Entropie

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18.Mai2017
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1. LässtmaneineheißeTasseKaffeeaufdemTischstehen,sokühltsiesichab.Dabeigibtsie
ihreinnereEnergiealsWärmesolangeandieUmgebungab,bisihreTemperaturgleichder
Umgebungstemperaturist.WiesoläuftderVersuchnieandersherumab?Wiesosinktnicht
dieTemperaturderUmgebung,weilinnereEnergiealsWärmeausderUmgebungindie
TassefließtunddamitdieKaffee-Temperaturzunimmt?NachdemEnergieerhaltungssatz
wäredasjederzeitmöglich.
2. Lässtmanz.B.eineKugelausKnetfallen,sowirdsieverformtundbleibtaufdemBoden
liegen.BewegungsenergiewirdinWärmeunddamitininnereEnergievonKnetund
Umgebungumgewandelt.WiesoläuftderVersuchnieandersherumab?Nachdem
Energieerhaltungssatzwärediesmöglich.DerKnetbollenkönntesichzueinerKugelformen,
derUmgebungWärmeentziehen,aufsteigenunddabeidiegewonneneEnergiein
Höhenenergieumwandeln.
3. JedesthermischeKraftwerkgibtca.1/3dergewonnenenEnergiealsWärmeandie
Umgebungab.Warum?KannmandenndieseWärmenichtauchdazunutzen,umeinen
GeneratoranzutreibenunddamitelektrischeEnergiezuerzeugen?
ZustandsformenderEnergie
SiebeschreibendenenergetischenZustandeinesSystems.Siegebenan,wievielEnergieeinSystem
besitzt.
MechanischeEnergieformen:HöhenenergieWH=mgh,BewegungsenergieWB=½mv2,
SpannenergieWSp=½Ds2
Feldenergien:Energie,dieinmakroskopischenelektrischenFeldern(z.B.Plattenkondensators)oder
magnetischenFeldern(z.B.stromdurchflossenenSpule)oderGravitationsfelderngespeichertist.
InnereEnergieU:DasistdieEnergieeinesSystems,dieübrigbleibt,wennmandiemechanischen
EnergieformenunddiemakroskopischenFeldenergienabzieht.DazugehörtdieSummealler
BewegungsenergienderungeordnetenTeilchenbewegung,derRotations-undSchwingungsenergien,
dieLageenergiedergegenseitigenTeilchenanziehungundAbstoßung,dieelektrischeFeldenergien
derAtomhüllen…FürdieinnereEnergiegibteskeineallgemeingültigeGleichung!
TransportformenderEnergie
MitihnenlassensichdieverschiedenenArtendesEnergieübertragsmathematischbeschreiben.
ArbeitW:
•
•
•
MechanischübertrageneEnergiemittelseinerKraftlängseinesWegesWmech=Fs⋅s
ElektrischübertrageneEnergiemittelsfließenderelektrischerLadungWel=Q⋅U
…
WärmeQ:ThermischübertrageneEnergie.
QfließtvonselbstvoneinemKörperhöhererTemperaturzueinemKörperniedrigererTemperatur
mittelsungeordneterTeilchenbewegungoderStrahlung.
Sprachgebrauch
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OftbezeichnetmanmitthermischerEnergiesowohldiethermischübertrageneEnergie(Wärme),als
auchdieinnereEnergie.ManmussdannausdemZusammenhangableiten,obdamitdie
TransportformoderdieZustandsgrößegemeintist.
NatürlicheVorgängelaufenstetsnurineineRichtungab.Siesindnichtumkehrbar,ohnedassdabei
VeränderungeninderUmweltzurückbleiben.SolcheVorgängeheißenirreversibel.
Vorgänge,dieohnebleibendeVeränderungenderUmweltumkehrbarwären,heißenreversibel.
Frage:WarumlaufenallenatürlichenVorgängenurineineRichtungab?Warumsindsieirreversibel?
LässtsichdiesesVerhaltenderNaturaufeinefundamentaleGesetzmäßigkeitzurückführen?
Was haben die aufgeführten irreversiblen Vorgänge gemeinsam?
Gemeinsamkeiten:
BeiallengenanntenirreversiblenVorgängenwirdmechanischeoderelektrischeEnergiezumindest
zumTeilinWärmeumgewandeltundgehtininnereEnergiederbeteiligtenKörperüber.Dadurch
erhöhtsichdieTemperaturallerbeteiligtenKörper.
