Vorlesungsgliederung

VO 322.213
F. Schäffler,
Grundlagen der Physik V (Festkörperphysik)
JKU, Inst. Halbleiter/Festkörperphysik
1
Grundlagen der Physik V: Festkörperphysik
Vorlesungsgliederung
WS 2010
1. Kristallbindungen
2. Kristallstruktur
3. Strukturanalyse und Reziprokes Gitter
4. Gitterschwingungen/Phononen
5. Thermische Eigenschaften von Festkörpern
6. Freies Elektronengas
7. Bandstruktur
8. Halbleiter
9. Optische Eigenschaften von Festkörpern
10. Magnetismus
Literatur:
1. H. Ibach, H. Lüth, Festkörperphysik, 7. Auflage, Springer Verlag, Berlin 2008
2. Charles Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, 14. Auflage, Oldenbourg Verlag,
München 2005
3. N.W.Ashcroft, D.N.Mermin, Festkörperphysik, Oldenbourg Verlag
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1. Kristallbindungen
2. Kristallstruktur
Die Bravais Gitter
Ein Bravais-Gitter (August Bravais 1850) ist eine unendliche Anordnung von Punkten, die
durch einen Satz diskreter Translationen erzeugt wird:




R  n1a1  n2a2  n3a3

ni sind ganze Zahlen und die ai sind Vektoren, die die Einheitszelle des Gitters aufspannen
und daher in drei verschiedenen Ebenen liegen. Im kubischen Gitter stehen die
Einheitsvektoren senkrecht aufeinander.
Im Dreidimensionalen gibt es insgesamt 14 Bravais-Gitter, die in 7 Gittersysteme unterteilt
werden können:
Gittersysteme
Bravais-Gitter
primitiv (P)
basiszentriert (C)
volumenzentriert (I) flächenzentriert (F)
triklin
abc

120°
P
C
P
C
monoklin
abc
=
90°
I
orthorhombisch
abc
=
P
tetragonal
a=bc
=
I
F
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3
P
rhomboedrisch
(trigonal)
a=b=c

