E17

Fakultät für Physik und Geowissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
E 17 „Fourier-Analyse gekoppelter elektrischer Schwingungen“
Aufgaben
0. In der Vorbereitung sind die Fourierkoeffizienten für eine Rechteck- und eine Dreiecksschwingung analytisch zu berechnen. Führen Sie unter Verwendung geeigneter Software (z.B. ORIGIN)
eine Fast-Fourier-Transform (FFT) eines Sinus-, Dreieck- und Rechtecksignals durch. Vergleichen
Sie die Ergebnisse für das Dreieck- und Rechtecksignal mit den analytischen Ergebnissen.
1. Messen Sie den Zeitverlauf einer Sinus-, einer Dreieck- und einer Rechteckspannung mit einem
Digitaloszilloskop und analysieren Sie diesen mittels Fouriertransformation. Vergleichen Sie die
experimentellen mit den analytisch berechneten Ergebnissen. Untersuchen Sie den Alias-Effekt
(siehe Nyquist-Shannonsches Abtasttheorem), indem Sie bei vorgegebener Grenzfrequenz fG der
FFT die Frequenz f einer Sinusschwingung von f < fG zu f > fG durchstimmen und jeweils das
Fourierspektrum betrachten. Erklären Sie die Beobachtungen.
2. Für zwei kapazitiv gekoppelte Schwingkreise sind für zehn verschiedene Kopplungskondensatoren mit Hilfe von Abklingvorgängen die Schwebungsschwingungen mit zwei verschiedenen Messschaltungen („Tief-“ und „Hochpunkt-Schaltung“) zu messen. Aus den Fourier-Transformierten
sind die Frequenzen der gleich- sowie der gegensinnigen Schwingung zu bestimmen. Ermitteln Sie
die jeweiligen Kopplungsgrade; aus dem Fit der theoretischen Beziehung an die Daten ist die
Kapazität C zu bestimmen.
3. Für zwei ausgewählte Kopplungsfälle sind die Schwebungsdauern zu messen und mit den aus
den Frequenzen der gleich- und gegensinnigen Schwingungen berechneten Werten zu vergleichen.
4. Für den Fall zweier induktiv gekoppelter Schwingkreise ist der Kopplungsgrad in Abhängigkeit
vom Abstand zwischen den Schwingkreisspulen zu ermitteln und graphisch darzustellen. Nach
welchem Abstandsgesetz ändert sich der Kopplungsgrad?
Literatur
Demtröder, Experimentalphysik 2, Springer, 2009
Bergmann, Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 2, Elektromagnetismus, de Gruyter,
2006
Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Fourier-Transformation und
Signalanalyse
Zubehör
Digitaloszilloskop (FFT-Funktion), Funktionsgenerator, Umschalter (elektronisch), Steckplatine,
Widerstände, Kondensatoren, Spulen, PC
1
Schwerpunkte zur Vorbereitung
- Schaltungen mit Wechselstromwiderständen
- Zeitfunktionen für die Auf- bzw. Entladung eines Kondensators
- Abklingvorgänge im RLC-Schwingkreis
- Differentialgleichung (DGL) des harmonischen Oszillators, Eigenfrequenz
- Schwingungsgleichung einer gedämpften freien elektrischen Schwingung, Lösung der
Differentialgleichung, Eigenfrequenz, Dämpfung
- Grundlagen der Fourier-Transformation, Fourier-Spektren, Abtasttheorem, Alias-Effekt
Als Beispiel für gekoppelte Oszillatoren werden oft die durch elastische Federn gekoppelten Pendel angeführt. Es lassen sich aber auch in Analogie dazu elektromagnetische Schwingkreise induktiv oder kapazitiv miteinander koppeln. Dadurch kann ebenfalls Energie von einem auf den anderen Kreis übertragen werden. Eine praktische Anwendung von gekoppelten Schwingkreisen findet
man bei Bandfiltern. Koppelt man mehrere Schwingkreise in der so genannten kritischen Kopplung (Kopplungsfaktor annähernd 0.01) miteinander, so erhält man einen Bandpassfilter mit flachem Frequenzgang im Durchlassbereich und relativ steilen Kanten im Bereich der unteren bzw.
oberen Grenzfrequenzen, die auch in Handys verwendet werden.
Grundlagen
Die mathematische Beschreibung gekoppelter Schwingkreise erfolgt hier unter der Annahme,
dass die Verluste von Spulen und Kondensatoren klein (geringe Dämpfung) und die Größe der
Kondensatoren bzw. Induktivitäten in den beiden Schwingkreisen gleich groß sind.
