Aufgabenblatt

Georg Nöldeke
Frühjahr 2011
Versicherungsökonomie
Aufgabenblatt zu Vorlesung 5
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Risikoallokationsproblem aus der Vorlesung.
Es gibt Individuen i = 1, . . . , n, deren Risikopräferenzen jeweils durch eine BernoulliNutzenfunktion ui mit u0i > 0 und u00i < 0 beschrieben sind. Die aggregierte Erstausstattung in Zustand s ist mit z(s) bezeichnet; die entsprechende Zufallsvariable ist z̃.
1. Nehmen Sie - nur für diese Aufgabe - an, dass es in dem Syndikat ein risikoneutrales
Individuum gibt, während alle anderen Mitglieder des Syndikats streng risikoavers
sind. Beschreiben Sie für ein gegebenes Ausgangsvermögen z̃ die Menge der effizienten Allokationen. Stellen Sie diese für den Fall, dass es nur zwei Individuen und zwei
Zustände mit z(1) = 10 und z(2) = 5 gibt, in einer Edgeworth-Box dar. Hinweis:
Nehmen Sie an, dass i = 1 das risikoneutrale Mitglied des Syndikats ist.
2. Die Individuen i = 1, 2 besitzen jeweils ein Haus mit Wert 12. Für jedes dieser
Häuser gilt, dass es mit Wahrscheinlichkeit 1/2 abbrennt und dann wertlos ist. Die
Hausbrände treten unabhängig voneinander auf, so dass z.B. die Wahrscheinlichkeit,
dass beide Häuser abbrennen, 1/4 beträgt. Die beiden Individuen schliessen einen
Vertrag, in dem sie sich gegenseitig zusichern, jeweils einen Anteil α ∈ [0, 1] des
Schadens des anderen Individuums zu ersetzen, falls dessen Haus abbrennt.
(a) Für welche Werte von α erfüllt die Allokation, die aus einem solchen Vertrag
resultiert, das Gegenseitigkeitsprinzip?
(b) Nehmen Sie an, α ist so gewählt, dass das Gegenseitigkeitsprinzip nicht erfüllt
ist. Kann die resultierende Allokation effizient sein?
(c) Nehmen Sie an, α ist so gewählt, dass das Gegenseitigkeitsprinzip erfüllt ist.
Muss die resultierende Allokation effizient sein?
3. Nehmen Sie an, dass die Präferenzen aller Mitglieder des Syndikats konstante absolute Risikoaversion aufweisen. Bezeichnen Sie mit ρi > 0 das konstante Mass der
Risikoaversion von i und mit τi = 1/ρi das entsprechende Mass der Risikotoleranz.
(a) Sei n = 3, τ1 = 4, τ2 = 1 und τ3 = 5. In einer effizienten Allokation gilt in einem
Zustand s mit z(s) = 10: c1 (s) = 2 und c2 (s) = 7. Wie hoch ist das Vermögen
der drei Individuen in einem Zustand t mit z(t) = 20?
(b) Betrachten Sie den Fall n = 2 und S = 2 mit z(2) > z(1). Verwenden Sie
die Charakterisierung effizienter Teilungsregeln, um zu zeigen, dass die Menge
der effizienten Allokationen in der entsprechenden Edgeworthbox durch eine
Gerade gegeben ist. Stellen Sie grafisch dar, wie sich die Lage dieser Geraden
verändert, wenn τ1 steigt.
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4. Besitzen die Präferenzen eines Individuums konstante absolute Risikoaversion mit
Mass ρi , so gilt für jede normalverteile Zufallsvariable c̃i , dass die Zahlungsbereitschaft des Individuums für diese Zufallsvariable durch
1
b(c̃i ) = E[c̃i ] − ρV ar[c̃i ]
2
gegeben ist. Betrachten Sie im folgende eine Gruppe i = 1, · · · , n solcher Individuen
(a) Bestimmen Sie für eine lineare Teilungsregel der Form
fi (z) = αi + βi z
und ein gegebenes aggregiertes Vermögen z̃, welches mit Erwartungswert µ und
Varianz σ 2 > 0 normalverteilt ist, die Summe der Zahlungsbereitschaften der
Individuen.
(b) Zeigen Sie: Bei der Verwendung einer effizienten Teilungsregel ist die Summe
der Zahlungsbereitschaften der Syndikatsmitglieder für die resultierenden Zufallsvariablen c̃i , die aggregierte Zahlungsbereitschaft, gleich
µ−
1
1
P
σ2,
2 ni=1 τi
(1)
wobei τi das konstante Mass der Risikotoleranz von Syndikatmitglied i ist.
Interpretieren Sie diesen Ausdruck.
(c) Wie verändert sich (1), wenn die Anzahl n der Gruppenmitglieder grösser wird?
Folgt, dass sich für n → ∞ die aggregierte Zahlungsbereitschaft des Syndikats
so bestimmt, als ob die Individuen risikoneutral wären? Hinweis: Unterstellen
Sie, dass es τ > 0 gibt, so dass τi ≥ τ für alle (potentiellen) Syndikatsmitglieder
i gilt.
(d) Würde es für Ihre Antwort auf die vorhergehende Frage einen Unterschied machen, wenn – statt einer effizienten Teilungsregel – für jedes n die Teilungsregel
fi (z) = z/n verwendet würde?
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