P
hexagonal
a=bc



P (sc)
I (bcc)
F (fcc)
kubisch
a=b=c

Tabelle 2.1 Kristalle kommen nur in Form von Braivais-Gittern vor, deren Gitterpunkte mit einem oder
mehreren Atomen besetzt sind. Sind mehrere Atome pro Gitterpunkt vorhanden, so spricht man von einer Basis.
Das Diamantgitter beispielsweise ist ein fcc-Gitter mit zweiatomarer Basis. Die Basiskoordinaten sind (000)a
und (1/4 1/4 1/4)a. Das Diamantgitter besteht also aus zwei ineinander verschachtelten fcc-Gittern, die um 1/4
der Raumdiagonalen der kubischen Einheitszelle gegeneinander verschoben sind.
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Wichtige Kristallstrukturen
i) Natriumchlorid-Struktur (Kochsalzstruktur)
Typ: kubisch flächenzentriert (fcc)
Basis:
Na: 0 0 0
Cl: 1/2 1/2 1/2
Koordination: 6
Beispiele: NaCl
AgBr
MgO
MnO
KCl
PbS
PbTe
Ionenkristallstruktur mit vergleichbar großen Ionen
ii) Cäsiumchlorid-Struktur (Kochsalzstruktur)
Typ: kubisch volumenzentriert (bcc)
Basis:
Cs: 0 0 0
Cl: 1/2 1/2 1/2
Koordination: 8
Beispiele: CsCl
CsBr
CsI
viele intermetallische Verbindungen
Ionenkristallstruktur und Metallstruktur mit
unterschiedlich großen Ionen/Atomen
iii) Dichteste Kugelpackung
regelmäßige Anordnung starrer Kugeln mit dichtestem
Volumenfüllgrad.
Zwei Lösungen mit identischem Füllgrad von 0.74.
Jede Kugel der ersten Ebene ist von 6 Kugeln
umgeben, die sich alle berühren (Atompositionen A).
Kugeln der zweiten Ebene füllen drei der sechs
äquivalenten Zwischenräume der ersten Ebene aus
(Pos. B). Die dritte Ebene kann entweder über den Pos.
A angeordnet sein, oder über den in der zweiten Ebene
nicht benützten Zwischenräumen C. Die Stapelfolge
AB,AB,.. ergibt die hexagonal dichteste Kugelpackung
(hcp), die Stapelfolge ABC, ABC, ... die fcc-Struktur
entlang der <111>-Richtung.
a)Ionenkristallstruktur mit vergleichbar großen
Ionen
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iii a) hcp-Struktur (Abb. links)
hexagonales Gitter mit
Basis:
000
2/3 1/3 1/2
Stapelfolge entlang der c-Achse:
AB, AB, ...
Miller indices für hcp: (hkil); i = -h-k
iii b) fcc-Gitter (Abb. rechts)
Stapelfolge entlang der <111>-Achse
ABC, ABC, ...
iv) Diamant-Struktur
fcc-Gitter mit zweiatomarer
Basis:
000
1/4 1/4 1/4
covalente sp3-Bindungen; tetraedrische
Koordination mit 4 NN, 12 NNN
Volumenfüllung: 0.34
Beispiele:
C (diamond)
Si
Ge
-Sn
5
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v) kub. Zinkblende-Struktur
fcc-Gitter mit zweiatomarer
Basis:
Zn: 000
S: 1/4 1/4 1/4
covalente sp3-Bindungen + ionischer
Bindungsanteil; tetraedrische
Koordination mit 4 NN, 12 NNN
Volumenfüllung: 0.34
Beispiele:
ZnS
GaAs
InP
InSb
v) hex. Zinkblende-Struktur
(Wurtzite)
hcp-Gitter mit zweiatomarer
covalente sp3-Bindungen + ionischer
Bindungsanteil; tetraedrische
Koordination mit 4 NN, 12 NNN
Beispiele:
ZnO
SiC
CdS
CdSe
GaN
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3. Strukturanalyse und Reziprokes Gitter
Der Abstand zweier Streuzentren ist ein
Gittervektor R. Der Wellenvektor der
einfallenden Welle sei k, der der gestreuten
k' (mit k = 2/ n̂ und mit n̂ = k/k). Für
konstruktive Interferenz muß für den
Gangunterschied gelten: R( n̂ - n̂ ') = m.
Daraus folgt: R(k - k') = 2m
bzw.als äquivalente Bedingung:
eiR(k - k') = 1
Das ist die Definitionsgleichung für die
reziproken Gittervektoren. Konstruktive
Interferenz wird also immer dann erreicht,
wenn k - k' = G und G ein reziproker
Gittervektor ist.
Auswahlregeln und Kristallographie
Auswahlregeln aufgrund des Strukturfaktors für kubische Kristalle. (h,k,l): Millerindizes der
jeweiligen Kristallebene.
Abkürzung
Bravais-Gitter
erlaubte Reflexe
verbotene Reflexe
Simple cubic
sc
alle h, k, l
keine
Body-centered cubic
bcc
h + k + l gerade
h + k + l ungerade
Face-centered cubic
fcc
h, k, l alle ungerade
oder alle gerade
