3
∆f = 60, 04 kHz
Aufgabe 2.5:
2.5.1
2.5.2
f0 = 10 MHz
V U,max = 55, 35
∆f (1) = 71, 9 kHz
2.5.3
∆f (3) = 36, 7 kHz
Aufgabe 2.6:
2.6.1
(1) V U,max = 125
2.6.2
∆f (1) = 106, 7 kHz
(2) V U,max = 15, 625 · 103
∆f (2) = 68, 7 kHz
2.6.3
Bedämpfung der Einzelschwingkreise
2.6.4
∆f (1) = 165, 79 kHz
(1)0 V
U,max = 80, 45
2.6.5
0
(2)0 V U,max = 6, 47 · 103
93
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Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Aufgabe 2.7:
2.7.1
VU =
−s · R2
1
·
f
2
1 + j f3dB
f3dB
f
Re
mit f3dB =
1
= 7, 96 MHz
πC2 R2
0
2.7.2
G = 0, 63 ; G = −1, 98 dB
2.7.3
L = 25, 33 nH
2.7.4
G0 = 10 · 103 ; G0 = 40 dB
2.7.5
QL = 125, 7 ; ∆f = 7, 96 MHz
0
94
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Bereich 3 - Passive Transformations- und Kompensationsschaltungen
Aufgabe 3.1:
3.1.1
Maßstäbliche Zeichnung in der komplexen z-Ebene
3.1.2
3.1.3
ωL1 = 7, 00 RE ; ωC = 0, 140 ·
1
RE
3.1.4
ωL1 ≈ 7, 07 RE ; ωC ≈ 0, 141 ·
1
RE
Aufgabe 3.2:
3.2.1
jX
R E Re
0
45°
Z E0
f
f0
Anpassung auf Z 1 = Z ∗i
3.2.2/3.2.3
1
L1
2
C2
1’
3.2.4
2’
ω0 L1 = (1/5) · RE ; ω0 C2 = 2/RE
95
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Abteilung Elektrotechnik und
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Aufgabe 3.3:
3.3.1/3.3.2
3.3.3
Zeichnen des Transformationsweges in der komplexen z-Ebene, beginnend an den Klemmen 1-1’ und endend an den Klemmen 2-2’ !
ωLS = 1, 25 · Ri
Veränderung von C1 sowohl größer als auch kleiner mit jeweils
ωLS = 1 · Ri und
ωLS = 1, 25 · Ri
Aufgabe 3.4:
3.4.1
X1 = 3, 6 · ZC ; X2 = 0, 5 · ZC
Aufgabe 3.5:
3.5.1
L = 795, 8 nH ; C = 106, 1 pF
Aufgabe 3.6:
3.6.1
B1 = 5 mS ; B2 = 1, 11̄ mS
Aufgabe 3.7:
3.7.1
L1 = 2, 03 µH ; L2 = 115, 77 nH
Aufgabe 3.8:
3.8.1
jb1 = j3, 0 ; jb2 = j1, 4
96
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Abteilung Elektrotechnik und
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Bereich 4 - Grundlagen der Leitungstheorie
Aufgabe 4.1:
|U 2 | = 10 V
4.1.1
4.1.2
U(l )
11
00
0
1
0
1
1
00
1
1
0
0
1
00
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
00
1
1
1111111111111111111
0000000000000000000
0
1
0
1
50
40
30
20
10
0V
1-1’
4.1.3
0,03λ
0,03λ
l
2-2’
lmin und lmax siehe Bild unter 4.1.2
|U max | = 50 V; |U min | = 2 V
Aufgabe 4.2:
4.2.1
ZC3 = 100 Ω
4.2.2
ZC2 = 100 Ω
4.2.3
|U 1 | = 5 V; |U 3 | = 10 V ; |U 5 | = 2, 5 V
Aufgabe 4.3:
4.3.1
|U H I | = 5 V; |U H II | = 18, 32 V