Eine Antwort auf unsere zentrale Frage lässt sich mit dem Begriff der Entropie finden:
NimmteinSystemmitderabsolutenTemperaturTdieEnergieQthermisch(d.h.inFormvon
Wärme)auf,sonimmtseineEntropieSumdenBetragΔSzu.GibtdasSystemdieEnergieQ
thermischab,sonimmtauchseineEntropieumΔSab.
∆𝑆 =
𝑄
𝑇
BeiderverlustlosenÜbertragungmechanischeroderelektrischerEnergieoderderenverlustloser
UmwandlungineineanderemechanischeoderelektrischeEnergieformändertsichdieEntropiedes
Systemsnicht.
Einheit:
EinheitderthermischübertragenenEnergie(Wärme)Q
EinheitderabsolutenTemperaturT EinheitderEntropieSundderEntropieänderungΔS: AbsoluteTemperaturT=(ϑ/°C+273)K
Bp:ϑ=22°C⇒T=(22+273)K=295K
genauer
genauer
1J
1K(Kelvin)
1J/K
T=(ϑ/°C+273,15)K
T=(22+273,15)K=295,15K
Zur Frage Nr. 1
BeheizeneinesZimmers
DieHeizungeinesZimmerswirdmit60,0°Cbetrieben.Angenommen,derHeizkörpergibtdabei
1000JanEnergieab.DieRaumtemperaturbleibtbeikonstant22,0°C.
UmwievielnimmtdieEntropiedesHeizkörpersab?
UmwievielnimmtdieEntropiedesZimmerszu?
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Lösung:
Heizkörpertemperatur ϑH=60,0°C⇒TH=(273+60)K=333K
Zimmertemperatur ϑZ=22,0°C⇒TZ=(273+22)K=295K
ThermischübertrageneEnergieQ=1000J
DieEntropiedesHeizkörpersnimmtabumΔSH=Q/TH=1000J/333K=3,00J/K.
DieEntropiedesZimmersnimmtzuumΔSZ=Q/TZ=1000J/295K=3,39J/K.
DieEntropiezunahmeimZimmeristgrößer,alsdieEntropieabnahmedesHeizkörpers.Im
GesamtsystemZimmerundHeizkörperwirdbeiderAbgabevon1000JWärmeEntropieerzeugt:
ΔSErz=ΔSZ-ΔSH=0,39J/K
Zur Frage Nr. 2
FallenderKnetbollen
EinKörperausKnetderMassem=1,0kgfälltausderHöheh=1,0mbeiRaumtemperaturϑ=22°C
aufdenBoden.(VonLuftreibungwollenwirderÜbersichtlichkeithalberabsehen.)
Höhenenergie(mgh)→Bewegungsenergie→Wärme→InnereEnergiederUmgebung
DerFallvorgangisteinmechanischerVorgang.DabeihatderKörperkeineEnergieinFormvon
WärmeandieUmgebungabgegeben.DieEntropiedesKörpersändertsichnicht:ΔSK=0J/K.
BeimAuftreffenaufdenBodenwirddiegesamtemechanischeEnergiealsWärmeandieUmgebung
abgegeben:Q=mgh=10J.
DieEntropiederUmgebungnimmtzu:TU=(22+273)K=295K
ΔSU=Q/TU=10J/295K=0,034J/K
DiebeidiesemVorgangerzeugteEntropieist:
ΔSErz=ΔSU-ΔSK=0,034J/K–0J/K=0,034J/K
Ergebnis:
Entropiekannerzeugtwerden.
DieerzeugteEntropielässtsichberechnen
•
beimÜbergangvonWärmeQvonTheißnachTkaltmit ∆𝑺𝒆𝒓𝒛 =
•
𝑸
𝑻𝒌𝒂𝒍𝒕
−
𝑸
𝑻𝒉𝒆𝒊ß
;
beiderUmwandlungmechanischerEnergieoderFeldenergieinWärmeQmit
𝑸
∆𝑺𝒆𝒓𝒛 = .
𝑻
Bem.Manchmalisteshilfreichsichvorzustellen,dassmitdemFließenderWärmeQauchEntropie
fließt.ImGegensatzzurWärmenimmtbeimFließendieEntropiezu.
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Frage:KannEntropiegleichbleibenoderabnehmen?
Wirwissenbereits,dassbeimvollständigenÜbergangmechanischerEnergieoderFeldenergiewieder
inmechanischeEnergieoderFeldenergiedieEntropiedesgesamtenSystemsgleichbleibt.
BeithermischübertragenerEnergie(Wärme)würdesiegleichbleiben,wenndieTemperaturder
beteiligtenKörper(ImBeispiel:HeizkörperundZimmer)gleichist.IneinemsolchenFallkönnenwir
aberkeinenWärmeflussbeobachten.