h, k, l gemischt
gerade/ungerade
Diamant
fcc; Basis (000), alle ungerade, oder
(1/4 1/4 1/4)
gerade & h+k+l = 4n
Hexagonal dichteste
Kugelpackung
hcp
l gerade, h + 2k ≠ 3n
gemischt, oder gerade &
h+k+l ≠ 4n
h + 2k = 3n
für ungerade l
Aus der Bedingung für Bragg-Reflexe kann man in kubischen Systemen den
Netzebenenabstand d aus der Gitterkonstante a und den Miller-Indizes der Ebene wie folgt
bestimmen:
In Kombination mit der Bragg-Bedingung ergibt sich dann:
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A
A: Kristallgitter eines Si-Kristalls im Transmissions-Elektronenmikroskopiebild (TEM). Der
einfallende Elektronenstrahl senkrecht zur Bildebene ist entlang der [110]-Richtung. Wegen
der Auswahlregeln für Diamant werden nur die {111}-Netzebenen abgebildet.
B: Beugungsbild einer Si/Ge-Heterostruktur im TEM mit Bezeichnung der Beugungsreflexe
(Miller-Indizes der entsprechenden Netzebenen). Wegen der um 4.2% unterschiedlichen
Gitterkonstanten von Si und Ge kommt es zu einer Aufspaltung der jeweiligen Reflexe. Die
größere Gitterkonstante von Ge führt zu kleineren Beugungswinkeln bei den Ge-Reflexen.
Brillouin Zone
Konstruktion der Brillouin-Zone für ein zweidimensionales quadratisches (a) und ein
hexagonales (b) Gitter
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Die erste Brillouin-Zone des fccGitters ist ein Oktaeder mit
abgeschnittenen Ecken. Dadurch
ergibt sich eine Oberfläche aus
Sechsecken und Quadraten. Die
Hauptsymmetrierichtungen sind mit
 = <100>,  = <110> und  =
<111> bezeichnet.  entsprich dem
Zonenzentrum (000), der -Punkt der
Zonengrenze in den <100>Richtungen, der -Punkt der
Zonengrenze in den <110>Richtungen und der L-Punkt der
Zonengrenze in den <111>Richtungen.
4. Gitterschwingungen/Phononen
Phononendispersion und Zustandsdichte (DOS) von Silizium. Man beachte die flache
Dispersion der TA-Phononen. (S. Wei, M. Y. Chou, Phys. Rev. B 50, 2221 (1994))
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5. Thermische Eigenschaften von Festkörpern
Experimentelle Wärmeleitfähigkeit in
(W/cmK) für einkristalline Materialien mit
geringer Defektdichte. Gezeigt sind die
temperaturabhängigen Verläufe der
Wärmeleitfähigkeit von Diamant, Si, Ge,
GaAs und Cu. Bei Zimmertemperatur ist
Diamant mit 20 W/cmK der mit Abstand
beste Wärmeleiter. Diamant erreicht auch
den höchsten Absolutwert, der bei etwa
80K erreicht wird.
Bei den Isolatoren/Halbleitern steigt die
Wärmeleitfähigkeit bei tiefen
Temperaturen  T³ an und fällt bei hohen
Temperaturen  1/T ab. Im Anstiegsteil
dominiert der Beitrag der Wärmekapazität,
im Hochtemperaturbereich die durch
Umklappprozesse immer kleiner werdende
mittlere freie Weglänge der Phononen. Bei
Metallen kommt der elektronische Beitrag
dazu, der bei hohen Temperaturen
dominiert.
6. Freies Elektronengas
7. Bandstruktur
Bandstruktur von Diamant in der
ersten Brillouin-Zone im Bild fast
freier Elektronen. Die Werte in
eckigen Klammern geben die
Reziproken Gittervektoren in
Einheiten von 2/a an.
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Bandstruktur von Ge berechnet mit (a) der tight-binding-Methode, (b) einer Pseudopotential-Methode und (c) im
Modell fast freier Elektronen (noch ohne Bandaufspaltung).
Si Bandstruktur berechnet mit zwei unterschiedlichen Pseudopotential-Ansätzen. Man erkennt die
Parabeln der freien Elektronennäherung und die globale Bandlücke. Si ist ein indirekter Halbleiter: Das
Maximum des Valenzbandes ist am -Punkt, das Minimum des Leitungsbandes in der Nähe des
(sechsfach entarteten) X-Punktes.
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8. Halbleiter
Bandstruktur der wichtigsten Halbleiter
Bandstrukturen von Ge, Si und GaAs. Die Bandlücke EG separiert die nach unten gekrümmten
Valenzbänder von den nach oben gekrümmten Leitungsbändern. GaAs ist ein direkter Halbleiter,