Kapazitive Kopplung, „Tiefpunkt-Schaltung“
Im Fall von kapazitiv gekoppelten Schwingkreisen unterscheidet man zwischen zwei Messschaltungen, der so genannten „Tiefpunkt-“ und der „Hochpunkt-Schaltung“. Im ersten Fall (Schaltung I, Abb. 1) erhält man für die Spannungen UC,A und UC,B nach der zweiten Kirchhoff-Regel (Maschenregel)
UC ,A + UL ,A + Uk = 0 , L
d2 I A 1
1
+ I A + ( I A− I B ) = 0 ,
2
dt
C
Ck
Abb. 1 Kapazitiv gekoppelte Kreise, Schaltung I („Tiefpunkt-Schaltung“)
2
(1, 2)
Mit den Beziehungen für die induktiven und kapazitiven Spannungen ergeben sich die beiden
Differentialgleichungen
L
d2IA 1
1
+ IA + ( IA− IB ) = 0 ,
2
dt C
Ck
(3)
L
d2IB 1
1
+ IB − ( IA − IB ) = 0 .
2
dt C
Ck
(4)
Ck beschreibt den Kopplungskondensator. Nach Addition der Gln. (3) und (4) ergibt sich
L
d2
1
I + IB ) + ( IA + IB ) = 0 ,
2( A
dt
C
(5)
und als Lösung dieser Differentialgleichung folgt
(IA + IB ) = (IA,0+ IB,0 ) cosω 1 t
.
(6)
Dabei ist ω 1 die Eigenkreisfrequenz der Schwingung mit
ω 1 = ω0 =
1
.
LC
(7)
Subtrahiert man die Gln. (3) und (4), erhält man
L
⎛1 2 ⎞
d2
I −I +
+
(IA − IB ) = 0
2 ( A B) ⎜
dt
⎝ C Ck ⎟⎠
(8)
und als Lösung folgt
(IA − IB ) = (IA,0− IB,0 ) cosω 2 t
(9)
mit der Eigenkreisfrequenz
ω2 =
1
⎛1 2 ⎞
L⎜ + ⎟
⎝ C Ck ⎠
−1
(10)
.
Durch Umstellung der Gln. (6) und (9) erhält man
IA (t) =
1
1
(IA0 + IB0 ) cos (ω 1t ) + (IA0 − IB0 ) cos (ω 2t ) ,
2
2
IB (t) =
1
1
(IA0 + IB0 ) cos ω 1t − (IA0 − IB0 ) cos ω 2t .
2
2
( )
( )
(11)
(12)
Regt man die Schwingungen beider Schwingkreise mit gleichgroßen Amplituden phasengleich an,
oszillieren beide Schwingkreise mit der gleichen Frequenz f1 = ω 1/2π (gleichsinnige Schwingung).
Für den Fall, dass die Anregung beider Schwingkreise mit gleichgroßen Amplituden aber mit einer
Phasenverschiebung von 180° (IA = −IB) erfolgt, ist die Frequenz f2 = ω 2/2π (gegensinnige Schwingung). Wird nur einer der Kreise zum Zeitpunkt t = 0 angeregt (IA ≠ 0, IB = 0), entstehen für geringe
Kopplungen Schwebungsschwingungen (Abb. 2), die die Frequenzen f1 und f2 enthalten.
3
Abb. 2 Links: Ausschwingvorgang mit Schwebung, Periodendauer T, Schwebungsdauer TS. Rechts: FourierSpektren kapazitiv gekoppelter Schwingkreise: (1) gleich- und (2) gegensinnige Kopplung, (3) Schwebungsschwingung.
Aus der Definition des Kopplungsgrades k mit
ω 22 − ω 12
k= 2
ω 2 + ω 12
(13)
folgt mit den Gln. (7) und (10) der Kopplungsgrad für Schaltung I nach Abb. 1:
C
.
kC ,I =
C + Ck
Für die Kreisfrequenz der Schwebung gilt ω S = 2π/TS = ω 2 − ω 1 .
(14)
(15)
Kapazitive Kopplung, „Hochpunkt-Schaltung“
Für die „Hochpunkt-Schaltung“ (Schaltung II) zur Untersuchung kapazitiv gekoppelter Schwingungen verwendet man die in Abb. 3 dargestellte Grundschaltung.