DieEntropieeinesthermischabgeschlossenenSystemskannnurabnehmen,wennWärmevonselbst
voneinemTeilsystemniedrigererTemperaturaufeinTeilsystemhöhererTemperaturfließt.In
unseremBeispielwürdedasbedeuten,dassWärmevom22,0°CwarmenZimmeraufden60,0°C
heißenHeizkörperübergeht,dieZimmertemperaturdadurchabnimmt,dieTemperaturdes
Heizkörpersdabeisteigt.NachdemEnergieerhaltungssatzwäredasmöglich.EinsolcherVorgangist
niemalsbeobachtetworden!
Entropiesatzoder2.HauptsatzderThermodynamik:
InthermischabgeschlossenenSystemen,diekeineWärmevonaußenaufnehmenodernachaußen
abgebenkönnen,kanndieEntropiezwarzu-aberniemalsabnehmen.
Unsere Leitfrage, warum alle Prozesse in der Natur stets nur in eine Richtung ablaufen, lässt sich mit dem
Entropiesatz beantworten:
EntropieundIrreversibilität
DerEntropiesatzstehtdemEnergiesatzzurSeite-genaugenommenüberihm-underlaubtinder
NaturnurdiejenigenEnergieumwandlungen,beidenendieEntropiezunimmt.DerEntropiesatz
bestimmtdiezeitlicheRichtungallenNaturgeschehens,jedeUmkehrblockierend.Soerweistsichdie
EntropiealsHerrinüberEnergieundZeit.
BeialleninderNaturvonselbstablaufendenundsomitirreversiblenProzessennimmtdieEntropie
stetszu:ΔSErz>0.
BeireversiblenProzessenbleibtdieEntropiekonstant.ΔSErz=0.
ReversibleProzessekommeninderNaturnichtvor.EssindIdealisierungen,diebesonderseinfach
sindunddenenmansichexperimentellbeliebignähernkann.
Zur Frage Nr. 3
EineWärmekraftmaschine,wiez.B.einthermisches
KraftwerkodereinStirlingmotoristeinEnergiewandler.Sie
gewinntausdemWärmeübergangvoneinemheißen
ReservoirzueinemkaltenReservoirmechanischeEnergie.
DiesegewonnenemechanischeEnergiekannanschließend
weitergenutztwerden,indemsiez.B.ineineandere
mechanischeEnergieformumgewandeltodermittels
Generatorelektrischübertragenunddannmittels
ReservoirmithoherTemperaturTh
Q1
W
Q2
ReservoirmitniedrigerTemperaturTk
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ElektromotorwiederinmechanischeEnergieumgewandeltwird.
DasheißeReservoirderTemperaturThgibtdieWärmeQ1andieWärmekraftmaschineab.EinTeil
davonwirdinmechanischeEnergieWumgewandelt.DierestlicheWärmeQ2wirdandasReservoir
derTemperaturTkabgegeben.
UnterdemWirkungsgradηeinesEnergiewandlersverstehtmanallgemeindenQuotientenausder
nutzbarenEnergieundderzugeführtenEnergie.
𝜂=
Hier:
𝜂 =
!"#$%&%" !"#$%&#
!"#$%ü"!"# !"#$%&#
bzw.𝜂 =
!"#!!"#$%!! !"#$%&# !
!"#$%ü"!"# !ä!"# !!
!"#$%&%" !"#$%&'(
!"#$%ü"!"# !"#$%&!"
DieEntropiedesheißenReservoirsnimmtum ΔS h =
Q1
ab.
Th
DieEntropiedeskaltenReservoirsnimmtum ΔS k =
Q2
zu.
Tk
AusdemEntropiesatzfolgt: ΔS erz = ΔS k − ΔS h =
Q2 Q1
− ≥ 0 .
Tk Th
AusdemEESfolgt:Q2=Q1–W.DurchEinsetzenerhältman: ΔS erz =
⎛Q
Q1 − W
Tk
ηQ
−
Q1
≥ 0 .
Th
Q ⎞
1
MitdemWirkungsgradlässtsichWersetzen:W=η⋅Q1: ΔS erz = ⎜ 1 −
− 1 ⎟⎟ ≥ 0 .
⎜T
Tk
Th ⎠
⎝ k
Nachηumgestellt:
⎛1 η 1⎞
Q1 ⋅ ⎜⎜ − − ⎟⎟ ≥ 0 : Q1
⎝ Tk Tk Th ⎠
1 η 1
η
− − ≥0 + Tk Tk Th
Tk
η
Tk
Darausfolgt: ≤
1 1
−
Tk Th
η ≤ 1 −
⋅ Tk
Tk Th − Tk
.