4.3.2
|U R I | = 1, 67 V ; |U R II | = 14, 98 V
4.3.3
|U I,max | = 6, 67 V ; |U I,min | = 3, 33 V
|U II,max | = 33, 3 V; |U II,min | = 3, 33 V
Aufgabe 4.4:
97
H F T
4.4.1
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
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Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
◦
II
|rII
2 | = 0, 5 ; arc(r 2 ) = 90
|rI2 | = 0, 25 ; arc(rI2 ) = 0◦
4.4.2
|r1 | = 0, 25 ; arc(r1 ) = 0◦
4.4.3
|U Imax | = 6, 25 V ; |U Imin | = 3, 75 V
4.4.4
II
|U II
max | = 8, 41 V ; |U min | = 2, 82 V
98
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Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Aufgabe 4.5:
4.5.1
l2 = 25 cm ; ZC2 = 100 Ω
4.5.2
4.5.3
m1 = 0, 25 ; m2 = 0, 5 ; m3 = 1
4.5.4
Aufgabe 4.6:
4.6.1
|U I,max | = 6, 67 V ; |U I,min | = 3, 33 V
|I I,max | = 133, 33 mA ; |I I,min | = 66, 67 mA
4.6.2
|U II,max | = 13, 32 V ; |U II,min | = 3, 33 V
|I II,max | = 133, 33 mA ; |I II,min | = 33, 33 mA
99
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Aufgabe 4.7:
4.7.1
εr = 2, 25
4.7.2
ZC = 60 Ω
4.7.3
|U |max = 10 V
4.7.4
L = 300 nH/m
4.7.5
C = 83, 3̄ pF/m
0
0
Aufgabe 4.8:
4.8.1
P2 = 111, 1 mW
4.8.2
|U max | = 6, 67 V ; |U min | = 3, 33 V
4.8.3
Z 1 = R1 = 128 Ω ;
4.8.4
P2 = 123, 1 mW
4.8.5
|U max | = 5, 61 V ; |U min | = 3, 51 V
0
0
0
Aufgabe 4.9:
4.9.1
l1 = 12, 5 cm
4.9.2
|U 1 | = 7, 06 V
4.9.3
|U HK | = |U HL | = 5 V
Aufgabe 4.10:
4.10.1
ZC = 150 Ω ; f1 = 125 MHz ; P1,verf = 250 mW
4.10.2
P1,min = 90 mW ; f2 = 250 MHz
Aufgabe 4.11:
4.11.1
R4 = 50 Ω
4.11.2
m1 = 0, 5 ; m3 = 0, 7
4.11.3
ZC1 = 100 Ω ; ZC2 = 50 Ω ; ZC3 = 71, 43 Ω
4.11.4
εr1 = 2, 9 ; εr3 = 1
Aufgabe 4.12:
4.12.1
PH I = 250 mW ; PR I = 123, 1 mW
4.12.2
PH II = 182, 94 mW ; PR II = 56, 04 mW
100
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Aufgabe 4.13:
4.13.1
R2 = 112, 5 Ω ; R3 = 200 Ω ; R4 = 50 Ω
4.13.2
P = 57, 6 mW
4.13.3
|U 4 | = 2, 4 V
Aufgabe 4.14:
4.14.1
P1 = 95 kW
4.14.2
P2 = 40 kW
Aufgabe 4.15:
4.15.1
Z 4 = −j50 Ω
Element = Kondensator
C = 3, 18 pF
√
4.15.2
|U 4 |/|U max | =
4.15.3
Zwei Lösungen:
0
0
l1 = 11, 79 cm ; l2 = 6, 33 cm
00
2/2 = 0, 707
00
l1 = 3, 21 cm ; l2 = 1, 17 cm
101
H F T
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Bereich 5 - Leitungstransformationen, Leitungsdiagramm 2. Art
Aufgabe 5.1:
5.1.1
y =0,5 ; 5 ; -j ; -j0,5 ; +j5 ; 0,5-j0,5 ; 0,8-j0,6 ; 0,6+j0,8