Abb. 3 Kapazitiv gekoppelte Kreise (Schaltung II, „Hochpunkt-Schaltung“)
Werden die Kirchhoff-Regeln auf die Masche C sowie die beiden Knoten D und E angewendet,
erhält man die Gleichungen
I
I I
(16)
0 = k − C ,A − C ,B (Masche C) ,
Ck C
C
IL ,A = Ik + IC ,A
(Knoten D) ,
(17)
IL ,B = Ik + IC ,B
(Knoten E) .
(18)
1
d2 I
Mit 0 = U&L ,A + U&C ,A = IC + L L2
C
dt
(19)
4
folgt für den Schwingkreis A mit den Gln. (16) und (17) die Differentialgleichung
0=
⎛ d2I
IC ,A
C d2I ⎞
+ L ⎜ C2,A + k 2+ ⎟ .
C
C dt ⎠
⎝ dt
(20)
mit I + = I C ,A + I C ,B . Mit den Gln. (16) und (18) ergibt sich für den Kreis B:
0=
⎛ d2I
IC ,B
C d2I ⎞
+ L ⎜ C2,B + k 2+ ⎟ .
C
C dt ⎠
⎝ dt
(21)
Die Gln. (20) und (21) stellen wieder ein gekoppeltes System von Differentialgleichungen dar.
Nach Addition und Subtraktion folgen aus diesen Gleichungen unter Verwendung von I+ und
I− = IC,A−IC,B die entkoppelten Differentialgleichungen:
0=
I+
C d2 I
I
d2 I
+ L(1 + 2 k ) 2+ , 0 = - + L 2- .
C
C dt
C
dt
(22, 23)
Mathematisch lässt sich das Zeitverhalten des Stromes als Linearkombination
I(t) = A+ cos(ω+ t) + A- cos(ω - t)
mit den Kreisfrequenzen ω + =
(24)
1
1
, ω− =
L (C + 2Ck )
LC
(25, 26)
beschreiben (Ck > 0, ω− > ω+). Die Beiträge der Amplituden der beiden Eigenschwingungen zur
Gesamtschwingung hängen dabei von den Anfangsbedingungen ab. Für den Kopplungsgrad erhält
man in
Analogie zum Fall der „Tiefpunkt-Schaltung“ die Beziehung
kC ,II =
ω −2 − ω +2
C
= k .
2
2
ω − + ω + C + Ck
(27)
Induktive Kopplung
Die Differentialgleichungen für den Fall von zwei induktiv gekoppelten Schwingkreisen werden
wieder unter Verwendung der Kirchhoff-Regeln hergeleitet.
Abb. 4 Grundschaltung induktiv gekoppelter Schwingkreise
In jedem der Kreise (Abb. 4) tragen Kondensator und Spule zur Spannung bei. Durchdringt das
Magnetfeld der einen Spule die Windungen der anderen Spule, erfolgt nach dem Faraday’schen
Induktionsgesetz eine Kopplung der Ströme in den beiden Kreisen. Unter der Voraussetzung
C = CA = CB und L = LA = LB erhält man:
5
IA
d2I
d2I
+ L 2A + M 2B = 0 ,
C
dt
dt
(28)
IB
d2I
d2I
+ L 2B + M 2A = 0 .
C
dt
dt
(29)
Die Stärke dieser Kopplung wird durch die Gegeninduktivität M beschrieben. Eine Entkopplung
dieses Differentialgleichungssystems erfolgt in Analogie zum kapazitiv gekoppelten Fall. Durch die
Addition und Subtraktion der Gln. (28) und (29) und mit I+ = IA+IB bzw. I−= IA−IB folgt:
2
I+
d2I
+ (L + M) 2+ = 0 , I- + (L − M) d I- = 0 .
C
dt
C
dt 2
(30, 31)
Die entsprechenden Kreisfrequenzen sind
ω+ =
1
, ω =
C (L + M)
1
.
C (L − M)
(32, 33)
Mit der Eigenkreisfrequenz ω 0 = (L C)-1/2 der ungekoppelten Schwingung erhält man
ω± =
ω0
M
1±
L
=
ω0
1 ± kL
,
(34)
wobei kL der Kopplungsgrad der induktiv gekoppelten Schwingungen ist mit kL =
M
.
L
(35)
Im Fall schwacher Kopplung ergibt sich
∆ω = ω − − ω + = kL ω 0 , ∆ f = f− − f+ = kL f0 .
