5. ¨Ubung zur Mathematik II für Biologen

Dr. S. Wiesendorf
Sommersemester 2016
5. Übung zur Mathematik II für Biologen
(Abgabe der schriftlichen Aufgaben in der Übungsstunde am 23. bzw. 24. Mai)
In der Woche 16.05.-20.05. finden keine Veranstaltungen statt.
Verabredung: In dieser Vorlesung bezeichnet N die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen, d.h. N = {0, 1, 2, 3, . . . }.
Aufgabe 1. (10 Punkte, schriftlich) In Aufgabe 5 von Blatt 4 haben wir die
hypergeometrische Verteilung kennengelernt. Mit der dort verwendeten Notation
wird diese beschrieben durch
N −m
m
k · n−k
für m, n ≥ k ∈ N.
P (X = k) =
N
n
In diesem Zusammenhang betrachten wir nun Rückfangmethoden. Diese werden angewendet, um die Größe N einer Population zu schätzen. Im einfachsten
Fall werden aus dieser Population M Individuen eingefangen, markiert und wieder
freigelassen. Nachdem sich die markierten Individuen mit der übrigen Population
vermischt haben, wird eine zweite Stichprobe von n Individuen entnommen und
festgestellt, wie groß die Anzahl m der darunter befindlichen markierten Individuen ist. Man schätzt nun die Größe N der Population indem man davon ausgeht,
dass der Anteil der markierten Individuen in der zweiten Stichprobe etwa dem Anteil aller markierten Individuen an der der Gesamtpopulation entspricht, also dass
M
m
N ≈ n.
(a) Nehmen Sie an, dass Sie bei der ersten Stichprobe 100 Individuen gefangen
haben. Bei der zweiten Stichprobe fangen Sie 20 Individuen, von denen 4
markiert sind. Wie groß schätzen Sie aufgrund dieser Daten die Gesamtpopulation?
Nehmen Sie nun an, dass die Population aus 500 Individuen bestehe, von denen
100 markiert seien. Bei Ihrer zweiten Stichprobe fangen Sie 20 Individuen ein.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei der zweiten Stichprobe
genau 4 markierte Individuen fangen und Ihre Schätzung für N tatsächlich
exakt ist?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei der zweiten Stichprobe 3, 4
oder 5 (mindestens drei und höchstens fünf) markierte Individuen fangen?
Aufgabe 2. (10 Punkte, schriftlich) Bei einem Versuch darf sich eine Maus
zwischen zwei Portionen von Futter A und drei Portionen von Futter B entscheiden.
Der Maus wird Zeit gegeben, um vier der Portionen zu fressen. Die Zufallsvariable
X beschreibe die Anzahl der gefressenen Portionen von Futter A und die Zufallsvariable Y beschreibe die Anzahl der gefressenen Portionen von Futter B. Gehen
Sie davon aus, dass die Maus keine der Futtersorten präferiert und ihre jeweiligen
Entscheidungen unabhängig voneinander trifft.
(a) Stellen Sie dieses Experiment mittels eines Wahrscheinlichkeitsbaumes dar.
(b) Welche Werte können X und Y annehmen?
(c) Geben Sie die Verteilungen von X und Y an.
Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) Es sei a < b und X eine auf dem Intervall
[a, b] gleichverteilte Zufallsvariable, d.h. X sei eine stetige Zufallsvariable mit Dichte
(
1
, falls a ≤ x ≤ b,
f (x) = b−a
0,
sonst.
(a)
(b)
(c)
(d)
Geben Sie eine mögliche Interpretation für X an.
Skizzieren Sie den Graph der Dichtefunktion f .
Es sei a < c < d < b. Berechnen Sie P (c ≤ X ≤ d).
Berechnen Sie P (X ≥ b) und P (X ≤ b).
Aufgabe 4. (mündlich) Eine Abbildung f : A → B zwischen zwei Mengen A und
B ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element a ∈ A ein eindeutiges Element
b ∈ B zuordnet, welches man dann mit f (a) bezeichnet. Die Menge M nennt man
den Definitionsbereich und N nennt man den Zielbereich von f . Die Teilmenge aller
Bildwerte f (A) ⊂ B wird als Wertebereich bezeichnet. Dieser Wertebereich besteht
per Definition aus allen Elementen m ∈ M , für die es ein n ∈ N mit f (n) = m gibt.