5.1.2
Y = 10 mS ; (8 − j6) mS ; (4 − j8) mS
5.1.3
Z = −j100 Ω ; (40 − j20) Ω
Aufgabe 5.2:
5.2.1
Y 2 = (10 − j10) mS
5.2.2
|r2 | = 0, 45 ; arc(r2 ) = 63, 5◦
5.2.3
Z 1 = (25 + j25) Ω ; Y 1 = (20 − j20) mS
|r1 | = 0, 45 ; arc(r1 ) = 117◦
5.2.4
0
0
l /λ = 0, 088 ; R = 132, 5 Ω
0
0
|r | = 0, 45 ; arc(r ) = 0◦
5.2.5
00
00
l /λ = 0, 338 ; R = 19 Ω
00
00
|r | = 0, 45 ; arc(r ) = 180◦
Aufgabe 5.3:
5.3.1
|r1 | = 0, 24 ; arc(r1 ) = 91◦
Z 1 = (44 + j22, 5) Ω
Aufgabe 5.4:
5.4.1
siehe Übungsaufgabe 3
5.4.2
a) Cp = 159, 2 pF; LR = 159, 2 µH
b) Lp = 159, 2 µH; CR = 159, 2 pF
102
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Aufgabe 5.5:
5.5.1
|U 1 | = 5 V ; |U 2 | = 15, 81 V
5.5.2
a) ω0 L1 = 300 Ω; ω0 C2 = 3 mS
b) ω0 C1 = 3, 33 mS; ω0 L2 = 333 Ω
0
0
c) l /λ = 0, 2; B1 = −60 mS (Induktivität)
00
00
l /λ = 0, 3; B1 = +60 mS (Kapazität)
0
0
d) B1 = 30 mS (Kapazität); B2 = 3 mS (Kapazität)
00
00
B1 = −3 mS (Induktivität); B2 = −30 mS (Induktivität)
5.5.3
0
00
0
0
00
00
c) l1 /λ = 0, 051; l1 /λ = 0, 449;
d) l1 /λ = 0, 407; l2 /λ = 0, 274;
l1 /λ = 0, 093; l2 /λ = 0, 226;
Aufgabe 5.6:
5.6.1
Bp ≈ 0, 1/Ri ; XS = 10Ri
5.6.2
Bp → ∞ ; l = λ2 /4
5.6.3
ZC = 5, 77 · Ri
5.6.4
|U 2 |/|U G | = 5
0
Aufgabe 5.7:
5.7.1
l1 /λ1 = 1/2 ; l2 /λ1 = 1/4
5.7.2
U 1 = 8, 57 V
5.7.3
PA = 122, 4 mW
5.7.4
εr1 = 1, 56 ; ZC1 = 122, 47 Ω
5.7.5
PA = 250 mW
0
0
0
Aufgabe 5.8:
5.8.1
l2 /λ = 0, 452 ; l3 /λ = 0, 327
5.8.2
Z 2K = −j46, 88 Ω ; Z 23 = (18, 76 + j37, 5) Ω
Z 2 = 93, 75 Ω
5.8.3
ZC1 = 48, 4 Ω ; l1 = 50 cm
|U 3 | = 19, 36 V
103
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Abteilung Elektrotechnik und
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Aufgabe 5.9:
5.9.1
l/λ = 0, 179 ; L/λ = 0, 5
Aufgabe 5.10:
5.10.1
siehe Smith-Chart 5.10
104
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Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Aufgabe 5.11:
5.11.1
siehe Smith-Chart 5.11
105
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Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Aufgabe 5.12:
5.12.1
0
0
jX1 = +j25 Ω ; jX2 = −j125 Ω
00
00
jX1 = −j12, 5 Ω ; jX2 = −j31, 25 Ω
5.12.2
0
0
00
00
l1 /λ = 0, 051 ; l2 /λ = 0, 336
l1 /λ = 0, 474 ; l2 /λ = 0, 437
Aufgabe 5.13:
5.13.1
l1 /λ = 0, 176 ; l2 /λ = 0, 086
Aufgabe 5.14:
5.14.1
l1 /λ = 0, 199 ; l2 /λ = 0, 032
Aufgabe 5.15:
5.15.1
lS = 7, 5 mm
5.15.2
l1 = 3, 4 mm
5.15.3
P2 = 250 mW
Aufgabe 5.16:
5.16.1
l1 = 25 cm ; l3 = 25 cm
5.16.2
l2 = 12, 5 cm
Aufgabe 5.17:
5.17.1
Z 1 = 75 Ω
5.17.2
ZS = 19, 69 Ω
Aufgabe 5.18:
5.18.1
0 ≤ C1 ≤ 18, 86 pF
0 ≤ C2 ≤ 2, 12 pF
Aufgabe 5.19:
5.19.1
lX /λ = 1/8 und lX /λ = 3/8
5.19.2
|U 1 | = 3, 49 V ; |U 2 | = 2, 2 V ; |U 3 | = 4, 39 V
Aufgabe 5.20:
0
00
5.20.1
l = 1, 92 cm , l = 6, 66 cm
5.20.2
Cmax = 2, 65 pF
l∗ = 3, 72 cm
106
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Bereich 6 - Kenngrößen von Hochfrequenz-Leitungen
Aufgabe 6.1:
6.1.1
d = 0, 84 mm
6.1.2
C = 100, 7 pF/m
6.1.3
L = 251, 7 nH/m
6.1.4
vph = 198, 7 · 106 m/s
6.1.5
λ = 0, 662 m
6.1.6
6.1.7
D/d = e = 2, 718 ; ZC = 39, 7 Ω
√
D/d = e = 1, 65 ; ZC = 19, 9 Ω
6.1.8
D/d = 3, 6 ; ZC = 50, 8 Ω
0
0
Aufgabe 6.2:
6.2.1
vph = 3 · 108 m/s
6.2.2
ZC = 38, 5 Ω
6.2.3
β = 0, 63 m1
6.2.4
L = 128, 3 nH/m ; C = 86, 6 pF/m
0
0
Aufgabe 6.3:
6.3.1
Z 1K ≈ jZC βl ; Z 1L ≈ −jZC ·
6.3.2
ZC = 50 Ω ; λ = 25, 13 cm
6.3.3
εr = 3, 96
1
βl
Aufgabe 6.4:
6.4.1
εr = 2, 78
6.4.2
C = 55, 6 pF/m
6.4.3
L = 0, 556 µH/m
6.4.4
d = 0, 62 mm
0
0
107
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Aufgabe 6.5:
0
6.5.1
L = 250 nH/m
6.5.2
β = 31, 4
6.5.3
εr = 2, 25
6.5.4
R = 1, 73 Ω/m
1
m
0
Aufgabe 6.6:
6.6.1
a = 0, 223 mm
Aufgabe 6.7:
6.7.1
D/d = 3, 49
6.7.2
D = 34, 2 mm
Aufgabe 6.8:
6.8.1
α = 16, 55 dB/km
Aufgabe 6.9:
6.9.1
6.9.2
p
tan δR0 = 0, 96/ f /MHz
p
ZC ≈ ZC0 (1 − j0, 48/ f /MHz)
Aufgabe 6.10:
6.10.1
d = 2, 79 mm
6.10.2
αmin = 6, 2 dB/100m
6.10.3
ZC = 51, 13 Ω
Aufgabe 6.11:
6.11.1
P2 = 87, 11 kW
6.11.2
P abs = 12, 89 kW
6.11.3
R = 69 mΩ/m
6.11.4
η = 0, 871
0
108
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Aufgabe 6.12:
6.12.1
vph = 0, 15 · 109 m/s
6.12.2
εr = 4
6.12.3
ZC = 48, 28 Ω
6.12.4
R = 1, 1 Ω/m
6.12.5
α = 99, 64 dB/km
0
Aufgabe 6.13:
6.13.1
tan δR0 = 5, 2 · 10−3
6.13.2
α = 69, 5 dB/100m
Aufgabe 6.14:
6.14.1
|Z C1 | = 50 Ω, arc (Z C1 ) = 0◦
6.14.2
g = 0, 8 + j 209, 4
6.14.3
α = 69, 5 dB/km
Aufgabe 6.15:
6.15.1
εr = 1, 56
6.15.2
ZC = 50, 85 Ω; L = 0, 212 µH/m
6.15.3
β = 261, 6
6.15.4
αG0 = 11, 4 dB/100m
0
1
m
109
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
110
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
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Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
111
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Anhang
A)
Aktuelle Formelsammlung
B)
