Menschliche Logik AND Boolsche Logik = NOT Logisch

Menschliche Logik AND
Boolsche Logik = NOT Logisch
Der Satz vom Widerspruch
Eine Aussage kann nicht gleichzeitig mit
ihrem Gegenteil wahr sein.



z.B.: „Zürich ist ein Kontinent.“ und
„Zürich ist kein Kontinent.“ kann
nicht gleichzeitig wahr sein.
Axiom (Vorannahme) der Logik, d.h.
weder beweis- noch widerlegbar
Aristoteles, Begründer der Logik
* 384 v. Chr. in Stageira
† 322 v. Chr. in Chalkis
Logische Folgerung
Aussage 1: „Wenn es regnet, wird die Straße nass.“
Aussage 2: „Es regnet.“
Folgerung: „Die Straße wird nass.“
Aus den zwei Aussagen “wenn A, dann B“
und „A“ kann die Aussage „B“ hergeleitet
werden.
Auf diese Weise können wir argumentieren und mittels
gemeinsam anerkannten „Regeln“ und wahren Aussagen
neue Aussagen als wahr herleiten.
Was sind Aussagen?
Aussagen sind Sätze, die entweder wahr (1)
oder falsch (0) sind.

2+4=6
1

Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz.
0

Peter (23) ist älter als Paul (17).
1
unklar!
Keine Aussagen:
•
•
Wo ist der Bahnhof?
Ruhe jetzt!
•
•
Bern ist eine schöne Stadt.
Dieses Wasser (20°) ist kalt.
Aussagenlogik
Aussagen…
…werden durch Variablen repräsentiert
…haben Wahrheitswert (wahr/falsch, resp. 0/1)


A = „Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz.“
B = „2+4=6“
0
1
Aussagenlogische Formeln sind zusammengesetzte
Aussagen (*Beispiele mit obigen Werten für A und B):



A UND B
A ODER B
(NICHT A) UND B
0
1
1
Zusammengesetzte Aussagen…
… sind ebenfalls Aussagen, also auch entweder wahr
oder falsch – je nach Wahrheitsgehalt ihrer Teile.

Peter ist älter als Paul und 4+4=8.
?
... werden oft als Wahrheitstabellen dargestellt, z.B.
Die Idee ist, für alle
Kombinationen der
einfliessenden Teilaussagen
(= Inputs) den Wert der
zusammengesetzten Aussage
(= Output) darzustellen
A
B
A UND B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
George Boole
Begründer der Aussagenlogik

englischer Mathematiker
* 1815 in Lincoln
† 1864 in Ballintemple (Irland)

Boolesche Variablen

Können immer nur einen von zwei Werten annehmen


true/false, wahr/falsch, 1/0
In vielen Programmiersprachen ein „Datentyp“


Oft gebraucht für bedingte Anweisungen
z.B. in Java, C, PHP, Pascal oder VisualBasic
Logische Operatoren


Logische Operatoren verbinden Aussagen zu
neuen (zusammengesetzten) Aussagen
Die drei grundlegenden Operatoren sind:

UND

ODER

NICHT
(fast alle anderen lassen sich aus diesen drei
Operatoren zusammensetzen)
AND

Deutsch: UND

„sowohl A als auch B“

mathematisches Symbol: ∧

in Java: && (z.B. true && false -> false)
OR

Deutsch: ODER

„entweder A oder B oder beides“

mathematisches Symbol: V

in Java: ||
NOT

Deutsch: NICHT, Negation

„nicht A, also das Gegenteil“

mathematisches Symbol:

in Java: !
¬
XOR

Deutsch: ausschliessendes ODER

„entweder A oder B, aber nicht beides“

mathematisches Symbol: ⊻

in Java: ^
Wahrheitstabellen: Wer hat genascht?

Boris: „Karsten oder ich waren es.“

Karsten: „Entweder war es Ulf oder ich.“

Ulf: „Entweder hat Boris oder ich nicht genascht.“
B
K
U
Beispiel: Wer hat genascht?

Boris: „Karsten oder ich waren es.“

Karsten: „Entweder war es Ulf oder ich.“

Ulf: „Entweder hat Boris oder ich nicht genascht.“
B
K
U
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
Wer hat genascht?

Boris: „Karsten oder ich waren es.“

Karsten: „Entweder war es Ulf oder ich.“

Ulf: „Entweder hat Boris oder ich nicht genascht.“
B
K
U
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
K OR B
U XOR K
¬U XOR ¬B
gleich U XOR B
(K OR B) AND (U XOR K)
AND (U XOR B)
Wer hat genascht?

Boris: „Karsten oder ich waren es.“

Karsten: „Entweder war es Ulf oder ich.“

Ulf: „Entweder hat Boris oder ich nicht genascht.“
¬U XOR ¬B
B
K
U
K OR B
U XOR K
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
gleich U XOR B
(K OR B) AND (U XOR K)
AND (U XOR B)
Wer hat genascht?

Boris: „Karsten oder ich waren es.“

Karsten: „Entweder war es Ulf oder ich.“

Ulf: „Entweder hat Boris oder ich nicht genascht.“
¬U XOR ¬B
gleich U XOR B
(K OR B) AND (U XOR K)
AND (U XOR B)
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
B
K
U
K OR B
U XOR K
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
Wer kommt zur Party?

Ute: „Entweder kommt Ingrid oder Sonja.“

Sonja: „Entweder kommt Ingrid oder Ute.“

Ingrid: „Es kommen Sonja oder Ute (oder beide).“
U

S
I
Lösung: Ingrid kommt nicht, Sonja und Ute schon
Umformungsregeln

Assoziativgesetz
(A Λ B) Λ C = A Λ (B Λ C) = A Λ B Λ C
(A V B) V C = A V (B V C) = A V B V C

Distributivgesetz
A Λ (B V C) = (A Λ B) V (A Λ C)
A V (B Λ C) = (A V B) Λ (A V C)

De Morgansche’s Gesetz
¬(A V B) = ¬A Λ ¬B
¬(A Λ B) = ¬A V ¬B

Doppelte Negation
¬¬A = A
Bsp.:
¬(A V ¬B)
= ¬A Λ ¬¬B
= ¬A Λ B
de Morgan'sche Regel
„Morgen abend gibt‘s Pizza und Bier.“
 Negation?
Formal:
A: es gibt Pizza, B: es gibt Bier

Negation von A Λ B:

¬(A Λ B) = ¬A V ¬B
De Morgan:
Das NOT ist wie ein Minus, und Vorzeichen umkehren
macht aus einem AND ein OR – oder umgekehrt
A B ¬(A Λ B)
0 0
0 1
1 0
1 1
¬A V ¬B
de Morgan'sche Regel
„Morgen abend gibt‘s Pizza und Bier.“
 Negation?
Formal:
A: es gibt Pizza, B: es gibt Bier

Negation von A Λ B:

¬(A Λ B) = ¬A V ¬B
A B ¬(A Λ B)
¬A V ¬B
0 0
1
1
0 1
1
1
1 0
1
1
1 1
0
0
„Morgen gibt‘s nicht Pizza UND Bier“, bzw.
„Morgen gibt‘s keine Pizza oder kein Bier“
Logik in Java


Logische Operationen:

AND:
&&

OR:
||

NOT:
!
Boolean: Variable, die entweder wahr oder
falsch ist (engl.: true oder false)

z.B.: true && false -> false

logischer Vergleich: ==

Achtung! Zuweisung: =