Die Abbildung f heißt surjektiv, falls f (A) = B ist. Ist C ⊂ B eine Teilmenge von
B, so nennt man die Teilmenge f −1 (C) = {a ∈ A : f (a) ∈ C} aller Elemente von A,
die unter f nach C abgebildet werden, das Urbild von C unter f . Die Abbildung f
wird injektiv gennant, falls die Urbilder f −1 ({b}) (bzw. kurz f −1 (b)) aller Elemente
b ∈ B aus höchstens einem Element bestehen, d.h. zwei verschiedene Elemente aus
A werden unter f nie auf dasselbe Element in B abgebildet. Ist f : A → B injektiv
und surjektiv, so nennt man f bijektiv. In diesem Fall gibt es dann also zu jedem
b ∈ B genau ein a ∈ A mit f (a) = b.
(a) Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität
und Bijektivität.
(i) f1 : R → R, f1 (x) = x2 .
(ii) f2 : R≥0 → R, f2 (x) = x2 .
(iii) f3 : R≥0 → R≥0 , f3 (x) = x2 .
(iv) f4 : N → N, f4 (n) = n + 1. Was ändert sich, wenn Sie f4 als Abbildung
der ganzen Zahlen, also von Z nach Z auffassen?
(b) Geben Sie eine bijektive Abbildung f : N → Z an.
(c) Machen Sie sich klar, dass für Abbildungen zwischen endlichen Mengen die
Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent sind.
Aufgabe 5. (mündlich) Manchmal ist es nötig Zufallsvariablen X : Ω → R
zu betrachten, die nicht stetig sind, aber trotzdem unendlich viele Werte annehmen. Daher erweitert man üblicherweise die Definition diskreter Zufallsvariablen,
indem man jede Zufallsvariable, die höchstens abzählbar unendlich viele Werte annimmt, diskret nennt. Es sei an dieser Stelle daran erinnert, dass eine Menge M
höchstens abzählbar unendlich viele Elemente hat, falls es eine surjektive Abbildung
s : N → M gibt (vgl Aufgabe 4). Ist daher X (in obigem Sinne) diskret, so gibt
es eine Abzählung der Menge X(Ω), d.h. eine Teilmenge I ⊂ N und eine bijektive
Abbildung t : I → X(Ω), so dass man auch in P
diesem Fall überPdie Verteilung f der
Zufallsvariablen summieren kann, denn es ist i∈I f (t(i)) = i∈I P (X −1 (t(i))) =
S
P ( i∈I X −1 (t(i))) = P (Ω) = 1.
Sei nun X die Anzahl der Würfe, die man braucht, um mit einem Würfel eine Sechs
zu würfeln, d.h. X = n genau dann, wenn man bei den ersten n − 1 Würfen keine
Sechs hat und beim n-ten Wurf dann eine Sechs würfelt. Begründen Sie warum man
in diesem Fall nicht mit endlich vielen Realisationen auskommt und bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Verwenden Sie diese Wahrscheinlichkeitsverteilung um Ihre Begründung rechnerisch zu belegen.
Aufgabe 6. (mündlich) In der Praxis ist bei n-stufigen Bernoulli-Experimenten
die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, zumindest für sehr kleines p und sehr
großes n, recht aufwendig. Der Poissonsche Grenzwertsatz besagt, dass man die
Binomialverteilung in diesem Fall durch die sogenannte Poisson-Verteilung approximieren kann. Genauer besagt der Satz, dass wenn man gleichzeitig n gegen unendlich und p gegen Null gehen lässt, so dass das Produkt np konstant den Wert
λ annimmt, so nähert sich die Binomialverteilung der Poisson-Verteilung Pλ an.
Diese ist gegeben durch
Pλ (k) =
λk −λ
e , für k ∈ N.
k!
Im Rahmen einer Studie sei nun geplant, die auf einer Untersuchungsfläche bestimmter Größe befindlichen Eintagsfliegenlarven zu zählen. Die Anzahl X der Larven auf dieser Untersuchungsfläche werde beschrieben durch die Poisson-Verteilung
mit Parameter λ = 4. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass auf der Untersuchungsfläche mehr als sechs Larven gezählt werden?