=
Th
Th
Ergebnisse:
FürjedeWärmekraftmaschinegibteseinenmaximalenWirkungsgrad.Erkannnurunterder
idealisierendenAnnahmeerreichtwerden,dassdabeikeineEntropieerzeugtwird,dassdie
MaschinealsoeinenreversiblenProzessdurchläuft.
DiesermaximaleWirkungsgradheißtdeshalbidealerWirkungsgradη ideal =
Th − Tk
.
Th
DeridealeWirkungsgradhängtnurvonderTemperaturdifferenzzwischenheißemundkaltem
Reservoirabundistumsogrößer,jegrößerdieseTemperaturdifferenzist.
DerWirkungsgradeinerrealenWärmekraftmaschineiststetskleiner: η real
< η ideal (17PHJ1T17Entropie.docx)Schich
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WirkungsgradevonWärmekraftwerkenliegentypischbei30%-40%!
WillmanWärmeinmechanischeEnergieumwandeln,somusseinTeilderWärmeaneinSystem
niedrigererTemperaturabgegebenwerden.WiegroßdieeinzelnenEnergieanteilesind,bestimmt
derWirkungsgradderWärmekraftmaschine.EristprinzipielldurchdenidealenWirkungsgrad
begrenzt.
Was bedeutet Energiesparen, wenn doch die Energie erhalten bleibt?
Energieformen,diesichprinzipiellverlustlosineinanderumwandelnlassen,bezeichnetmanals
hochwertigeEnergie.DazugehörendiemechanischenEnergieformenunddieelektrisch
übertrageneEnergie.DieWirkungsgradesolcherEnergiewandler(Elektromotor,Generator)liegen
heuteweitüber90%.
ThermischeEnergie(innereEnergie,Wärme)gilthingegenalsminderwertig.
•
•
SiefließtvonselbstvoneinemSystemhöhererTemperaturzueinemSystemniedrigerer
Temperatur.
SielässtsichnurzueinemTeil(bestenfallsηideal)wiederinhochwertigeEnergie
zurückverwandeln.
ThermischeEnergieistumsowertvoller,jegrößerderAnteilist,derinhochwertigeEnergie
verwandeltwerdenkann.DurchdiesenAnteillässtsichderWertvonEnergieermessen.
Wegenη ideal =
Th − Tk
istdiethermischeEnergieumsowertvoller,jehöherdieTemperaturdes
Th
Systemsist,indemsiegespeichertist.
ThermischeEnergie,diesichzukeinemTeilmehrinhochwertigeEnergieumwandelnlässt,
bezeichnenwiralswertlos.DiesistdannderFall,wenndiethermischeEnergieaufdasReservoirmit
dertiefstenTemperaturübergegangenist.
Energieentwertungfindetstatt,wennEnergie,dieinhochwertigeEnergieumgewandeltwerden
könnte,stattdesseninthermischeEnergieübergeht.DasiststetsderFall,wenn
•
•
hochwertigeEnergieinthermischeEnergieumgewandeltwird
thermischeEnergievoneinemSystemhöhererTemperaturvollständigaufeinSystem
niedrigererTemperaturübergeht.
InbeidenFällennimmtauchdieEntropiedesGesamtsystemszu.
DieEntropiezunahmeisteinMaßfürdieEnergieentwertung!
Lässt sich dann bei einer Energieumwandlung mit der Entropie die Energiemenge berechnen, die dadurch
vollständig entwertet wurde?
AberJAJ!:
DerBetragderEnergie,diebeieinemEnergieübergangvollständigentwertetwurde,lässtsich
berechnen,indemmandiebeidemEnergieübergangerzeugteEntropiemitderTemperaturTmindes
kältestenvorhandenenReservoirsmultipliziert.
𝑄!"#$!%#!# = ∆𝑆!"# ∙ 𝑇!"# (17PHJ1T17Entropie.docx)Schich
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ZweiBeispieledazu:DieUmgebungseidasSystemmitdertiefstenerreichbarenTemperaturTmin.
Beispiel1:SieheBeispiel„FallenderKnetbollen“:FallenderKörperausKnetderMasse1kgauseiner
Höhevon1mbeieinerRaumtemperaturϑ=22°C.
DieHöhenenergievon10JwurdevollständiginWärmeQumgewandelt.
BeidemVorgangwurdeeineEntropieΔSErz=0,034J/Kerzeugt.