Leitungsdiagramm 2. Art (Smith-Chart )
112
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
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Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
Hilfsblätter zur Klausur Microwave and RF Technology“
”
A) Konstanten
Vs
µ0 = 4π · 10−7 Am
As
ε0 = 8, 85 · 10−12 Vm
c0 = 3 · 108 ms
ZC = 120 π Ω = 377 Ω
1 Neper = 8, 686 dB
1) Umrechnung Impedanz ↔ Admittanz
GP
+ BP2
−BP
XS = 2
GP + BP2
RS =
RS
+ XS2
−XS
BP = 2
RS + XS2
GP =
G2P
RS2
2) Verlustfaktor
tan δ =
Version: F2009
113
PW
RS
GP
1
=
=
=
PB
|XS |
|BP |
Q
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
3) Schwingkreise
a) Parallelschwingkreis
Resonanzbedingung: jBP = jBC + jBL = 0
ω0 = √
1
LP CP
Gesamtadmittanz:
Y = GP (1 + jQv)
Güte:
YK
GP
Q=
Verstimmung:
v=
ω
ω0
−
ω0
ω
Kennleitwert:
YK = ω0 CP =
1
ω0 LP
3dB–Bandbreite:
∆f3dB =
f0
Q
b) Reihenschwingkreis
Resonanzbedingung:
jXS = jXC + jXL = 0
1
ω0 = √
LS CS
Gesamtimpedanz:
Z = RS (1 + jQv)
Güte:
ZK
RS
Q=
Verstimmung:
v=
ω
ω0
−
ω0
ω
114
Kennwiderstand:
ZK = ω0 LS =
1
ω 0 CS
3dB–Bandbreite:
∆f3dB =
f0
Q
H F T
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
4) Leitungskenngrößen
Fortschreitende Welle in (−z)–Richtung:
115
U H (z) = U H (z = 0) · eγz
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.−Ing. K. Solbach
H F T
γ = α + jβ =
α=β·
(R0 + jωL0 )(G0 + jωC 0 )
√
2π
ω
β = ω L0 C 0 =
=
λ
vph
tan δL + tan δC
1 R0
1
= ·
+ · G0 ZC ;
2
2 ZC 2
G0
R0
und
tan
δ
=
C
ωL0
ωC 0
mit tan δL =
s
ZC =
p
Universität Duisburg−Essen
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
R0 + jωL0
G0 + jωC 0
ω
c0
1
= =√
vph = √
β
µ r εr
L0 C 0
λ=
2π
vph
=
f
β
Äquivalente Leitschichtdicke:
a
= 64 ·
µm
r
κAg
1
·p
κ
f /MHz
mit µr = 1 und κAg = 62
Sm
mm2
Leitungsgleichungen auf einer verlustlosen Leitung der Länge l :
2
_I(l)
_I 2
_
U(l)
ZC
_2
U
2’
l
U (l) = U 2 cos βl + jZC I 2 sin βl = U H (l) + U R (l)
I(l) = I 2 cos βl + j
U2
1
sin βl =
{U (l) − U R (l)}
ZC
ZC H
P (l) = PH (l) − PR (l)
Impedanztransformation auf einer verlustlosen Leitung der Länge l :
Z(l) =
Z 2 + jZC tan βl
Z
1 + j Z 2 tan βl
C
116
Fachgebiet
Hochfrequenztechnik
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H F T
Universität Duisburg−Essen
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Abteilung Elektrotechnik und
Informationstechnik
5) Leitungsdiagramm 2. Art (Smith–Chart)
r=
Z
ZC
Z
ZC
|r| =
−1
+1
bzw.