Si und Ge sind indirekte Halbleiter.
Die drei wichtigsten Halbleiter sind Si, Ge und GaAs, die im Diamant- bzw. ZinkblendeGitter kristallisieren. Die Valenzbänder sind dabei in allen drei Fällen sehr ähnlich und
bestehen aus drei nach unten gekrümmten Bändern unterschiedlicher Krümmung. Alle
Valenzbandmaxima liegen am -Punkt bei k=0. Die Leitungsbänder sind nur qualitativ
ähnlich und zeigen insbesondere unterschiedliche Lagen der jeweiligen Minima im k-Raum:
Si hat sechs Leitungsband-Minima in den sechs äquivalenten <100>-Richtungen nahe der BZGrenze (X-Punkt). Ge hat die Leitungsbandminima am L-Punkt, d.h. auf der Zonengrenze in
den acht äquivalenten <111>-Richtungen. GaAs hat ein Leitungsbandminium bei k=0, also
am -Punkt. Nur im GaAs liegen demnach Valenzbandmaximum und Leitungsbandminimum
an der gleichen Stelle im k-Raum. Man spricht von einem direkten Halbleiter, weil optische
Übergänge vom Valenzbandmaximum zum Leitungsbandminimum unter Einhalten von
Energie- und Impulserhaltung möglich sind. Bei Si und Ge ist das nicht der Fall: Man spricht
von indirekten Halbleitern, bei denen ein zusätzliches Teilchen (z. B. eine quantisierte
Gitterschwingung = Phonon) zur Impulserhaltung bei optischen Übergängen benötigt wird.
Dadurch wird die optische Übergangsrate um vier bis sechs Größenordnungen reduziert.
Indirekte Halbleiter sind daher für lichtemittierende Bauelemente nicht geeignet.
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Typische Details von
Halbleiterbandstrukturen. Die
entarteten Leitungsbänder
von Si und Ge sind in der BZ
von Diamant gezeichnet, um
die Richtungen zuzuordnen.
Für InSb ist die NichtParabolizität des
Leitungsbandes gezeigt. Die
Entartung der Valenzbänder
am -Punkt gilt für alle
Gruppe-IV und alle III-VHalbleiter.
Charakteristische Parameter von Halbleitern
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Wasserstoffähnliche (flache) Störstellen
Bringt man Atome substitutionell (anstelle eines Gitteratoms) in ein Halbleiterkristallgitter
ein, so bilden sich Störstellen mit definierten Energieniveaus aus. Besonders wichtig sind
sogenannte flache (seichte) Störstellen, deren energetische Lage knapp unterhalb bzw.
oberhalb des Leitungs- bzw. Valenzbandes liegen (flach!). Erstere heißen Donatoren, letztere
Akzeptoren.. Typische Vertreter in einem Si-Kristall sind Elemente aus der Gruppe V
[Donatoren: P, As, (Sb)] bzw. III [Akzeptoren: B, (Al, Ga)] des Periodensystems. Sie haben
entweder ein Elektron + Proton mehr (Donatoren) bzw. weniger (Akzeptoren) als das Gruppe
IV-Element Si (gilt auch für Ge). Da sich die Atomhülle der genannten Elemente nur um ein
Elektron unterscheiden, werden die Dotieratome versuchen, sich in die kovalente Bindung der
benachbarten Si-Atome einzubringen. Dabei bleibt entweder ein ungebundenes
Valenzelektron übrig (Donatoren), oder aber es fehlt eines (Akzeptoren). Die Donatoren
geben dieses überschüssige Valenzelektron mit geringer Bindungsenergie leicht an das
Leitungsband ab, während die Akzeptoren leicht ein Elektron aus dem Valenzband
aufnehmen, um eine Si-ähnliche Valenzelektronenkonfiguration zu erhalten.
Die Bindungsenergien der Donatoren und Akzeptoren erhält man aus der einfachen
Überlegung, daß das Elektron/Protonpaar, das ein Donator über die Si-Konfiguration hinaus
enthält, sich ähnlich wie ein im Halbleiter auf einem Gitterplatz fixiertes Wasserstoffatom
verhält. Dabei ist gegenüber dem freien Wasserstoffatom die effektive Elektronenmasse im
Halbleiter und die Abschirmung der Coulombpotentiale durch die Elektronen zu
berücksichtigen.
Man erhält dann für die Bindungszustände des Donators das modifizierte WasserstoffTermschema:
m * / me
1
; Ry ist die Rydbergenergie: 1 Ry= 13,6 eV;  ist die

