Freie Bäume und Wälder

(Martin Dietzfelbinger, Stand 4.6.2011)
Freie Bäume und Wälder
In dieser Notiz geht es um eine besondere Sorte von (ungerichteten) Graphen, nämlich Bäume. Im Gegensatz zu gerichteten Bäumen nennt man
diese Graphen auch freie Bäume. Die folgenden grundlegenden Tatsachen
zu Bäumen sind allgemein wichtig; wir benutzen sie in der Vorlesung ohne
weitere Begründung. Für Interessierte sind auch die Beweise angegeben. Alle
Graphen in dieser Notiz sind ungerichtet.
Definition 1 Ein Graph G = (V, E) heißt (freier) Baum, wenn er zusammenhängend und kreisfrei ist. Er heißt Wald, wenn er kreisfrei ist.
Ein Wald besteht aus Zusammenhangskomponenten, die Bäume sind. Ein
Beispiel für einen Wald mit acht (!) Zusammenhangskomponenten:
Im folgenden bedeutet Kreis“ (in einem Graphen G = (V, E)) stets dasselbe
”
wie einfacher Kreis“, also eine Knotenfolge (v0 , . . . , vk ) mit k ≥ 3 verschie”
denen Knoten v0 , . . . , vk−1 und vk = v0 , so dass (vi−1 , vi ) ∈ E für 0 < i ≤ k.
Kreise mit derselben Kantenmenge werden wie üblich als identisch betrachtet.
Für den Beweis von Satz 7 benötigen wir eine Reihe von Hilfsaussagen.
Lemma 2 Ist G = (V, E) ein kreisfreier Graph mit mindestens einer Kante,
dann gibt es in G mindestens zwei Knoten mit Grad 1 ( Blätter“).
”
1
Beweis: Wir betrachten einen einfachen Weg (v0 , v1 , . . . , vt ) in G von maximaler Länge. Weil es mindestens eine Kante gibt, ist t ≥ 1. Dann kann v0 außer
v1 keinen weiteren Nachbarn haben. (Wäre (v0 , vi ) ∈ E für ein i ∈ {2, . . . , t},
dann hätte man einen Kreis. Wäre (v0 , v) ∈ E mit v ∈
/ {v1 , . . . , vt }, dann
könnte man den Weg verlängern.) Das heißt: v0 hat nur v1 als Nachbarn, ist
also Blatt. Genauso sieht man, dass vt ein Blatt ist.
Lemma 3 Ist G = (V, E) ein kreisfreier Graph, so gilt |E| ≤ |V | − 1.
Beweis: Durch Induktion über n = |V |.
I.A. n = 1: Wenn |V | = 1 ist, kann es keine Kante geben, also ist |E| = 0 =
|V | − 1.
I.V.: Die Aussage ist richtig für Graphen mit n − 1 Knoten.
I.S.: Sei |V | = n > 1. Wenn E = ∅, ist die Behauptung offensichtlich wahr.
Sonst gibt es nach Lemma 2 ein Blatt w ∈ V . Wir bilden den Graphen G′ =
(V ′ , E ′ ) durch Entfernen von w und der einen Kante, die zu w inzident ist.
Das heißt: V ′ := V − {w} und E ′ := {(u, v) ∈ E | u, v ∈ V ′ }. Offensichtlich
ist G′ auch kreisfrei. Es gilt |V ′ | = |V | − 1 und |E ′ | = |E| − 1. Mit der
Induktionsvoraussetzung folgt |E ′ | ≤ |V ′ | − 1 = n − 2, also |E| ≤ n − 1. Lemma 4 Ist G = (V, E) ein zusammenhängender Graph, so gilt |E| ≥
|V | − 1.
Beweis: Schreibe E = {e1 , . . . , em }. Dann definiere Ei := {e1 , . . . , ei } für
0 ≤ i ≤ m, Gi := (V, Ei ). Offensichtlich besteht G0 aus n isolierten Knoten,
hat also n Zusammenhangskomponenten. Dagegen hat Gm = G nur eine
Zusammenhangskomponente. Für 1 ≤ i ≤ m gilt: die beiden Endpunkte von
ei liegen entweder in einer Zusammenhangskomponente von Gi−1 oder in
zwei verschiedenen; also hat Gi höchstens eine Zusammenhangskomponente
weniger als Gi−1 . Daraus folgt m ≥ n − 1.
Lemma 5 Ein Graph G = (V, E) ist zusammenhängend genau dann wenn
es für jedes Paar v, w ∈ V mindestens einen einfachen Weg von v nach w
gibt.
2
Beweis: ⇒“: Seien v und w Knoten. Es gibt einen Weg von v nach w
”
nach Definition des Zusammenhangs. Weglassen von Kreisen macht den Weg
einfach.
⇐“: Klar nach Definition des Zusammenhangs in Graphen.
”
Lemma 6 Ein Graph G = (V, E) ist kreisfrei genau dann wenn es für jedes
Paar v, w ∈ V , v 6= w, höchstens einen einfachen Weg von v nach w gibt.
Beweis: ⇒“: Sei G kreisfrei. Annahme: es gibt verschiedene Knoten v, w ∈
”
V , so dass es zwei verschiedene einfache Wege von v nach w gibt. Wir wählen
solche Knoten v und w und verschiedene Wege p = (v = v0 , v1 , . . . , vk = w)
und p′ = (v = v0′ , v1′ , . . . , vl′ = w) so, dass die Summe k + l der Weglängen
minimal ist. Wir beobachten:
(i) k, l ≥ 2. (Wäre z. B. k = 1, also v1 = w, dann müsste l ≥ 2 sein, und
wir würden durch Kombination von p′ mit (v, w) einen Kreis erhalten.)