(36, 37)
Versuchsdurchführung
In der Vorbereitung, in Aufgabe 0, überprüfen Sie die Abhängigkeit der FFT-Spektren von der Zahl
der Perioden des Datensatzes, der für die FFT verwendet wird, sowie von der WindowingMethode (z.B. Rechteck, Hanning). Wie unterscheiden sich die FFT-Spektren einer Sinus- und
einer Cosinus-Funktion? Welche Bedeutung haben die Real-/Imaginärteil- und die Amplitude/Phase-Darstellungen? Berechnen Sie die FFT-Spektren der Funktion sin(2πf1t)cos(2πf2t) für
geeignet gewählte Frequenzen f1 und f2 in den zwei Fällen f1 ≈ f2 (Schwebung) und f1 = 10f2 und
interpretieren Sie diese. Wie unterscheiden sich die FFT-Spektren der Funktionen
sin(2πf1t)cos(2πf2t) und cos(2πf1t)sin(2πf2t)? Warum?
In Aufgabe 1, die dem Kennenlernen des Messplatzes und der praktischen Anwendung der Fourier-Transformation (FFT) dient, wird ein Universalfunktionsgenerator an das Oszilloskop angeschlossen. Nehmen Sie im ersten Teil mit dem Digitaloszilloskop nacheinander das Zeitsignal sowie das FFT-Spektrum einer Sinus-, Dreieck- und Rechteckspannung auf und transferieren Sie die
Dateien auf den Computer. Berechnen Sie das FFT-Spektrum des Zeitsignals in ORIGIN und vergleichen Sie dieses mit dem FFT-Spektrum des Digitaloszilloskops. Stellen Sie im zweiten Teil
dieser Aufgabe eine feste Abtastrate für die FFT am Digitaloszilloskop ein und nehmen Sie einige
6
FFT-Spektren der Sinusspannung auf, wobei Sie die Frequenz f dieses Signals von f < fG zu f > fG
variieren.
Für Aufgabe 2 ist in einem Vorexperiment mit den bei dieser Aufgabe verwendeten Bauteilen ein
ungekoppelter Schwingkreis aufzubauen (Abb. 5).
Abb. 5 Schaltung zur Messung der Eigenfrequenzen
und der Dämpfungskonstanten der Einzelschwingkreise
Der Kondensator (Kapazität C) wird mittels der Gleichspannung Ua aufgeladen. Nach dem Schließen des Stromkreises bestehend aus Spule (Induktivität L) sowie dem Kondensator mit einem
elektronischen Umschalter (S) kommt es zum exponentiell gedämpften Ausschwingverhalten.
Mittels eines Digitaloszilloskops mit der Möglichkeit zur Fourier-Transformation (FFT) sind in einem Vorversuch die Identität der Eigenfrequenzen der ungekoppelten Schwingkreise zu überprüfen sowie deren Dämpfungskonstanten mit Hilfe der Abklingfunktion zu ermitteln. Mit diesen
Werten kann die Bedingung für schwach gedämpfte Schwingungen kontrolliert werden. Sind die
Eigenfrequenzen unterschiedlich, ist ggf. die Frequenzabstimmung der Kreise mit zusätzlich zur
Verfügung gestellten Bauteilen durchzuführen.
Für Aufgabe 2 ist die in Abb. 6 dargestellte Messschaltung aufzubauen. Anschließend werden die
Kondensatoren mit Hilfe der Spannung Ua geladen. Die Ladezustände der Kondensatoren bestimmen die Anfangsbedingungen.
Abb. 6 „Tiefpunkt-Schaltung“ kapazitiv gekoppelter Schwingkreise
Bei der Schaltung in Abb. 6 erkennt man, dass hier (links und rechts) Reihenschaltungen eines
Kondensators (Kapazität C) und einer Spule (Induktivität L) vorliegen, die miteinander und mit
dem variablem Kopplungskondensator Ck parallel geschaltet sind. Der linke und rechte Kondensator sind also verschieden geladen (die Vorzeichen der Ladungen sind jedoch gleich). Es handelt
sich um einen „gemischten“ Ausgangszustand und dementsprechend treten Schwingungen mit
den Frequenzen f1 und f2 gemäß der Gln. (7) und (10) auf.
Um die Messung zu starten, wird der Umschalter (S) geschlossen. Für zehn unterschiedliche Kapazitäten des Kopplungskondensators wird mit dem Digitaloszilloskop der Ausschwingvorgang gemessen sowie mittels FFT das Frequenzspektrum berechnet und auf den Computer übertragen.