n2
Dielektrizitätskonstante des Halbleiters; m*/me ist die effektive Masse bezogen auf die freie
Elektronenmasse. Setzt man typische Halbleiterwerte für m*/me 0.1 und   10 ein, so erhält
man für das Grundniveau (n=1): En  13,6 meV.
En 
2
 Ry 
Dieser Wert für die Bindungsenergie eines Donators (bezogen aufs Leitungsband) ist sehr viel
kleiner als die Bandlücke (Eg  1 eV) und immer noch kleiner als die thermische Energie bei
Zimmertemperatur: kbT = 26 meV bei 300K. Flache, wasserstoffähnliche Donatoren geben
ihr überschüssiges Elektron daher sehr leicht ans Leitungsband ab, wo es frei beweglich ist.
Das überschüssige Proton bleibt dagegen an den Donatorkern gebunden und bleibt ortsfest an
der Stelle des Donators im Kristallgitter.
Alle Überlegungen gelten entsprechend für Akzeptoren, die durch Aufnahme eines Elektrons
aus dem Valenzband ein freies Loch erzeugen und selbst eine negative, ortsfeste Ladung
binden. Das Akzeptorniveau ist auf das Valenzband bezogen.
Flache Störstellen spielen eine zentrale Rolle bei allen Halbleiterbauelementen. Sie erst
erlauben es, den Ladungsträgertyp eines Halbleiters einzustellen und so z. B. p/n-Übergänge
für Gleichrichterdioden, Solarzellen und Bipolartransistoren herzustellen.
Neben flachen Störstellen gibt es auch tiefe Störstellen, deren Bindungsenergie etwa der
halben Bandlückenenergie entsprechen. Sie spielen für die Trägerstatistik keine wesentliche
Rolle, beeinflussen aber die Generation und Rekombination von Elektron/Lochpaaren.
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Störstellen in Si,
Ge und GaAs.
Angegeben sind
jeweils die
Bindungsenergien
in eV
Flache Störstellen
befinden sich in
der Nähe der
Bandkanten, tiefe
Störstellen in der
Nähe der
Bandmitte. Bei
letzteren ist
jeweils
angegeben, ob sie
sich wie
Donatoren (D)
oder Akzeptoren
(A) verhalten.
Trägerstatistik
8.1 Intrinsische Halbleiter
Im undotierten(intrinsischen Halbleiter) erhält man für die Zahl der Elektronen im
Leitungsband:
n
Ec max
 n( E )dE
mit n(E) = N(E)·F(E); N(E) ist die o.a. Zustandsdichte, F(E) ist die
Ec
Bestzungswahrscheinlichkeit eines Zustandes. Elektronen sind Fermionen (d.h., sie dürfen
nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen). Für Fermionen gilt die Fermi-DiracVerteilung:
F (E) 
1
mit der Fermi-Energie (= chemisches Potential) EF. Die Fermi-Energie
1 e
ist ein statistischer Parameter, deren Lage sich aus der Randbedingung der Ladungsneutralität
ergibt.
( E  EF ) / k BT
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In den meisten Fällen kann F(E) durch die Boltzmann-Gleichung genähert werden:
 e  ( E  E F ) / k BT
F (E)  
 ( E F  E ) / k BT
1  e
für : ( E  EF )  3k BT
für : ( E  EF )  3k BT
Fermiverteilung als Funktion von
(E-EF) für verschiedene Temperaturen. Bei T=0
wird die Fermiverteilung zur Sprungfunktion:
Alle Zustände unterhalb EF sind besetzt, alle
oberhalb unbesetzt. Mit zunehmender
Temperatur verschmiert die Fermiverteilung so,
daß die Flächen beidseits EF gleich sind. F(E) =
1/2 für E=EF gilt für alle Temperaturen.
Mit N ( E )  4  (
2me* 3 / 2
)  E
h2
und F ( E )  e  ( E EF ) / kBT erhält man für die Elektronendichte
im Leitungsband:

 2me*k BT 

n   n( E )dE  2
2
h


EC
3/ 2
 e( EC EF ) / kBT  NC  e ( EC EF ) / kBT ,
 2me*k BT 

mit der effektiven Leitungsbandzustandsdichte: N C : 2
h2


3/ 2
.
Völlig analog erhält man für die Löcherdichte p durch Integration über das Valenzband:

 2mh*k BT 

p   p( E )dE  2
2
h


Ev
3/ 2
 e( EF Ev ) / kBT  NV  e( EF Ev ) / kBT
 2mh* k BT 

mit der effektiven Valenzbandzustandsdichte NV : 2
h2


3/ 2
.
Aus der Neutralitätsbedingung n = p := ni ergibt sich Lage der Fermi-Energie.
Setzt man n = p und löst nach EF auf, so ergibt sich:
E F : Ei 
Ec  Ev k BT  NV  Ec  Ev 3k BT  mh* 


ln 

ln  *  ,
2
2  NC 
2
4
 me 
D.h., die Fermi-Energie im intrinsischen Halbleiter Ei liegt nahe der Mitte der Bandlücke,
korrigiert um einen logarithmischen Term, der die unterschiedlichen Zustandsdichten von
Valenz und Leitungsband berücksichtigt.
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Die intrinsische Ladungsträgerdichte ni ergibt sich dann aus dem Massenwirkungsgesetz, das
auch bei dotierten Halbleitern gültig bleibt: n  p  ni2 . Eingesetzt:
n  p  ni2  NC NV e
 Eg / kBT
, wobei die Bandlücke Eg := Ec - Ev verwendet wurde.
Für ni ergibt sich dann als (temperaturabhängige) charakteristische Materialgröße eines
undotierten Halbleiters:
ni  NC NV  e
 Eg / 2 kBT
.
Schematische Darstellung der Trägerstatistik in einem Halbleiter mit Bandlücke Eg. Aufgetragen sind von
links nach rechts die Bandkanten, die Zustandsdichten, die Fermi-Verteilung und das Produkt N(E)F(E)
für Valenzband und Leitungsband. Die Dichte der Elektronen und Löcher (schraffierte Flächen im Bild
ganz rechts) sind wegen der Ladungsneutralität gleich. Daraus ergibt sich die Lage der Fermienergie nahe
der Bandlücken-Mitte. Ladungsträger werden wegen des exponentiellen Abfalls der Fermi-Verteilung nur
in einem ganz kleinen Energiebereich oberhalb der Leitungsbandkante und unterhalb der
Valenzbandkante besetzt.
Si
Eg (eV)
ni (cm-3)
NV (cm-3)
NC (cm-3)
1.1
1.451010
1.041019
2.81019
7.01018
4.71017
Ge
2.21013
GaAs
1.79106
Charakteristische Kenngrößen wichtiger undotierter Halbleiter bzgl. der Ladungsträgerstatistik bei 300K
8.2 Extrinsische Halbleiter
Das Vorhandensein von Dotieratomen ändert die Besetzung der Bänder grundlegend:
Ladungsträger können thermisch nicht nur über die relativ große Bandlücke (typisch: 1eV
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gegen kBT= 26 meV bei 300K) angeregt, wie beim intrinsischen Halbleiter. Zusätzlich können
Elektronen aus den bzw. in die flachen Störstellen (ED EA  kBT) angeregt werden. Für
Donatoren erhält man dann die Neutralitätsbedingung:
n  N D  p , wobei ND+ die Dichte der positiv geladenen, ortsfesten Donatorrümpfe ist. ND+
ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit, daß ein Donatoratom nicht mit einem Elektron besetzt
ist zu:


1
, mit der Grundzustandsentartung gD = 2 für Donatoren
N D  N D  1 
( ED  EF ) / k BT 
 1  (1 / g D )  e

und der Gesamtdichte von Donatoren ND.
Entsprechend gibt sich für Akzeptoren die Wahrscheinlichkeit, daß sie mit einem Elektron
(aus dem Valenzband, das dort ein Loch hinterläßt) besetzt sind:


1
, mit gA = 4 und der Gesamtdichte für Akzeptoren NA.
N A  N A  
( E A  EF ) / kBT 
1  (1 / g A )  e

Ausgeschrieben für Donatoren ergibt sich daraus die Neutralitätsbedingung:
1


N C  e ( EC  EF ) / kBT  N D  
 NV  e ( EF  EV ) / kBT ;
( EF  ED ) / k BT 
1

2

e


der Term für ND+ wurde dabei auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und n bzw. p wurden
durch die statistischen Ausdrücke für die freien Ladungsträgerdichten (wie im intrinsischen
Halbleiter) ersetzt.
Diese Neutralitätsbedingung für einen Halbleiter mit einer Donatordichte ND ist eine implizite
Gleichung zur Bestimmung der Fermi-Energie, die numerisch gelöst werden muß. Eine
graphische Lösung findet sich in der übernächsten Abbildung:
Schematische Darstellung der Trägerstatistik in einem n-dotierten Halbleiter mit Bandlücke Eg und
Donatorniveau ND. Aufgetragen sind von links nach rechts die Bandkanten, die Zustandsdichten, die
Fermi-Verteilung und das Produkt N(E)F(E) für Valenzband und Leitungsband. Die Dichte der
Elektronen und Löcher (schraffierte Flächen im Bild ganz rechts) ist zugunsten der Elektronen erhöht.
Die ionisierten Donatoren ND+ sorgen weiterhin für Ladungsneutralität. Die Fermi-Energie ist in
Richtung Donatorniveau verschoben. Ist EF < ED - 3kBT, so sind alle Donatoren ionisiert.
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Graphische Lösung der
Neutralitätsbedingung. Die drei Terme
der Neutralitätsbedingung sind in einem
Halblogarithmischen Diagramm
dargestellt. Die Lage der Fermi-Energie
ergibt sich als Schnittpunkt der fetten
Linie (positive Ladungen: p + ND+) und
der Geraden für die freien Elektronen
(n). Mit zunehmender Dotierung nähert
sich EF immer mehr dem Doantorniveau
ND. Für Dotierung > NC liegt das FermiNiveau im Leitungsband: Der Halbleiter
wird metallisch.
Mit zunehmender Temperatur nimmt die
intrinsische Ladungsträgerkonzentration
ni exponentiell zu, d.h., die untere Spitze
des Dreiecks, das die n- und p-Geraden
bilden, steigt an. Bei hinreichend hoher
Temperatur gibt es keinen Schnittpunkt
mehr mit der von den ionisierten
Donatohren gebildeten Geraden ND:
jeder Halbleiter wird bei hinreichend
hohen Temperaturen intrinsisch.
Elektronendichte in einem
dotierten Halbleiter als
Funktion der Temperatur. Im
extrinsischen Bereich ist die
Ladungsträgerdichte durch die
Dichte der Dotieratome
gegeben und weitgehend
unabhängig von der
Temperatur. In diesem bereich
können Halbleiterbauelemente
betrieben werden. Bei höheren
Temperaturen wird der
Halbleiter intrinsisch, d.h., die
Trägerdichte steigt exponentiell
an. Bei niedrigen Temperaturen
frieren die Ladungsträger in die
Dotierzustände aus. Bei T = 0
wird der halbleiter zum Isolator.
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VO 322.213
F. Schäffler,
Grundlagen der Physik V (Festkörperphysik)
JKU, Inst. Halbleiter/Festkörperphysik
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Verschiebung der FermiEnergie als Funktion der
Temperatur (in K) für
verschiedene n- und pDotierkonzentrationen.
Mit zunehmender
Temperatur bewegt sich