SW R − 1
s−1
=
s+1
SW R + 1
1+r
Z
=
ZC
1−r
mit
s = SW R =
|U max |
1
=
|U min |
m
Reflexionsfaktortransformation auf einer verlustfreien Leitung der Länge l :
r(l) =
U R (l)
= r(0)e−j2βl
U H (l)
Spannung, Strom und Wirkleistung auf der Leitung
als Funktion des Reflexionsfaktors r(l) :
U (l) = U H (l){1 + r(l)}
I(l) =
U H (l)
{1 − r(l)}
ZC
P (l) = PH (l){1 − |r(l)|2 }
6) Transistorverstärker mit Zeitkonstante τ
s=
s
ω
1 + j ω3dB
mit der Eck–Kreisfrequenz ω3dB =
1
und der Niederfrequenz–Steilheit s :
τ
Maximal verfügbarer Leistungsgewinn bei Anpassung am Ein– und Ausgang:
Gm =
PAus
PEin
Schwingbedingung für die Grenzfrequenz fmax :
Gm (f = fmax ) = 1
117
|r|
0.699999
|r|
0.0
dB
30
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.05
2
0.1
0.0
0.01
0.00
0.2
20
0.3
15
0.4
0.5
8
6
10
0.6
5
h
|u min |
Anpassungsfaktor m = ——
|u max |
1
•
Welligkeitsmaß s’ = 20 dB •lg( —
m)
0.699999 0.8 0.899999 1.0
4
3
2
s’
0.14
0.9
0.15
80
1.6
60
0.2
7
7
0.1
8
19
0.
0.2
0.0
5
14
0
l⁄
4
0.
40
3.0
0.3
150
1
0.8
0 .2
30
4
in
n
0.4
0.6
0 .0
r
50
0.
06
0.5
0
0.1
2.0
0.0
13
a rc
6
1.4
0.7
120
0.1
70
0.6
8
0.0
0.13
la
ka
eS
er
ala
k
eS
er
110
0
90
100
0.8
9
0.0
1
0.12
0.11
0.1
λ ..
au
ß
ur
Reflexionsfaktor r = —
u
m
0.1
∞ 40
0.6
0.5
1.8
0.8
1.0 0.899999 0.8 0.699999 0.6
1.2
0.899999
1.0
1.0
4.0
1.0
0.03
5.0
0.2
20
160
0.22
1.0
8
0.02
0.
0.23
0.6
0.1
0.4
20
0.2
50
20
5.0
10
4.0
0
-22.0.
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
31
0
50
-50
180
50
-0.2
0.49
20
-20
-0.4
-01.1
0.
0.26
350
190
999
0.479
-10
10
6
0.27
-0.
.8
-1.
0
0.28
-55.0.0
200
340
-0
-00.2.2
0.47
210
0.8
-00.5.
5
0.
31
0.
44
0
22
4.4
0-0.
0.4
0.4
9
49
99
0.6
-33.0.
0
6
1.0
-44.0.
0
0.3
32
0
8
-11.8.
3
-11.6.6
-00.6.
6
-11.4.4
0.35
-12.2
1.
0.36
0.99
-0.
1.0
-1.0
280
260
270
0.37
0-0.8.8
290
0.38
0.3899
250
0.4
99
9
99
19
0.4
1
0.4
..
Angaben (Skizzen) zu Meßobjekt, Meßverfahren, Meßgeraten, Genauigkeit usw.
4
0.3
240
-00.7.7
300
2’
l
3
0
Z2
0.3
23
0.4
0.2
Z=R+jX
2
2
0.3
Ζ C ,β
9
3
-00.3.
0.2
330
0.4
0.25
X
—
ZC
R
—
ZC
0.24
<— a r c r
0.0 l/ λ —> 0.01
10
170
10
Z C=
Ω
Datum:
Bearbeiter:
118
Leitungsdiagr. 2. Art
(Smith-Chart)