7
Stellen Sie die zehn FFT-Spektren in einer Grafik dar. Bestimmen Sie die Frequenzen f1 sowie f2
und berechnen Sie den jeweiligen Kopplungsfaktoren kC,I.
Die so genannte „Hochpunkt-Schaltung ist nach Abb. 7 aufzubauen. Diese ermöglicht durch die
eindeutig bestimmten Anfangszustände der geladenen Kondensatoren die Eigenschwingungen
eines kapazitiv gekoppelten Systems separat zu messen.
Abb. 7 „Hochpunkt-Schaltung“ kapazitiv gekoppelter Schwingkreise
Mit der Anfangsbedingung Ua = Ub wird der Fall der gleichsinnigen Schwingungen (Frequenz f1)
realisiert, während man für Ua = −Ub die gegensinnigen Schwingungen (Frequenz f2) erfassen
kann. Messen Sie die FFT-Spektren für etwa zehn verschiedene Werte der Kopplungskapazität,
transferieren Sie die Daten auf den Computer und stellen Sie alle Spektren in einem Graphen dar.
Bestimmen Sie die Frequenzen f1 und f2 und berechnen Sie die jeweiligen Kopplungsfaktoren kC,II .
Die Kopplungsfaktoren kC,I und kC,II sind in einem Diagramm in Abhängigkeit vom Kopplungskondensator graphisch dazustellen. Durch Fit der Gln. (14) bzw. (27) sind der Wert des Kondensators
C zu bestimmen und mit dem nominellen Wert zu vergleichen.
Bei der Auswahl der Größe der Kopplungskondensatoren Ck für die Messungen mit der „Tief-“und der „Hochpunkt-Schaltung“ sind die unterschiedlichen Abhängigkeiten der Kopplungsgrade
kC,I bzw. kC,II von Ck zu beachten, um eine zweckmäßige Verteilung der Messwerte in der zu erstellenden graphischen Darstellung zu erhalten.
Bei Aufgabe 3 können durch Überbrücken des rechten Schalters Schwebungsschwingungen aufgenommen und die Periodendauer und die Schwebungsdauer für zwei geeignet ausgewählte
Kopplungskondensatoren von Aufgabe 2 ermittelt werden. Die aus den Frequenzen f1 und f2 berechneten Werte T und Ts sind mit denjenigen aus den Schwebungsschwingungen erhaltenen
Werten zu vergleichen.
Zur Durchführung von Aufgabe 4 wird die in Abb. 8 dargestellte Schaltung aufgebaut. Als Kopplungsspulen werden zwei flache, identische Kreisspulen verwendet, die sich koaxial und parallel
gegenüberstehen.
Abb. 8 Schaltung für die Messung induktiv gekoppelter Schwingkreise
8
Nach dem Laden des Kondensators CA wird der Umschalter geschlossen und das Ausschwingen
mit dem Digitaloszilloskop gemessen sowie das Fourier-Spektrum berechnet. Es sind für etwa acht
unterschiedliche Abstände zwischen den Kreisspulen die Frequenzen f+ und f- sowie die Frequenz
f0 des ungekoppelten Schwingkreises zu ermitteln. Damit ist der Kopplungsgrad kL zu berechnen
und die Gegeninduktivität M zu ermitteln. Die Abhängigkeit von M vom Abstand d zwischen den
Spulen ist graphisch darzustellen und zu diskutieren. Für die Diskussion sind unterschiedliche
nichtlineare Anpassungen vorzunehmen [z. B. allgemeines Abstandsgesetz M ∝ d − n , axiale Feldverteilung einer Kreisspule (siehe Versuch E 7)].
Die Bedienung des für den Versuch genutzten Digitaloszilloskops (Velleman PCSU1000) erfolgt mit
dem Programm PCSU1000 (Abb. 9). Für die FFT und den Export der Daten wird das im Grundpraktikum entwickelte Programm PCSU1000 DCP (Abb. 10) verwendet. Eine kurze Einweisung erfolgt
zu Beginn des Praktikums.
Abb. 9 Bedienoberfläche des Programms
PCSU1000
1: Einstellung der Zeitkonstanten
2: Einzel- oder Dauermessung
3: Einstellung Spannungsbereich
4: Triggeroptionen
Abb. 10 Oberfläche des Programms PCSU 1000 DCP
1: Grafische Anzeige Kanal 1 und 2
2: Option Datenabfrage (einzeln, dauerhaft)
3: Einstellung der FFT-Einheit (V, dB)
4: Anzeige f(t) oder FFT
5: Datenexport
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