(ii) v1 6= v1′ . (Wäre v1 = v1′ , dann könnte man durch Weglassen der ersten
Kante aus p bzw. p′ kürzere verschiedene Wege von v1 nach w erhalten.)
′
(iii) {v1 , . . . , vk−1 } ∩ {v1′ , . . . , vl−1
} = ∅. (Wäre vi = vj′ , dann wären die Anfangsstücke von p und p′ Wege von v nach vi , die wegen (ii) verschieden
sind und die kürzer sind als p und p′ .)
Aus (iii) folgt, dass die Vereinigung von p und p′ ein einfacher Kreis ist, ein
Widerspruch.
⇐“: Wenn es einen einfachen Kreis v0 , v1 , . . . , vk = v0 (k ≥ 3) gibt, so gibt
”
es (mindestens) zwei verschiedene einfache Wege von v0 nach v1 , nämlich
(v0 , v1 ) und (v0 , vs−1 , . . . , v1 ).
Satz 7 (Charakterisierung von freien Bäumen)
Für einen Graphen G = (V, E) sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) G ist Baum.
(b) G ist kreisfrei und |E| ≥ |V | − 1.
3
(c) G ist zusammenhängend und |E| ≤ |V | − 1.
(d) Zu jedem Paar v, w ∈ V, v 6= w, existiert genau ein einfacher Weg
zwischen v und w.
(e) G ist kreisfrei, aber Hinzufügen irgendeiner Kante erzeugt einen Kreis
(G ist maximal kreisfrei).
(f) G ist zusammenhängend, aber Wegnehmen irgendeiner Kante macht G
unzusammenhängend (G ist minimal zusammenhängend).
Beweis: Der Beweis folgt folgendem Beweisschema:
b
e
a
d
c
f
(a) ⇒ (b): folgt aus Lemma 4.
(b) ⇒ (e): Sei G kreisfrei, |E| ≥ |V | − 1. Nach Lemma 3 folgt: |E| = |V | − 1,
und das Hinzufügen einer Kante zerstört die Kreisfreiheit.
(e) ⇒ (d): Aus der Kreisfreiheit folgt mit Lemma 6, dass es jeweils höchstens
einen solchen Weg gibt. Sei nun v, w ∈ E. Falls v = w oder (v, w) ∈ E, ist
nichts zu zeigen. Sonst: Füge (v, w) zu E hinzu. Nach Annahme (e) entsteht
ein Kreis, der natürlich (v, w) enthält. Die restlichen Kanten des Kreises (alle
in E) bilden einen Weg von v nach w in G, also gab es in G schon vor Einfügen
der Kante von v nach w diesen Weg.
(a) ⇒ (c): folgt aus Lemma 3.
(c) ⇒ (f): Sei G zusammenhängend, |E| ≤ |V | − 1. Nach Lemma 4 folgt:
|E| = |V | − 1 und das Entfernen einer Kante zerstört die Zusammenhangseigenschaft.
(f) ⇒ (d): Aus der Zusammenhangseigenschaft folgt, dass es für v, w ∈ V
einen einfachen Weg von v nach w gibt.
Eindeutigkeit: Gibt es mehrere einfache Wege vom v nach w, so folgt mit
4
Lemma 6, dass G einen einfachen Kreis hat. Man kann aus diesem Kreis irgendeine Kante entfernen, ohne die Zusammenhangseigenschaft zu zerstören.
Das widerspricht (f).
(d) ⇒ (a): Lemma 5 und Lemma 6.
Folgerung 8 Wenn G = (V, E) ein Baum ist, dann gilt:
(i) |E| = |V | − 1.
(ii) Zu jedem Paar v, w ∈ V mit v 6= w existiert genau ein einfacher Weg
zwischen v und w.
(iii) Hinzufügen irgendeiner Kante zu G erzeugt genau einen Kreis.
(iv) Wegnehmen irgendeiner Kante zerlegt G in genau zwei Zusammenhangskomponenten.
Beweis: (i) folgt direkt aus der Äquivalenz von (a)–(c) in Satz 7, (ii) folgt
aus der Äquivalenz von (a) und (d).
(iii) Nach Satz 7(e) erzeugt das Hinzufügen einer Kante (v, w) zu einem Baum
G mindestens einen Kreis. Es können aber dadurch nicht zwei verschiedene
Kreise entstehen. Denn diese würden zwei verschiedenen einfachen Wegen
von v nach w in G entsprechen, die es aber nach Satz 7(d) in einem Baum
nicht gibt.
(iv) Nach Nach Satz 7(f) erzeugt das Entfernen irgendeiner Kante (v, w) einen
Graphen G′ mit mehr als einer Zusammenhangskomponente. Die Zahl der
Komponenten von G′ kann aber nicht größer als 2 sein, denn das Hinzufügen
von (v, w) zu G′ stellt G wieder her und kann die Anzahl der Komponenten
nur um 1 verringern.
Proposition 9 Ist G = (V, E) ein Wald mit r Kanten, so besteht G aus
genau |V | − r Zusammenhangskomponenten.
5
Beweis: Es seien V1 , . . . , Vs die Zusammenhangskomponenten. Komponente
Vi ist ein Baum (da zusammenhängend und kreisfrei), hat nach Satz 7 also
|Vi | − 1 Kanten. Damit gilt
X
X
r=
(|Vi | − 1) =
|Vi | − s = |V | − s.
1≤i≤s
1≤i≤s
6