Aufgabenblatt

Georg Nöldeke
Frühjahr 2012
Versicherungsökonomie
Aufgabenblatt zu Vorlesung 4
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Risikoallokationsproblem aus der Vorlesung. Es gibt
Individuen i = 1, . . . , n, deren Risikopräferenzen jeweils durch eine Bernoulli-Nutzenfunktion ui
mit u0i > 0 und u00i < 0 beschrieben sind. Die aggregierte Erstausstattung in Zustand s ist mit z̃(s)
bezeichnet; die entsprechende Zufallsvariable ist z̃.
1. Nehmen Sie - nur für diese Aufgabe - an, dass es in dem Syndikat ein risikoneutrales Individuum gibt, während alle anderen Mitglieder des Syndikats streng risikoavers sind. Beschreiben
Sie für ein gegebenes Ausgangsvermögen z̃ die Menge der effizienten Allokationen. Stellen Sie
diese für den Fall, dass es nur zwei Individuen und zwei Zustände mit z̃(1) = 10 und z̃(2) = 5
gibt, in einer Edgeworth-Box dar. Hinweis: Nehmen Sie an, dass i = 1 das risikoneutrale
Mitglied des Syndikats ist.
2. Nehmen Sie an, dass die Risikopräferenzen aller Mitglieder des Syndikats konstante absolute
Risikoaversion aufweisen. Bezeichnen Sie mit ρi > 0 das konstante Mass der Risikoaversion
von i und mit τi = 1/ρi das entsprechende Mass der Risikotoleranz.
(a) Sei n = 3, τ1 = 4, τ2 = 1 und τ3 = 5. In einer effizienten Allokation gilt in einem
Zustand s mit z̃(s) = 10: c̃1 (s) = 2 und c̃2 (s) = 7. Wie hoch ist das Vermögen der drei
Individuen in einem Zustand t mit z̃(t) = 20?
(b) Betrachten Sie den Fall n = 2 und S = 2 mit z̃(2) > z̃(1). Verwenden Sie die Charakterisierung effizienter Teilungsregeln, um zu zeigen, dass die Menge der effizienten
Allokationen in der entsprechenden Edgeworthbox durch eine Gerade gegeben ist. Stellen Sie grafisch dar, wie sich die Lage dieser Geraden verändert, wenn τ1 steigt.
3. Betrachten Sie ein Versicherungssyndikat mit zwei Mitgliedern i = 1, 2, deren identische
Bernoulli-Nutzenfunktionen konstante relative Risikoaversion aufweisen. Das Gesamtvermögen
des Syndikats im Zustand s = 1 beträgt z̃(1) = 6. Im Zustand s = 2 beträgt es z̃(2) = 12.
Stellen Sie das dazugehörige Allokationsproblem durch eine Edgeworthbox dar. Skizzieren
Sie in dieser die Menge der effizienten Allokationen.
4. Die Individuen i = 1, 2 besitzen jeweils ein Haus mit Wert 12. Für jedes dieser Häuser
gilt, dass es mit Wahrscheinlichkeit 1/2 abbrennt und dann wertlos ist. Die Hausbrände
treten unabhängig voneinander auf, so dass z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass beide Häuser
abbrennen, 1/4 beträgt. Die beiden Individuen schliessen einen Vertrag, in dem sie sich
gegenseitig zusichern, jeweils einen Anteil α ∈ [0, 1] des Schadens des anderen Individuums
zu ersetzen, falls dessen Haus abbrennt.
(a) Für welche Werte von α erfüllt die Allokation, die aus einem solchen Vertrag resultiert,
das Gegenseitigkeitsprinzip?
(b) Nehmen Sie an, α ist so gewählt, dass das Gegenseitigkeitsprinzip erfüllt ist. Muss die
resultierende Allokation effizient sein?
(c) Ändert sich Ihre Antwort auf die vorhergehende Frage, wenn die Risikopräferenzen
der beiden Individuen durch identische Bernoulli-Nutzenfunktionen beschrieben werden können?
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