EF auf das intrinsische
Fermi-Niveau Ei zu und
zwar umso eher, je
kleiner die
Dotierkonzentration ist.
T (K)
8.3 p/n-Übergang
Beim p/n-Übergang wird ein Stück einkristallinen Halbleiters inhomogen mit Donatoren und
Akzeptoren dotiert. Im idealen Fall wird ein abrupter Übergang von einem p- auf eine ndotierten Bereich erzeugt, wobei der jeweilige Dotierbereich selbst homogen dotiert ist. Man
spricht dann von einem abrupten p/n-Übergang. Näherungsweise läßt sich so ein Übergang
durch Ionenimplantation oder durch dotierte Epitaxie verwirklichen.
p/n-Übergänge spielen eine grundlegende Rolle bei fast allen Halbleiterbauelementen.
Klassische Gleichrichterdioden Solarzellen und Bipolartransistoren beruhen vollständig auf
p/n-Übergängen, MOS-Transistoren benutzen p/n-Übergänge zur lateralen und vertikalen
Isolation.
Die wesentliche Eigenschaft des p/n-Übergangs ist seine lichtlineare und unsymmetrische
Strom-Spannungskennlinie, die mit Ohmschem Verhalten nichts mehr zu tun hat. Die ideale
Kennlinie einer p/n-Diode sperrt in einer Richtung (sehr kleiner Strom unabhängig von der
angelegten Sperrspannung) und leitet exponentiell ansteigend mit der angelegten Spannung in
Durchlaßrichtung.
Ohne äußere Spannung, also im Gleichgewicht, muß das Fermi-Niveau überall im Halbleiter
gleich sein. Da EF im n-dotierten Bereich auf der Donatorseite, im p-Bereich auf der
Akzeptorseite der Bandlücke liegt, kommt es zu einer Bandverbiegung (im Ortsraum!) die mit
einem el. Potential verbunden ist. Nach dem Gaußschen Satz (Poisson-Gleichung in 1D) ist
die zweite Ableitung des Potentials mit einer Ladung verbunden, die sich im Halbleiter in der
Umgebung des p/n-Übergangs ausbildet. Diese Ladung rührt von den ortsfesten geladenen
Donatoren her, die in der Umgebung des p/n-Übergangs nicht durch freie Ladungen
kompensiert sind. Man sprich von einer Raumladungszone (bzgl. der Dotieratome) bzw. von
einer Verarmungszone (bzgl. der freien Ladungsträger). Zugrunde liegt einfach die
Ladungsverteilung über die Fermiverteilung bei einer vorliegenden Bandverbiegung durch
abrupten Wechsel der Dotierung von p nach n.
VO 322.213
F. Schäffler,
Grundlagen der Physik V (Festkörperphysik)
JKU, Inst. Halbleiter/Festkörperphysik
Ladungsverteilung, el. Feld-, Potentialund Bandverlauf im Bereich eines abrupten
p/n-Übergangs bei x=0.
Dazu nimmt man an, daß alle Donatoren
und Akzeptoren geladen sind (sehr gute
Näherung für nicht zu hohe Dotierungen)
und daß die Verarmungszone freier
Ladungsträger durch die Bandverbiegung
auf jeder Seite abrupt einsetzt. Dies führt
zum gezeigten Verlauf der dargestellten
Größen.
Das resultierende Potential Vbi entspricht
der Fläche unter der E-Feld-Kurve und ist
etwas kleiner als die Bandlücke. Erzeugt
man durch optische Absorption e/h-Paare,
so werden diese im el. Feld des p/nÜbergangs getrennt und führen zu einem
Strom: Der p/n-Übergang wird zur
Solarzelle.
Legt man eine äußere Spannung V an, so
wird aus Vbi  Vbi – V, wobei V >0 ist,
wenn die pos. Spannung an der p-Seite
anliegt. Für V>0 (Durchlaßrichtung) wird
die Bandverbiegung – und damit die Weite
der Raumladungszone W - reduziert, in
Sperrichtung entsprechend erhöht. Dies
führt zur gleichrichtenden StromSpannungs-Kennlinie des p/n-Übergangs
mit konstantem (kleinen) Sperrstrom und
exponentiell ansteigendem Durchlaßstrom.
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