6. ¨Ubung zur Mathematik II für Studierende der Biologie

Dr. S. Wiesendorf
Sommersemester 2017
6. Übung zur Mathematik II für
Studierende der Biologie
(Abgabe der schriftlichen Aufgaben in der Übungsstunde am 12./13. Juni)
In der Woche 05.06.-09.06. finden keine Veranstaltungen statt.
Aufgabe 1. (10 Punkte, schriftlich) In Aufgabe 4 von Blatt 5 haben wir die
hypergeometrische Verteilung kennengelernt. Mit der dort verwendeten Notation
wird diese beschrieben durch
N −m
m
k · n−k
für m, n ≥ k ∈ N.
P (X = k) =
N
n
In diesem Zusammenhang betrachten wir nun Rückfangmethoden. Diese werden angewendet, um die Größe N einer Population zu schätzen. Im einfachsten
Fall werden aus dieser Population M Individuen eingefangen, markiert und wieder
freigelassen. Nachdem sich die markierten Individuen mit der übrigen Population
vermischt haben, wird eine zweite Stichprobe von n Individuen entnommen und
festgestellt, wie groß die Anzahl m der darunter befindlichen markierten Individuen ist. Man schätzt nun die Größe N der Population indem man davon ausgeht,
dass der Anteil der markierten Individuen in der zweiten Stichprobe etwa dem Anteil aller markierten Individuen an der der Gesamtpopulation entspricht, also dass
M
m
N ≈ n gilt.
(a) Nehmen Sie an, dass Sie bei der ersten Stichprobe 100 Individuen gefangen
haben. Bei der zweiten Stichprobe fangen Sie 20 Individuen, von denen 4
markiert sind. Wie groß schätzen Sie aufgrund dieser Daten die Gesamtpopulation?
Nehmen Sie nun an, dass die Population aus 500 Individuen bestehe, von denen
100 markiert seien. Bei Ihrer zweiten Stichprobe fangen Sie 20 Individuen ein.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei der zweiten Stichprobe
genau 4 markierte Individuen fangen und Ihre Schätzung für N tatsächlich
exakt ist?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei der zweiten Stichprobe 3, 4
oder 5 (mindestens drei und höchstens fünf) markierte Individuen fangen?
Hinweis: Um in den letzten beiden Teilen die obige Formel anwenden zu können,
müssen die Bezeichnungen entsprechend angepasst werden. Vergleichen Sie hierzu
die Beschreibungen zur Notation in Aufgabe 4 von Blatt 5.
Aufgabe 2. (10 Punkte, schriftlich) Sie wollen statistische Aussagen über
die Höhe einer im Labor gezüchteten Pflanze machen. Die Höhe der Pflanze (in
cm) zum Untersuchungszeitpunkt modellieren Sie mittels einer normalverteilten
Zufallsvariable X mit µ = 10 und σ 2 = 9, also X ∼ N (10, 9).
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Höhe der Pflanze zum Untersuchungszeitpunt zwischen 9 cm und 11 cm liegt.
(b) Wie wahrscheinlich ist es, dass die Pflanze zum Untersuchungszeitpunkt
größer als 14 cm ist?
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Pflanze zum Untersuchungszeitpunt kleiner als 8 cm ist.
(d) Wie wahrscheinlich ist in diesem Modell der nicht realistische Fall, dass die
Höhe der Pflanze negativ ist?
Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) Eine Bakterienpopulation wird zum Zeitpunkt t = 1 mit einem Gift kontaminiert. Die Zufallsvariable X beschreibe den
Zeitpunkt, zu dem ein Organismus nach der Kontaminierung stirbt, wobei die zugehörige Dichtefunktion
gegeben sei durch
(
2
t ≥ 1,
3,
f (t) = t
0, t < 1.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Organismus zum Zeitpunkt
t = 5 noch lebt.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Überlebenszeit des Organismus nach der Kontaminierung 1 bis 5 Zeiteinheiten beträgt.
(c) Skizzieren Sie den Graph der Dichtefunktion und die in Teil (a) und (b)
berechneten Wahrscheinlichkeiten.
(d) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.
Aufgabe 4. (mündlich) Es sei a < b und X eine auf dem Intervall [a, b] gleichverteilte Zufallsvariable, d.h. X sei eine stetige Zufallsvariable mit Dichte
(
1
, falls a ≤ x ≤ b,
f (x) = b−a
0,
sonst.
(a)
(b)
(c)
(d)
Geben Sie eine mögliche Interpretation für X an.
Skizzieren Sie den Graph der Dichtefunktion f .
Es sei a < c < d < b. Berechnen Sie P (c ≤ X ≤ d).
Berechnen Sie P (X ≥ b) und P (X ≤ b).
Aufgabe 5. (mündlich) Bei welchen der folgenden Funktionen kann es sich nicht
um Wahrscheinlichkeitsdichten von stetigen Zufallsvariablen handeln? Begründen
Sie Ihre Entscheidung.
(
1, a ≤ x ≤ b,
(a) f1 (x) =
0, sonst,
für reelle Zahlen a < b.
(
x e−x , x ≥ 0,
(b) f2 (x) =
0,
x < 0.
(c) f3 (x) =


0,
m
,
 b−a

0,
x < a,
a ≤ x ≤ b,
x > b,
für reelle Zahlen a < b und m ∈ R.
(
0,
x < 1,
(d) f4 (x) = 7+mx8
x8 , x ≥ 1,
für m ∈ R.
Aufgabe 6. (mündlich) In der Praxis ist bei n-stufigen Bernoulli-Experimenten
die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, zumindest für sehr kleines p und sehr
großes n, recht aufwendig. Der Poissonsche Grenzwertsatz besagt, dass man die
Binomialverteilung in diesem Fall durch die sogenannte Poisson-Verteilung approximieren kann. Genauer gesagt besagt der Satz, dass wenn man gleichzeitig n gegen
unendlich und p gegen Null gehen lässt, so dass das Produkt np konstant den Wert
λ annimmt, so nähert sich die Binomialverteilung der Poisson-Verteilung Pλ an.
Diese ist gegeben durch
Pλ (k) =
λk −λ
e , für k ∈ N.
k!
Im Rahmen einer Studie sei nun geplant, die auf einer Untersuchungsfläche bestimmter Größe befindlichen Eintagsfliegenlarven zu zählen. Die Anzahl X der Larven auf dieser Untersuchungsfläche werde beschrieben durch die Poisson-Verteilung
mit Parameter λ = 4. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass auf der Untersuchungsfläche mehr als sechs Larven gezählt werden?
Aufgabe 7. (mündlich) Es seien a < b reelle Zahlen und es bezeichne F die
Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen X. Zeigen Sie, dass dann, wie
in der Vorlesung behauptet, P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) gilt. Wie sieht der
entsprechende Ausdruck aus, falls X diskret ist?