Gehenwirdavonaus,dassdieRaumtemperaturdietiefsteerreichbareTemperatur
Tmin=(22+273)K=295Kist,sokönnenwirdamitdievollständigentwerteteEnergieberechnen:
𝑄!"#$!%#!# = ∆𝑆!"# ∙ 𝑇!"# = 10 𝐽.SieistnatürlichgleichderzuvorvorhandenenHöhenenergie.
Beispiel2:SieheBeispiel„BeheizeneinesZimmers“
Eswurden1000JEnergieübertragen.
BeidemVorgangwurdeeineEntropieΔSErz=0,39J/Kerzeugt.
DieTemperaturdeskältestenvorhandenenReservoirsseidieRaumtemperaturTmin=(22+273)K=
295K.DiedabeivollständigentwerteteEnergie𝑄!"#$!%#!# = ∆𝑆!"# ∙ 𝑇!"# = 115 𝐽
Erg:Vonden1000JthermischübertragenerEnergie(abgegebenerWärmemenge)hättemanmit
eineridealenWärmekraftmaschineimmerhinnoch115JinhochwertigeEnergieumwandelnkönnen.
DieserAnteilistnunvollständigentwertetworden.
Die Gleichung für die vollständig entwertete Energie lässt sich auch herleiten:
HerleitungderGleichungfürQentw
IneinemProzessgehtWärmeQvoneinemReservoirhoherTemperaturThaufeinReservoirtieferer
TemperaturTtüber.TtistgrößeralsdieniedrigstezurVerfügungstehendeTemperaturTo.Wieviel
Energiewurdedabeivollständigentwertet?
ReservoirmithoherTemperaturTh
Prozess´
Q
Prozess
Wh,0
Q
Q
Tt>T0
Wt,0
Q–Wh,0
Q–Wt,0
ReservoirmitniedrigsterTemperaturTo
Umdieszuermitteln,betrachtenwirersatzweiseeinenidealisiertenProzess´:DieEnergieQwird
vomReservoirhoherTemperaturThindasReservoirmitniedrigsterTemperaturT0unterNutzung
eineridealenWärmekraftmaschineüberführt.DabeikönntemanimIdealfalldiemechanische
EnergieWh,0gewinnen.
(17PHJ1T17Entropie.docx)Schich
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⎛
MitdemWirkungsgradeineridealenWärmekraftmaschineerhältman Wh , 0 = Q ⋅ ⎜1 −
⎜
⎝
To ⎞
⎟ .
Th ⎟⎠
DiethermischeEnergie(Q-Wh,0)wirdvomReservoirniedrigsterTemperaturaufgenommen.Diesist
abernichtdiebeidembetrachtetenProzessvollständigentwerteteEnergie.
VomReservoirmitderTemperaturTthättemandieWärmeQanschließendunterNutzungeiner
idealenWärmekraftmaschinezumReservoirmitToübergehenlassenkönnen.
⎛
DabeihättemannochdiemechanischeEnergie Wt , 0 = Q ⋅ ⎜1 −
⎜
⎝
T0 ⎞
⎟ gewinnenkönnen.
Tt ⎟⎠
DievollständigentwerteteEnergiebeträgtsomit
⎛ T ⎞
⎛ T ⎞ Q ⋅ T0 Q ⋅ T0
Qentwertet = Wh,0 − Wt ,0 = Q ⋅ ⎜⎜1 − 0 ⎟⎟ − Q ⋅ ⎜⎜1 − 0 ⎟⎟ =
−
T
T
T
T
h ⎠
t ⎠
t
h
⎝
⎝
⎛Q Q ⎞
Qentwertet = ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ T0 ⇒ Qentwertet = ΔS erz ⋅ T0
⎝ Tt Th ⎠
Kontrollfragen
[1] NenneDefinitionundEinheitderEntropie.WasbedeutendieGrößeninder
Definitionsgleichung?
[2] BerechnedieEntropiezunahmebeidenzweiBeispielen„BeheizeneinesZimmers“und
„FallenderKnetbollen“.
[3] WassindreversibleundirreversibleProzesse?
[4] WasbesagtderEntropiesatz?
[5] WieistderWirkungsgraddefiniert?WiegroßistderidealeWirkungsgradeiner
Wärmekraftmaschine?
Wenndudirmehrmerkenmöchtest:
[6] LeitedenidealenWirkungsgradmitdemEntropiesatzher.
[7] WasverstehtmanunterEnergieentwertungundwiehängtsiemitderEntropiezusammen?
[8] WieberechnetmandiebeieinemProzessvollständigentwerteteEnergiemenge.